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高中数学暑假专区
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  • ID:3-6158446 初高中数学衔接教材17讲:第16讲 圆幂定理

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    第16讲圆幂定理 【归纳初中知识】 在初中我们已经学习了圆的定义、性质,直线与圆的位置关系,这些都是高中学习立体几 何和解析几何的基础 、圆的定义 (1)如图,在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另 个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段 O4叫做半径,记作“⊙O”,读作“圆O” (2)在一个平面内,圆是到定点距离等于定长的点的集合.定点叫做圆 心,定长叫做半径. 二、点与圆的位置关系 (1)点在圆外台d>r;(2)点在圆上d=r;(3)点在圆内dr 点都在另一个圆的内部 内含 d

  • ID:3-6158445 初高中数学衔接教材17讲:第17讲 面积法

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    第17讲面积法 【归纳初中知识】 在初中,我们学习了三角形、平行四边形、圆等特殊平面图形的面积公式以及有关面积问 题的一些重要结论 SAEC =1ah(a为底,为高 2.S=ah(a为底,h为高) 3.S=2(r为圆的半径) 4.等高的两个三角形的面积比等于对应底之比 5.等底的两个三角形的面积比等于对应高之比 6.相似三角形的面积比等于相似比的平方 7.多边形的面积可以分解成若干个三角形面积之和 【衔接高中知识】 面积是几何学的起源,它不仅是平面几何的重要内容,而且面积法也是数学解题中的 重要方法.在高中必修5解三角形中,我们将进一步探讨三角形的面积公式中,在选修2-1立 体几何中,我们也经常用面积法解题 三角形面积公式 我们学习过三角形的面积公式,一边与这边上的高的乘积的一半 就是三角形的面积即S=2=2 h.如图,在△ABC中 AD是边BC上的高,那么S△ABC=bBC·AD,而AD=AB·sinB, 所以我们就得到三角形的面积为S△=BC·AB·imB 同理,我们也能得到 S= absin= bcsin a= actin B(a,b,c分别为角A,BC所对的边) 上述结论可叙述为:三角形的面积等于三角形中任意两边以及它们夹角正弦的乘积的一半 二、面积法 因为面积公式是用线段的代数式表示的,所以面积与线段可以 相互转化.运用面积公式及有关面积性质定理解答几何题是常用的 方法,简称为面积法 【精讲典型例题】 例1已知△ABC的三边分别为a,b,c,内切圆的半径为r,求 证明:如图,设内切圆的圆心为Ⅰ,连接IA,IB,l 记△IBC,△ICA,△IAB的面积分别为S1,S2,S 因为S△wC=S1+S2+S-2×1bx+ 所以S△c=2(a+b+C 例1图 例2图 例2已知点P是正三角形ABC内的一点,设点P到三边AB ,AC的距离分别为h1,h2,h3 求证:h1+h2+h3为定值 证明:如图,连接AP,BP,CP, 记△ABC的边长为a,高为h 因为S△AC=S△MBP+S△P+S△CAp ah1toahz+aahs h1+h2+h3=h 所以h1+h2+h3=h(定值 例3如图,AD,BE,CF交于△ABC内的一点P,并将△ABC分成 六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图中给出,求△ABC的 面积 分析如果能把未给出的两个小三角形的面积求出,那么△ABC的 面积即可得知根据面积的比例关系,可求出这两个小三角形的面积 解:设未知的两个小三角形的面积为x和y,则 B别5,m%*3:① AE-=8+5即5-20.② 由①②式得x=56,y=35 因此S△AC=84+70+56+35+40+30=315 例4如图,在□ABCD中,E是AD的中点,若SMD=1,求图中阴影部分的面积 分析根据等高的两个三角形面积之比等于底之比来计算. 解:设S△BC= △AEFC△BCF,E为AD的中点 AF 1 x+2x=1,解得x=若故阴影部分的面积为 【检测衔接作业】 选择题 在△ABC中,BD,CE是两条中线,BD=4,CE=6,且BD⊥CE,则S△AC A.12 B.14 C.16 D.18 2.在△ABC中,b,c是角B,C所对的边,若∠A=60°,b=2,c=3,则此三角形的面积为() B.3 √3 3.如图,Rt△ABC被斜边上的高CD和直角平分线CE成分3个小 三角形,S△E=30,S△Cm=6,则△BCD的面积为 B.9 C.4或8 D.4或9 ED 填空题 4.若△ABC的三边a,b,c上的高分别是ha=6,hb=4,h=3,则a:b:c= 5.已知三角形三边长分别为3,4,5,则其内切圆半径为 ,外接圆半径为 6.在△ABC中,若AB=BC=2,面积为3,则∠B 三、解答题 7.证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量 8.如图,在△ABC的两边AB,AC上各取一点D,E,使3AD=BD,3AE=EC,设BE,CD的交 点为P,求证:S△P 参考答案 1.C2.C3.D 4.2:3:4 512 6.60或129°点拨:利用1AB,BCim∠B=得sin∠B=3,:∠B=60或120 7.提示:利用面积相等,三角形面积等于两个小三角形的面积之和 8.证明:∵34D=BD,3AE=EC AB=1,CE=1,∠A=∠A △ADE△ABC,∴∠ADE=∠ABC∴DE∥BC, △PDE△PCB,AD=1, .DE=1,设△PDE的高为h,则△PBC的高为4h DE·h ∴2△E= DE·h1, △RB 2BC·4h4DE·4 6…S△R=16S

  • ID:3-6158443 初高中数学衔接教材17讲:第15讲 角平分线性质定理与射影定理

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    第15讲角平分线性质定理与射影定理 【归纳初中知识】 在初中我们学习了三角形相似的有关知识,但很多相关的,有用的定理如三角形内(外) 角平分线性质定理、射影定理都没有介绍,因此,我们有必要进一步探索它们之间的数量关系, 并学会初步运用 1.相似三角形的定义 对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.相似的三角形对应边的比,叫做相 似三角形的相似比,或称相似系数,常用k表示 2.相似三角形的判定 预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形 与原三角形相似 判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三 角形相似 判定定理2:如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等 那么这两个三角形相似. 判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个 三角形相似 判定定理4:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和 条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似 3.相似三角形的性质定理 (1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例 (2)相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比等于相似比 (3)相似三角形周长的比等于相似比 (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方 【衔接高中知识】 在高中阶段,三角形内(外)角平分线定理,射影定理都有着广泛的应用,如必修2,选修 2一1中的立体几何,选修2-1中的解析几何,都要经常用到这两个定理 三角形内(外)角平分线性质定理 如图(1),AD平分∠BAC,过D作DE∥AB交AC于E,则 AE BD ∵∠BAD=∠DAC=∠ADE,∴AE=DE 图(1) Bo 由△DEC△ABC,得一C,即=A ①②得AC 如图(2),AD为△ABC的外角平分线,过C作CE∥AB交AD于E,则 :CAD=∠DAF=∠AEC,∴AC=CE,;AB=BD 由此得到三角形内(外)角平分线性质定理 三角形内(外)角的平分线内(外)分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例 二、射影定理 从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影.在图(3)中,AA⊥ MN,垂足A是点A在直线MN上的正射影.如果点A是MN上的点,那么A在MN上的正 射影就是它本身 条线段在直线上的正射影,是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.在图 (4)中,线段AB的两个端点A和B在直线MN上的正射影分别是A′和B',线段AB是线段 AB在直线MN上的正射影 点和线段的正射影简称为射影 图(3) 图(4) 图(5 如图(5),△ABC是直角三角形,CD为斜边AB上的高.在这个图形中,由于线段AD与 CD,BD与CD,BC与AC等相互垂直,因此可以从射影的角度来考察它们的关系.你能发现 这些线段之间的某些关系吗? 实际上,有些关系是非常明显的.例如,由△BDC为直角三角形可知BD

  • ID:3-6158441 初高中数学衔接教材17讲:第14讲 三角形的“四心”

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    第14讲三角形的“四心” 【归纳初中知识】 初中阶段我们学习了三角形中的中线、高、角平分线等有关概念,探索并掌握了三角形中 位线的性质,在九年级的《圆》这部分内容中我们又提及三角形的内心和外心,但只要求学生了 解,并没有要求进一步的理解和应用 内心 如图,在△ABC中,AD,BE,CF分别是三内角的平分线,记 AD和BE的交点为Ⅰ,过I分别作AB,BC,CA三边的垂线,垂足 分别为M,N,P.根据角平分线性质,IP=IM,IM=IN,所以IP ⅠN.因此,点Ⅰ在角C的平分线上,即CF通过点I,也就是说三条 内角平分线交于一点,这个交点叫做三角形的内心 内心与各顶点的连线平分各角,内心到三角形三边的距离相等,因此内心是三角形内切园 的圆心 外心 如图,在△ABC中,直线l,m,n分别为三条边的垂直平分线 记l,m的交点为O,则根据垂直平分线性质,得到AO=BO,BO O,所以AO=CO,得到O也在直线n上.这样,我们就知道了 角形的三条垂直平分线交于一点,其交点叫做三角形的外心 根据垂直平分线的性质,我们可以得到外心的性质: )外心到三顶点的距离相等,因此外心就是三角形外接圆的 (2)过外心作一边的垂线平分此边 (3)外心与一边中点的连线垂直于此边; (4)直角三角形的外心就是斜边的中点,锐角三角形的外心在三角形内,而钝角三角形的 外心在三角形外 【衔接高中知识】 在高中阶段,三角形的内心、外心、重心和垂心是学习立体几何、解析几何等内容不可缺少 知识点,在高考试卷中也屡屡出现,鉴于此,搞好初、高中“四心”这一知识内容的衔接对三角 形的“四心”作详细介绍是很有必要的 重心 如图,在△ABC中,AD,BE,CF分别是BC,AC,AB边上的 中线设BE,CF交于点G,BG,CG中点为M,N.因为E,F分别 是AC,AB的中点,所以EF平行且等于MN.因此,四边形 MNEF为平行四边形.于是,得GM=MB=GE,GF=GN=NC∴ 所以BG:GE=2:1,CG:GF=2:1 同理,若BE与AD相交于点G′,则必有AG:GD=2:1,BCG:GE=2:1,所以点G 与G重合 因此,三角形三条中线相交于一点,此点就叫做三角形的重心 重心到顶点与到对边中点的距离之比为2:1. 垂心 如图,在△ABC中,AD,BE,CF分别为三边的高,过A作BC边的 平行线,过B作CA边的平行线,过C作边AB的平行线,三条平行线相 交成△ABC 于是四边形ABCB,ACBC,CABA均为平行四边形,故AD,BE, F为△ABC'三边的垂直平分线根据三条垂直平分线交于一点,即 交点为△ABC'的外心因此,AD,BE,CF交于一点 因此,三角形三条高线交于一点,这点叫做三角形的垂心 顶点与垂心的连线垂直于对边;直角三角形的垂心即为直角顶点,锐角三角形的垂心在三 角形内,而钝角三角形的垂心在三角形外 【精讲典型例题】 例1如图,设△ABC内接圆⊙I与边BC,CA,AB分别切于M N,S,若:AB=c,BC=a,AC=b,p=(a+b+c),s为圆的面积,r为 圆的半径 求证:AS=AN=p-a,BM=BS=p-b,CM=CN=p-c, 证明:根据圆的切线性质知:AS=AN,BS=BN,CM=CN AS=AN=A(AB+AC-BS-CN) (AB+AC- BM-MO)=2 (AB+AC-BC) 同理:BM=BS=1(BC+BA-AC),CM=CN (CB+CA-AB) it AB-c, BC=a,AB-b,p=o(atb+c) 则有:AS=AN=(c+b-a)=p-a,BM=Bs (atc-b)=p-b 例2已知如图(1)所示:O为锐角三角形的外心,求证:∠BOC 图(2) 分析利用外心到三个顶点的距离相等的性质,想到连接AO 因为外心到三个顶点距离相等,所以AO=BO=CO,△OAB △OAC,△OBC为等腰三角形,∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,然后 利用三角形的外角定理来证明 证明:如图(2),连接AO, ∵O为锐角三角形的外心,OA=OB=OC ∴△OAB,△OAC为等腰三角形, ∴∠1=∠2,∠3=∠4 ∵2∠A=2(∠2+∠3)=2∠2+2∠3 (∠1+∠2)+(∠3+∠4) ∠7+∠8(根据三角形外角定理) 又∠BOC=∠7+∠8,∴∠BOC=2∠A 例3如图,已知△ABC的重心G与内心Ⅰ的连线GI∥BC, 求证:AB+AC=2BC 证明:连接AG,AI,并延长它们,延长线分别交BC于点D E连接IC,则AD为中线,AE,CⅠ为角平分线 因为GI∥BC,所以E=GD=2 在△CAE中,有CE=正E=2,即AC=2CE 同理可得AB=2BE. 因此,AB+AC=2(BE+CE)=2BC. 例4如图,H为△ABC的垂心,AH⊥BC于D,BH⊥AC于E,CH⊥AB于F,求证: DH+EH+FR-1 证明:设点H是△ABC三条高线AD,BE,CF的交点 △BCH △A △ABx DH 【检测衔接作业】 、选择题 1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB,交BC 于点D,DE⊥AB于点E.若AB=6cm,则△DEB的周长为 A. 5 cm B. 6 cn C.7 D.8 cm 在△ABC中,三条中线AD,BE,CF交于点G,连接DE,EF,FD.则点G为△DEF的 A.垂 B.重 内心 D.外心 3.如图,BD,CE是△ABC的中线,P,Q分别是BD,CE的中点,则 PQ:BC等于 B.1:4 D.1:6 二、填空题 4.等腰三角形底边上的高等于18,腰上的中线等于15,则它的面积等于 5.等腰三角形的底边长为10,腰长为13.则它的内切圆半径为 外接圆的半径 为 6.在Rt△ABC中,∠C=90°,G为重心,O为外心,若AC=3,BC=4,则OC 三、解答题 7.已知在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,Ⅰ是三角形的内心,D,E,F为切点,求 △ABC的内切圆半径 8.证明:若三角形的内心与重心为同一点则这个三角形为正三角形 9.如图,圆O是△ABC的内切圆,P,Q,R为切点,AB=4,BC=5,CA=6,则 (1)AP,BQ,CR的长度是多少? (2)若圆O的半径是2,则△ABC的面积为多少? 参考答案 1.B点拨:C△EB=DE+BD+BE 3.B点拨:利用中位线定理进行转换 4.144 2 256 7.解:如图,△ABC的内心为Ⅰ,内切圆与三角形切于D,E,F. 连接ID,IE,IF,∵∠A=90°,∴四边形ADⅠF是正方形, ∴内切圆半径r=ID=AD=AF=p-a 而a=32+42=5,p=(3+4+5)=6.∴r=6-5=1 8.证明:如图,连接AO并延长交BC于D ∵O为三角形的内心,故AD平分∠BAC, AB BD 角平分线性质定 理) O为三角形的重心,D为BC的中点,即BD=DC, AC=1:即AB=AC.同理可得,AB=BC. △ABC为等边三角形 9.(1)∵圆O是△ABC的内切圆,P,Q,R为切点,AP=p-a,BQ=p一b,CR=p一c, 其中p=2(4+5+6)=15,a=5,b=6,c=4, SIdV -5-号,BQ=15-6=2默R=一4=2 15715 (2)S△AC=p·r2·24

  • ID:3-6158438 初高中数学衔接教材17讲:第13讲 分段函数

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    第13讲分段函数 【归纳初中知识】 在初中,我们学习函数的概念以及一些特殊的函 初中函数的概念:设在某种变化过程中,有两个变量x,y,如果 一个x的值,相应就确定了一个y值,那么我们称y是x的函 数,其中x是自变量,y是因变量 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的解析式、图象 及性质见第12讲的“归纳初中知识 【衔接高中知识】 从初中知识的回顾中,我们知道初中学习的函数只有一个表达 式(解析式).事实上,在高中,我们还经常学习到另一类形式的函数 分段函数 高中函数的概念:设集合A是一个非空的数集,对A中的任意 数x,按照确定的法则∫,都有确定的数y与它对应,这种对应关系叫 做集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫做自变量, 自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域 分段函数:在函数的自变量的取值范围内,对于自变量x的不同 取值范围,有着不同的表达式,这样的函数通常叫做分段函数 x(x≥0) x+1(x>1) 例如 x(x<0),y12(x≤1) 特别提示:(1)分段函数是一种重要的函数,它不是几个函数,而 是一个函数在不同范围内的表示方法不同. (2)在解决分段函数的问题时,一定要根据自变量的取值范围选 择不同的表达式进行求解 【精讲典型例题】 1已知一个函数y=f(x)的自变量x的取值范围是0≤x≤ 2,当0≤x≤1时,表达式为y=x,当10), 则ff(-1)] 0(x<0), 5.设f(x) 若f(a)>a,则实数a的取值范围是 三、解答题 6.写出下列函数的解析表达式 (1)设函数y=f(x),当x<0时,f(x)=0;当x≥0时,f(x)=2 (2)设函数y=f(x),当x≤-1时,f(x)=x+1;当-1a,解之得a<-2,与a≥0矛盾;当a<0时,>a,解 之得a<-1,或a>1(舍) 6.解:(1)f(x) (2)f(x)=10(-1

  • ID:3-6158437 初高中数学衔接教材17讲:第12讲 函数图象与变换

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    第12讲函数图象与变换 【归纳初中知识】 在初中,我们学习了正比例函数、反比例函数、一次函数以及二次函数等特殊的函数,了 解了这些函数的图象特征 图象 性质 kx(k>0) ①过点(0,0);②k>0时,图象是过 正比例函数 I、Ⅲ象限的直线,且x增大时,y 增大;k<0时,图象是过Ⅱ、Ⅳ象限 的直线,x增大时,y减小 ①k>0时,图象位于I、Ⅲ象限,且 x>0时,y随x增大而减小;x<0 反比例函数 时,y随x增大而减小.②k<0时, 图象位于Ⅱ、Ⅳ象限,且x>0时,y x增大而增大;x<0时,y随x 增大而增大 =kx+b(k>0) ①过点(0,b).②k>0时,y随x增 y=kx+b(k≠0) 大而增大;k<0时,y随x增大而 减小.③图象位置与k,b有关 yax'+bx+c 二次函数 见第11讲 y=ax2+bx+c(a≠0) 【衔接高中知识】 函数图象是函数性质的直观反映,是研究函数的重要工具.因此,在高中阶段,我们更多地 利用函数图象的直观性来解决数学问题(图象法).利用图象解决数学问题是数形结合思想的 重要体现,另一方面,利用已知函数的图象,通过适当的变换得到较复杂函数的图象,也是高中 学习的一个重点 、图象变换 1.平移变换:所谓平移变换,就是将图形上的所有点,沿同一个方向移动相同的距离,得到 个新的图象.[f(x)表示以x为自变量的函数] a>0时,向左平移a个单位 y=f(x)a<时,向右平移a|个单位y=f(x+a) 2.对称变换:所谓对称变换,就是将一个图形上的每一个点沿一条直线翻折得到一个新的 图形.即两个图形关于此直线对称 (1)=(x)图象轴上=1fx) (2)y=f(x)保留元()在抽右侧 部分,并把右 侧图象绕y轴翻折到左侧 →y=f(|x1) f(x)图象绕y轴翻折18 (3)y=f( 将y=f(x)图象绕x轴翻折180 (4)y=f(x) 二、二次函数“恒成立”问题 结合二次函数图象可知: 当a>0且△<0时,ax2+bx+c>0恒成立 当a<0且△<0时,ax2+bx+c<0恒成立 【精讲典型例题】 例1(1)函数y=的图象可以由函数y=的图象如何变换得到? (2)函数y 3的图象可以由函数y=-的图象如何变换得到 解:(1)通过列表描点画出两个函数的图象.设点(a,b) 是函数y=图象上的任意一点, 则b=-,由此可得b 即点(a+3,b)在函数y=的图象上 因此,将函数y=1图象上的所有点,沿x轴向正方 向(右)平移3个单位,得到函数y=1的图象 (2)通过列表描点画出两个函数的图象 设点(a是函数y=1图象上的任意一点,则b=2,由此可得b-3=-3 即点(a,b-3)在函数y=1-3的图象上 因此,将函数y=图象上的所有点,沿y轴向负方向(下)平 移3个单位 得到函数y=-3的图象 例2画出函数y=|x2-1的图象 分析可寻求此函数与二次函数y=x2-1的图象的变化关系 函数y=x2-1的图象是一抛物线,如图(1) 图(2) x2-1,x≥1或x≤-1 由解析式的特点可知,当x≥1或x≤-1时,函数y=x2-1的图象与函数y=x2-1重 合,即抛物线在x轴上方部分保持不变;当-10,即1< m<5. 例4对于任意实数x,不等式ax2+2ax-(a+2)<0恒成立, 求实数a的取值范围 分析令y=ax2+2ax-(a+2),结合函数的图象,知函数的图 象应完全位于x轴的下方 解:(1)当a=0时,原不等式为-2<0恒成立; (2)当a≠0时,由题意得 ∴-1

  • ID:3-6158433 初高中数学衔接教材17讲:第10讲 分式不等式与简单的高次不等式

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    第10讲分式不等式与简单的高次不等式 【归纳初中知识】 在初中,我们学习了分式以及一元一次不等式(组)的解法,但是在高中的学习中我们还 要大量涉及分式不等式以及高次不等式,为此我们必须把这部分的知识衔接上,掌握分式不等 式和高次不等式的解法 1.不等式的有关性质 如果a>b,b>c,那么a>c; 如果a>b,那么a+c>b+c; 如果a>b,c>0,那么ac>be,a 如果a>6,c<0,那么ac0,21>2等 2.分式不等式解法的基本思路 将分式不等式转化为整式不等式,即 g(x)>0/(x)g(x)>0,f(x) 4(x)<0÷f(x)(x)<0 元高次不等式的解法 欠数大于2的整式不等式,称为高次不等式,高次不等式通过分解因式处理后,可化为如 下形式(设a>0) (x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0 a(x-x1)(x-x2)…(x-xn)<0 不妨设x10,即x>-1时,不等式两边同时乘以(x+1) 原不等式化为 r+1>0 解得-1 x-1<0, (2)当x+1<0,即x<-1时,不等式两边同时乘以(x+1), 原不等式化为 +1<0 此不等式组无解 3x-1>0 综上(1)、(2)所述,原不等式的解集为-19+=0 (x-4)(x+3)≥ 以上不等式等价于 解得x<-3或x≥4. 故原分式不等式的解集为x<-3或x≥4 例3解不等式(x+2)(x 12)>0. 分析利用积的符号法则可将一元高次不等式转化为不等式 组;也可将不等式分解因式,由积的符号法则求解;还可用根轴法, 解法1:原不等式化为/+2>0 x-12>0x2-x-12<0 即 或 解得x>4或 故原不等式的解集为{xx>4或-30. x<-3-34 x+2 (x+3)(x+2)(x-4) 由上表可知,原不等式的解集为{xx>4或-30的解即为曲线在x轴上方对 应的x值.故原不等式的解集为{x|x>4或-3< 总结解一元高次不等式常用方法有三种:(1)不等式组法;(2) 列表法;(3)根轴法.由上例可知,用根轴法解一元高次不等式最简 单,它实质上是列表法的浓缩、简化[图为x由非常大的正数向非常 的负数变化时,每经过一个零点,(x+2)(x+3)(x-4)的值的符 号必须改变].因此,我们必须熟练地掌握根轴法 用根轴法解高次不等式时,就是先把不等式化为一端为零,再对另一端分解因式,并求出 它的零点,把这些零点标在数轴上,再用一条光滑的曲线,从x轴的右端上方起,依次穿过这 些零点,则大于零的不等式的解对应着曲线在x轴上方部分的实数x的取值集合;小于零的 不等式的解对应着x轴下方部分的实数x的取值集合 例4解不等式x+2x-3 分析将此分式不等式转化高次不等式,然后利用根轴法求解 解:由 0,得 x2+2x-3)(-x2+x+6)<0 (x2+2x-3)(x2-x-6)>0 (x+3)(x-1)(x-3)(x+2)>0. 与b支k4 零点为-3,-2,1,3. 由图可知,原不等式的解集为x<-3或-23. 【检测衔接作业】 选择题 1.不等式2+4>0的解集是 A.-22 2.与不等式x 同解的不等式是 A.(x-3)(x-2)≤0 B.x=5x+6≤0 x2-x+6 D.(x-3)2(x-2)≤0 3.不等式x2-4的解集是 A.x≤-2或一3≤x≤3或x≥2 B.x<-2或-√3≤r≤3或x>2 2或-32 D.-2≤x<-3或30 10.解不等式(x+2)(6+x-x2)≥0. 参考答案 1.C点拨:原不等式等价于(x+2)(x-2)>0,得x<-2或x>2 2.B点拨:B的解集为20点拨:原不等式化为2+2>0,解得x<-2或x>0 6.-13 8解:由2一≥2,(++2+<①解得x<=3或=22} 10.解:原不等式变为(x+2)2(x-3)≤0, 方程(x+2)(x-3)=0的解为x 如图,∴原不等式的解集为{x|x≤3}

  • ID:3-6158432 初高中数学衔接教材17讲:第9讲 一元二次不等式

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    第9讲元二次不等式 【归纳初中知识】 在初中,我们已经掌握了一元一次不等式(组)的解法,但高中阶段数学很多模块内容都 要用到一元二次不等式和分式不等式的知识,虽然高中新课程数学必修5有系统学习,但是为 了大部分学生能顺利完成高中新课程各模块学习以及少部分学生提前学习(数学竞赛等),很 有必要对一元二次不等式基本知识先作一个介绍 元一次不等式ax>b的解集 (1)当a>0时,不等式的解集为x> (2)当a=0时,若b≥0,则不等式无解;若b<0时,则不等式的解集为全体实数 (3)当a<0时,不等式的解集为x0) 解不等式ax2+bx+c>0,即解a(x+x1)(x+x2)>0 根乘积的符号法则,可得 (Ⅰ)或 x+x2>0, 方程组(I),(Ⅱ)的解集即为原一元二次不等式的解集 同理,我们可以利用同样的方法求得a(x+x1)(x+x2)<0(a>0)的解集 二、一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)(a>0)的解法 我们知道,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),设△=b-4ac,它的解按照△>0,△= 0,△<0可分为三种情况,相应地,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的位置关系, 也分为三种情况,因此,我们可分三种情况来讨论对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0 (或<0)(a>0)的解集,以下列表分类表示 △=0 A<0 y=a.x+brtc(a>o) 的图象 ax'tbrtc=o(a-o 有两不相等 有两个相等 没有实数根 的根 实根x1,x ax2+bx+c>0(a>0) xx2 全体实数 的解集 ax2+bx+c<0(a>0) 的解集 【精讲典型例题】 例1解不等式x2-2x-3>0 分析α2-2x-3可以分解因式为(x-3)(x+1),然后利用乘积的符号法则求解 解:不等式可化为(x-3)(x+1)>0 原不等式可变形为 (Ⅱ) x+1<0 解(Ⅰ)得x>3,解(Ⅱ)得x ∴原不等式的解集为x<-1或x>3. 例2试利用函数知识,解不等式:2x2-5x>-3 解:原不等式可化为2x2-5x+3>0. 画出函数y=2x2-5x+3的图象 解方程2x2-5x+3=0,得x=1或x=3 观察函数的图象可得, 当且仅当x<1或 时,图象上的点都在x轴的上方, 这时有y>0,即2x2-5x+3>0 因此,不等式2x2-5x>-3的解集为x<1或x> 例3解不等式:-2x2+x+1<0 分析将二次项系数化为正数,然后求解 解:在不等式两边同乘以-1,可得2x2-x-1>0. 方程2x2-x-1=0的解为x1 函数y=2x2-x-1的图象是开口向上的抛物线 所以不等式的解集为{xx<-,或x>1 点评解一元二次不等式的一般步骤是: (1)对不等式变形,使一端为零且二次项系数大于零 (2)计算相应的判别式; (3)当△>0时,求出相应的一元二次方程的两根; (4)根据一元二次不等式解的结构,写出其解. 其中对△>0的解的结构可记为:ax2+bx+c>0(a>0)的解为“大于大根或小于小根 ax2+bx+c<0(a>0)的解为“大于小根且小于大根 例4已知不等式ax2+bx+2>0的解集为-2 求2x2+bx+a<0的解集 分析给出了一元二次不等式的解集,则可知a的符号和ax2+bx+2=0的两根,由韦达 定理可求出a,b的值 解:由题意一和。是ax2+bx+2=0的两根且a<0, 2+3 解得 2 不等式2x2+bx+a<0,即为2x2-2x-12<0,其解集为{x-20的自变量x的取值范围是 A.-22 D.x<-2或x>1 不等式6-x-2x2<0的解集是 A.{x|-20且b2-4ac≤0 D.a>0且b-4ac>0 二、填空题 4.若已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c< 0的解集为 ,不等式ax2+b+c>0的解集 不等式x2-2+3<0的解集为 三、解答题 试利用函数的图象与性质解不等式: (1)-x2+5x>6; (2)2x2-x>0. 7.解下列不等式 (1)(3x-1)(x+1)<0 (2)(2x-3)(x+2)>0 8已知函数y=2x2-3x-3,求使函数值y大于0的x的取值范围 9.解不等式x2-2|x-3>0. 10.已知不等式x2-ax+b<0的解集是20,得(x-1)(x+2)<0,一20→(2x-3)(x+2)>0→x<-2或x 3.A点拨:结合二次函数的图象可知 4.x<-1或x>2-1或x<0 8解:令y>0,得1x2-3x-3>0,化简得2x2-12x-3>0 2x2-12x-3=0有两根,x1 ±168=5y42,即x=2x2-2 又∵y=2x2-12-3的图象开口向上, ∴不等式的解集是x<542 2或x0+/2 9.解:原不等式可化为(|x|+1)(|x-3)>0, ∴x|+1>0,则有x-3>0,即|x>3,解得x>3或x<-3 故原不等式的解集为x<-3或x>3 10.解:依题意知,2,3为方程x2-ax+b=0的两根.∴a=5,b=6. 不等式ax2-bx+1=0为5x-6x+1=0,即(x-1)6x-10,解得号≤x≤1

  • ID:3-6158428 初高中数学衔接教材17讲:第11讲 二次函数的图象与性质

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    第11讲二次函数的图象与性质 【归纳初中知识】 初中学过的一次函数、反比例函数、二次函数的课标要求是:能结合具体情境体会函数的 意义,根据已知条件确定函数表达式;会画函数的图象,根据不同的函数的图象和解析表达式 探索并理解其性质进而解决实际问题;会利用函数的图象求近似解的冋题 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象、性质如下表所示 对称轴 b/r (-a.4 最值当x=-时,y取最小值如 ∵y取最大值4c一 当x≤-2时,y随着x的增大而减小;当x<-时,y随着x的增大而增大 增减性 当x>一点时y随着x的增大而增大当>一时y随着x的增大而减小 【衔接高中知识】 函数是高中数学的一条主线,如高中数学中的数列、三角函数 导数等都是函数因此有必要对二次函数进行再研究,通过以二次函 数为载体,进一步探讨函数的相关性质 1.二次函数的三种表示方法 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0) (2)顶点式:y=a(x-h)2+k;其中(h,k)为抛物线的顶点 (3)两点式:y=a(x-x1)(x-x2) 2.二次函数的对称性: 次函数是轴对称图形,其对称轴为直线x=-2a 3.二次函数的增减性:(1)若a>0,则当x<一时,y随x的增 大而减小;当x>-。时,y随x的增大而增大 (2)若a<0,则当x<-b时,y随x的增大而增大;当x> 时,y随x的增大而减小 (3)a越大,抛物线的开口越大 4.二次函数在给定范围上的最值.[符号f(x)表示以x为自变 量的函数] 当a>0时,f(x)在p≤x≤q上的最大值为M,最小值为 若-b4上y随x的 增大而增大,求实数a的取值范围 分析二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当a>0时,在对称轴x b的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴x=-b的右侧,y随 x的增大而增大;当a<0时,情况则相反 解:因为二次函数y=x2+2(a-2)x+5的对称轴为直线x=2 a,开口向上 所以当x≥2-a时,y随x的增大而增大 4≥2-a,解得a≥-2. 故实数a的取值范围为a≥-2. 例3已知f(x)=3x2-12x+5,当f(x)的 x的取值范围为下列情况时,求函数的最大值 最小值. (1)0≤x≤3;(2)-1≤x≤1;(3)x≥3 分析作出y=3x2-12x+5的图象,如图 468 观察图象在所给x的范围上的变化趋势及图象的 最高点和最低点,你发现了什么? 解:(1)作y=3x2-12x+5的图象如图所示,由图可知 函数f(x)在0≤x≤2上递减 在2≤x≤5上递增,且f(0)=5,f(2)=-7,f(3)=-4 故当x=3时,f(x)mn=-7;当x=0时,f(x)mx=5 (2)由图可知,当f(x)在-1≤x≤1上单调递减 ∴f(x)mi=f(1)=-4,f(x)ma=f(-1)=20. (3)由图可知,f(x)在x≥3上单调递增 例4设二次函数f(x)=x2-4x-4,t≤x≤t+1,(t为实数), 求∫(x)的最小值g(t)的解析式 分析已知二次函数的对称轴为直线x=2,x的取值范围直接 影响到∫(x)的最小值,故要 对x的取值与对称轴的关系进行讨论 (1)当t≥2时,f(x)在t≤x≤1+1上是增函数 ∴g(t)=f(t)=t2-4+4 (2)当长2≤+1,即1≤{<2时,g(t)=f(2)=-8. (3)当t+1<2,即t<1时 f(x)在t≤x≤t+1是减函数.g(t)=f(t+1)=t2-2t-7 t2-2t-7(t<1 经上可知,g(t)={-8(1≤t<2) t2-4t-2(t≥2) 【检测衔接作业】 、选择题 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为(2,-1),与y 轴的交点为(0,11),则 A.a=1,b=-4,c=11 B.a=3,b=12,c=11 D.a=3,b=-12,c=11 2.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(-1)=f(6),则 A.f(1)=f(4) B.f(1)>f(4) C.f(1)0时,f(1)>f(4);当a<0时,f(1)0,c>0点拨:由一b>0,4ab>0,c<0,△=62-4c>0可得 1;(2) (3)ym 8.5 10.a≤-1

  • ID:3-6158425 初高中数学衔接教材17讲:第8讲 简单的二元二次方程组

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    第8讲简单的二元二次方程组 【归纳初中知识】 在初中,我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法,掌握用 代入消元和加减消元两种方法解二元一次方程组,但对二元二次方程组的解法并没有作系统 的介绍 【衔接高中知识】 在高中新课标必修2中直线与圆,必修5中数列,选修1-1和选修2-1中圆锥曲线等部 分内容都涉及怎样求解二元二次方程组,怎样判断二元二次方程组的解的个数,怎样通过方程 来研究曲线的形状等情况,所以需要补充二元二次方程组的基本类型及解法 由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的一般形式是 Jajx'thxytciytdixteytfi=0 Layx2+b2.xy+c2y2+d2 teay+/2=0 这里a1,b1,c1不同时为零,a2,b2,C2不同时为零 解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元和降次”.基本方法有代入法、因式分解 法、利用一元二次方程根与系数关系、加减法、换元法等方法简单的二元二次方程组主要有两 类:第一类是由一个二元一次和一个二元二次方程组成的方程组,第二类是由一个二元二次方 程和一个可分解为两个二元一次方程的二元二次方程组成的方程组 (1)解第一类的主要思路是将二元一次方程变形后,用代入消元法将二元二次方程转化 元二次方程,从而求解. (2)解第二类的主要思路是想办法将可分解为两个二元一次方程的二元二次方程分解出 来,从而转化为简单的二元二次方程组的解法(第一类)或直接转化为二元一次方程组 特殊的二元二次方程组的解法 (1)解特殊的二元二次方程组主要是用消常数项法、加减法、换元法等. (2)解可化为二元二次方程组的分式方程组和无理方程组主要是用换元法 4.解特殊的三元二次方程组的主要思路是先消元转化为二元二次方程组 【精讲典型例题】 例1解方程组/2+y2=1,① 分析解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组,其解法是先由二元一 次方程出发,用含一个未知数的式子表示另一个未知数,再把这个式子代入二元二次方程,达 到消元的目的,转化为一元二次方程求解 解:由方程②,得y=1-x.③ 把方程③代入方程①,得x2+(1-x)2=1 整理,得x2 解得x1=0,x2=1. 把x=0代入方程③,得y=1; 把x=1代入方程③,得y=0 原方程组的解是 例2解方程组 分析方程②分解因式得两个二元一次方程x-3y=0和x 0,分别与方程①组成两个方程组{3),{xy0,。解这两个 方程组即可 解:由方程②因式分解,得(x-3y)(x-y)=0,即x-3y=0或 原方程组可化为两个方程组 用第一类型代入消元法解这两个方程组,得原方程组的 解为 例3解方程组 √x-1-y+2=0,① 分析方程①是根式方程,将其移项,再两边平方得x2-1 十2.这样,方程组就转化为前面已有的形式 解:把方程①移项,再两边平方,得x2-1=y+2 整理,得x2-y-3=0.③ 方程③一②,得x2-2x-15=0. 把x=5代入方程②,解得y=22 把x=-3代入方程②,解得y=6 分别代入原方程组检验,它们都是原 方程组的解 原方程组的解是 5,|x2=-3 y1=2:;y2=6 (5-x)2+(1-y)2=r2,① 例4解方程组{(7-x)2+(-3-y)2=r2,②(其中r>0) (2-x)2+(-8-y)2=r2.③ 解:由①一②得(5-x)2+(1-y)2-(7-x)2-(-3-y)2 平方化简得x-2y-8=0.④ 由①-③得(5-x)2+(1-y)2-(2-x)2-(-8-y)2=0 平方化简得x+3y+7=0.⑤ 解由④⑤组成的二元一次方程组/2y-8=0 x+3y+7=0 解得 把x=2,y=-3代入①得r2=25 ∴原方程组的解为y=-3 【检测衔接作业】 、选择题 方程组 12x2-5xy-3y2=0的卖数角 x1= yxy工 x2-y2=4(x+y) 2.方程组 Ix2+arty 的解的组数是 B.2 8.方程组{=2+k 有两组不同的实数解,则k的取值范围是 B.k<-7 C.k>-7 D.k<1 4方程组{+=3中的x,可以看成是一个一元二次方程的两个根,这个方程是( A.x2+3z-10=0 B.z2-3z+10=0 C.z2-3x-10=0 D.z2+3z+10=0 二、填空题 (x-2)(y-3)=1, 5.方程组 的解为 6已知|x-√y-1|+Mxy-2|=0,则x=,y 三、解答题 7.解下列方程组 4y2+x+3y+1=0 (1) ,=x+1; 8.解下列方程组 (2) x2-5xy+6y2=0; 9.解下列方程组 /x+2=y, 10.解方程组(a-2)2+(b-1)2=r2,其中r>0 参考答案 1.B点拨:将第二个方程分解因式 2.B 3.C点拨:由x2-4x-3-k=0中A>0得k>7 4.C点拨:由韦达定理可知 x1=3,(x2=1, 41点拨:由 解得 3(=5 x1=4,(x2=-4,x3=32,(x1=-3√2 8.解:(1) (2) a+b=5, ,( b,原方程组可化为 解得 原方程组的解是 =10