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高中物理竞赛专区
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  • ID:6-4685916 全国中学生物理竞赛专题

    高中物理/竞赛专区/高三竞赛

    第三讲  磁场 §3.1 基本磁现象 由于自然界中有磁石()存在,人类很早以前就开始了对磁现象的研究。 人们把磁石能吸引铁`钴`镍等物质的性质称为磁性。 条形磁铁或磁针总是两端吸引铁屑的能力最强,我们把这吸引铁屑能力最强的区域称之为磁极。 将一条形磁铁悬挂起来,则两极总是分别指向南北方向,指北的一端称北极(N表示);指南的一端称南极(S表示)。 磁极之间有相互作用力,同性磁极互相排斥,异性磁极互相吸引。 磁针静止时沿南北方向取向说明地球是一个大磁体,它的N极位于地理南极附近,S极位于地理北极附近。 1820年,丹麦科学家奥斯特发现了电流的磁效应。 第一个揭示了磁与电存在着联系。 长直通电导线能给磁针作用;通电长直螺线管与条形磁铁作用时就如同条形磁铁一般;两根平行通电直导线之间的相互作用……,所有这些都启发我们一个问题:磁铁和电流是否在本源上一致? 1822年,法国科学家安培提出了组成磁铁的最小单元就是环形电流,这些分子环流定向排列,在宏观上就会显示出N、S极的分子环流假说。近代物理指出,正是电子的围绕原子核运动以及它本身的自旋运动形成了“分子电流”,这就是物质磁性的基本来源。 一切磁现象的根源是电流,以下我们只研究电流的磁现象。 §3.2 磁感应强度 3.2.1、磁感应强度、毕奥萨伐尔定律 将一个长L,I的电流元放在磁场中某一点,电流元受到的作用力为F。 当电流元在某一方位时,这个力最大,这个最大的力和IL的比值,叫做该点的磁感应强度。 将一个能自由转动的小磁针放在该点,小磁针静止时N极所指的方向,被规定为该点磁感应强度的方向。 真空中,当产生磁场的载流回路确定后,那空间的磁场就确定了,空间各点的也就确定了。 根据载流回路而求出空间各点的要运用一个称为毕奥—萨伐尔定律的实验定律。毕—萨定律告诉我们:一个电流元IL(如图3-2-1)在相对电流元的位置矢量为的P点所产生的磁场的磁感强度大小为,为顺着电流IL的方向与方向的夹角,的方向可用右手螺旋法则确定,即伸出右手,先把四指放在IL的方向上,顺着小于的角转向方向时大拇指方向即为的方向。式中K为一常数,K=韦伯/安培米。载流回路是由许多个IL组成的,求出每个IL在P点的后矢量求和,就得到了整个载流回路在P点的。 如果令,特斯拉米安,那么又可写为 称为真空的磁导率。 下面我们运用毕——萨定律,来求一个半径为R,载电流为I的圆电流轴线上,距圆心O为的一点的磁感应强度 在圆环上选一I,它在P点产生的磁感应强度,其方向垂直于I和所确定的平面,将分解到沿OP方向和垂直于OP方向,环上所有电流元在P点产生的的和为零, B=(线性一元叠加) 在圆心处,, 3.2.2、 由毕——萨定律可以求出的几个载流回路产生的磁场的磁感应强度 (1)无限长载流直导线 为了形象直观地描述磁场,引进了与电感线相似的磁感线。 长直通电导线周围的磁感线如图3-2-3所示。如果导线中通过的电流强度为I,在理论上和实验中都可证明,在真空中离导线距离为r处的磁感强度 或 式中称为真空中的磁导率,大小为。 (2)无限长圆柱体 无限长载流直导线 r为所求点到直导线的垂直距离。半径为R,均匀载有电流,其电流密度为j的无限长圆柱体 当r<R,即圆柱体内 当r>R,即圆柱体外 (3)长直通电螺线管内磁场 长直导电螺线管内磁场如图图3-2-4所示可认为是匀强磁场,场强大小可近似用无限长螺线管内B的大小表示 n为螺线管单位长度的匝数 (4)螺绕环的磁场与长直通电螺线管内磁场的磁场相同。 3.2.3、磁感应线和磁通量 为了形象地描绘磁场的分布,在磁场中引入磁感应线,亦即磁力线。磁力线应满足以下两点: 第一,磁感应线上任一点的切线方向为该点磁感应强度的方向;第二,通过垂直于的单位面积上的磁感应线的条数应等于该处磁感应强度的大小。 图3-2-5的(a)和(b)分别给出了无限长载流导线和圆电流的磁场的磁力线。从图中可看到:磁力线是无头无尾的闭合线,与闭合电路互相套合。磁感线是一簇闭合曲线,而静电场的电感线是一簇不闭合的曲线(或者是从正电荷到负电荷,或者是从正电荷到无穷远处,从无穷远处到负电荷)。这是一个十分重要的区别,凡是感线为闭合曲线的场都不可能是保守场。 磁感强度是一个矢量,如果两个电流都对某处的磁场有贡献,就要用矢量合成的方法。如果有a、b两根长直通电导线垂直于纸面相距r放置,电流的大小,(图3-2-6)那么哪些位置的磁感强度为零呢?在a、b连线以外的位置上,两根导线上电流所产生的磁感强度和的方向都不在一直线 上,不可能互相抵消;在a、b连线上,a左边或b右边的位置上,和的方向是相同的,也不可能互相抵消;因此只有在a、b中间的连线上,和才有可能互相抵消,设离a距离为的P处合磁感应强度为零(图3-2-6) (矢量式)= , 通过一给定曲面的总磁力线数称为通过该曲面的磁通量,磁通量的单位是韦伯,1韦伯=1特斯拉1米。图3-2-7(a)中,通过匀磁场中与磁力线垂直的平面的磁通量为;而通过与磁力线斜交的S面的磁通量为: (角即是两个平面S和S的夹角,也是S面的法线与的夹角)。 而在(b)中,磁场和曲面都是任意的,要求出通过S面的磁通量应把通过S面上每一小面元的磁通量求出后求和,即: 3.2.4、磁场中的高斯定理 考虑到磁力线是无头无尾的封闭曲线,对磁场中任一封闭曲面来说,有多少根磁力线穿入,必有多少根穿出,即通过磁场中任一封闭曲面的磁通量为零。这就是磁场的高斯定理,它表明了磁场一个重要性质,即磁场是无源场,自然界中没有单独的N极或S极存在。 3.2.5、典型例题 例1:图3-2-8所示,两互相靠近且垂直的长直导线,分别通有电流强度和的电流,试确定磁场为零的区域。 分析:建立图示直角坐标系,用安培定则判断出两电流形成的磁场方向后,可以看出在Ⅰ、Ⅲ两象限内,两磁场方向相反,因此合磁场为零区域只能出现在这两个象限内。 解:设P(x、y)点合磁感强度为零,即有得 这就是过原点的直线方程,其斜率为I/I。 例2:如图3-2-9所示,将均匀细导线做成的圆环上任意两点A和B与固定电源连接起来,计算由环上电流引起的环中心的磁感强度。 分析:磁感强度B可以看成圆环上各部分(将圆环视为多个很小长度部分的累加)的贡献之和,因为对称性,圆环上各部分电流在圆心处磁场是相同或相反,可简化为代数加减。 解:设A、B两点之间电压为U,导线单位长度电阻,如图3-2-10所示,则二段圆环电流 磁感强度B可以是圆环每小段部分磁场的叠加,在圆心处,可表达为,所以: 因 故,即两部分在圆心处产生磁场的磁感强度大小相等,但磁场的方向正好相反,因此环心处的磁感强度等于零。 §3.3 磁场对载流导体的作用 3.3.1、安培力 一段通电直导线置于匀磁场中,通电导线长L,电流强度为I,磁场的磁感应强度为B,电流I和磁感强度B间的夹角为,那么该导线受到的安培力为电流方向与磁场方向平行时,,或,F=0,电流方向与磁场方向垂直时,,安培力最大,F=BIL。 安培力方向由左手定则判断,它一定垂直于B、L所决定的平面。 当一段导电导线是任意弯曲的曲线时,如图3-3-1所示可以用连接导线两端的直线段的长度作为弯曲导线的等效长度,那么弯曲导线缩手的安培力为 3.3.2、安培的定义 如图3-3-2所示,两相距为a的平行长直导线分别载有电流和。 载流导线1在导线2处所产生的磁感应强度为 ,方向如图示。 导线2上长为的线段所受的安培力为: = 其方向在导线1、2所决定的平面内且垂直指向导线1,导线2单位长度上所受的力 同理可证,导线?上单位长度导线所受力也为。方向垂直指向2,两条导线间是吸引力。也可证明,若两导线内电流方向相反,则为排斥力。 国际单位制中,电流强度的单位安培规定为基本单位。安培的定义规定为:放在真空中的两条无限长直平行导线,通有相等的稳恒电流,当两导线相距1米,每一导线每米长度上受力为2牛顿时,各导线上的电流的电流强度为1安培。 3.3.3、安培力矩 如图3-3-3所示,设在磁感应强度为B的均匀磁场中,有一刚性长方形平面载流线图,边长分别为L和L,电流强度为I,线框平面的法线与之间的夹角为,则各边受力情况如下: 方向指向读者 方向背向读者 方向向下 方向向上 和大小相等,方向相反且在一条直线上,互相抵消。 和大小相等,指向相反,但力作用线不在同一直线上,形成一力偶,力臂从图3-3-3中可看出为 故作用在线圈上的力矩为: 而为线圈面积S,故 我们称面积很小的载流线圈为磁偶极子,用磁偶极矩来描绘它。其磁偶极矩的大小为平面线圈的面积与所载电流的电流强度之乘积,即,其方向满足右手螺旋法则,即伸出右手,四指绕电流流动方向旋转,大拇指所指方向即为磁偶极矩的方向,如图3-3-4中的方向,则角即为磁偶极矩与磁感应强度的正方向的夹角。这样,线圈所受力矩可表为 我们从矩形线圈推出的公式对置于均匀磁场中的任意形状的平面线圈都适合。 典型例题 例1. 距地面h高处1水平放置距离为L的两条光滑金属导轨,跟导轨正交的水平方向的线路上依次有电动势为的电池,电容为C的电容器及质量为m的金属杆,如图3-3-5,单刀双掷开关S先接触头1,再扳过接触头2,由于空间有竖直向下的强度为B的匀强磁场,使得金属杆水平向右飞出做平抛运动。测得其水平射程为s,问电容器最终的带电量是多少? 分析:开关S接1,电源向电容器充电,电量。S扳向2,电容器通过金属杆放电,电流通过金属杆,金属杆受磁场力向右,金属杆右边的导轨极短,通电时间极短,电流并非恒定,力也就不是恒力。因此不可能精确计算每个时刻力产生的效果,只能关心和计算该段短时间变力冲量的效果,令金属杆离开导轨瞬间具有了水平向右的动量。根据冲量公式,跟安培力的冲量相联系的是时间内流经导体的电量。由平抛的高度与射程可依据动量定理求出,电容器最终带电量可求。 解:先由电池向电容器充电,充得电量。之后电容器通过金属杆放电,放电电流是变化电流,安培力也是变力。根据动量定理: 其中 =s/t,h=gt 综合得 电容器最终带电量 点评:根据动量定理来研究磁场力冲量产生的效果,实际上就是电量和导体动量变化的关系,这是磁场中一种重要的问题类型。 例2 图3-3-6中,无限长竖直向上的导线中通有恒定电流,已知由产生磁场的公式是,k为恒量,r是场点到导线的距离。边长为2L的正方形线圈轴线与导线平行。某时刻线圈的ab边与导线相距2L。已知线圈中通有电流。求此时刻线圈所受的磁场力矩。 分析:画俯视图如图3-3-7所示,先根据右手螺旋法则确定和的方向,再根据左手定则判断ab边受力和cd边受力的方向,然后求力矩。 解:根据右手螺旋法则和左手定则确定和、和的方向,如图3-3-7所示。 , 对轴产生的力矩 对轴产生的力矩 两个力矩俯视都是逆时针同方向的,所以磁场对线圈产生的力矩 点评:安培力最重要的应用就是磁场力矩。这是电动机的原理,也是磁电式电流表的构造原理。一方面要强调三维模型简化为二维平面模型,另一方面则要强调受力边的受力方向的正确判断,力臂的确定,力矩的计算。本题综合运用多个知识点解决问题的能力层次是较高的,我们应努力摸索和积累这方面的经验。 ? §3。4 磁场对运动电荷的作用 3.4.1、洛伦兹力 载流导线所受的安培力,我们可看为是磁场作用给运动电荷即自由电子的力,经自由电子与导体晶格的碰撞而传递给导线的。 根据安培定律,而电流强度与运动电荷有关系,角既是电流元与B的夹角,也可视为带电粒子的速度与之间的夹角,长导线中有粒子数,则每个电子受到的力即洛伦兹力为 洛伦兹力总是与粒子速度垂直,因此洛伦兹力不作功,不能改变运动电荷速度的大小,只能改变速度的方向,使路径发生弯曲。 洛伦兹力的方向从图3-4-1可以看出,它一定与磁场(B)的方向垂直,也与粒子运动()方向垂直,即与、B所在的平面垂直,具体方向可用左手定则判定。但应注意,这里所说的粒子运动方向是指正电荷运动的方向,它恰与负电荷沿相反方向运动等效。 3.4.2、带电粒子在匀强磁场中的运动规律 带电粒子在匀强磁场中的运动规律与粒子的初始状态有关具体如下: 如果带电粒子原来静止,它即使在磁场中也不会受洛伦磁力的作用,因而保持静止。 如果带电粒子运动的方向恰与磁场方向在一条直线上,该粒子仍不受洛伦磁力的作用,粒子就以这个速度在磁场中做匀速直线运动。 带电粒子速度方向与磁场方向垂直,带电粒子在垂直于磁场方向的平面内以入射速度作匀速圆周运动。带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动的四个基本公式。 (1)向心力公式: (2)轨道半径公式: (3)周期、频率和角频率公式,即: ,, (4) 动能公式: 如图3-4-2所示,在洛伦兹力作用下,一个作匀速圆周运动的粒子,不论沿顺时针方向运动还是沿逆时针方向运动,从A点到B点,均具有下述特点: (1)轨道圆心(O)总是位于A、B两点洛伦兹力(f)的交点上或AB弦的中垂线与任一个f的交点上。 (2)粒子的速度偏向角等于回旋角,并等于AB弦与切线的夹角(弦切角)的两倍,即。 磁场中带电粒子运动的方向一般是任意的,但任何一个带电粒子运动的速度()都可以在垂直于磁场方向和平行于磁场方向进行分解,得到和两个分速度。根据运动的独立性可知,这样的带电粒子一方面以在磁场方向上作匀速运动,一方面又在垂直于磁场的方向上作速率为的匀速圆周运动。实际上粒子作螺旋线运动(如图3-4-3),这种螺旋线运动的周期和螺距大小读者自己分析并不难解决。其螺旋运动的周期,其运动规律: 螺旋运动回旋半径: 螺旋运动螺距: 3.4.3、霍尔效应 将一载流导体放在磁场中,由于洛伦兹力的作用,会使带电粒子(或别的载流子)发生横向偏转,在磁场和电流二者垂直的方向上出现横向电势差,这一现象称为霍尔效应。 如图3-4-4所示,电流I在导体中流动,设导体横截面高h、宽为d匀强磁场方向垂直与导线前、后两表面向外,磁感强度为B,导体内自由电子密度为n,定向移动速度 由于洛伦兹力作用,自由电子向上表面聚集,下表面留下正离子,结果上下表面间形成电场,存在电势差U,这个电场对电子的作用力方向向下,大小为 当F与洛伦磁力f相平衡时,上、下表面电荷达到稳定,则有 如果导电的载流子是正电荷,则上表面聚集正电荷,下表面为负电势,电势差正、负也正好相反。 下面来分析霍尔电势差,求出霍尔系数。 在图3-4-5中,设大块导体的长和宽分别为L和d,单位体积自由电荷密度为n,电荷定向移动速率为,则电流。 假定形成电流的电荷是正电荷,其定向移动方向就是电流方向。根据左手定则,正电荷向上积聚,下表面附近缺少正电荷则呈现负电荷积聚,上正下负电压为,正电荷受到跟磁场力反向的电场力的作用。 电场对正电荷向上的偏移积聚起阻碍作用,当最后达到平衡时,可得。可见,理论推导的结果跟实验结果完全一致,系数。 既然k跟n有关,n表征电荷浓度,那么通过实验测定k值可以确定导体或半导体的电荷浓度n,半导体的n值比金属导体小得多,所以k值也大得多。此外根据左手定则还可知,即使电流I就是图3-4-6中的流向,如果参与流动的是正电荷,那么电压就是上正下负;如果参与定向移动的是自由电子,那么电压就是上负下正了。霍尔电势的高低跟半导体是p型的还是n型的有如此的关系:上正下负的是p型半导体,定向载流子是带正电的空穴:上负下正的是n型半导体,如果k值小得多就是金属导体,定向载流子是自由电子。 3.4.4、磁聚焦 运动电荷在磁场中的螺旋运动被应用于“磁聚焦技术”。 如图3-4-7,电子束经过a、b板上恒定电场加速后,进入c、d极板之间电场,c、d板上加交变电压,所以飞出c、d板后粒子速度方向不同,从A孔穿入螺线管磁场中,由于大小差不多,且与B夹角很小,则 由于速度分量不同,在磁场中它们将沿不同半径的螺旋线运动。但由于它们速度分量近似相等,经过后又相聚于点,这与光束经透镜后聚焦的现象有些类似,所以叫做磁聚焦现象。磁聚焦原理被广泛地应用于电真空器件如电子显微镜。 3.4.5、复合场中离子的运动 1.电场和磁场区域独立 磁场与电场不同,磁场中,洛伦磁力对运动电荷不做功,只改变带电粒子速度方向,所以在匀强磁场中带电粒子的运动主要表现为:匀速圆周运动、螺旋运动、匀速直线运动。而电场中,电荷受到电场力作用,电场力可能对电荷做功,因而改变速度大小和方向,但电场是保守场,电场力做功与运动路径无关。处理独立的电场和磁场中运动电荷问题,是分开独立处理。 例:如图3-3-8所示,在平面内,y>O区域有匀强电场,方向沿-y方向,大小为E,y<O区域有匀强磁场,方向垂直纸面向里,大小为B,一带电+q、质量为m的粒子从y轴上一点P由静止释放,要求粒子能经过x轴上Q点,Q坐标为(L,O),试求粒子最初释放点P的坐标。 分析:解决上述问题关键是明确带电粒子的受力和运动特点。从y轴上释放后,只受电场力加速做直线运动,从O点射入磁场,然后做匀速圆周运动,半圈后可能恰好击中Q点,也可能返回电场中,再减速、加速做直线运动,然后又返回磁场中,再经半圆有可能击中Q点,……。那么击中Q点应满足的条件。 2.空间区域同时存在电场和磁场 (1)? 电场和磁场正交 如图3-4-9所示,空间存在着正交的电场和磁场区域,电场平行于纸面平面向下,大小为E,磁场垂直于纸面向内,磁感强度为B,一带电粒子以初速进入磁场,,,设粒子电量+q,则受力:洛=方向向上,F电=qE方向向下。若满足: =qE =E/B 则带电粒子将受平衡力作用做匀速直线运动,这是一个速度选择器模型。 若粒子进入正交电磁场速度,则可将分解为,粒子的运动可看成是与两个运动的合运动,因而粒子受到的洛伦兹力可看成是与的合力,而与电场力qE平衡,粒子在电场中所受合力为,结果粒子的运动是以的匀速直线运动和以速度所做匀速圆周运动的合运动。 例:如图3-4-10正交电磁场中,质量m、带电量+q粒子由一点P静止释放,分析它的运动。 分析:粒子初速为零释放,它的运动轨迹是如图3-4-10所示的周期性的曲线。初速为零,亦可看成是向右的与向左-两个运动的合运动,其中大小为:=E/B 所以+q粒子可看成是向右匀速直线运动和逆时针的匀速圆周运动的合运动。电场方向上向下最大位移 一个周期向右移动距离L即PP之距为 代入,得: 最低点Q点速度 (2)? 电场和磁场平行 如图3-4-11所示的空间区域有相互平行的电场和磁场E、B一带电+q粒子以初速射入场区(或B)。则带电粒子在磁场力作用下将做圆周运动,电场力作用下向上做加速运动,由于向上运动速度分量始终与B平行,故粒子受洛伦磁力大小恒为,结果粒子运动是垂直于E(或B)平面的半径R=m/qB的匀速圆周运动和沿E方向匀加速直线运动的合运动,即一个螺距逐渐增大的螺旋运动。 (3)? 电场力、洛伦磁力都与方向垂直,粒子做匀速圆周运动。 例如电子绕原子核做匀速圆周运动,电子质量m,电量为e,现在垂直轨道平面方向加一匀强磁场,磁感强度大小为B,而电子轨道半径不变,已知电场力3倍与洛伦磁力,试确定电子的角速度。 在这里电子绕核旋转,电场力、洛伦磁力提供运动所需向心力,即 电+洛= 而f洛可能指向圆心,也可能沿半径向外的,因而可能是 或 典型例题 例1.在如图3-4-12所示的直角坐标系中,坐标原点O固定电量为Q的正点电荷,另有指向y轴正方向(竖直向上方向),磁感应强度大小为B的匀强磁场,因而另一个质量为m、电量力为q的正点电荷微粒恰好能以y轴上的点为圆心作匀速圆周运动,其轨道平面(水平面)与平面平行,角速度为,试求圆心的坐标值。 分析:带电微粒作匀速圆周运动,可以确定在只有洛伦磁力和库仑力的情况下除非与O不重合,必须要考虑第三个力即重力。只有这样,才能使三者的合力保证它绕在水平面内作匀速圆周运动。 解:设带电微粒作匀速圆周运动半径为R,圆心的纵坐标为y,圆周上一点与坐标原点的连线和y轴夹角为,那么有 带电粒子受力如图3-4-13所示,列出动力学方程为 mg=F电cosθ (1) f洛-F电 (2) f洛= (3) 将(2)式变换得 f洛-F电 (4) 将(3)代入(4),且(1)÷(4)得 消去R得 例2.如图3-4-14所示,被1000V的电势差加速的电子从电子枪发射出来,沿直线方向运动,要求电子击中在方向、距离枪口5cm的靶M,对以下两种情形求出所用的均匀磁场的磁感应强度B. (1)磁场垂直于由直线与点M所确定的平面。 (2)磁场平行于TM。 解: (1)从几何考虑得出电子的圆轨道的半径为(如图3-4-15) 按能量守恒定律,电荷Q通过电势差U后的速度v为 即 作用在电荷Q上的洛伦磁力为 这个力等于向心力 故所需的磁感应强度为 用上面的半径和速度值,得到 由于,,所以 B=0.0037T (2)在磁场施加的力与速度垂直,所以均匀恒定磁场只改变电子速度的方向,不改变速度的大小。 我们把电子枪发射的电子速度分解成两个直线分量:沿磁场B方向的和垂直磁场的,因为在磁场的方向上,磁场对它没有作用力(图3-4-16)。 电子经过d/时间后到达目标M。由于磁场B和垂直的速度分量,电子在圆轨道上运动,由 得到圆半径为 电子在目标M的方向上也具有速度,结果是电子绕B方向作螺旋线运动。电在在d/时间内,在绕了k圈后击中目标。K是一个整数。圆的周长为 由于绕圆周运动的速度是,故绕一周的时间是 这个值乘上整数k,应等于 d/ 因此,所需的磁感应强度为 k=1时,电子转一圈后击中目标:k=2时,电子转两圈后击中目标,等等。只要角度相同,磁场方向相反与否,无关紧要。 用给出的数据代入,得 B=k×0.0067T 例3.一根边长为a、b、c(a>>b>>c)的矩形截面长棒,如图3-4-17所示,由半导体锑化铟制成,棒中有平行于a边的电流I通过,该棒放在垂直于c边向外的磁场B中,电流I所产生的磁场忽略不计。该电流的载流子为电子,在只有电场存在时,电子在半导体中的平均速度,其中为迁移率。 (1)? 确定棒中所产生上述电流的总电场的大小和方向。 (2)? 计算夹c边的两表面上相对两点之间的电势差。 (3)? 如果电流和磁场都是交变的,且分别为,),求(2)中电势差的直流分量的表达式。 已知数据:电子迁移率,电子密度,I=1. 0A,B=0.1T,b=1.0cm,c=1.0mm,e=1.6×10-19C 分析: 这是一个有关霍尔效应的问题,沿电流方向,导体内存在电场,又因为霍尔效应,使得电子偏转,在垂直电流方向产生电场,两侧面间有电势差的存在 解: (1)因为 所以电场沿方向分量 沿c方向的分量 总电场大小: 电场方向与边夹角,= (2) 上、下两表面电势差 (3)加上交变电流和交变磁场后,有前面讨论的上、下表面电势差表达式,可得: = 因此的直流分量为 直= 例4.如图3-4-18所示,空间有互相正交的匀强电场E和匀强磁场B,E沿+y方向,B沿+z方向,一个带正电+q、质量为m的粒子(设重力可以忽略),从坐标圆点O开始无初速出发,求粒子坐标和时间的函数关系,以及粒子的运动轨迹。 分析:正离子以O点起无初速出发,受恒定电场力作用沿+y方向运动,因为速度v的大小、方向都改变,洛伦兹力仅在xOy平面上起作用,粒子轨迹一定不会离开xOy平面且一定以O为起点。既然粒子仅受的两个力中一个是恒力一个是变力,作为解题思路,利用独立性与叠加原理,我们设想把洛伦兹力分解为两个分力,使一个分力跟恒电场力抵消,就把这个实际受力简化为只受一个洛伦兹力分力的问题。注意此处不是场的分解和抵消,而是通过先分解速度达到对力进行分解和叠加。 我们都知道,符合一定大小要求的彼此正交的匀强复合电磁场能起速度选择器作用。受其原理启发,设想正离子从O点起(此处)就有一个沿x轴正方向、大小为的始终不变的速度,当然在O点同时应有一个沿-x方向的大小也是的速度,保证在O点,则,沿-y方向,qE沿+y方向,彼此抵消,可写成。因任一时刻,所以,或改写成:。始终的三个速度和都在xOy平面上,其物理意义是:正离子在复合场中受的两个真实的力()和F(E)的矢量和,可以用一个洛伦磁力分力来代替,这样做的一个先决条件是把正离子运动看成以下两个分运动的合成:①沿+x方向的=E/B的匀速直线运动;②在xOy平面上的一个匀速圆周运动,其理由是:是平面力,轨迹又是平面的不是三维空间的,所以必与垂直,在O点就是-,之后不对离子作功,大小不变,充当向心力。这个圆周运动特征量是:,,。 解:t=0时刻,正离子位于O点,此时起离子具有两个速度:一是速度方向始终不变、大小为=E/B的速度。由这个速度引起的洛伦磁力跟电场力抵消。另一个速度是在O点时沿-x方向的大小为E/B的速度,该速度引起的洛伦磁力指向(0,+)点,这点就是t=0时的圆心。之后该圆心以速率沿平行于x轴正向的方向无滑动开始平动,正离子是该圆周上的一个点,且t=0是恰好就是该圆与x轴的切点即坐标原点,此后,正离子相对圆心以角速度顺时针绕行。在xOy平面上,粒子的轨迹被称为旋轮线,其坐标值随时间的变化为参数方程: z=0 (1) (2) (3) 有一定数学能力的人不妨尝试把参数t消去得出y与x的关系式,用来表示其轨迹的方法。 点评:设想一个轮子沿地面做无滑动的滚动,轮子边缘用红颜料涂上色,观察这个边缘所得的运动轨迹就是旋轮线。 §3.5  应用 3.5.1、质谱仪 密粒根油滴实验可测定带电粒子的电量,而质谱仪能测定带电粒子荷质比q/m,两者结合可测定带电粒子质量。如图3-5-1为质谱仪的原理图。 图中粒子源产生质量m、电量q的粒子,由于初始速度很小,可以看做是静止的。粒子经加速电压U后,速度为,由动能定理: 带电粒子进入磁感强度为B匀强磁场中,在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,粒子运动半圈后打在P点的照相底片上,测得,则半径,根据向心力公式 得 3.5.2、磁流体发电机 磁流体发电机是一种不依靠机械传动,而直接把热能转变为电能的装置。 如图3-5-2所示为磁流体发电机原理图。在距离为d的两平行金属板间有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感强度为B。从左侧有高速运动的等离子体(含有相等数量正、负离子)射入其间,离子在洛伦磁力作用下发生偏转,正离子向上偏、负离子向下偏,结果M板带正电,N板带负电,使M、N板成为能提供正、负电荷的电源两极,随着电荷的聚集,两板间产生电场阻碍电荷偏转,最终稳定时,射入两板间离子所受洛伦磁力与电场力平衡 两板间场强,两板间电势差为 电键K断开时,此电势差即为磁流体发电机电动势,即: 当电键K闭合时,M、N板放电,对外做功,此时两板间电势差小于电动势。 3.5.3、回旋加速器 回旋加速器是利用带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动周期与速度无关的原理,实现对粒子反复加速的装置。如图3-5-3所示,回旋加速器核心部分是两个D型金属扁盒,两D型盒之间留有狭缝,在两D型盒之间加高频交变电压,于是狭缝间形成交变电场,由于电屏蔽,D型金属盒内电场几乎为零。D型盒置于真空容器中,整个装置又放在巨大电磁铁两极之间。磁场垂直于D型盒。狭缝中心处有粒子源,当发出带电粒子首先通过狭缝被加速,调节高频交变电压变化周期与粒子在D型盒中运动周期相等,使粒子每次通过狭缝时都被电场加速,经过反复加速,粒子速度越来越大,回旋半径也越来越大,趋近盒边缘时粒子加速达到最大速度引出,如图3-5-4. 粒子在磁场中回旋时有: 粒子速度最大时r=R,R为D型盒半径,所以粒子达最大速度为 最大动能 关于回旋加速器:回旋加速器的任务,是使某些微观带电粒子的速率被增加到很大,因而具有足够动能,成为可用于轰击各种靶元素的原子核甚至核内基本粒子的高能炮弹。 早期欧洲核子研究中心的质子同步加速器,造价2800万美元,轨道半径560英尺(1英尺=0.305m)=170.8m,最大磁场为1.4T,质子在其中绕行总路程为5×104英里(1英里=1.6093km)=80465km=2倍赤道周长后引出,最大能量达到2.8×1010eV,每次放出质子1011个。20世纪80年代末该加速器的效果已达到4×1011eV。世界上最大的加速器在美国加利福尼亚,直径几乎达3km,20世纪80年代末,其加速效果达到了1012eV。我国80年代后半期最大的加速器为5×1010eV,在四川省。 课本上说影响回旋加速器的加速能力的主要因素是相对论效应。其涵义是:在极高速运动中,微粒质量随速度增加而显著变大。相对论质量公式是: 是微粒静止质量,是运动质量,c是光速。当<<时,,但是当速度接近光速时,,就变得非常大。 事实上,在汤姆逊发现电子后不久,科学家就发现了许多种元素都能自发地放出射线(高速电子流),但不同元素发射的粒子速率不一样,导致同是电子流,荷质比有差异,速率越大其荷质比越小。用实验测定的荷质比其实不是。而是。其中的一个实验结果见表3-1,再把实验测出的值由换算,所得的的数值确实很接近一个恒量。恰恰是回旋加速器的这一实验结果,最早证实了爱因斯坦相对论的正确。 实验测量的 换算后所得的 0.3173 1.661 1.752 0.3787 1.630 1.761 0.4281 1.590 1.760 0.5154 1.511 1.763 0.6870 1.283 1.767 加速器令粒子质量变大,根据,粒子回旋轨道半径会变大,同时因为周期,或者频率,使周期变大或频率变小,粒子在两个切开的半D形盒内的回旋运动就变的跟加速电压的震荡不同步,不合拍,不再保证粒子每经过一次狭缝就被加速一次。其次,质量越轻的粒子在能量未太高时速度就明显大,质量变大尤其显著,相对论效应对其继续加速的限制就越厉害。还有一个限制就是,根据粒子末能量表达式,,为D形盒的尺寸。比如要在1. 5T的磁场中令质子获得300eV能量(对应速度0.99998c),需磁场的直径为130m。 上述两个原理上的限制,正在技术上得到逐步克服。措施也大致上有两方面:第一,因为,所以是一个恒量。采用适当的技术能控制加速电压振荡频率随粒子质量变大而成反比地减少,就能做到粒子回旋运动和加速电场同步合拍,这种加速器通常被称为同步加速器。第二,由于,当变大时适当加大磁场B值,可致半径的增大减慢,现代加速器的磁场磁极一般做成环形,就是为了达到这个目的。 典型例题 磁流体发电机的示意图如图3-5-5所示,横截面为矩形的管道长为,宽为,高为b,上、下两个侧面是绝缘体,相距为的前后两个侧面是电阻可以忽略不计的导体,此两导体侧面与一负载电阻R相连。整个管道放在一个匀强磁场中,磁感应强度大小为B,方向垂直于上、下侧面向上。现有电离气体(正、负带电粒子)持续稳定地流经管道,为了使问题简化,设横截面上各点流速相同。已知流速与电离气体所受摩擦阻力呈正比;且无论有无磁场时都维持管两端电离气体的压强差为ρ。设无磁场存在时电离气体的流速为,求有磁场存在时此磁流体发电机的电动势大小。已知电离气体的平均电阻率为ρ。 分析:由于气体流经管道过程中受摩擦和安培力作用,维持气体匀速运动,故必须使管两端存在压力差,以克服上述的阻力,因而本题即可以从力的平衡角度解决问题,也可以从能量守恒的角度来考虑。 解法一:从力平衡角度看,设有磁场存在时,电离气体的流速为。其产生的电动势为 闭合电路中电流 , 为电源内阻,大小为代入得 管内气体所受安培力 摩擦阻力 稳定平衡时 无磁场时,摩擦阻力, 稳定平衡时 所以有: 两式比: 解得,综合以上各式得 解法二:从能量观点看,无磁场时,外界压力的功率等于克服摩擦力的功率,即 有磁场时,外界压力的功率等于克服摩擦力的功率加上回路电功率 当气体稳定时,又有 , 代入上式得 同样可求得 ? 第四讲 电磁感应 §4.1 电磁感应现象 4.1.1、电磁感应现象 1820年奥斯特发现电流产生磁场后,那磁场是否会产生电流这个逆问题引起人们极大的兴趣,人们做了许多实验,但直到1831年,英国物理学家法拉第才第一次发现了电磁感应现象,并总结出电磁感应定律。 当穿过闭合线圈的磁通量改变时,线圈中出现电流,这个现象称做电磁感应,电磁感应中出现的电流称之感应电流。 线圈中磁通的变化,从激发磁场的来源来看,可以是由永磁体引起的,也可是由电流激发的磁场引起。从磁通量变化的原因来看,可以是磁场不变,闭合线圈改变形状或在磁场中运动引起的,也可以是线圈不动,而磁场变化引起的。总之,大量实验证明:当一个闭合电路的磁通(不论由什么原因)发生变化时,都会出现感应电流。 §4.2 法拉第电磁感应定律 楞次定律 4.2.1、法拉第电磁感应定律 当通过闭合线圈的磁通量变化时,线圈中有感应电流产生,而电流的产生必与某种电动势的存在相联系,这种由于磁通量变化而引起的电动势,称做感应电动势。感应电动势比感应电流更能反映电磁感应现象的本质。因为感应电流的大小随线圈的电阻而变,而感应电动势仅与磁通量的变化有关,与线圈电阻无关,特别是当线圈不闭合时,只要有磁通变化,线圈内就有感应电动势而此时线圈内却没有感应电流,这时我们还是认为发生了电磁感应现象。 精确的实验表明:闭合回路中的感应电动势ε与穿过回路的磁通量的变化率Δ/△t成正比。这个结论叫做法拉第电磁感应定律。即: 式中K是比例常数,取决于ε、、t的单位。在国际单位制中,的单位为韦伯,t的单位为秒,ε的单位是伏特,则K=1。 这个定律告诉我们,决定感应电动势大小的不是磁通量本身,而是随时间的变化率。在磁铁插在线圈内部不动时,通过线圈的磁通虽然很大,但并不随时间而变化,那仍然没有感应电动势。 这个定律是实验定律,它与库仑定律,毕奥——萨伐尔定律这两个实验定律一起,撑起了电磁理论的整座大厦。 4.2.2、楞次定律 1834年楞次提出了判断感应电流方向的方法,而根据感应电流的方向可以说明感应电动势的方向。 具体分析电磁感应实验,可看到:闭合回路中感应电流的方向,总是使得它所激发的磁场阻止引起感应电流的磁通量的变化。这个结论就是楞次定律。 用楞次定律来判断感应电流的方向,首先判断穿过闭合回路的磁力线沿什么方向,它的磁通量发生什么变化(增加还是减少),然后根据楞次定律来确定感应电流所激发的磁场沿何方向(与原磁场反向还是同向);最后根据右手定则从感应电流产生的磁场方向来确定感应电流的方向。 法拉第定律确定了感应电动势的大小,而楞次定律确定了感应电动势的方向,若要把二者统一于一个数学表达式中,必须把磁通和感应电动势看成代数量,并对它的正负赋予确切的含义。 电动势和磁通量都是标量,它们的正负都是相对于某一标定方向而言的。动于电动势的正负,先标定回路的绕行方向,与此绕行方向相同的电动势为正,否则为负。磁通量是通过以回路为边界的面的磁力线的根数,其正负有赖于这个面的法线矢量方向的选取,若与的夹角为锐角,则为正:夹角为钝角,为负。但需要注意,回路绕行方向与方向的选定,并不是各自独立的任意确定,二者必须满足右手螺旋法则。如图4-2-1,伸出右手,大姆指与四指垂直,让四指弯曲代表选定的回路的绕行方向,则伸直的姆指就指向法线的方向。 对电动势和磁通量的方向做以上规定后,法拉第定律和楞次定律就统一于下式: 若在时间间隔△t内的增量为,那么当正随时间增大,或负的的绝对值随时间减小时,,则ε为负,ε的方向与标定的回路方向相反;反之,当正的随时间减小,或负的的绝对值随时间增加。 4.2.3、典型例题 例1.如图4-2-2所示,在水平桌面放着长方形线圈abcd,已知ab边长为,bc边长为,线圈总电阻为R,ab边正好指向正北方。现将线圈以南北连线为轴翻转180。,使ab边与cd边互换位置,在翻转的全过程中,测得通过导线的总电量为。然后维持ad边(东西方向)不动,将该线圈绕ad边转90。,使之竖直,测得正竖直过程中流过导线的总电量为。试求该处地磁场磁感强度B。 分析:由于地磁场存在,无论翻转或竖直,都会使通过回路的磁通量发生变化,产生感应电动势,引起感应电流,导致电量传输。值得注意的是,地磁场既有竖直分量,又有南北方向的分量,而且在南半球和北半球又有所不同,题目中未指明是在南半球或北班球,所以解题过程中应分别讨论。 解:(1)设在北半球,地磁场B可分解为竖见向下的和沿水平面由南指北的,如图4-2-3所示,其中B与水平方向夹角为θ。 当线圈翻转180?时,初末磁通分别为 由 可知:时间通过导体截面电量 。 所以在这一过程中有 竖直时,均有影响,即 于是解得: 当时,或。时,取“+”号。 当时,或。时,取“-”号。 (2)设在南半球,B同样可分解为竖直向上分量和水平面上由南指北分量,如图4-2-4所示。 同上, 竖直立起时 则有: 解得: 所以B大小 方向: 。 例2.如图4-2-5所示,AB是一根裸导线,单位长度的电阻为,一部分弯曲成半径为的圆圈,圆圈导线相交处导电接触良好。圆圈所在区域有与圆圈平面垂直的均匀磁场,磁感强度为B。导线一端B点固定,A端在沿BA方向的恒力F作用下向右缓慢移动,从而使圆圈缓慢缩小。设在圆圈缩小过程中始终保持圆的形状,设导体回路是柔软的,试求此圆圈从初始的半径到完全消失所需时间T。 分析:在恒力F拉动下,圆圈不断缩小,使其磁通量发生变化,产生感应电动势,由于交叉点处导线导电良好,所以圆圈形成闭合电路,产生感应电流。因圆圈缩小是缓慢的,F所作功全部变为感应电流产生的焦耳热,由此可寻找半径r随时间的变化规律。 解:设在恒力F作用下,A 端△t时间内向右移动微小量△x,则相应圆半径减小△r,则有: 在这瞬息△t时间内F的功等于回路电功 可认为是由于半径减小微小量而引起面积变化,有: 而回路电阻R为: 代入得: 显然与圆面积的变化成正比,所以当面积由变化至零时,经历时间T为 例3、如图4-2-6所示,在边长为a的等边三角形区域内有匀强磁场B,其方向垂直纸面向外。一个边长也为a的第边三角形导体框架ABC,在t=0时恰好与上述磁场区域的边界重合,尔后以周期T绕其中心组面内沿顺时针方向匀速运动,于是在框架ABC中产生感应电流。规定电流按A—B—C—A方向流动时电流强度取正值,反向流动时的取负值。设框架ABC的电阻为R,试求从t=0到时间内的平均电源强度和从t=0到时间内的平均电流强度。 分析:根据法拉第电磁感应定律,感应电动势与磁通量变化率成正比,即。由此,在一段时间内感应电动势的平均值为,其中是在时间内磁通量的变化。由,根据欧姆定律可确定回路中的平均电流强度,电流的方向由楞次定律确定。 解: 从t=0到的时间内,导体框架从图2-2-7中的虚线位置转到实线位置,所经时间为,磁通量减小了 。 故感应电动势的平均值为 。 由楞次定律,感应电流方向为A—B—C—A,故平均电流强度为正值,即 ,。 感应电动势的平均值为。 细致分析可知,从t=0到过程中,磁通量减小,感应电流沿A—B—C—A方向,电流强度取正值;从到过程中,磁通量增加,感应电流沿A—B—C—A方向,电流强度取负值;故从t=0到过程中,平均电流强度为零。从到时间内,平均电流强度为。 从t=0到时间内,平均电流强度 。 §4.3 动生电磁感应 导体在磁场中做切割线运动,在导体两端产生感生电动势的现象叫动生电磁感应。 其一是不变,a不变,但电路的一部分切割磁力线运动使得回路面积改变,从而使得变; 其二是、S不变,但a变,即回路在磁场中转动, 使得回路所包围的面与的夹角改变,从而使得变。 产生原因: 动生电磁感应的产生是由于洛仑兹力的作用。导体ab在磁场B中做垂直于磁力线的运动,速度图4-3-1为v,导体长度为L。由于导体中所有自由电子也随着导体一起以v向右运动,因此受到洛仑兹力,这样就使导体的b端积累了负电荷,a端积累了正电荷,形成了感生电场(图4-3-1)。这种自由电子的定向移动一直要进行到洛仑兹力和感生电场的电场力相互平衡为止,即 , 。 4.3.1、导体平动切割 其中L是ab的长度,v是ab的速度。这里满足。 若v方向与磁场B方向存在夹角θ,如图4-3-1所示,则电动势为 如果切割磁场的导线并非直线,而是一段弯曲导线,如图4-3-3所示:则其电动势大小应等效于连在AB间直导线切割磁场时电动势的大小。即: 如图4-3-4所示,一根被弯成半径为R=10cm的半圆形导线,在磁感应强度B=1.5T的均匀磁场中以速度v=6m/s沿ac方向向右移动,磁场的方向垂直图面向里。 1、导线上a、b两点的电势差,指出哪一点电势高。 2、求导线上a、c两点的电势差。 解: 1、a、b两点的电势差 b点的电势高 2、a、c两点间的电势差为0。 4.3.2、导体转动切割 一般是来要用积分的方法才能求出整根导体上的动生电动势,但有些特殊情况还是可以用初等数学来解。比如图4-3-5所示的金属杆AB绕O轴在磁场中匀速转动,因为杆上各点的线速度是均匀变化的,所以可用平均速度来求电动势。OB之间的动生电动势 OA之间的动电动势 所以 。 此类问题也可这样分析 如图4-3-5所示,匀强磁场中一段导体棒AB垂直于磁场放置,当导体棒A点在垂直于磁场平面以角速度旋转时,AB中同样会产生电动势, 确定其电动势大小,可假想存在一个ABC回路,在时间,AB转过,回路磁通量变化 由法拉第电磁感应定律 动生电动势可用来发电。例如,如图4-3-6所示,在匀强磁场B中,矩形线圈以角速度绕线圈的中央轴旋转,当线圈平面的法线方向n与磁感应强度B的夹角为时,线圈中的感应电动势为 式中S是线圈的面积。若线圈以作匀角速旋转,且t=0时,, 则有式中。 可见随时间简谐式的变化,这就是交流发电机的基本工作原理。 4.3.3、典型例题 例1. 如图4-3-7所示,OC为一绝缘杆,C端固定一金属细杆MN,已知MC=CN,MN=OC=R,∠MCO=60。,此结构整体可绕O点在纸面内沿顺时针方向以匀角速度转动,设磁感强度为B,方向垂直于纸面向里的匀强磁场存在,则M、N两点间的电势差UMN=? 分析:因MN棒上各点切割磁感线的速度各不相同,故直接用公式不甚方便,考虑到UOM与UON极易求到,所以想到对本题进行适当变换。 解:连OM、ON构成一个三角形OMN,在转动过程中,因三角形回路中磁通量不变,故有 , 且 , , 所以 说明求感应电动势时,经常会用到各种等效替换,如有效长度的等效替换,切割速度的等效替换及像本题中的线面变换(即将面分割成线、连线构成面)等。 例2.一边长为l的正方形线圈(线圈的横截面积为S,电阻率为ρ),以匀速v通过均匀磁成45。夹角,如图4-3-8所示。磁场区域的宽为a,高为b。 (1)若bl,a>l,问线圈通过均匀磁场B后释放多少焦耳热? (2)如bl,a<l,问线圈通过均匀磁场B后释放多少焦耳热? 分析:把速度v正交分解成v∥与v⊥(v∥平行于磁场上边界a,v⊥垂直于上边界a),并注意到线圈的感应电动势等于各边电动势时代数和。 解: (1)当bl,a>l时,放出的焦耳热为 (2)bl,a<l时,放出的焦耳热为 例3.如图4-3-9(a)所示,有一匀强磁场,磁感应强度,在垂直于磁场的平面内有一金属棒PQ绕平行于磁场的O轴作逆时针转动。已知棒长L=0.06m,O轴与P端相距l/3。棒的转速n是2.0r/s。 1、求棒中的感应电动势。 2、P、Q两端中哪一端的电势高?为什么? 解: 1、设金属棒PQ在△t时间内绕O轴转过的角度为θ(图4-3-9(b)),则θ=2πn△t。 由扇面形面积公式可算出OQ段和OP段在△t时间内扫过的面积使: 由上列两式和可进一步算出OQ段和OP段在△t时间内切割的磁感应线和 根据法拉第电磁感应定律,可算出在OQ和OP段的感应电动势和的数值 根据右手定则可确定,的方向由Q指向O,的方向由P指向O,两者方向相反,因此,金属棒PQ中的感应电动势为 其方向由Q向P。 如图4-3-10所示的直角坐标中,有一绝缘圆锥体,半锥角为θ,轴线沿z轴方向,顶点在原点处。有一条长为l的细金属丝OP固定在圆锥体的侧面上,与圆锥体的一条母线重合,空间存在着沿正x方向的匀强磁场B。试讨论当圆锥体如图所示方向做角速度为ω的匀角速转动时,OP上感生电动势的情况 2、P端的电势高。因为如果有导线连接P,Q两端,则显然感应电动势将产生从P端经过导线流向Q端的电流。 例4、有的问题中杆的运动方向、杆的轴线方向都和B不垂直,杆上各点的速度又不同,处理起来就比较复杂一些,请看下题。 如图4-3-10所示的直角坐标中,有一绝缘圆锥体,半锥角为θ,轴线沿z轴方向,顶点在原点处。有一条长为l的细金属丝OP固定在圆锥体的侧面上,与圆锥体的一条母线重合,空间存在着沿正x方向的匀强磁场B。试讨论当圆锥体如图所示方向做角速度为ω的匀角速转动时,OP上感生电动势的情况。 解:当P点的x坐标为正时,P点的电势都高于O点的电势;当P点的x坐标为负时,P点的电势都低于O点的电势;当P点的y坐标为0,即OP在xOz平面时,OP上的感生电动势最大。此时OP在垂直于B方向上的有效长度为 , P点的速度为 而O点的速度为零,所以OP上各点的平均速度为vp/2。因此此时OP上的感生电动势大小为 . 当P点运动到某一位置(图4-3-11), P点的x、y坐标都大于零,QP与x轴的 夹角为α时,OP在垂直于B方向上的有图3-2-11效长度为 β为OP在yPz平面上的投影OS与z轴的夹角。 S点绕O点运动的速度为 . O点的速度始终为零,所以OP上各点在y方向上的平均速度为vs/2。因此此时OP上的感生电动势的大小为 . 据此,可以延伸一下 例5、在如图4-3-12所示的直角作标系中,有一塑料制成的半锥角为θ的圆锥体Oab。圆锥体的顶点在原点处,其轴线沿z轴方向。有一条长为l的细金属丝OP固定在圆锥体的侧面上,金属丝与圆锥体的一条母线重合。整个空间中存在着磁感强度为B的均匀磁场,磁场方向沿X轴正方向,当圆锥体绕其轴沿图示方向做角度为ω的匀角速转动时, (1)OP经过何处时两端的电势相等? (2)OP在何处时P端的电势高于O端? (3)电势差的最大值是多少? 分析:本题的关键是如何处理磁感强度跟棒不垂直的问题。方法有二个:当金属丝OP经过XOZ平面时,设法求出极短时间内切割的磁感线数,即磁通量;或把B分解成跟OP垂直的分量和跟平OP行的分量B∥。 解法一:(1)当OP经过YOZ平面的瞬间,两端的电势相等。因为此时OP的运动方向和磁场方向平行(同向或反向) (2)、只要OP处于YOZ平面的内侧,P点的电势总是高于O点。 (3)、当OP处于XOZ平面的右侧且运动方向和磁场方向垂直时,即通过XOZ平面的瞬间(如图4-3-13所示)的值最大。其值等于在此瞬间很短时间间隔内,OP切割的磁感线数除以,由几何投影可知,也等于内OP在YOZ平面内的投影切割的磁感线的数目。P点在YOZ平面上的投影为沿Y轴做圆频率为、振幅为Lsin的简谐运动,此简谐运动在Z轴附近时其速度为。因此OP的投影切割的面积为一小三角形()的面积,即 切割磁感线数即磁通量为 =B 根据法拉第电磁感应定律可知 = 方法二:如图4-3-14所示,把磁感强度B正交分解成垂直OP的分量和平行于OP的分量,即 ∥=Bsin 当金属丝OP在匀强磁场中绕Z轴转动时,切割磁感线产生的电动势为E=Lv 式中v的为金属丝OP中点的线速度,v=。代入上式得 E=Bcos= 由此得电势差 = 解法三:设想OP是闭合线框OO的一条边。线框绕OZ轴匀速转动产生的最大动生电动势为 E=BS) 因为边O与OO没有切割磁感线,不产生动生电动势,因此OP中的电动势就等于闭合线框OO中的电动势。由此得电势差 = 解比较复杂的电路时,一般除了用到有关电磁感应知识以外,还要用到解复杂电路的回路电压定律和节点电流定律,请看下例: 例6、如图4-3-15所示,一很长的薄导体平板沿x轴放置,板面位于水平位置,板的宽度为L,电阻可忽略不计,aebcfd是圆弧形均匀导线,其电阻为3R,圆弧所在的平面与x轴垂直。圆弧的两端a和d与导体板的两个侧面相接触,并可在其上滑动。圆弧ae=eb=cf=fd=圆周长,圆弧bc=圆周长。一内阻R的体积很小的电压表位于圆弧的圆心O处,电压表的两端分别用电阻可以忽略的直导线与b和c点相连。整个装置处在磁感强度为B、方向竖直向上的匀强磁场中。当导体板不动而圆弧导线与电压表一起以恒定速度v沿x轴方向平移运动时。 (1)求电压表的读数。 (2)求e点与f点的电势差。 分析:怎样求出各段弧线导线(例如bc段)切割磁感线产生的动生电动势呢?可以设想在bc间连接一直导线,与bc间弧线导线构成一闭合回留,它们一起切割磁感线,都产生动生电动势,但回路中的总电动势为零,由此得到bc段弧线导线中的电动势等于bc间直导线中的电动势。用同样的“虚构”回路法,可以求出其他各段弧形导线中的动生电动势。然后根据右手定则判定各段弧线导线中动生电动势的方向。并画出如图4-3-16所示的等效电路,再运用一段含源电路的欧姆定律或基尔霍定律列方程,解出所求的未知数。 解: 当圆弧型导线和电压表的连线在磁场中运动时,各段导线都切割磁感线,都有感应电动势。由图4-3-17可以看出,弧bc段的感应电动势的大小E。弧ae段的感应电动势的大小。弧eb,cf,fd各段的感应电动势的大小都等于E。连接电压表的每根导线中的感应电动势的大小都为E。 由以上分析,可得如图3-2-17所示的等效电路。设各导线中的电流分别为、和,方向如图所示,则有 =- ① =- ② =2I ③ 以及  ④ 注意到,得图3-2-16 ⑤ 解⑤式并将代入,得 . 电压表的读数 2、e点与f点的电势差 本题中涉及的电动势、电压和电势差3个概念,在本质上是不同的。 §4.4 感生电磁感应 导体相对磁场静止,由于磁场的变化而引起导体内感生电动势的现象叫感生电磁感应。 即:S、a均不变,但变而使得变。 产生原因: 分析:回路置于变化的磁场里,最简单的方法就是回路平面和磁场垂直,回路中会产生感应电动势,如果回路闭合就有感应电流,如果回路不闭合,感生电动势仍是,不产生感应电流。这是法拉等的发现。由于法拉第自身不可避免的局限,他没有再追究这一现象的深层本质。接过接力棒再创佳绩的是麦克斯韦,他指出感应电动势其实跟导体的性质和种类无关,纯粹是由变化多端的磁场引起的。放置了闭合回路,回路中就有电流,这只是表面现象,不是事情的本质。麦克斯韦相信,即使不在导体回路,变化着的磁场也能在其周围空间激发一种称为涡旋电场的场,涡旋电场和静电场的共同点就是对电荷都有作用力,当然差异点也有不少。例如静电荷它可以单独存在,其电场线是闭合的无头尾无始终。如果恰好变化磁场中有闭合导体回路,变化磁场产生的涡旋电场电场线跟导体不垂直因而分解出与导体相切的分量,导体中的自由电荷受其作用力就会定向移动成为电流。这就是感应电动势的非静电力的来源。麦克斯韦最早分析了这种情况,他敏感地预见到这一现象,表明电场和磁场之间必然有某种当时尚未发现的新关系。 让我们更具体地分析:一个物理场,既呈现某种空间分布又随时间依一定规律变化。我们说这个场是空间和时间的函数。磁场和电场一样,是矢量场。如果说它是匀强的,是指它非稳恒,空间分布状况不变但随时间改变其大小,场线会随时间变密或变疏。本题中变化磁场产生涡旋电场的问题,按麦克斯韦的理论,是一个十分复杂的问题。仅在非常特殊的场合,再附加上非常苛刻的条件,场的分布才是很确定的,中学阶段我们面对的模型几乎都是这样的:磁场被限制在一个圆柱状空间,有理想边界即磁场在边界上突变,在界内匀强,在圆柱外突变为零。磁感线跟圆柱轴线平行,在与磁场垂直的平面上磁场边界是有限大的圆。按麦克斯韦理论:如果磁场随时间均匀变化,那么产生的涡旋电场就不随时间变化;如果磁场随时间是振荡的,那么产生的涡旋电场就是同频率振荡的,如图4-4-1所示。涡旋电场的电场线是一系列环抱磁感线的同心圆。沿这些同心圆的半径方向放置导体,导体上是不可能产生感应电动势的,在这个方向上导体内的带电粒子即受到涡旋电场力作用也不会沿导体定向移动。如果有环形导体恰好与电场线平行,导体上能产生感应电动势,那是确定无疑的。 在上述这些特殊条件下,由变化磁场产生的涡旋电场,其特征是:①空间各点的一定处在与磁场垂直的平面上,即没有跟B平行的分量;②磁场边界内外都有。上面说过的场线是与磁场边界同心封闭圆,任何一个磁场边界同心的圆周上任意一点的沿切线方向;③的指向与磁场变化的关系遵从楞次定律,即的方向就是感应电动势的方向;④的大小,可以从涡旋电场力是非静电力这一点出发来推导,根据电动势定义,电动势应等于单位正电荷从电源负极通过电源内部移往正极,单位正电荷在回路上绕行一周,非静电力做功,此处设该回路半径为r,又根据法拉第电磁感应定律,这两个ε在本质与现象的关系,其实是一回事,数值上应相等,即,所以。该结果仅适用于r≤R的范围(R是磁场边界半径),其说明大小由两个因素决定:一是磁感应强度变化率;二是r,如果是恒量,那么,在r>R处,,磁通量中的S,只能计及有磁感线穿过的面积=。请我们关注这个物理量,这是一个非常重要的物理量,以下的每个A类例题和B类例题,我们都要跟打交道。 产生感应电磁现象的原因是由于感生涡旋电场的作用,假如有一个局限在圆柱形范围内的匀强磁场B,B的方向平行于圆柱体的轴。当B的大小在增加时,感生电场的方向如图图4-4-2所示。根据对称性,在回路上各点处的感生电场方向必然与回路想切,感生电场的电场线是一些同心圆。因此,感生电场的电感线是闭合线,无头无尾,像旋涡一样,所以由磁场变化而激发的电场也叫旋涡电场。而静电场的电感线却是起于正电荷而终于负电荷,是有头有尾的。这是一个很重要的区别。 根据电动势和电场的关系,如果磁场区域半径为R,回路的半径为r,回路上的电场强度为E,则 2 因为 所以有 4.4.1、磁场中导体的感生电动势 在一个半径为R的长直螺线管中通有变化的电流,使管内圆柱形的空间产生变化的磁场,且>0(图4-4-3)。如果在螺线管横截面内,放置一根长为R的导体棒ab,使得,那么ab上的感生电动势是多少?如果将导体棒延伸到螺线管外,并使得呢? 前面已说过:长直通电螺线管内是匀强磁场,而管外磁场为零,所以本题研究的是一个圆柱形匀强磁场。 尽管根据前述E的表达式,可知ab棒所在各点的电场强度,但要根据这些场强来求出却要用到积分的知识,因此,一般中学生无法完成,我们可取个等边三角形面积oab,因为oa和ob垂直于感生电场的电力线,所以oa和ob上没有感生电动势。又根据法拉第电磁感应定律,oab回路上的感生电动势 这也就是的大小。 如果将ab延伸到c,则可研究,根据同样的道理可知 很明显,上面这个问题可以这样解的前提是磁场局限于圆柱形内。如果一根导体棒是放在一个宽广的或是其它范围不规则的磁场内,那是得不出上述结果的,假如将一个导体闭合回路放在磁场中,对磁场就没有那么严格的要求了,这类问题一般说来同学们是熟悉的,但如果是一个比较复杂的电路放在磁场中,处理时就要用一些新的方法。 4.4.2、磁场中闭合电路的感生电动势 解磁场中一个比较复杂的闭合电路的感生电流的问题,一般除了用到有关电磁感应的知识以外,还要用到解复杂电路的回路电压定律和节点电流定律。 将一个半径a、电阻为r的圆形导线,接上一个电阻为R的电压表后按图4-4-4(a)、(b)两种方式放在磁场中,连接电压表的导线电阻可忽略,(a)、(b)中的圆心角都是θ。均匀变化的磁场垂直于圆面,变化率。试问(a)、(b)中电压表的读数各为多少? 因为电压表的读数与它两端的正负无关,所以可以任意假设磁场B的方向和变化率的正负。现在我们设B垂直于纸面向里,且>0(图4-4-5)。回路的面积,回路的面积。这两个回路单独存在时的感生电流方向相同,都是逆时针的,感生电动势的大小分别为 ① 段导线和段导线电阻分别为 ② 如图4-4-6中标出的电流,应该有 ③ 对两个回路分别列出电压方程 ④ (R为伏特表的内阻)。 ⑤ 由①、②、③、④、⑤可解得 即有 因此 所以图4-4-4(a)的接法中电压表的读数为零。 再看图4-4-4 (b)中的接法:电流设定如图4-4-6,小回路和大回路的感生电动势大小分别为 (R为伏特表的内阻)。 由上述方程可解得 由些可知电压表的读数为 本问题中我们用到的电流方程(如③式)和回路电压方程(如④、⑤式),实际上就是上一讲中提到过的基尔霍夫方程。在解决电磁感应的问题时,用电压回路方程十分方便,因为电磁感应的电动势是分布在整个回路上的。 附:静电场与感生电场的比较 就产生原因而言,静电场是静止电荷产生的,而感生电场是变化多端的磁场激发的。就性质而言,当单位正电荷绕封闭合回路一周静电场力的功为零。当感生电场驱使单位正电荷绕付线圈一周时,感生电场力的功不为零,其数值恰为副线圈内产生的感生电动势,数值上等于通过副线圈的磁通量对时间的变化率。静电场是保守场,感生电场是非保守场。静电场的电力线是有头有尾的不封闭曲线,而感生电场的电力线是无头无尾的闭合曲线。静电场是有源场,而感生电场是无源场。 典型例题 例1、无限长螺线管的电流随时间作线性变化(常数)时,其内部的磁感应强度B也随时间作线性变化。已知的数值,求管内外的感生电场。 解:如图4-4-7所示为螺线管的横截面图,C表示螺线管的边缘,其半径为R。由于对称性以及感生电场的电力线是一些封闭曲线的性质,可知管内外的感生电场电力线都是与C同心的同心圆,因此: 当r<R时, 即 当r>R时 所以 的大小在管内与r成正比,在管外与r成反比。感生电场电力线的方向可由楞次定律确定,当>0时,电力线方向为逆时针方向。 例2、在一无限长密绕螺线管中有一均匀磁场,磁感应强度随时间线性变化(即常数),求螺线管内横截面上长为l的直线段MN上的感生电动势。(横截面圆的圆心O到MN的垂直距离为h) 解:求感生电动势有两种方法。 (1)??????????????????? 根据电动势的定义:某一线段上的感生电动势等于感生电场搬运单位正电荷沿此段运动时所做的功。在MN上任选一小段,O点到距离为r,处的如图4-4-8所示,与的夹角为θ,感生电场沿移动单位正电荷所做的功为 , 而 则 而 故 把MN上所有的电动势相加, (2)用法拉第定律求解。连接OM,ON,则封闭回路三角形OMN的电动势等于其所包围的磁通量的变化率。 OM和ON上各点的感生电场均各自与OM和ON垂直,单位正电荷OM和ON上移动时,感生电场的功为零,故OM和ON上的感生电动势为零,封闭回路OMNO的电动势就是MN上的电动势。 电动势的方向可由楞次定律确定。 例3、两根长度相度、材料相同、电阻分别为R和2R的细导线,围成一直径为D的圆环,P、Q为其两个接点,如图4-4-9所示。在圆环所围成的区域内,存在垂直于圆指向纸面里的匀强磁场。磁场的磁感强度的大小随时间增大,变化率为恒定值b。已知圆环中的感应电动势是均匀分布的。设MN为圆环上的两点,MN间的弧长为半圆弧PMNQ的一半。试求这两点间的电压。 分析:就整个圆环而言,导线的粗细不同,因而电阻的分布不同,但感应电动势的分布都是均匀的。求解时要注意电动势的方向与电势的高低。 解:根据电磁感应定律,整个圆环中的感应电动势的大小为 此电动势均匀分布在整个环路内,方向是逆时针方向。由欧姆定律可知感应电流为 M、N两点的电压 由以上各式,可得 可见,M点电势比N点低 §4.5 自感磁场的能量 4.5.1、自感 (1)自感电动势、自感系数 回路本身的电流变化而在回路中产生的电磁感应现象叫自感现象。在自感现象中回路产生的电动势叫自感电动势。由法拉第电磁感定律 这里磁通是自身电流产生磁场的磁通,按照毕奥—萨尔定律,线圈中的电流所激发的磁场的磁感应强度的大小与电流强度成正比。因而应有。根据法拉第电磁感应定律,可得自感到电动势 式中L为比例系数,仅与线圈的大小、形状、匝数以及周围介质情况有关,称为自感系数。在国际单位制中,自感系数的单位是亨利。式中负号表示自感电动势的方向。当电流增加时,自感电动势与原有电流的方向相反;当电流减小时,自感电动势与原有电流的方向相同。要使任何回路中的电流发生改变,都会引起自感应对电流改变的反抗,回路的自感系数越大,自感应的作用就越强,改变回路中的电流也越困难。因此自感系数是线圈本身“电磁惯性”大小的量度。 (2)典型的自感现象及其规律 如图4-5-1所示电路由电感线圈L和灯泡A,以及电阻R和灯泡B组成两个支路连接在一个电源两端。A、B灯泡相同,当K闭合瞬时,L—A支路中,由于L的自感现象,阻碍电流增大,所以A不能立即发光,而是逐渐变亮,而B立即正常发光。当稳定后,电流不再变化时,L只在电路中起一个电阻的作用。流过L—A支路的电流,此时L中贮存磁场能为 (在后介绍) 当K断开瞬间,L中电流要减小,因而会产生自感电动势ε,在回来L—A—B—R中产生感应电流,从能量观点来看,L释放线圈中磁场能,转变成电能消耗在回路中,所以A、B灯泡应是在K断开后瞬间逐渐熄灭,其回路中电流时间变化如图4-5-2所示。 4.5.2、磁场的能量 见图4-5-3,当K闭合后,回路中电流ι将从零不断增加,而自感系数为L的线圈中将产生自感电动势阻碍电流的增加,和合起来产生电流通过电阻R 即 式中是变化的,方程两边乘以并求和图5-2-1 显然,方程的左边是电源输出的能量,而方程右边第一项是在电阻R上产生的焦耳热,那剩下的一项显然也是能量,是储存在线圈中的磁场能,下面我们求它的更具体的表达式: K刚闭合时,=0,而当电路稳定后,电流不再变化,自感电动势变为零,稳定电流(忽略电源内阻),这个求和式的求和范围从0到I,令,y=并以为横作标,y为纵坐标做一坐标系,则y=在坐标系中为第一象限的角平分线。在横作标处取,很小,可认为对应的y为常量,窄条面积,把从0到I的所有窄条面积加起来即为y=与轴所夹三角形面积,故 代入可知储存线圈内的能量。 从公式看,能量是与产生磁场的电流联在一起的,下面我们求出直螺线管的自感系数从而证实能量是磁场的。设长直螺线管长为l,截面积为S,故绕有N匝线圈,管内为真空。当线圈中通有电流I时,管内磁场的磁感应强度,通过N匝线圈的磁通量 与相比较,可得 将 ,代入磁场能量式 单位体积的磁场能量为 与电场的能量密度相比较,公式何等相似。从电学、磁学公式中,我们知道对应于,公式的相似来源于电场,磁场的对称性。 磁场的能量密度公式告诉我们,能量是与磁场联系在一起的。只要有磁场,就有,就有能量。另外,公式虽是从长直螺线管的磁场这一特例推导出来,但对所有磁场的均适用。 典型例题 例1、如图4-5-5所示的电路中,电池的电动势,内阻开始时电键K与A接通。将K迅速地由A移至与B接通,则线圈L中可产生的最大自感电动势多大? 分析:K接在A点时,电路中有恒定电流I,当K接至B瞬间时,线圈中自感所产生的感应电动势应欲维持这一电流,此瞬时电流I就是最大值,维持此电流的感应电动势就是最大自感电动势。 解:L为纯电路,直流电阻不计,K接在A时,回路稳定时电流I为 当K接到B点时,线圈中电流将逐渐减小至零,但开始时刻,电流仍为,根据欧姆定律,维持这电流的瞬时自感电动势为 以后电流变小,自感电动势也减小直至零。 例2、由半径毫米的导线构成的半径厘米的圆形线圈处于超导状态,开始时线圈内通有100安培的电流。一年后测出线圈内电流的减小量不足安培,试粗略估算此线圈电阻率的上限。 解:线圈中电流的减小将在线圈内导致自感电动势,故 (1) 式中L是线圈的自感系数 在计算通过线圈的磁统量时,以导线附近即处的B为最大,而该处B又可把线圈当成无限长载流导线所产生的,即 < < (2) 而 (3) 把式(2)和式(3)代入式(1),得 < (4) 把米,米,安培及 <安培/秒 代入式(4)得 <欧姆/米 这就是超导线圈电阻率的上限。 O I R P 图3-2-2 图3-2-1 I 图3-2-3 图3-2-4 I (a) I (b) 图3-2-5 (a)????????????????????????? (b) 图2-3-7 Ⅳ Ⅰ Ⅱ Ⅲ 图3-2-8 A I B I O 图3-2-9 图3-2-10 R B A I1 I2 P I Q B 图3-3-1 I1 I2 1 2 B12 B21 图3-3-2 图3-3-4 图3-3-3 图3-3-5 图3-3-7 B1 2L F1 F2 B2 2L I0 2L I 2L 图3-3-6 0 图3-4-1 A A B A 0 图3-4-2 v⊥ v∥ v f B r 图3-4-3 图3-4-4 图3-4-5 图3-4-7 x y P Q 图3-4-8 图3-4-9 图3-4-10 图3-4-11 图3-4-12 图3-4-13 图3-4-14 图3-4-15 图3-4-16 图3-4-17 图3-4-18 图3-4-19 图3-5-1 图3-5-2 图3-5-3 图3-5-4 图3-5-5 图4-2-1 南 北 图4-2-2 a d b C B B2 B1 图4-2-3 B1 B2 B 图4-2-4 B A F 图4-2-5 C B A 图4-2-6 A B C 图4-2-7 A B C 图4-2-8 ?图4-3-1 B ?F L ?_ _ _ _ + + + + ?_ 图4-3-2 A B 图4-3-3 O 图4-3-4 A O 图4-3-5 B 图4-3-5 C A B A B 图4-3-5 图4-3-6 B B M N C O 图4-3-7 图4-3-8 B O Q P 图4-3-9(a) O P Q 图4-3-9(b) 图4-3-10 B P Q B P Q S 图4-3-11 ? B P O 图4-3-12 B P O M N 图4-3-13 B P O 图4-3-14 V 图4-3-15 V 0 L 图4-3-16 V 图4-3-17 t B t t R B t t 图4-4-1 B E E E E 图4-4-2 B 0 图4-4-3 V 图4-4-4 V (b) (a) 图4-4-4 O P Q S1 IV I1 I2 IV S2 B 图4-4-5 O V IV I1 I2 图4-4-6 R 图4-4-7 O N M h r 图4-4-8 M N Q R P 2R 图4-4-9 t O I1 I感 图4-5-2 L A B R K 图4-5-1 K R L 图4-5-3 ε y I O 图4-5-4 L B A K R1 R2 R3 图4-5-5 ?2 第四讲 动量 角动量和能量 §4.1 动量与冲量 动量定理 4.1. 1.动量 在牛顿定律建立以前,人们为了量度物体作机械运动的“运动量”,引入了动量的概念。当时在研究碰撞和打击问题时认识到:物体的质量和速度越大,其“运动量”就越大。物体的质量和速度的乘积mv遵从一定的规律,例如,在两物体碰撞过程中,它们的改变必然是数值相等、方向相反。在这些事实基础上,人们就引用mv来量度物体的“运动量”,称之为动量。 4.1.2.冲量 要使原来静止的物体获得某一速度,可以用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间,只要力F和力作用的时间的乘积相同,所产生的改变这个物体的速度效果就一样,在物理学中把F叫做冲量。 4.1.3.质点动量定理 由牛顿定律,容易得出它们的联系:对单个物体: 即冲量等于动量的增量,这就是质点动量定理。 在应用动量定理时要注意它是矢量式,速度的变化前后的方向可以在一条直线上,也可以不在一条直线上,当不在一直线上时,可将矢量投影到某方向上,分量式为: 对于多个物体组成的物体系,按照力的作用者划分成内力和外力。对各个质点用动量定理: 第1个 外+内= 第2个 外+内= 第n个 外+内= 由牛顿第三定律: 内+内+……+内=0 因此得到: 外+外+ ……+外=(++……+)-(++……) 即:质点系所有外力的冲量和等于物体系总动量的增量。 §4,2 角动量 角动量守恒定律 动量对空间某点或某轴线的矩,叫动量矩,也叫角动量。 它的求法跟力矩完全一样,只要把力F换成动量P即可,故B点上的动量P对原点O的动量矩J为 () 以下介绍两个定理: (1).角动量定理: 质点对某点或某轴线的动量矩对时间的微商,等于作用在该质点上的力对比同点或同轴的力矩,即 (为力矩)。 (2).角动量守恒定律 如果质点不受外力作用,或虽受外力作用,但诸外力对某点的合力矩为零,则对该点来讲,质点的动量矩J为一恒矢量,这个关系叫做角动量守恒定律 即 r×F=0,则J=r×mv=r×P=恒矢量 ? §4.3动量守恒定律 动量守恒定律是人们在长期实践的基础上建立的,首先在碰撞问题的研究中发现了它,随着实践范围的扩大,逐步认识到它具有普遍意义, 对于相互作用的系统,在合外力为零的情况下,由牛顿第二定律和牛顿第三定律可得出物体的总动量保持不变。 即: ++……+=…… 上式就是动量守恒定律的数学表达式。 应用动量守恒定律应注意以下几点: (1)动量是矢量,相互作用的物体组成的系统的总动量是指组成物体系的所有物体的动量的矢量和,而不是代数和,在具体计算时,经常采用正交分解法,写出动量守恒定律的分量方程,这样可把矢量运算转化为代数运算, (2)在合外力为零时,尽管系统的总动量恒定不变,但组成系统的各个物体的动量却可能不断变化,系统的内力只能改变系统内物体的动量,却不能改变系统的总动量。在合外力不为零时,系统的总动量就要发生改变,但在垂直于合外力方向上系统的动量应保持不变,即合外力的分量在某一方向上为零,则系统在该方向上动量分量守恒。 (3)动量守恒定律成立的条件是合外力为零,但在处理实际问题时,系统受到的合外力不为零,若内力远大于外力时,我们仍可以把它当作合外力为零进行处理,动量守恒定律成立。如遇到碰撞、爆炸等时间极短的问题时,可忽略外力的冲量,系统动量近似认为守恒。 (4)动量守恒定律是由牛顿定律导出的,牛顿定律对于分子、原子等微观粒子一般不适用,而动量守恒定律却仍适用。因此,动量守恒定律是一条基本规律,它比牛顿定律具有更大的普遍性。 动量守恒定律的推广 由于一个质点系在不受外力的作用时,它的总动量是守恒的,所以一个质点系的内力不能改变它质心的运动状态,这个讨论包含了三层含意: (1)如果一个质点系的质心原来是不动的,那么在无外力作用的条件下,它的质心始终不动,即位置不变。 (2)如果一个质点系的质心原来是运动的,那么在无外力作用的条件下,这个质点系的质心将以原来的速度做匀速直线运动。 (3)如果一个质点系的质心在某一个外力作用下作某种运动,那么内力不能改变质心的这种运动。比如某一物体原来做抛体运动,如果突然炸成两块,那么这两块物体的质心仍然继续做原来的抛体运动。 如果一个质量为的半圆形槽A原来静止在水平面上,原槽半径为R。将一个质量为的滑块B由静止释放(图4-3-1),若不计一切摩擦,问A的最大位移为多少? 由于A做的是较复杂的变加速运动,因此很难用牛顿定律来解。由水平方向动量守恒和机械能守恒,可知B一定能到达槽A右边的最高端,而且这一瞬间A、B相对静止。因为A、B组成的体系原来在水平方向的动量为零,所以它的质心位置应该不变,初始状态A、B的质心距离圆槽最低点的水平距离为: 。 所以B滑到槽A的右边最高端时,A的位移为(图4-3-2) 如果原来A、B一起以速度向右运动,用胶水将B粘在槽A左上端,某一时刻胶水突然失效,B开始滑落,仍然忽略一切摩擦。设从B脱落到B再次与A相对静止的时间是,那么这段时间内A运动了多少距离? B脱落后,A将开始做变加速运动,但A、B两物体的质心仍然以速度向右运动。所以在时间内A运动的距离为: ? §4.4 功和功率 4.4.1功的概念 力和力的方向上位移的乘积称为功。即 式中是力矢量F与位移矢量s之间的夹角。功是标量,有正、负。外力对物体的总功或合外力对物体所做功等于各个力对物体所做功的代数和。 对于变力对物体所做功,则可用求和来表示力所做功,即 也可以用F=F(s)图象的“面积”来表示功的大小,如图4-4-1所示。 由于物体运动与参照系的选择有关,因此在不同的参照系中,功的大小可以有不同的数值,但是一对作用力与反作用力做功之和与参照系的选择无关。因为作用力反作用力做功之和取决于力和相对位移,相对位移是与参照系无关的。 值得注意的是,功的定义式中力F应为恒力。如F为变力中学阶段常用如下几种处理方法:(1)微元法;(2)图象法;(3)等效法。 4.4.2. 几种力的功 下面先介绍一下“保守力”与“耗散力”。 具有“做功与路径无关”这一特点的力称为保守力,如重力、弹力和万有引力都属于保守力。不具有这种特点的力称为非保守力,也叫耗散力,如摩擦力。 (1)重力的功 重力在地球附近一个小范围内我们认为是恒力,所以从高度处将重力为mg的物移到高处。重力做功为:,显然与运动路径无关。 (2)弹簧弹力的功 物体在弹簧弹力F=-kx的作用下,从位置运动至位置 ,如图4-4-2(a)所示,其弹力变化F=F(x)如图4-4-2(b)所示则该过程中弹力的功W可用图中斜线“面积”表示,功大小为 (3)万有引力的功 质量m的质点在另一质量M的质点的作用下由相对距离运动至相对距离的过程中,引力所做功为 4.4.3.功率 作用于物体的力在单位时间内所做功称为功率,表达式为 求瞬时功率,取时间则为 式中v为某时刻的瞬时速度,为此刻v与F方向的夹角 §4.5 动能 动能定理 4.5.1. 质点动能定理 质量m的质点以速度v运动时,它所具有动能为: 动能是质点动力学状态量,当质点动能发生变化时,是由于外力对质点做了功,其关系是: W外= 上式表明外力对质点所做功,等于质点动能的变化,这就是质点动能定理。 4.5.2.质点系动能定理 若质点系由n个质点组成,质点系中任一质点都会受到来自于系统以外的作用力(外力)和系统内其它质点对它作用力(内力),在质点运动时,这些力都将做功。设质点系由N个质点组成,选取适当的惯性系,对其中第i个质点用质点动能定理 外+内= 对所有n个质点的动能定理求和就有 外+内= 若用W外、W内、、分别表示外、内、、 则上式可写成 W外+ W内=- 由此可见,对于质点系,外力做的功与内力做的功之和等于质点系动能的增量,这就是质点系动能定理。和质点动能定理一样,质点系动能定理只适用于惯性系,但质点系动能定理中的W内一项却是和所选的参照系无关的,因为内力做的功取决于相对位移,而相对位移和所选的参照系是无关的。这一点有时在解题时十分有效。 §4.6 势能 4.6.1 势能 若两质点间存在着相互作用的保守力作用,当两质点相对位置发生改变时,不管途径如何,只要相对位置的初态、终态确定,则保守力做功是确定的。存在于保守力相互作用质点之间的,由其相对位置所决定的能量称为质点的势能。规定保守力所做功等于势能变化的负值,即 W保=。 (1)势能的相对性。 通常选定某一状态为系统势能的零值状态,则任何状态至零势能状态保守力所做功大小等于该状态下系统的势能值。原则上零势能状态可以任意选取,因而势能具有相对性。 (2)势能是属于保守力相互作用系统的,而不是某个质点独有的。 (3)只有保守力才有相应的势能,而非保守力没有与之相应的势能。 4.6.2 常见的几种势能 (1)重力势能 在地球表面附近小范围内,mg重力可视为恒力,取地面为零势能面,则h高处重物m的重力势能为 (2)弹簧的弹性势能 取弹簧处于原长时为弹性势能零点,当弹簧伸长(压缩)x时,弹力F=-kx,弹力做的功为 由前面保守力所做功与势能变化关系可知 (3)引力势能 两个质点M、m相距无穷远处,规定,设m从无穷远处移近M,引力做功W,由于F引=,大小随r变化,可采用微元法分段求和方式。如图4-5-1,取质点n由A到B,位移为,引力做功 很小,、差异很小,则 由无穷远至距r处,引力功W为 开始时,最后相对距离为=r 又有 质点与均匀球体间引力势能,在球体外,可认为球体质量集中于球心,所以引力势能为 r≥R R为球半径 质量M,半径为R的薄球壳,由于其内部引力合力为零,故任意两点间移动质点m,引力均不做功,引力势能为恒量,所以质量m质点在薄球壳附近引力势能为 = ? §4.7 功能原理和机械能守恒定律 4.7.1 功能原理 根据质点系动能定理 当质点系内有保守力作用和非保守力作用时,内力所做功又可分为 而由保守力做功特点知,保守力做功等于势能增量的负值,即 于是得到 用E表示势能与动能之和,称为系统机械能,结果得到 外力的功和非保守力内力所做功之和等于系统机械能的增量,这就是质点系的功能原理。可以得到(外力做正功使物体系机械能增加,而内部的非保守力作负功会使物体系的机械能减少)。 功能原理适用于分析既有外力做功,又有内部非保守力做功的物体系,请看下题: 劲度系数为k的轻质弹簧水平放置,左端固定,右端连接一个质量为m的木块(图4-7-1)开始时木块静止平衡于某一位置,木块与水平面之间的动摩擦因数为。然后加一个水平向右的恒力作用于木块上。(1)要保证在任何情况下都能拉动木块,此恒力F不得小于多少?(2)用这个力F拉木块,当木块的速度再次为零时,弹簧可能的伸长量是多少? 题目告知“开始时木块静止平衡于某一位置”,并未指明确切的位置,也就是说木块在该位置时所受的静摩擦力和弹簧的形变量都不清楚,因此要考虑各种情况。如果弹簧自然伸展时,木块在O点,那么当木块在O点右方时,所受的弹簧的作用力向右。因为木块初始状态是静止的,所以弹簧的拉力不能大于木块所受的最大静摩擦力。要将木块向右拉动,还需要克服一个向左的静摩擦力,所以只要F≥2,即可保证在任何情况下都能拉动木块。 设物体的初始位置为,在向右的恒力F作用下,物体到x处的速度再次为零,在此过程中,外部有力F做功,内部有非保守力f做功,木块的动能增量为零,所以根据物体系的功能原理有 可得 因为木块一开始静止,所以要求 ≤≤ 可见,当木块再次静止时,弹簧可能的伸长是 ≤≤ 4.7.2 机械能守恒定律 若外力的与非保守内力的功之和为零时,则系统机械能守恒,这就是机械能守恒定律。 注意:该定律只适用于惯性系,它同时必须是选择同一惯性参照系。在机械能守恒系统中,由于保守内力做功,动能和势能相互转化,而总的机械能则保持不变。 下面介绍一例由机械能守恒推出的重要定理:伯努利方程 理想流体 不可压缩的、没有粘滞性的流体,称为理想流体。 定常流动 观察一段河床比较平缓的河水的流动,你可以看到河水平静地流着,过一会儿再看,河水还是那样平静地流着,各处的流速没有什么变化。河水不断地流走,可是这段河水的流动状态没有改变。河水的这种流动就是定常流动。流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同,但如果空间每一点的流速不随时间而改变,这样的流动就叫做定常流动。自来水管中的水流,石油管道中石油的流动,都可以看做定常流动。流体的流动可以用流线形象地表示。在定常流动中,流线表示流体质点的运动轨迹。图4-7-2是液体流过圆柱体时流线的分布。A、B处液体流过的横截面积大,CD处液体流过的横截面积小。液体在CD处流得急,流速大。AB处的流线疏,CD处的流线密,这样,从流线的分布可以知道流速的大小。流线疏的地方,流速小;流线密的地方,流速大。 伯努利方程 现在研究理想流体做定常流动时流体中压强和流速的关系。 图4-7-3表示一个细管,其中流体由左向右流动。在管的处和处用横截面截出一段流体,即处和处之间的流体,作为研究对象。 处的横截面积为,流速为,高度为,处左边的流体对研究对象的压强为,方向垂直于向右。 处的横截面积为,流速为,高度为,处左边的流体对研究对象的压强为,方向垂直于向左。 经过很短的时间间隔,这段流体的左端由移到。右端由移到。两端移动的距离分别为和。左端流入的流体体积为,右端流出的流体体积为,理想流体是不可压缩的,流入和流出的体积相等,,记为。 现在考虑左右两端的力对这段流体所做的功。 作用在液体左端的力,所做的功 。 作用在右端的力,所做的功 。 外力所做的总功 (1) 外力做功使这段流体的机械能发生改变。初状态的机械能是到这段流体的机械能,末状态的机械能是到这段流体的机械能。由到这一段,经过时间,虽然流体有所更换,但由于我们研究的是理想流体的定常流动,流体的密度和各点的流速没有改变,动能和重力势能都没有改变,所以这一段的机械能没有改变,这样机械能的改变就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能。 由于,所以流入的那部分流体的动能为 重力势能为 流出流体的动能为 重力势能为 机械能的改变为 (2) 理想流体没有粘滞性,流体在流动中机械能不会转化为内能,所以这段流体两端受的力所做的总功W等于机械能的改变 ,即 W= (3) 将(1)式和(2)式代入(3)式,得 整理后得 (4) 和是在流体中任意取的,所以上式可表示为对管中流体的任意处: 常量 (5) (4)式和(5)式称为伯努利方程。 流体水平流动时,或者高度差的影响不显著时(如气体的流动),伯努利方程可表达为 常量 (6) 从(6)式可知,在流动的流体中,压强跟流速有关,流速v大的地方要强p小,流速v小的地方压强p大。 知道压强和流速的关系,就可以解释本节开始所做的实验了。经过漏斗吹乒乓球时,乒乓球上方空气的流速大,压强小,下方空气的压强大,乒乓球受到向上的力,所以会贴在漏斗上不会掉下来。向两张纸中间吹气,两张纸中间空气的流速大,压强小,外边空气的压强大,所以两张纸将互相贴近。同样的道理,两艘并排的船同向行驶时(图4-7-4)如果速度较大,两船会互相靠近,有相撞的危险。历史上就曾经发生过这类事故。在航海中。对并排同向行驶的船舶,要限制航速和两船的距离。 伯努利方程的应用: 球类比赛中的旋转球和不转球的飞行轨迹不同,是因为球周围空气流动情况不同造成的。图4-7-5甲表示不转球水平向左运动时周围空气的流线。球的上方和下方流线对称,流速相同,上下不产生

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    • 2018-07-22
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  • ID:6-4672210 全国中学生物理竞赛专题——交流电

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    第五讲 交流电 §5。1、基 本 知 识 5.1.1、交流电的产生及变化规律 如图5-1-1所示,矩形线圈abcd在匀强磁场中匀速转动,闭合电路中产生交流电。 如果从线圈转过中性面的时刻开始计时,那么线圈平面与磁感应强度方向的夹角为,如图5-1-2所示 线圈中产生的瞬时感应电动势按正弦规律变化, 式,称为感应电动势的最大值。 电路中的电流强度也按正弦规律变化, 式中,称为交流电流的最大值。 外电路的电压按正弦规律变化,

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  • ID:6-4672208 全国中学生物理竞赛专题——恒定电流

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    稳恒电流 §2、1 电 流 2.1 .1.电流、电流强度、电流密度 导体处于静电平衡时,导体内部场强处处为零。如果导体内部场强不为零,带电粒子在电场力作用下发生定向移动,形成了电流。形成电流条件是:存在自由电荷和导体两端有电势差(即导体中存在电场)。自由电荷在不同种类导体内部是不同的,金属导体中自由电荷是电子;酸、碱、盐在水溶液中是正离子和负离子;在导电气体中是正离子、负离子和电子。 电流强度是描述电流强弱的物理量,单位时间通过导体横截面的电量叫做电流强度。用定义式表示为 电流强度是标量。但电流具有方向性,规定正电荷定向移动方向为电流方向。在金属导体中电流强度的表达式是

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  • ID:6-4568290 湖北省鄂州高中2017-2018学年高一下学期“明华康读书杯”综合学科竞赛物理试题 Word版含答案

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    鄂州高中2017-2018高一下学期综合科联赛 物理试题 一、单选题(本大题共4小题,每小题6分,共24分) 如图所示,位于同一高度的小球A、B分别水平抛出,都落在倾角为45°的斜面上的C点,小球B恰好垂直打到斜面上,则A、B在C点的速度之比为(  ) A. : B. :2 C. 1:1 D. 1:2 下列有关运动的说法正确的是(  ) A. 图甲中撤掉挡板A的瞬间,小球的加速度竖直向下 B. 图乙中质量为m的小球到达最高点时对管壁的压力大小为3mg,则此时小球的速度大小为 C. 图丙中皮带轮上b点的加速度大于a点的加速度 D. 图丁中用铁锤水平打击弹簧片后,B球比A球先着地 如图所示,水平传送带AB距离地面的高度为h,以恒定速率v0顺时针运行.甲、乙两相同滑块(视为质点)之间夹着一个压缩轻弹簧(长度不计),在AB的正中间位置轻放它们时,弹簧瞬间恢复原长,两滑块以相同的速率分别向左、右运动.下列判断正确的是(  ) A. 若甲、乙滑块能落在同一点,则摩擦力对甲乙做的功一定相等 B. 甲、乙滑块不可能落在传送带的左右两侧 C. 甲、乙滑块可能落在传送带的左右两侧,但距释放点的水平距离一定相等 D. 甲、乙滑块可能落在传送带的同一侧,但距释放点的水平距离一定不相等 ================================================ 压缩包内容: 湖北省鄂州高中2017-2018学年高一下学期“明华康读书杯”综合学科竞赛物理试题 word版含答案.docx

  • ID:6-4553054 安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高一下学期春季联赛物理

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    安徽省示范高中培优联盟2018年春季联赛 高一物理参考答案 一、选择题:本题共12小题,每小题4分,共48分。在每小题给出的四个选项中,第1~8题只有一项符合题目要求,第9~12题有多项符合题目要求。全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分。 1.C 根据图象知,物体做往复的直线运动,所以选项A、B错误;平均速度等于位移除以时间,所以选项C正确,D错误。 2.D 由题意可知A、B是从同一位置同时开始运动的,由速度—时间图象可以算出质点A、B运动位移相同,所以在运动过程中质点A、B之间的距离是先增大后减小,6t0时刻,A、B相遇,在运动过程中,不可能相遇,选项A错误;质点A、B在有外力作用下的加速度之比是10:1,所以外力之比不一定是10:1,选项B错误;由于质点A、B的质量关系不知道,所以摩擦力之比不一定是1:1,选项C错误;由于撤去外力后,都在摩擦力的作用下运动,加速度的大小相同,因a=μg,所以质点A、B与水平面之间的动摩擦因数一定相同,选项D是正确的。 3.A 由于弹簧在竖直方向上,细线的方向是偏向右侧,所以小车不可能向左加速运动,选项A错误;如果小车匀速运动,细线拉力为零,弹簧的弹力不为零,如果小车向右加速运动,细线一定有张力,弹簧可能有弹力,也可能没有弹力,所以,选项B、C、D是正确的。 ================================================ 压缩包内容: 安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高一下学期春季联赛物理.pdf 高一物理答案 (2).doc

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  • ID:6-4553052 安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高二下学期春季联赛物理

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    安徽省示范高中培优联盟2018年春季联赛 高二物理参考答案 一.选择题(每题4分,共计48分,其中1--8为单选题,9--12为不定项选择题) 1、D 由位移---时间关系式为:x=36t-8t2,知初速度 36m/s,a=-16 m/s2,历时t=2.25s, 则它在第3秒内的位移即为最后0.25s的位移,所以第3秒的平均速度大小为0.5m/s. 2、C 对M+m系统使用牛顿运动定律知:A、B描述的状态均为平衡态,根据平衡条件,判断结果是A、B均是错误的,C正确,D错误。 3、D 小物体无初速放在传送带的底端后,因滑动摩擦力大于重力分力,小物体向上做匀加速运动,摩擦功率与时间成正比,若小物体与皮带同速后随皮带做匀速上升,滑动摩擦力变为静摩擦力,V保持不变,D正确。 4、 C 两球到达C点速度大小相等为,在C点甲球的水平速度等于竖直速度为,甲球在空中时间为:,水平距离:,A选项错误,时间比为,B选项错误,,C选项正确。甲乙小球到C点的过程重力对两球做功之比为,D选项错误。 5.D AB二星均做匀速圆周运动,则 A:……① B:……② ……③ 解①②③,A错误;,B错误;若在O点放一质点可计算质点所受合力不为零,C错误;D选项,若在O点与A的引力代替了B对A的引力,则有 ,D正确。 C 滑块自R/2处下滑到C点对挡板的压力为0.75mg,此时速率为:,从开始到C滑块损失的机械能为:;假设滑块从C→B,从B→C机械能损失也分别为,则第二次到达C点速率为Vc2,,,其实滑块在每半圆弧运动中,后一个四分之一圆弧上滑块损失的机械能都比前一个四分之一圆弧上滑块损失的机械能要少,所以,小滑块第二次到达半圆形挡板的中点C时对挡板压力大于0.25mg。选项C正确,其他选项均是错误的。 ================================================ 压缩包内容: 高二物理春季赛 (1).pdf

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    • 2018-05-25
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  • ID:6-4397512 人教版高中物理竞赛课件 第7章 静电场和恒定电场 (共196张PPT)

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    人教版高中物理竞赛课件 第7章 静电场和恒定电场 (共196张ppt):196张PPT1 第二篇 电磁学 第7章 静电场和恒定电场 2 电磁学是研究有关电和磁现象的科学。 电磁学与生产技术的关系十分密切。 电能可以通过某些传感器很方便地转化为其他形式的能量; 电能便于远距离传输,而且效率很高; 电磁波的传播速度就是光速,用来远距离传递信息。 ================================================ 压缩包内容: 人教版高中物理竞赛课件 第7章 静电场和恒定电场 (共196张ppt).ppt

  • ID:6-4389092 人教版高中物理竞赛课件 第6章 相对论基础 (共145张PPT)

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    人教版高中物理竞赛课件 第6章 相对论基础 (共145张ppt):145张PPT相对论基础 第6章 ☆ §1 牛顿相对性原理和伽利略变换 对于不同的惯性系基本力学定律的形式一样吗? 牛顿力学:对于任何惯性系,牛顿定律都成立! 力学是研究物体的运动规律的科学。 物体的运动规律就是它的位置随时间的变化。 为了定量地研究这种变化,必须选定适当的参照系。 力学概念以及力学规律都是对一定的参照系才有意义。 ================================================ 压缩包内容: 人教版高中物理竞赛课件 第6章 相对论基础 (共145张ppt).ppt

  • ID:6-4388988 人教版高中物理竞赛课件 第5章 机械波 (共151张PPT)

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    人教版高中物理竞赛课件 第5章 机械波 (共151张ppt):151张PPT波 动 第五章 1 振动或扰动在空间以一定速度的传播称为波动,简称为波(wave)。机械振动或扰动在介质中的传播称为机械波,如声波、水波和地震波等。变化电场和变化磁场在空间的传播称为电磁波,例如无线电波、光波和X射线等。 ================================================ 压缩包内容: 人教版高中物理竞赛课件 第5章 机械波 (共151张ppt).ppt

  • ID:6-4388986 人教版高中物理竞赛课件 第4章 机械振动 (共133张PPT)

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    人教版高中物理竞赛课件 第4章 机械振动 (共133张ppt):133张PPT1 第4章 振 动 2 物体在一定位置附近往复的运动就叫机械振动,简称振动。 它是物体的一种运动形式。 研究机械振动即可掌握振动的普遍规律。 振动和波的基本原理是 声学、光学、电工学、无线电学、自动控制 等科学技术部门的理论基础。 ================================================ 压缩包内容: 人教版高中物理竞赛课件 第4章 机械振动 (共133张ppt).ppt