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高中数学期末专区高三
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  • ID:3-6207656 2019浙江七彩联盟高三数学卷含答案 -

    高中数学/期末专区/高三

    2019学年第一学期浙江“七彩阳光”联盟期初联考 高三数学 参考答案 1.解析:, 所以,故选C. 2.解析:,所以焦点相同,故选D. 大值为 3.解析:作出满足约束条件的平面区域,如图所示, 目标函数即,易知当时有最大值5.故选B. 4.解析:,故选A. 5.解析:由得, 所以.其余可能特殊值排除,故选B. 6.选B ( D. ) ( B. ) ( C. ) ( A. ) ( A. )7.解析:由定义域排除C、D,当时,函数与无交点,故选A. 8.解析:如图,过作平面,过分别作分别于、,连接, 则, 因为,所以, 又因为,所以, 而,所以, 综上可得,,故选C. 9.解析:无实根,可得恒成立, 即对任意实数恒成立,所以,或,故选D. 10.解析:当时,由已知得 所以 , 故,, 所以,, 故选A. 11.解析:. 12.解析:因为,所以,两直线的距离为. 13.解析:由得,而,所以的前项和为. 14.解析:由余弦定理得,,所以, 而. 15.解析:设为椭圆的右焦点,为椭圆在第一象限内的点,由题意可知, 代入椭圆方程得,即. 16.解析:当时,,要使正整数尽可能大,则应该是,故的最大值为4. 17.解析:设,,由题意知,点到直线的距离为1,设的中点为, 则=, 当且仅当时,等号成立,此时,|| 18.解析:(Ⅰ)………………2分 ,………………4分 故函数的最小正周期为,………………6分 函数的对称轴方程为. ………………8分 (Ⅱ)由(Ⅰ), 当时,,………………10分 因此,当时,有最大值2;………………12分 当时,有最小值.………………14分 (直接求出最值及相应的的值也给满分) 19.解析:(Ⅰ)如图,取的中点,连接、 在菱形中, ∵, ∴ 是正三角形, ∴ , ………………2分 同理在菱形,可证, ………………4分 ∴ 平面, ∴ ………………6分 又∵ , ∴ . ………………7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,就是二面角的平面角, 即, 又, 所以是正三角形,故有, 如图,取的中点,连接,则, 又由(Ⅰ)得, 所以,平面,且, 又, 在直角中,, 所以, 设到平面的距离为,则 , , 所以, 故直线与平面所成角正弦值为. (建系或作出线面角的平面角按步骤相应给分) 20.解析:(Ⅰ)由,得,两式相减得 ………………2分 因为,,所以, 所以,对一切,有. ………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得,, 两式相减得,, 即,………………6分 由于,所以,………………7分 又时,解得;时,,解得,满足, 因此,对对一切,都有,即是等差数列. ………………9分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,,而当时, ,………………12分 所以,当时, ,………………14分 又当时,显然成立, 所以,对一切,.………………15分 另法: 因为,所以 , 从而 . 21. 证明:(Ⅰ)设, 易求得切线,切线,………………2分 因为点在两条切线上,所以. 故点、均在直线上,于是,………………3分 联立, 由韦达定理得,,………………5分 而 所以, . ………………8分 (Ⅱ)由知 ………………10分 所以,,………………12分 同理,,………………13分 故, 所以,, 由(Ⅰ)知, 所以,∽ 所以,.………………15分 另法: (Ⅰ) 由已知抛物线方程即为,.设,则 切线与的方程分别为:. 由可解得. 于是, . 从而. (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 , . 所以. 又由(Ⅰ)知,于是,故∽,从而 . 22.解析:(Ⅰ)当时,, 则,………………2分 所以,当时,;时,, 所以的单调递增区间为,单调递减区间为. ………………4分 (Ⅱ)设, 而, 令,则. 于是,当时,,为增函数,………………6分 又由,知. ………………8分 (1)若,则, 此时,在区间上有唯一零点,设为. ………………10分 则时,. 故在区间上为减函数,. 因此,不符合要求. ………………12分 (2)若,则时,. 此时,在区间上为增函数. 故时,. 因此,符合要求. 综上,的取值范围是. ……………15分 2 / 2 1 / 8 2019 学年第一学期浙江“七彩阳光”联盟期初联考 高三数学 参考答案 1.解析: 2 2{ | 2 } { | 2 0} { | 2 2}B x y x x x x x= = ? = ? ? = ? ? ? , 所以 A B = { 1,0,1}? ,故选 C. 2.解析: 2 4 2c c= ? = ,所以焦点相同,故选 D. 大值为 3.解析:作出满足约束条件的平面区域,如图所示, 目标函数即 2y x z= ? + ,易知当 2, 1x y= = 时有最大值 5.故选 B. 4.解析: 3 2 6V sh= = ? = ,故选 A. 5.解析:由a b? ? 得 3 3 3( )a b b? ? = ? , 所以 3 3 0a b+ ? .其余可能特殊值排除,故选 B. 6.选 B 7.解析:由定义域排除 C、D,当 (0, )x ?? 时,函数 2( )f x x= ? 与 ( ) cosg x x= 无交点,故选 A. 8.解析:如图,过 S 作 SO ⊥平面 ABCD,过O 分别作分别 ,OE BC OF CD⊥ ⊥ 于 E 、 F ,连接 , ,OC SE SF , 则 , ,SCE SCO SFO? ? ?? = ? = ? = , 因为sin sin SE SO SC SC ? ?= ? = ,所以? ?? , 又因为 tan tan SO SE OF CE ? ?= ? = ,所以? ?? , 而 tan tan SO SO OF OC ? ?= ? = ,所以? ?? , 综上可得,? ? ?? ? ,故选 C. 9.解析: ( )f x x= 无实根,可得 ( )f x x? 恒成立, 即 (1 )xe b x c? ? ? 对任意实数 x 恒成立,所以1 0, 1b c? ? ? ? ,或 1, 0b c= ? ? ,故选 D. 10.解析:当 2n k= 时,由已知得 (2 1)2 2 1 2 ( 1) k k k ka a k + ++ = ? 所以 2019 1 2 3 2019 1 2 3 4 5 2018 2019( ) ( ) ( )S a a a a a a a a a a a= + + + + = + + + + + + + F EO 第8题图 D C B A S A. 第4题图 1 1 2 2 11 俯视图 侧视图正视图 B. C. D. 2 / 8 1 1 12 4 6 8 10 2018 1008 2018 1010a a a= ? + ? + ? + ? = + ? = ? , 故 2019 1 1010S a? = ? , 1 11010 1009 1m a m a+ ? = ? ? + = , 所以, 21 1 1 ( ) 2 4 m a ma + ? = , 故选 A. 11.解析: 2 5(1) 2, (2) (5) 2 lg 2 2 lg5 37f f f= + = + + + = . 12.解析:因为 1 2/ /l l ,所以 1a = ? ,两直线的距离为 4 2 2 2 d = = . 13.解析:由 1 2 6 7 1 9 1 1, 16 a a a a a a= = 得 1 15 1 1 , ( ) 2 16 2 n n na a ? ? += = = ,而 2log 1na n= ? + ,所以 2{log }na 的 前 n项和为 ( 1) 2 n n? ? . 14.解析:由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B= + ? 得, 2 29 3 4 5 3b c c b c= + + ? ? = ,所以 7, 5b c= = , 而 7 3 14 3 3 sin sin( ) sin sin sin 143 a A B C A B A = ? = ? = + = . 15.解析:设 F 为椭圆C 的右焦点, P 为椭圆C 在第一象限内的点,由题意可知 3 ( , ) 2 2 c c P , 代入椭圆方程得 2 2 2 2 3 1 4 4 c c a b + = ,即 2 2 2 2 3 4 4 2 3 3 1 1 e e e e e + = ? ? = ? ? = ? ? . 16.解析:当 1 [ ,1] 16 x? 时, 1 ( ) [1,3 ] 4 f x ? ,要使正整数 n 尽可能大,则应该是 5 1 1 1 3 4 4 + + = ,故 n 的最 大值为 4. 17.解析:设OA = a ,OB = b ,由题意知 | | 4OA = , B 点到直线OA的距离为 1,设OA的中点为C , 则 ( )? ?b a b = 2 2 2 ( ) ( ) 4 4 1 3OB OA OB BO BA BC CA BC? ? = ? ? = ? ? = ? ? ? = , 当且仅当 | | 1BC = 时,等号成立,此时,| 2?a b | | 2 | 2 | | 2OA OB BC= ? = = 18.解析:(Ⅰ) ( ) 2cos (cos 3 sin ) 1 cos 2 3 sin 2f x x x x x x= + ? = + ………………2 分 2sin(2 ) 6 x ? = + ,………………4 分 故函数 ( )f x 的最小正周期为? ,………………6 分 函数 ( )f x 的对称轴方程为 , 2 6 k x k Z ? ? = + ? . ………………8 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) ( ) 2sin(2 ) 6 f x x ? = + , 3 / 8 当 [0, ] 2 x ? ? 时, 7 2 [ , ] 6 6 6 x ? ? ? + ? ,………………10 分 因此,当 6 x ? = 时, ( )f x 有最大值 2;………………12 分 当 2 x ? = 时, ( )f x 有最小值 1? .………………14 分 (直接求出最值及相应的 x 的值也给满分) 19.解析:(Ⅰ)如图,取 EF 的中点G ,连接 BG 、 DG 在菱形 ABEF 中, ∵ 60BAF? = , ∴ BEF? 是正三角形, ∴ EF BG⊥ , ………………2 分 同理在菱形CDEF ,可证 EF DG⊥ , ………………4 分 ∴ EF ⊥平面 BDG , ∴ EF BD⊥ ………………6 分 又∵ / /CD EF , ∴ CD BD⊥ . ………………7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, BGD? 就是二面角 B EF D? ? 的平面角, 即 60BGD? = , 又 3BG GD= = , 所以 BDG? 是正三角形,故有 3BD = , 如图,取 DG 的中点O ,连接 BO,则 BO DG⊥ , 又由(Ⅰ)得 EF BO⊥ , 所以, BO ⊥平面CDFE ,且 3 2 BO = , 又 BD CD⊥ , 在直角 BDC? 中, 7BC = , 所以 1 7 3 7 7 4 2 4 4 BCES? = ? ? ? = , 设 D 到平面 BCE 的距离为 h ,则 1 1 3 3 3 4 3 3 2 4 2 B DCE DCEV BO S? ?= ? ? = ? ? ? = , 1 1 3 7 3 3 3 4 2 D BCE BCEV h S h? ?= ? ? = ? ? = , 所以 2 21 7 h = , 第19题图 E F D C B A G O E F D C B A G 4 / 8 故直线BD与平面 BCE 所成角正弦值为 2 7 7 h BD = . (建系或作出线面角的平面角按步骤相应给分) 20.解析:(Ⅰ)由 3 3 3 2 1 2 + n na a a S+ + = ,得 3 3 3 3 2 1 2 1 1+ n n na a a a S+ ++ + + = ,两式相减得 3 2 2 1 1 1 1( )n n n n n na S S a S S+ + + += ? = + ………………2 分 因为, 0na ? ,所以 2 1 1 12n n n n na S S S a+ + += + = + , 所以,对一切 *n N? ,有 2 1 1 2n n na a S+ +? = . ………………4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) 2 1 1 2n n na a S+ +? = 可得, 2 12 ( 2)n n na a S n?? = ? , 两式相减得, 2 21 1 2 ( 2)n n n n na a a a a n+ +? ? + = ? , 即 2 21 1 ( 2)n n n na a a a n+ +? = + ? ,………………6 分 由于 0na ? ,所以 1 1( 2)n na a n+ ? = ? ,………………7 分 又 1n = 时,解得 1 1a = ; 2n = 时, 3 2 2 21 (1 )a a+ = + ,解得 2 2a = ,满足 1 1n na a+ ? = , 因此,对对一切 *n N? ,都有 1 1n na a+ ? = ,即{ }na 是等差数列. ………………9 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知, na n= ,而当 2n ? 时, 2 3 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 +1 1 +1 1 1n n a n n n n n n n n n n = ? = ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 21 1 1 1 2 n n n n n n n n n n n + + ? + + ? = ? ? = ? ? ? ? ? + ? + 1 1 1 1n n ? ? ? + ,………………12 分 所以,当 2n ? 时, 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 4 1 1n n a a a a n n + + + + ? + ? + ? + + ? ? + 2 1 1 2 3 2 1n n = + ? ? ? + ,………………14 分 5 / 8 又当 1n = 时, 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 3 n n a a a a + + + + ? 显然成立, 所以,对一切 *n N? , 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 3 n n a a a a + + + + ? .………………15 分 另法: 因为2 ( 1) ( 1)( 1)n n n n n n n= + ? ? + ? ? ,所以 1 1 1 2 1( 1) 1 n n n n n n n ? ? ? = ? + ? ? 1 1 1 1 2 ( 1) 1 n n n n n n n n ? ? ? ? = ? ? ? , 从而 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 12 3 n nn ? ? + + + + ? + ? + ? + + ?? ? ?? ? 2 3 3 n = ? ? . 21. 证明:(Ⅰ)设 0 0 1 1 2 2( , ), ( , ), ( , )P x y M x y N x y , 易求得切线 1 1: ( )PM x x p y y= + ,切线 2 2: ( )PN x x p y y= + ,………………2 分 因为点 P 在两条切线上,所以 1 0 0 1 2 0 0 2( ), ( )x x p y y x x p y y= + = + . 故点M 、 N 均在直线 0 0( )xx p y y= + 上,于是 0 0: ( )MNl xx p y y= + ,………………3 分 联立 2 0 0 2 20 0 02 ( ) 2( ) 0 2 xx p y y x y y y y px py = +? ? + ? + =? =? , 由韦达定理得, 2 20 1 2 0 1 2 02( ), x y y y y y y p + = ? = ,………………5 分 而 1 2| | ,| | , 2 2 p p MF y NF y= + = + 所以, 2 2 2 2 1 2 1 2 0 0 0| | | | ( ) 2 4 4 p p p MF NF y y y y y x py? = + + + = + ? + 2 2 2 0 ( ) | | 2 p x y PF= + ? = . ………………8 分 (Ⅱ)由 0 0 1 1 2 2( , ), ( , ), ( , ), 2 2 2 p p p FP x y FM x y FN x y= ? = ? = ? 知 6 / 8 2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1( )( ) ( ) 2 2 2 4 p p p p FP FM x x y y x x y y y y? = + ? ? = + ? + + 2 0 1 0 1 0 1( ) ( )( ) 2 4 2 2 p p p p y y y y y y= + + + = + + ………………10 分 所以, 0 2cos | || | | | p y FP FM PFM FPFP FM + ? ? = = ? ,………………12 分 同理, 0 2cos | | p y PFN FP + ? = ,………………13 分 故 cos cosPFM PFN? = ? , 所以, PFM PFN? = ? , 由(Ⅰ)知 2| | | | | |PF MF NF= ? , 所以, PFM? ∽ PFN? 所以, PMF FPN? = ? .………………15 分 另法: (Ⅰ) 由已知抛物线方程即为 2 2 x y p = , x y p ? = .设 2 2 1 2 1 2, , , 2 2 x x M x N x p p ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,则 切线 PM 与 PN 的方程分别为: 2 2 1 1 2 2, 2 2 x x x x y x y x p p p p = ? = ? . 由 2 1 1 2 2 2 2 2 x x y x p p x x y x p p ? = ?? ? ? ? = ? ?? 可解得 1 2 1 2, 2 2 x x x x P p ? ?+ ? ? ? ? . 于是 22 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 | | 2 2 2 4 4 4 x x x x x x x xp p PF p p ? ?+ +? ? = + ? = + +? ?? ? ? ? ? ? , 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 | || | 2 2 2 2 4 4 4 x x x x x xp p p MF NF p p p ? ?? ? + = + + = + +? ?? ? ? ?? ? . 从而 2| | | || |PF MF NF= . (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 ( )( ) | | | | 2 4 x p x p x x PM NF p p + + ? = ? , 7 / 8 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 ( )( ) | | | | 2 4 x p x p x x PN MF p p + + ? = ? . 所以 2 2 | || || | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | MF NFPN NF PF PM NF PN MF PM MF MF MF = ? = = = . 又由(Ⅰ)知 | | | | | | | | PF NF MF PF = ,于是 | | | | | | | | | | | | PN PF NF PM MF PF = = ,故 PMF? ∽ NPF? ,从而 PMF FPN? = ? . 22.解析:(Ⅰ)当 2m = 时, ( ) 2xf x e x= ? , 则 ( ) 2xf x e? = ? ,………………2 分 所以,当 ln 2x ? 时, ( ) 0f x? ? ; ln 2x ? 时, ( ) 0f x? ? , 所以 ( )f x 的单调递增区间为 (ln 2, )+? ,单调递减区间为 ( , ln 2)?? . ………………4 分 (Ⅱ)设 2 2( ) ( 2) ( ) 2 ( 2)( ) 2 ( 2) 2 2x xg x x f x mx x e mx mx x e mx= ? + + = ? ? + + = ? + + , 而 ( ) ( 1) 2xg x x e m? = ? + , 令 ( ) ( 1) 2xh x x e m= ? + ,则 ( ) xh x xe? = . 于是,当 0x ? 时, ( ) 0h x? ? , ( )h x 为增函数,………………6 分 又由 (2) 4 2 0g m= + ? ,知 1 2 m ? ? . ………………8 分 (1)若 1 1 2 2 m? ? ? ,则 2(0) 1 2 0, (2) 2 0g m g e m? ?= ? + ? = + ? , 此时, ( )g x? 在区间 (0, 2)上有唯一零点,设为 0x . ………………10 分 则 00 x x? ? 时, ( ) 0g x? ? . 故 ( )g x 在区间 0[0, ]x 上为减函数, 0( ) (0) 0g x g? = . 因此, 1 1 2 2 m? ? ? 不符合要求. ………………12 分 (2)若 1 2 m ? ,则 0x ? 时, ( ) (0) 1 2 0g x g m? ?? = ? + ? . 此时, ( )g x 在区间[0, )+? 上为增函数. 故 0x ? 时, ( ) (0) 0g x g? = . 8 / 8 因此, 1 2 m ? 符合要求. 综上,m 的取值范围是 1 [ , ) 2 +? . ……………15 分 高三期初联考 数学学科 第1页(共 4 页) 绝密★考试结束前 2019 学年第一学期浙江“七彩阳光”联盟期初联考 高三年级 数学试题 考生须知: 1.本试题卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效。 4.考试结束后,只需上交答题卷。 参考公式: 球的表面积公式 锥体的体积公式 24S R= ? 1 3 V Sh= 球的体积公式 其中 S 表示棱锥的底面面积,h 表示棱锥的高 34 3 V R= ? 台体的体积公式 其中 R 表示球的半径 1 ( ) 3 a a b bV h S S S S= + ? + 柱体的体积公式 其中 Sa,Sb分别表示台体的上、下底面积 V=Sh h 表示台体的高 其中 S 表示棱柱的底面面积,h 表示棱柱的高 选择题部分(共 40 分) 一、选择题:本大题共 10小题,每小题 4分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 { 1,0,1,2}A= ? , 2{ | 2 }B x y x= = ? ,则 A B = A.{ 1,1}? B.{0} C.{ 1,0,1}? D.{ 1,0,1,2}? 2.双曲线 2 2 1 3 x y? = 与 2 2 1 3 y x ? = 有相同的 A.离心率 B.渐近线 C.实轴长 D.焦点 3.设变量 ,x y满足约束条件 3 0, 2 0, 2 0.x y x y x y + ? ?? ? ? + ? ? ? ??? 则目标函数 2z x y= + 的最大值为 A.6 B.5 C. 7 2 D.0 高三期初联考 数学学科 第2页(共 4 页) 第8题图 D C B A S 第4题图 1 1 2 2 11 俯视图 侧视图正视图 4.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积 (单位:cm3)是 A.6 B.2 C.3 D.1 5.若 0a b+ ? ,则 A. ln ln 0a b+ ? B. 3 3 0a b+ ? C. tan tan 0a b+ ? D. | | | |a b? 6.“点 ( , )a b 在圆 2 2 1x y+ = 内”是“直线 1 0ax by+ + = 与圆 2 2 1x y+ = 相离”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.函数 2cos ( ) , [ ,0) (0, ] x x f x x x ? ? + = ? ? 的图象大致为 8.如图,四棱锥 S ABCD? 中,底面是正方形,各侧棱都相等,记直线 SA与直线 AD所成角为 ? ,直线 SA与平面 ABCD所成角为 ? ,二面角 S AB C? ? 的平面角为? ,则 A.? ? ?? ? B.? ? ?? ? C.? ? ?? ? D.? ? ?? ? 9.设 ( ) xf x e bx c= + + ,若方程 ( )f x x= 无实根,则 A. 1, 1b c? ? B. 1, 1b c? ? ? C. 1, 1b c? ? D. 1, 1b c? ? ? 10.已知数列{ }na 满足 ( 1) 2 1 ( 1) n n n na a n + + + = ? ,前 n 项和为 nS ,且 2019 1009m S+ = ? ,下列说法中 错误..的 A. m 为定值 B. 1m a+ 为定值 C. 2019 1S a? 为定值 D. 1ma 有最大值 A. C. B. D. 高三期初联考 数学学科 第3页(共 4 页) 非选择题部分(共 110 分) 二、填空题:本大题共 7小题,多空题每题 6分,单空题每题 4分,共 36分. 11.设 ( ) 2 lg xf x x= + ,则 (1)f =▲, (2) (5)f f+ =▲. 12.已知两条平行直线 1 : 1 0l ax y+ + = 与 2 : 3 0l x y? + = 的距离为d ,则a =▲,d =▲. 13.已知正项等比数列{ }na 满足 1 2 6 7 1 9 1 1, 16 a a a a a a= = ,则 na =▲,数列 2{log }na 的前n 项和为 ▲. 14.在 ABC? 中, 3, 12, 120a b c B= + = = ,则b c? =▲,sin( )B C+ =▲. 15. 已知 F 是椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b + = ? ? 的一个焦点,P 为 C 上一点,O 为坐标原点,若 POF△ 为等边三角形,则 C 的离心率为 ▲ . 16.已知函数 1 ( ) 1f x x x = + ? ,若存在 1 2 1 , , , [ ,1] 16 nx x x ? ,使得 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )n nf x f x f x f x?+ + + = ,则正整数n 的最大值为▲. 17.已知向量 ,a b满足, | | 4=a ,| b ? t a |( t R? )的最小值为 1,当 ( )? ?b a b 最大时,| 2?a b |=▲. 三、解答题:本大题共 5小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分 14 分)已知函数 ( ) 2cos (cos 3sin ) 1,f x x x x x R= + ? ? . (Ⅰ)求函数 ( )f x 的最小正周期和对称轴; (Ⅱ)求函数 ( )f x 在 [0, ] 2 x ? ? 的最值及相应的 x 值. 19.(本小题满分 15 分)如图,ABCDEF 是由两个全等的菱形 ABEF 和CDEF 组成的空间图形, 2AB = , 60BAF ECD? =? = . (Ⅰ)求证: BD DC⊥ ; (Ⅱ)如果二面角 B EF D? ? 的平面角为 60 ,求直线 BD 与平面 BCE 所成角的正弦值. 第19题图 E F D C B A 高三期初联考 数学学科 第4页(共 4 页) 20.(本小题满分 15 分)已知正项数列 { }na 的前 n 项和为 nS ,且对一切 *n N? ,有 3 3 3 2 1 2 + n na a a S+ + = . 求证: (Ⅰ)对一切 *n N? ,有 2 1 1 2n n na a S+ +? = ; (Ⅱ)数列{ }na 是等差数列; (Ⅲ)对一切 *n N? , 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 3 n n a a a a + + + + ? . 21.(本小题满分 15 分)过抛物线 2 2 ( 0)x py p= ? 外一点 P 作抛物线的两条切线,切点为M 、N , F 为抛物线的焦点.证明: (Ⅰ) 2| | | | | |PF MF NF= ? ; (Ⅱ) PMF FPN? =? . 22.(本小题满分 15 分)已知函数 ( ) xf x e mx= ? . (Ⅰ) 2m = 时,求 ( )f x 的单调区间; (Ⅱ)若 0x ? 时,不等式 2( 2) ( ) 2 0x f x mx? + + ? 恒成立,求实数m 的取值范围.

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  • ID:3-6069190 河北省安平中学2018_2019学年高三数学下学期期末考试试题文

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    安平中学2018-2019学年下学期期末考试
    高三数学试题(文)
    本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟
    第Ⅰ卷(选择题)
    选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2,3},B={x|x2﹣2x﹣3<0},则A∩B=(  )
    A.{﹣1,0} B.{0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{﹣2,﹣1,0}
    2.设函数f(x)=,若f(a)>1,则a的取值范围是(  )
    A.(﹣∞,1)∪(2,+∞) B.(0,+∞) C.(2,+∞) D.(﹣∞,0)∪(2,+∞)
    3.已知函数f(x)=x2-6x+8在[1,a)上单调递减,则实数a的取值范围是(  )
    A.(-∞,3] B.[0,3] C.[3,+∞) D.(1,3]
    4.已知,,若,则实数的取值范围为( )
    A.  B.  C.  D. 
    5.函数f(x)=在区间(-2,+∞)上是递增的,则a的范围是(  )
    A.(0,) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(,+∞) D.(-2,+∞)
    6.“若,则,都有成立”的逆否命题是( )
    A. 有成立,则 B. 有成立,则
    C. 有成立,则 D. 有成立,则
    7.已知函数f(x)为奇函数,在区间[3,6]上是增函数,且在此区间上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)=(  )
    A.-15 B.-13 C.-5 D.5
    8.函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是(  )
    
    9.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是(  )
    A.a>b+1 B.>1 C.a2>b2 D.a3>b3
    10.下列说法正确的是(  )
    A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2=1,则x≠1”
    B.已知y=f(x)是R上的可导函数,则“f′(x0)=0”是“x0是函数y=f(x)的极值点”的必要不充分条件
    C.命题“存在x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“对任意x∈R,均有x2+x+1<0”
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  • ID:3-6069188 河北省安平中学2018_2019学年高三数学下学期期末考试试题理

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    安平中学2018-2019学年下学期期末考试
    高三数学试题(理)
    本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟
    第Ⅰ卷(选择题)
    选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ(0≤θ<2π)的圆心的极坐标是(  )
    A.      B. C.(1,0) D.(1,π)
    2.若一直线的参数方程为(t为参数),则此直线的倾斜角为(  )
    A.60° B.120° C.30° D.150°
    3.函数y=|x+1|+|x-2|的最小值及取得最小值时x的值分别是(  )
    A.1,x∈[-1,2] B.3,0 C.3,x∈[-1,2] D.2,x∈[1,2]
    4.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程是 (t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆C截得的弦长为(  )
    
    5.若不等式|ax+2|<4的解集为(-1,3),则实数a等于 (  )
    A.8 B.2 C.-4 D.-2
    6.曲线(θ为参数)的对称中心(  )
    A.在直线y=2x上 B.在直线y=-2x上 C.在直线y=x-1上 D.在直线y=x+1上
    7.“a=2”是“关于x的不等式|x+1|+|x+2|A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
    8.过椭圆C:(θ为参数)的右焦点F作直线l:交C于M,N两点,|MF|=m,|NF|=n,则+的值为(  )
    A. B. C. D.不能确定
    9.若a>2,则关于x的不等式|x-1|+a>2的解集为(  )
    A.{x|x>3-a} B.{x|x>a-1} C.? D.R
    10.已知a,b,c>0,且a+b+c=1,则++的最大值为(  )
    A.3 B.3 C.18 D.9
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  • ID:3-5991275 2019届辽宁省丹东市东港七中高三上学期期中考试数学试题

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    2019届辽宁省丹东市东港七中高三上学期期中考试数学试题 (考试时间:120分钟 满分:150分) 一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分) 1.已知集合,集合,则 . 2. . 3. 已知函数,则函数的最小正周期是 . 4.已知,若与平行,则 . 5. 过点的直线的方向向量,则的方程为 . 6. 已知,则 . 7. 若直线与直线之间的距离是,则 . 8.设数列满足对任意的,满足,且,则数列的前项和为__________. 9. 如果定义在R上的函数满足:对于任意,都有 ,则称为“函数”.给出下列函数:①;②;③;④,其中“函数”的序号是 . 10. 设为的反函数,则的最大值为_______. 11.对于数列,定义为的“优值”,现在已知某数列的“优值”,记数列的前项和为,若对任意的恒成立,则实数的取值范围是_________. 12. 已知,函数在区间上的最大值是5,则的取值范围是___________. 二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分) 13.关于、的二元一次方程组的系数行列式为 ( )[来源:Z.X.X.K] A. B. C. D. 14.设都是不等于1的正数,则“”是“”的什么条件 ( ) A .充分必要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.非充分非必要 15. 已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是 ( ) A. B. C. D. 16.已知函数,则关于的不等式的解集为 ( ) A . B. C. D. 三、解答题(本大题共有5题,满分76分) 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 已知在等比数列中,,且是和的等差中项. (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足,求的前项和. 解: 18. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 在△中,内角、、所对的边分别为、、,已知,,. (1)求△的面积; (2)求的值. 解: 19. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 中国“一带一路”战略构思提出后, 某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇, 决定开发生产一款大型电子设备,生产这种设备的年固定成本为万元, 每生产台,需另投入成本(万元),当年产量不足台时, (万元); 当年产量不小于台时 (万元), 若每台设备售价为万元,通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完. (1)求年利润 (万元)关于年产量(台)的函数关系式; (2)年产量为多少台时 ,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大? 20. (本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分) 已知函数定义域是,且,,当时,. (1)证明:为奇函数; (2)求在上的表达式; (3)是否存在正整数,使得时,有解,若存在求出的值,若不存在说明理由. 解: 21. (本题满分18分,第1小题满分6分,第2小题满分6分,第3小题满分6分) 若对任意的正整数,总存在正整数,使得数列的前项和,则称是“回归数列”. (1)①前项和为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由; ②通项公式为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由; (2)设是等差数列,首项,公差,若是“回归数列”,求的值; (3)是否对任意的等差数列,总存在两个“回归数列”和,使得成立,请给出你的结论,并说明理由. 2019届辽宁省丹东市东港七中高三年级数学学科期中考试卷答案 (考试时间:120分钟 满分:150分) 一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分) 1.已知集合,集合,则 . 2. .1 3.已知函数,则函数的最小正周期是 . 4.已知,若与平行,则 . 5. 过点的直线的方向向量,则的方程为 . 6. 已知,则 . 7. 若直线与直线之间的距离是,则 .0 8.设数列满足对任意的,满足,且,则数列的前项和为__________. 9. 如果定义在R上的函数满足:对于任意,都有 ,则称为“函数”.给出下列函数:①;②;③;④,其中“函数”的序号是 . ①③ 10. 设为的反函数,则的最大值为________. 11.对于数列,定义为的“优值”,现在已知某数列的“优值”,记数列的前项和为,若对任意的恒成立,则实数的取值范围是_________. 12. 已知,函数在区间上的最大值是5,则的取值范围是___________. 二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分) 13. 关于、的二元一次方程组的系数行列式为 ( C ) A. B. C. D. 14. 设都是不等于1的正数,则“”是“”的什么条件 ( B ) A .充分必要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.非充分非必要 15. 已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是 ( B ) A. B. C. D. 16.已知函数,则关于的不等式的解集为 ( A ) A . B. C. D. 三、解答题(本大题共有5题,满分76分) 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 已知在等比数列中,,且是和的等差中项. (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足,求的前项和. 解:(1)设公比为,则,, ∵是和的等差中项, ∴,, 解得或(舍), ∴. (2), 则. 18. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 在△中,内角、、所对的边分别为、、,已知,,. (1)求△的面积; (2)求的值. 解:(1)因为,所以由正弦定理得, 又,故,, 所以,因为,所以. 所以. (2)因为,, 所以,, ,因为,所以为锐角,所以(或由得到,). 所以,. 19. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 中国“一带一路”战略构思提出后, 某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇, 决定开发生产一款大型电子设备, 生产这种设备的年固定成本为万元, 每生产台,需另投入成本(万元), 当年产量不足台时, (万元); 当年产量不小于台时 (万元), 若每台设备售价为万元, 通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完. (1)求年利润 (万元)关于年产量(台)的函数关系式; (2)年产量为多少台时 ,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大? 解:(1)当时,; 当时,, . (2)当时,, 此时, 当时, 取得最大值, 最大值为1300.(万元); 当时, , 当且仅当,即时, 最大值为1500(万元), 所以, 当产量为90台时, 该企业在这一电子设备中所获利润最大,最大值为1500万元. 20. (本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分) 已知函数定义域是,且,,当时,. (1)证明:为奇函数; (2)求在上的表达式; (3)是否存在正整数,使得时,有解,若存在求出的值,若不存在说明理由. 解:(1),所以的周期为2, 所以,所以为奇函数. (2) 因为,所以当时,. (3)任取 所以不存在这样的,使得时,有解. 21. (本题满分18分,第1小题满分6分,第2小题满分6分,第3小题满分6分) 若对任意的正整数,总存在正整数,使得数列的前项和,则称是“回归数列”. (1)①前项和为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由; ②通项公式为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由; (2)设是等差数列,首项,公差,若是“回归数列”,求的值; (3)是否对任意的等差数列,总存在两个“回归数列”和,使得成立,请给出你的结论,并说明理由. 解:(1)①∵,作差法可得, 当时,; 当时,,存在,使得 ∴数列是“回归数列”. ②∵,∴前项和,根据题意 ∵一定是偶数,∴存在,使得 ∴数列是“回归数列”. (2),根据题意,存在正整数,使得成立 即,,, ∴,即. (3)设等差数列 总存在两个回归数列, 使得………9分 证明如下: 数列前项和, 时,;时,; 时,为正整数,当时,. ∴存在正整数,使得,∴是“回归数列” 数列前项和存在正整数,使得,∴是“回归数列”,所以结论成立. PAGE 1第 页

  • ID:3-5991132 2019届河南省焦作十三中高三上学期期末考试数学(文)试题

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    2019届河南省焦作十三中高三上学期期末考试 数学(文)试题 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设复数(是虚数单位),则的共轭复数为( ) A. B. C. D. 2.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 3.元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论,其中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图,若,,则输出的( ) A. B. C. D. 4.已知焦点在轴上的双曲线的两条渐近线方程为和,则该双曲线的离心率为( ) A.或 B.或 C. D. 5.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是( ) A. B. C. D. 6.某校初三年级有名学生,随机抽查了名学生,测试分钟仰卧起坐的成绩(次数),将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.用样本估计总体,下列结论正确的是( ) A.该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数的中位数为次 B.该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数的众数为次 C.该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数超过次的人数约有人 D.该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数少于次的人数约为人. 7.若,均为锐角且,,则( ) A. B. C. D. 8.甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试,甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩,老师给每个人只提供了其他三人的成绩.然后,甲说:我们四个人中至少两人不过关;乙说:我们四人中至多两人不过关;丙说:甲乙丁恰好有一人过关.假设他们说的都是真的,则下列结论正确的是( ) A.甲没过关 B.乙没过关 C.丙过关 D.丁过关 9.一个正六棱柱的主视图(由两个边长等于的正方形组成)如图所示,则该六棱柱的侧视图的面积为( ) A. B. C. D. 10.已知数列是公差不为的等差数列,,且,,成等比数列,设,则数列的前项和为( ) A. B. C. D. 11.“”是函数满足:对任意的,都有”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上,,,,平面,则此三棱锥外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷(共90分) 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.若函数,则 . 14.已知数列的前项和为,且,则 . 15.若,,点在圆的外部,则的范围是 . 16.直角梯形中,,,是边长为的正三角形,是平面上的动点,,设(,),则的最大值为 . 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知,,设函数 (1)求函数的单调增区间; (2)设的内角,,所对的边分别为,,,且,,成等比数列,求的取值范围. 18. 某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人) 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 未参加演讲社团 (1)能否由的把握认为参加书法社团和参加演讲社团有关? (附: 当时,有的把握说事件与有关;当,认为事件与是无关的) (2)已知既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中,有名男同学,,,,,名女同学,,.现从这名男同学和名女同学中各随机选人,求被选中且位被选中的概率. 19. 如图,在直三棱柱中,、分别为、的中点,,. (1)求证:平面; (2)求三棱锥的体积. 20.已知椭圆(),长轴长为,是左焦点,是椭圆上一点且在第二象限,轴,. (1)求椭圆标准方程; (2)若()是椭圆上任意一点,过原点作圆:的两条切线,分别交椭圆于,,求证:. 21. 已知函数,为自然对数的底数. (1)若函数在处的切线方程为,求实数的值; (2)讨论的单调性. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数) (1)求曲线的直角坐标方程及曲线的极坐标方程; (2)当()时在曲线上对应的点为,若的面积为,求点的极坐标,并判断是否在曲线上(其中点为半圆的圆心) 23.选修4-5:不等式选讲 已知函数,且不等式的解集为. (1)求实数的值; (2)若关于的不等式解集非空,求实数的取值范围. 2019届河南省焦作十三中期末考试高三试题 数学(文)参考答案 一、选择题 1-5:BAADC 6-10:CBBCD 11、12:AC 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.解:(1) 令 则, 所以函数单调递增区间为, (2)由可知 (当且仅当时,取等号) 所以 综上的取值范围为 18.解:(1)由调查数据可知, 没有的把握认为参加书法社团和参加演讲社团有关. (2)从这名男同学和名女同学中各随机选人,其一切可能的结果组成的基本事件有: ,,,,,,,,,,,,,,共个. 根据题意,这些基本事件的出现是等可能的. 事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有:,,共个. 因此,被选中且为被选中的概率为 19.解:(1)设为边的中点,连接, ∵,分别为,的中点 ∴, 又∵, ∴, ∴ 四边形为平行四边形. ∴ 又平面,平面, ∴平面 (2)在直三棱柱中 又 平面,平面, ∴平面 知 由(1)平面知:到平面的距离等于到平面的距离 ∴ 20.解:(1)由题意可知 ∴ 椭圆标准方程为 (2)当直线,斜率存在时()并记作, 设过原点和圆相切的直线方程为 所以有整理得: * 可知,是*方程的两个根 ∴ 综上可知, 21.解:(1)∵, ∴ (2)) ①当时, ,,函数递减; 时,,函数递增; ②当时,, ,,,函数递增; ,,,函数递减; 当,,,函数递增; ③当时,,函数在递增; ④当时,, ,,,函数递增; ,,,函数递减;22. ,,,函数递增. 22.解:(1)曲线的普通方程为 曲线的极坐标方程为:,() (2)设的极坐标为,() ∴ 所以点的极坐标为,符合方程, 所以点在曲线上. 23.解:(1)由,得 ∴得 (2)由题意可知解集非空 ∵ 所以 所以或 实数的取值范围为 PAGE 1 第页

  • ID:3-5991131 2019届河南省焦作十三中高三上学期期末考试数学(理)试题

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    2019届河南省焦作十三中高三上学期期末考试 数学(理)试题 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设复数(是虚数单位),则的共轭复数为( ) A. B. C. D. 2.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 3.元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论,其中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程序图,若,,则输出的( ) A. B. C. D. 4.已知双曲线的两条渐近线方程为和,则该双曲线的离心率为( ) A.或 B.或 C. D. 5.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是( ) A. B. C. D. 6.某校初三年级有名学生,随机抽查了名学生,测试分钟仰卧起坐的成绩(次数),将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.用样本估计总体,下列结论正确的是( ) A.该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数的中位数为次 B.该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数的众数为次 C.该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数超过次的人数约有人 D.该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数少于次的人数约为人. 7.若,均为锐角且,,则( ) A. B. C. D. 8.甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试,甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩,老师给每个人只提供了其他三人的成绩.然后,甲说:我们四个人中至少两人不过关;乙说:我们四人中至多两人不过关;丙说:甲乙丁恰好有一人过关.假设他们说的都是真的,则下列结论正确的是( ) A.甲没过关 B.乙没过关 C.丙过关 D.丁过关 9.一个正六棱柱的主视图(由两个边长等于的正方形组成)如图所示,则该六棱柱的侧视图的面积为( ) A. B. C. D. 10.已知数列是公差不为的等差数列,,且,,成等比数列,设,则数列的前项和为( ) A. B. C. D. 11.“”是函数满足:对任意的,都有”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上,,,,平面,则此三棱锥外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷(共90分) 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.若,则 . 14.已知数列的前项和为,且,则 . 15.若,,点在圆的外部,则的范围是 . 16.直角梯形中,,,是边长为的正三角形,是平面上的动点,,设(,),则的最大值为 . 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知,,设函数 (1)求函数的单调增区间; (2)设的内角,,所对的边分别为,,,且,,成等比数列,求的取值范围. 18. 某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人) 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 未参加演讲社团 (1)能否由的把握认为参加书法社团和参加演讲社团有关? (附: 当时,有的把握说事件与有关;当,认为事件与是无关的) (2)已知既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中,有名男同学,名女同学.现从这名男同学和名女同学中选人参加综合素质大赛,求被选中的男生人数的分布列和期望. 19. 如图,在直三棱柱中,、分别为、的中点,,. (1)求证:平面平面; (2)若直线和平面所成角的正弦值等于,求二面角的平面角的正弦值. 20. 已知椭圆(),长轴长为,是左焦点,是椭圆上一点且在第二象限,轴,是右顶点,是上顶点,且. (1)求椭圆标准方程; (2)若是椭圆上任意一点,过原点作圆:的两条切线,分别交椭圆于,,求证:. 21. 已知函数,为自然对数的底数. (1)讨论的单调性; (2)当时,研究函数零点的个数. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线的极坐标方程为,,曲线的参数方程为(为参数) (1)求曲线的直角坐标方程及曲线的极坐标方程; (2)当()时在曲线上对应的点为,若的面积为,求点的极坐标,并判断是否在曲线上(其中点为半圆的圆心) 23.选修4-5:不等式选讲 已知函数,且不等式的解集为. (1)求实数的值; (2)若关于的不等式解集非空,求实数的取值范围. 2019届河南省焦作十三中上学期期末考试高三试题 数学(理)参考答案 一、选择题 1-5:BDAAC 6-10:CBBCD 11、12:BD 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.解:(1) 令 则, 所以函数单调递增区间为, (2)由可知 (当且仅当时,取等号) 所以 综上的取值范围为 18.解:(1)由调查数据可知, 没有的把握认为参加书法社团和参加演讲社团有关. (2)被选中的男生人数的取值为,,, 则 分布列为 期望 19.解:(1)在直三棱柱中 又 平面,平面, ∴平面 又∵平面 ∴平面平面. (2)由(1)可知 以点为坐标原点,为轴正方向,为轴正方向,为轴正方向,建立坐标系.设 ,,,,,,, 直线的方向向量,平面的法向量 可知∴ ,, 设平面的法向量 ∴∴ 设平面的法向量 ∴∴ 记二面角的平面角为 ∴ 二面角的平面角的正弦值为 20.解:(1)由题意可知 ∴ 椭圆标准方程为 (2)当直线,斜率存在时()并记作, 设过原点和圆相切的直线方程为 所以有整理得: * 可知,是*方程的两个根 ∴ ∴ 当、中有一条直线的斜率不存在时,圆和轴相切,此时,可得,仍有 综上可知, 21.解:(1) ①当时, ,,函数递减; 时,,函数递增; ②当时,, ,,,函数递增; ,,,函数递减; 当,,,函数递增; ③当时,,函数在递增; ④当时,, ,,,函数递增; ,,,函数递减;22. ,,,函数递增. (2)由(1)知,当时, 所以函数在内无零点 而 所以函数在内存在一个零点. 综上可知:时,函数恰有个零点. 22.解:(1)曲线的普通方程为() 曲线的极坐标方程为:,() (2)设的极坐标为,() ∴ 所以点的极坐标为,不符合方程, 所以点不在曲线上. 23.解:(1)由,得 ∴得 (2)由题意可知解集非空 ∵ 所以 所以或 实数的取值范围为 PAGE 1 第页

  • ID:3-5991095 2019届浙江省杭州市萧山九中高三上学期期末考试数学试题

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    2019届浙江省杭州市萧山九中高三上学期期末考试数学试题 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.每小题的选项中只有一项是正确的. 1.命题“若,则”的否命题是 ( ) A.“若,则” B.“若,则” C.“若,则” D.“若,则” 2. 已知,,且,则向量与向量的夹角是 ( ) A. B. C. D. 3.函数的单调递增区间是 ( )A. B. C. D. 4.某个命题与正整数有关,若时该命题成立,那么可推得时该命题也成立,现在已知当时该命题不成立,那么可推得( ) A.当时,该命题不成立 B.当时,该命题成立 C.当时,该命题不成立D.当时,该命题成立 5. 某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则 ( ) A.B.C. D. 6. 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,则它被甲击中的概率为( ) A.0.45 B.0.6 C.0.65 D.0.75 7. 已知圆上任一点,其坐标均使得不等式≥0恒成立,则实数的取值范围是() A.B.C.D. 8.已知则的最小值是 ( ) A.B.C.2D.1 9. 如果数列满足是首项为1,公比为2的等比数列,则等于 ( ) A.2100 B.299 C.25050 D.24950 10.已知P为抛物线上的动点,点P在x轴上的射影为M,点A的坐标是,则的最小值是 ( ) A.8 B. C.10 D. 11. 已知是定义在上的奇函数,时,则函数的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 12. 锐角三角形ABC中,若, 则的范围是 ( )A. B. C. D. 二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡上相应的位置. 13.设i是虚数单位,则________ 14.与棱长为1的正方体所有棱都相切的球的体积为_________ 15.在二项式的展开式中只有第5项的系数最大,则=_________ 16.已知点为的外心,且,则__________ 三、解答题:共6个小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为. (Ⅰ)求曲线的普通方程并求曲线上一动点到定点的最远距离; (Ⅱ)设是曲线上两动点,且,求的值. 18.(本小题满分12分) 设数列满足. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)设,求数列的前项和. 19.(本小题满分12分) 一个口袋里有8只大小、质量都一样的球, 编号为两个1, 两个2, 两个3, 两个4, 在袋中同时取出3只球(每个球被取到的概率是相同的). (Ⅰ)求取出的3个球中至少有1个4号球的概率; (Ⅱ)设ξ为取出的3球中的最小号码,求ξ的分布列及数学期望. 20.(本小题满分12分) 在如图所示的多面体中,已知正方形ABCD和直角梯形 BDEF所在的平面互相垂直,EF/ / BD,ED⊥BD,AD, EF =ED =1,点P为线段EF上任意一点. (Ⅰ)求证:CFAP; (Ⅱ)若直线和平面所成角的正弦值为,求的值. 21.(本小题满分12分) 椭圆的左右焦点分别为,离心率为,过点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为,直线与椭圆交于不同的,两点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若在椭圆上存在点满足:(为坐标原点).求实数的取值范围. 22.(本小题满分12分) 已知函数. (Ⅰ)若函数存在单调递减区间,则求取值范围; (Ⅱ)若时存在唯一正整数使,则求的取值范围. 期末考试数学试题参考答案 1~12.CBBCAD AADBDC 13. 14.15.16. 17.解:(Ⅰ); (Ⅱ)代入曲线得, 设,则由得 , 18.解:(Ⅰ) (Ⅱ) 19.解:(Ⅰ)设“取出的3个球中至少有1个4号球”为事件A,则 (Ⅱ); ; 分布列为: ξ 1 2 3 P 20.解:(Ⅰ)∵平面BDEF平面ABCD,ED⊥BD,∴ED⊥平面ABCD(2分) 连接AC交BD于点O,连接FO,∵正方形ABCD的边长为,∴AC=BD=2; 在直角梯形BDEF中,∵EF= ED =1,O为BD中点,∴FO∥ED,且; 易求得,,由勾股定理知CF⊥EF,AF⊥EF 由,AC= 2可知CF⊥AF.EF∩AF=F,∴CF⊥平面AEF ∵点P为线段EF上任意一点,∴AP平面AEF ∴CFAP ———(6分) (Ⅱ)设 设点F到平面ACE的距离为,则 (向量方法,未证明ED⊥平面ABCD直接建系,而后续部分全部正确的扣2分) 21.解:(Ⅰ)由已知得 (Ⅱ)设 由 由得: 再 综上 22.解:(Ⅰ)由题意知存在区间解,显然 若,则存在区间解,设,, 在上递减,在上递增,,此时,———3分 若,则存在区间解,设,,在上递减, 又, 综上所述, (由数形结合直接得到结果的扣2分) (Ⅱ),设, 则,———8分 由题意可得,———11分 解之得 x>1? 是 PAGE 1第 页

  • ID:3-5990985 2019届浙江省舟山市嵊泗中学高三上学期期末联考数学试题

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    2019届浙江省舟山市嵊泗中学高三上学期期末联考数学试题 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合,集合,则( ) A. B. C. D. 2.计算复数的结果是( ) A. B. C. D. 3.函数定义域为( ) A. B. C. D. 4.对于非零向量是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为( ) A. B. C. D. 6.下图为一个几何体的侧视图和俯视图,若该几何体的体积为,则它的正视图为( ) A. B. C. D. 7.等比数列的前三项和,若成等比数列,则公比( ) A.或 B. C. D.或 8.执行如图所示的程序框图,若输出的,则输入的整数的最大值是( ) A. B. C. D. 9.有黑、白、红三种颜色的小球各个,都分别标有数字,现取出个,要求这个球数字不相同但三种颜色齐备,则不同的取法种数有( ) A.种 B.种 C.种 D.种 10.过双曲线的右焦点和虚轴的一端点作一条直线,若右顶点到直线的距离等于,则该双曲线的离心率为( ) A. B. C.或 D. 11.已知函数满足,若在上为偶函数,且其解析式为,则的值为( ) A. B. C. D. 12.设是上的可导函数,分别为的导函数,且满足,则当时,有( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷(共90分) 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.若为第二象限角,则. 14.的展开式中项的系数为. 15.不难证明:一个边长为,面积为的正三角形的内切圆半径,由此类比到空间,若一个正四面体的一个面的面积为,体积为,则其内切球的半径为. 16.在平行四边形中,,边的边长分别为,若分别是边上的点,且满足,则的取值范围是. 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知在中,,且 (1)求角的大小; (2)设数列满足,前项和为,若,求的值. 18.已知从地去地有①或②两条路可走,并且汽车走路①堵车的概率为,汽车走路②堵车的概率为,若现在有两辆汽车走路①,有一辆汽车走路②,且这三辆车是否堵车相互之间没有影响, (1)若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为,求走路②堵车的概率; (2)在(1)的条件下,求这三辆汽车中被堵车辆的辆数的分布列和数学期望. 19.如图所示,平面,点在以为直径的⊙上,,,点在上,且, (1)求证:平面平面; (2)设二面角的大小为,求的值. 20.已知椭圆的离心率,过点和的直线与原点的距离为 (1)求椭圆的方程; (2)已知定点,若直线与椭圆交于两点,问:是否存在的值,使以为直径的圆过点,请说明理由. 21.已知常数项为的函数的导函数为,其中为常数. (1)当时,求的最大值; (2)若在区间(为自然对数的底数)上的最大值为,求的值. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,取相同的长度单位,若曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数),设是曲线上任一点,是曲线上任一点. (1)求与交点的极坐标; (2)已知直线,点在曲线上,求点到的距离的最大值. 23.选修4-5:不等式选讲 已知函数. (1)求不等式的解集; (2)若不等式的解集为,求的取值范围. 试卷答案 一、选择题 1-5: 6-10: 11、12: 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.解:(1) 由已知,又,所以, 又由,所以,所以, 所以为直角三角形,, (2) 所以,由 解得,所以,所以或 18.解:(1)由已知条件得, 即,则 (2)可能的取值为 ,,, 的分布列为 所以 19.(1)证明:点在以为直径的上, ,即, 而平面,平面, 则, 平面,平面,,,平面, 而平面 平面平面. (2)如图,以为原点,所在的直线为轴,所在的直线为轴,建立空间直角坐标系 , 延长交于点, , ,则 设平面的法向量是 由得,令,则 得,同理可求平面的一个法向量 20.(1)直线方程为:, 依题意,解得 所以椭圆方程为. (2)假若存在这样的值,由,得 ① 设,则② 而 要使以为直径的圆过点,当且仅当时,则,即 ③ 将②带入③整理解得,经检验,使①成立 综上可知存在,使得以CD为直径的圆过点E. 21.(1)因为 当时, 当时,,当时,, 在上是增函数,在上是减函数, (2) ①若,则在上是增函数, ,不合题意, ②若,则由,即,由,从而在上为增函数,在上为减函数, , 令则,即 为所求. 22.(1)的直角坐标方程为,的普通方程为 由,得或 又, 所以与的交点极坐标为与 (2)圆的圆心到直线的距离为,圆半径为2 所以点到的距离的最大值为. 23.(1)由题意得,即,得 解得,所以的取值范围是. (2) 因为对于,由绝对值的三角形不等式得 于是,得,即的取值范围是 PAGE 9 第页

  • ID:3-5917367 [精] 2019年上海高考数学考前适应性练习四

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    中小学教育资源及组卷应用平台 2019上海高考考前适应性练习四 姓名: 得分: 填空题: 已知为虚数单位,计算:___________. 二项式的展开式中含项的系数值是_____________. 3、设且,若函数的反函数的图像经过定点,则点的坐标是___________. 4、等差数列中,,则该数列的前项和 . 5、当实数、满足不等式组时,目标函数的最大值为_________. 6、若关于的方程组有无穷多组解,则的值为 . 7、若点在直线上,则 . 8、在△中,,则=__________. 9、已知关于的不等式的解集为,则实数的取值范围 . 10、抛掷一枚质地均匀的骰子,记向上的点数是偶数的事件为,向上的点数大于且小于或等于的事件为,则事件的概率____________. 11、已知点()和抛物线:,过的焦点的直线与交于、 两点,若,且,则 . 12、已知数列是首项为,公差为的等差数列,若数列是等比数列,则其公比为________________. 选择题: 13、,,是成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14、函数的递减区间是( ) A.  B. C. D. 15、已知、表示不同的平面,、表示不同的直线,则下列命题中不正确的是( ) A.若⊥,,则      B.,,则 C.若,,则   D.若⊥,⊥,则 16、若动点的横坐标、纵坐标使、、成等差数列,则点的轨迹图形 是( ) 解答题: 17、如图,已知点在圆柱的底面圆上,为圆的直径,圆柱的表面积为,,。 (1)求异面直线与所成角的大小;(结果用反三角函数值表示) (2)求点到平面的距离。 18、设函数,其中向量,,, 且的图象经过点. (1)求实数的值; (2)求的值域. 19、已知函数. (1) 当时,求函数的最小值; (2) 若对任意,恒成立,试求实数的取值范围; 20、设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2,且△AB1B2是面积为的直角三角形.过B1作直线l交椭圆于P、Q两点. (1) 求该椭圆的标准方程; (2) 若,求直线l的方程; (3) 设直线l与圆O:x2+y2=8相交于M、N两点,令|MN|的长度为t,若t∈,求△B2PQ的面积的取值范围. 21、已知递增的等差数列的首项,且、、成等比数列. (1)求数列的通项公式; (2)设数列对任意,都有成立,求的值. (3)若,求证:数列中的任意一项总可以表示成其他两项之积. ] 参考答案 填空题: 已知为虚数单位,计算:___________. 二项式的展开式中含项的系数值是_____________. 3、设且,若函数的反函数的图像经过定点,则点的坐标是___________. 4、等差数列中,,则该数列的前项和 .52 5、当实数、满足不等式组时,目标函数的最大值为_________6 6、若关于的方程组有无穷多组解,则的值为 . 7、若点在直线上,则 . 8、在△中,,则=__________. 9、已知关于的不等式的解集为,则实数的取值范围 . 10、抛掷一枚质地均匀的骰子,记向上的点数是偶数的事件为,向上的点数大于且小于或等于的事件为,则事件的概率____________. 11、已知点()和抛物线:,过的焦点的直线与交于、 两点,若,且,则 . 12、已知数列是首项为,公差为的等差数列,若数列是等比数列,则其公比为________________. 选择题: 13、,,是成立的( )A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14、函数的递减区间是( )C A.  B. C. D. 15、已知、表示不同的平面,、表示不同的直线,则下列命题中不正确的是( )C A.若⊥,,则      B.,,则 C.若,,则   D.若⊥,⊥,则 16、若动点的横坐标、纵坐标使、、成等差数列,则点的轨迹图形 是( )C 解答题: 17、如图,已知点在圆柱的底面圆上,为圆的直径,圆柱的表面积为,,。 求异面直线与所成角的大小; (结果用反三角函数值表示) (2)求点到平面的距离。 【解】(1)以为原点,分别以,为,轴的正向,并以的垂直平分线为轴,建立空间直角坐标系. 由题意,解得. 易得相关点的坐标分别为:,,,. 得,, 设与的夹角为,异面直线 与所成的角为, 则,得, 即异面直线 与所成角的大小为. (2)设平面的法向量为,则 , 取,得平面的一个法向量为,且, 所以点到平面的距离。 18、设函数,其中向量,,, 且的图象经过点. (1)求实数的值; (2)求的值域. 【解】(1) ∵图象经过点, ∴,解得. (2)当时,, , ∴ 19、已知函数. (1) 当时,求函数的最小值; (2) 若对任意,恒成立,试求实数的取值范围; (3) 讨论函数的零点个数. 20、设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2,且△AB1B2是面积为的直角三角形.过B1作直线l交椭圆于P、Q两点. (1) 求该椭圆的标准方程; (2) 若,求直线l的方程; (3) 设直线l与圆O:x2+y2=8相交于M、N两点,令|MN|的长度为t,若t∈,求△B2PQ的面积的取值范围. 【解】(1)设所求椭圆的标准方程为,右焦点为. 因△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2=90?,得c=2b 在Rt△AB1B2中,,从而. 因此所求椭圆的标准方程为: (2)由(1)知,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为:,代入椭圆方程得, 设P(x1, y1)、Q(x2, y2),则y1、y2是上面方程的两根,因此, ,又,所以 由,得=0,即,解得; 所以满足条件的直线有两条,其方程分别为:x+2y+2=0和x–2y+2=0 (3) 当斜率不存在时,直线,此时, 当斜率存在时,设直线,则圆心到直线的距离, 因此t=,得 联立方程组:得,由韦达定理知, ,所以, 因此. 设,所以,所以 综上所述:△B2PQ的面积 21、已知递增的等差数列的首项,且、、成等比数列. (1)求数列的通项公式; (2)设数列对任意,都有成立,求的值. (3)若,求证:数列中的任意一项总可以表示成其他两项之积. 【解】(1)∵是递增的等差数列,设公差为 、、成等比数列,∴ 由 及得 ∴ (2)∵, 对都成立 当时,得 当时,由①,及② ①-②得,得 ∴ ∴ (3)对于给定的,若存在,使得 ∵,只需, 即,即 即, 取,则 ∴对数列中的任意一项,都存在和 使得 [来源:学科网ZXXK] 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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  • ID:3-5877083 2011-2018高考数列压轴汇总

    高中数学/期末专区/高三

    2011~2018 年上海高考数学压轴题汇总 2011 文 已知数列 { }na 和 { }nb 的通项公式分别为 3 6na n? ? , 2 7nb n? ? ( *)n N? .将集合 { , *} { , *}n nx x a n N x x b n N? ? ? ?? 中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列 , 构 成 数 列 1 2 3, , , , ,nc c c c? ? (1)求三个最小的数,使它们既是数列{ }na 中的项,又是数列{ }nb 中的项; (2)数列 1 2 3 40, , , ,c c c c? 中有多少项不是数列{ }nb 中的项?请说明理由; (3)求数列{ }nc 的前4n项和 4 ( *)nS n N? . 2011 理 已知数列 ? ?na 和 ? ?nb 的通项公式分别为 3 6, 2 7, ( )n na n b n n N ?? ? ? ? ? . 将集合 ? ? ? ?, ,n nx x a n N x x b n N? ?? ? ? ?? 中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列 , 构 成 数 列 1 2 3, , , , ,nc c c c? ? (1)写出 1 2 3 4, , ,c c c c ; (2)求证:在数列? ?nC 中,但不在数列? ?nb 中的项恰为 2 4 2, , , ,na a a? ?; (3)求数列? ?nC 的通项公式. 2012 文 对于项数为 m 的有穷数列? ?na ,记 ? ?1 2max , ,...,k kb a a a? ( 1, 2,...,k m? ),即 kb 为 1 2, ,..., ka a a 中的最大值,并称数列? ?nb 是? ?na 的控制数列,如 1,3,2,5,5 的控制数列 是 1,3,3,5,5 (1)若各项均为正整数的数列? ?na 的控制数列为 2,3,4,5,5,写出所有的? ?na (2)设? ?nb 是? ?na 的控制数列,满足 1k m ka b C? ?? ? (C为常数, 1, 2,...,k m? ),求证: k kb a? ( 1, 2,...,k m? ) (3)设 100m ? ,常数 1 ,1 2 a ? ??? ? ? ? ,若 ( 1) 2 2( 1) n n na an n ? ? ? ? ,? ?nb 是? ?na 的控制数列, 求 1 1 2 2( ) ( )b a b a? ? ? ? 100 100... ( )b a? ? 2012 理 对于数集 ? ?1 21, , ,..., nX x x x? ? ,其中 1 20 ... nx x x? ? ? ? , 2n ? ,定义向量集 ? ?( , ), ,Y a a s t s X t X? ? ? ?? ? ,若对任意 1a Y??? ,存在 2a Y???? ,使得 1 2 0a a? ??? ??? ,则称 X 具有性质P,例如? ?1,1, 2? 具有性质P (1)若 2x ? ,且? ?1,1, 2, x? 具有性质P,求 x的值 (2)若 X 具有性质P,求证:1 X? ,且当 1nx ? 时, 1 1x ? (3)若 X 具有性质P,且 1 1x ? 、 2x q? (q为常数),求有穷数列 1 2, ,..., nx x x 的通项公 式 2013 文 已知函数 ( ) 2f x x? ? ,无穷数列? ?na 满足 1 ( )n na f a? ? , *n N? . (1)若 1 0a ? ,求 2 3 4, ,a a a ; (2)若 1 0a ? ,且 1 2 3, ,a a a 成等比数列,求 1a 的值; (3)是否存在 1a ,使得 1 2, , , ,na a a? ?成等差数列?若存在,求出所有这样的 1a ;若不存 在,说明理由. 2013 理 给定常数 0c ? ,定义函数 ( ) 2 4f x x c x c? ? ? ? ? .数列 1 2 3, , ,a a a ?满足 1 ( )n na f a? ? , *n N? . (1)若 1 2a c? ? ? ,求 2a 及 3a ; (2)求证:对任意 *n N? , 1n na a c? ? ? ; (3)是否存在 1a ,使得 1 2, , , ,na a a? ?成等差数列?若存在,求出所有这样的 1a ;若不存 在,说明理由 2014 文 已知数列? ?na 满足 1 1 3 3 n n n a a a?? ? , *n?N , 1 1a ? . (1)若 2 3 42 , , 9a a x a? ? ? ,求 x的取值范围; (2)若? ?na 是等比数列,且 1 1000m a ? ,求正整数 m的最小值,以及 m取最小值时相应 ? ?na 的公比; (3)若 1 2 100, , ,a a a? 成等差数列,求数列 1 2 100, , ,a a a? 的公差的取值范围 2014 理 已知数列? ?na 满足 1 1 3 3 n n n a a a?? ? , *n?N , 1 1a ? . (1)若 2 3 42 , , 9a a x a? ? ? ,求 x的取值范围; (2)设? ?na 是公比为q的等比数列, 1 2n nS a a a? ? ? ?? . 若 1 1 3 3 n n n S S S?? ? , *n?N ,求q的取值范围; (3)若 1 2, , , ka a a? 成等差数列,且 1 2 1000ka a a? ? ? ?? ,求正整数k的最大值,以 及 k取最大值时相应数列 1 2, , , ka a a? 的公差 2015 文 已知数列{ }na 与{ }nb 满足 1 12( )n n n na a b b? ?? ? ? ,n? *N (1)若 3 5nb n? ? ,且 1 1a ? ,求{ }na 的通项公式; (2)设{ }na 的第 0n 项是最大项,即 0n na a? ( )n? *N ,求证{ }nb 的第 0n 项是最大项; (3)设 1 3 0a ?? ? , n nb ?? ( )n? *N ,求?的取值范围,使得对任意m、 n? *N , 0na ? ,且 1 ( ,6) 6 m n a a ? 2015 理 已知数列{ }na 与{ }nb 满足 1 12( )n n n na a b b? ?? ? ? ,n? *N (1)若 3 5nb n? ? ,且 1 1a ? ,求{ }na 的通项公式; (2)设{ }na 的第 0n 项是最大项,即 0n na a? ( )n? *N ,求证{ }nb 的第 0n 项是最大项; (3)设 1 0a ?? ? , n nb ?? ( )n? *N ,求?的取值范围,使得{ }na 有最大值M 与最 小值m,且 ( 2, 2) M m ? ? 2016 文 对于无穷数列{ }na 与{ }nb ,记 *{ | , }nA x x a n N? ? ? , *{ | , }nB x x b n N? ? ? ,若同 时满足条件:①{ }na ,{ }nb 均单调递增;② A B ? ?? 且 *A B N?? ,则称{ }na 与{ }nb 是 无穷互补数列; (1)若 2 1na n? ? , 4 2nb n? ? ,判断{ }na 与{ }nb 是否为无穷互补数列,并说明理由; (2)若 2nna ? 且{ }na 与{ }nb 是无穷互补数列,求数列{ }nb 的前 16 项的和; (3)若{ }na 与{ }nb 是无穷互补数列,{ }na 为等差数列,且 16 36a ? ,求{ }na 与{ }nb 的通 项公式; 2016 理 无穷数列{ }na 满足:只要 p qa a? ( *,p q N? ),必有 1 1p qa a? ?? ,则称{ }na 具有性质P; (1)若{ }na 具有性质P,且 1 1a ? , 2 2a ? , 4 3a ? , 5 2a ? , 6 7 8 21a a a? ? ? ,求 3a ; (2)若无穷数列{ }nb 是等差数列,无穷数列{ }nc 是公比为正数的等比数列, 1 5 1b c? ? , 5 1 81b c? ? , n n na b c? ? ,判断{ }na 是否具有性质P,并说明理由; (3)设{ }nb 是无穷数列,已知 1 sinn n na b a? ? ? ( *n N? ),求证:“对任意 1a ,{ }na 都具 有性质P ”的充要条件为“{ }nb 是常数列”; 2017 根据预测,某地第n *( )n?N 个月共享单车的投放量和损失量分别为 na 和 nb (单位:辆), 其中 45 15, 1 3 10 470, 4 n n n a n n ? ? ? ??? ? ? ? ??? , 5nb n? ? ,第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的 累计投放量与累计损失量的差. (1)求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量; (2)已知该地共享单车停放点第 n个月底的单车容纳量 24( 46) 8800nS n? ? ? ? (单位: 辆). 设在某月底,共享单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点的单车容 纳量? 2018 给定无穷数列{ }na ,若无穷数列{ }nb 满足:对任意n? *N ,都有 | | 1n nb a? ? ,则称 { }nb 与{ }na “接近”. (1)设{ }na 是首项为 1,公比为 1 2 的等比数列, 1 1n nb a ?? ? ,n? *N ,判断数列{ }nb 是 否与{ }na 接近,并说明理由; (2)设数列{ }na 的前四项为: 1 1a ? , 2 2a ? , 3 4a ? , 4 8a ? ,{ }nb 是一个与{ }na 接近 的数列,记集合 { | , 1,2,3,4}iM x x b i? ? ? ,求M 中元素的个数m; (3)已知{ }na 是公差为d 的等差数列,若存在数列{ }nb 满足:{ }nb 与{ }na 接近,且在 2 1b b? , 3 2b b? , ? ? ?, 201 200b b? 中至少有 100 个为正数,求d 的取值范围. 2011~2018 年上海高考数学压轴题答案汇总 2011 文 23.(1)9、15、21; (2)10 项,分别为 12、18、24、30、36、42、48、54、60、66 (3)即求首项为 45,公差为 24 的等差数列的前 n项和, 24 12 33nS n n? ? 2011 理 22.(1) 1 2 3 49, 11, 12, 13c c c c? ? ? ? ; (2)① 任意 *n N? ,设 2 1 3(2 1) 6 6 3 2 7n ka n n b k? ? ? ? ? ? ? ? ? ,则 3 2k n? ? , 即 2 1 3 2n na b? ?? ② 假设 2 6 6 2 7n ka n b k? ? ? ? ? ? *13 2 k n N? ? ? (矛盾),∴ 2 { }n na b? ∴ 在数列{ }nc 中、但不在数列{ }nb 中的项恰为 2 4 2, , , ,na a a? ? (3) 3 2 2 12(3 2) 7 6 3k kb k k a? ?? ? ? ? ? ? , 3 1 6 5kb k? ? ? , 2 6 6ka k? ? , 3 6 7kb k? ? ∵ 6 3 6 5 6 6 6 7k k k k? ? ? ? ? ? ? ∴ 当 1k ? 时,依次有 1 1 1 2 2 2 3 3 4, , ,b a c b c a c b c? ? ? ? ? ,…… ∴ * 6 3 ( 4 3) 6 5 ( 4 2) , 6 6 ( 4 1) 6 7 ( 4 ) n k n k k n k c k N k n k k n k ? ? ?? ? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ?? ,即 3 15 , 2 1 2 3 16 , 4 2 2 3 14 , 4 2 n n n k n c n k n n k ?? ? ?? ? ??? ? ?? ? ?? ??? , *k N? 2012 文 23.(1)数列 }{ na 为:2, 3, 4, 5, 1;2, 3, 4, 5, 2;2, 3, 4, 5, 3;2, 3, 4, 5, 4;2, 3, 4, 5, 5. (2)因为 },,,max{ 21 kk aaab ?? , },,,,max{ 1211 ?? ? kkk aaaab ? , 所以 kk bb ??1 . 因为 Cba kmk ?? ?? 1 , Cba kmk ?? ??1 , 所以 011 ???? ???? kmkmkk bbaa ,即 kk aa ??1 . 因此, kk ab ? . (3)对 25,,2,1 ??k , )34()34( 234 ????? kkaa k ; )24()24( 2 24 ????? kkaa k ; )14()14( 214 ????? kkaa k ; )4()4( 2 4 kkaa k ?? . 比较大小,可得 3424 ?? ? kk aa . 因为 12 1 ?? a ,所以 0)38)(1(2414 ????? ?? kaaa kk ,即 1424 ?? ? kk aa ; 0)14)(12(2244 ????? ? kaaa kk ,即 244 ?? kk aa . 又 kk aa 414 ?? ,从而 3434 ?? ? kk ab , 2424 ?? ? kk ab , 2414 ?? ? kk ab , kk ab 44 ? . 因此 )()()( 1001002211 ababab ?????? ? = )()()()()( 9999141410107733 ababababab kk ??????????? ?? ?? = )()()()()( 999814241097632 aaaaaaaaaa kk ??????????? ?? ?? =? ? ?? ? 25 1 1424 )( k kk aa = ? ? ?? 25 1 )38()1( k ka = )1(2525 a? 2012 理 23.(1)选取 ,Y中与 垂直的元素必有形式 . 所以 x=2b,从而 x=4. (2)证明:取 .设 满足 . 由 得 ,所以 、 异号. 因为-1 是 X中唯一的负数,所以 、 中之一为-1,另一为 1, 故 1?X. 假设 ,其中 ,则 . 选取 ,并设 满足 ,即 , 则 、 异号,从而 、 之中恰有一个为-1. 若 =-1,则 2,矛盾; 若 =-1,则 ,矛盾. 所以 x1=1. (3)[解法一]猜测 ,i=1, 2, …, n. 记 ,k=2, 3, …, n. 先证明:若 具有性质 P,则 也具有性质 P. 任取 , 、 ? .当 、 中出现-1 时,显然有 满足 ; 当 且 时, 、 ≥1. )2,(1 xa ? 1a ),1( b? Yxxa ?? ),( 111 Ytsa ?? ),(2 021 ??aa 0)( 1 ?? xts 0?? ts s t s t 1?kx nk ??1 nxx ??? 10 1 Yxxa n ?? ),( 11 Ytsa ?? ),(2 021 ??aa 01 ?? ntxsx s t s t s t nn xssxx ??? 1 1?? ii qx },,,1,1{ 2 kk xxA ??? 1?kA kA ),(1 tsa ? s t kA s t 2a 021 ??aa 1??s 1??t s t 因为 具有性质 P,所以有 , 、 ? ,使得 , 从而 和 中有一个是-1,不妨设 =-1. 假设 ? 且 ? ,则 .由 , 得 ,与 ? 矛盾.所以 ? .从而 也具有性质 P. 现用数学归纳法证明: ,i=1, 2, …, n. 当 n=2 时,结论显然成立; 假设 n=k时, 有性质 P,则 ,i=1, 2, …, k; 当n=k+1时,若 有性质P,则 也有性质 P,所以 . 取 ,并设 满足 ,即 .由此可得 s 与 t中有且只有一个为-1. 若 ,则 1,不可能; 所以 , ,又 ,所以 . 综上所述, ,i=1, 2, …, n. [解法二]设 , ,则 等价于 . 记 ,则数集 X具有性质 P 当且仅当数集 B关于 原点对称. 注意到-1 是 X中的唯一负数, 共有 n-1 个数, 所以 也只有 n-1 个数. 由于 ,已有 n-1 个数,对以下三角数阵 …… 注意到 ,所以 ,从而数列的通项公式为 ,k=1, 2, …, n. 1?kA ),( 112 tsa ? 1s 1t 1?kA 021 ??aa 1s 1t 1s 1t 1?kA 1t kA 11 ?? kxt 0),1(),( 1 ??? ?kxts 11 ?? ?? kk xtxs s kA 1t kA kA 1?? ii qx },,,1,1{ 2 kk xxA ??? 1?? ii qx },,,,1,1{ 121 ?? ?? kkk xxxA ? },,,1,1{ 2 kk xxA ??? },,,,1,1{ 1 1 1 ? ? ? ?? k k k xqqA ? ),( 11 qxa k ?? ),(2 tsa ? 021 ??aa 01 ??? qtsxk 1??t 1??s kkk qqqqtx ???? ? ? 1 1 1 1 ? ? ? k k qx k k qx ??1 1?? ii qx 1?? ii qx ),( 111 tsa ? ),( 222 tsa ? 021 ??aa 2 2 1 1 s t t s ?? |}|||,,|{ tsXtXsB t s ???? },,,{)0,( 32 nxxxB ?????? ?? ),0( ???B 1221 x x x x x x x x nn n n n n ???? ?? ? 1221 x x x x x x x x nn n n n n ???? ?? ? 1 1 3 1 2 1 x x x x x x n n n n n ? ? ? ? ? ??? ? 1 2 x x 1 2 1 1 1 x x x x x x nn ??? ? ? 1 2 2 1 1 x x x x x x n n n n ??? ? ? ? ? 11 1 )( 1 2 ?? ?? kkx x k qxx 2013 文 22.(1) 2 2a ? , 3 0a ? , 4 2a ? . (2) 2 1 12 2a a a? ? ? ? , 3 2 12 2 2a a a? ? ? ? ? . ① 当 10 2a? ? 时, ? ?3 1 12 2a a a? ? ? ? ,所以 ? ? 22 1 12a a? ? ,得 1 1a ? . ② 当 1 2a ? 时, ? ?3 1 12 2 4a a a? ? ? ? ? , 所以 ? ? ? ?21 1 14 2a a a? ? ? ,得 1 2 2a ? ? (舍去)或 1 2 2a ? ? . 综合①②得 1 1a ? 或 1 2 2a ? ? . (3)假设这样的等差数列存在,那么 2 12a a? ? , 3 12 2a a? ? ? . 由 2 1 32a a a? ? 得 1 1 12 2 2a a a? ? ? ? (?). 以下分情况讨论: ① 当 1 2a ? 时,由(?)得 1 0a ? ,与 1 2a ? 矛盾; ② 当 10 2a? ? 时,由(?)得 1 1a ? ,从而 1na ? ? ?1,2,n ? ? , 所以? ?na 是一个等差数列; ③ 当 1 0a ? 时,则公差 ? ?2 1 1 12 2 0d a a a a? ? ? ? ? ? ? ,因此存在 2m ? 使得 ? ?1 2 1 2ma a m? ? ? ? .此时 1 2 0m m m md a a a a?? ? ? ? ? ? ,矛盾. 综合①②③可知,当且仅当 1 1a ? 时, 1 2 3, ,a a a ?构成等差数列 2013 理 23. (1) 2 32, 10a a c? ? ? . (2) ? ? 8, 3 3 +8, 8, x c f x x c x c ? ?? ?? ?? ?? ? ?? , 4 , 4. x c c x c x c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 na c? ? 时, 1 8n na a c c? ? ? ? ? ; 当 4 nc a c? ? ? ? ? 时, ? ?1 2 3 8 2 4 3 8n n na a a c c c c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 当 4na c? ? ? 时, ? ?1 2 8 2 4 8n n na a a c c c c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 所以,对任意n N ?? , 1n na a c? ? ? . (3)由(2),结合 0c ? 得 1n na a? ? ,即? ?na 为无穷递增数列. 又? ?na 为等差数列,所以存在正数M ,当n M? 时, na c? ? , 从而, 1 ( ) 8n n na f a a c? ? ? ? ? . 由于? ?na 为等差数列,因此其公差 8d c? ? . ① 若 1 4a c? ? ? ,则 2 1 1( ) 8a f a a c? ? ? ? ? , 又 2 1 1 8a a d a c? ? ? ? ? ,故 1 18 8a c a c? ? ? ? ? ? ,即 1 8a c? ? ? ,从而 2 0a ? . 当 2n ? 时,由于? ?na 为递增数列,故 2 0na a c? ? ? ? , 所以, 1 ( ) 8n n na f a a c? ? ? ? ? ,而 2 1 8a a c? ? ? , 故当 1 8a c? ? ? 时,? ?na 为无穷等差数列,符合要求; ② 若 14c a c? ? ? ? ? ,则 2 1 1( ) 3 3 8a f a a c? ? ? ? ,又 2 1 1 8a a d a c? ? ? ? ? , 所以, 1 13 3 8 8a c a c? ? ? ? ? ,得 1a c? ? ,舍去; ③ 若 1a c? ? ,则由 1na a? 得到 1 ( ) 8n n na f a a c? ? ? ? ? , 从而? ?na 为无穷等差数列,符合要求. 综上, 1a 的取值集合为? ? ? ?, 8c c? ?? ? ?? 2014 文 23.(1)由条件得 2 6 3 x? ? 且 9 3 3 x x? ? ,解得3 6x? ? .所以 x的取值范围是 [3,6]x? . (2)设{ }na 的公比为q.由 1 3 3 n n a a? ,且 11 0 n na a q ?? ? ,得 0na ? . 因为 1 1 3 3 n n n a a a?? ? ,所以 1 3 3 q? ? .从而 1 1 11 1 1 ( ) 1000 3 m m ma q q? ? ?? ? ? , 13 1000m? ? , 解得 8m ? . 8m ? 时, 7 1 1 [ ,3] 1000 3 q ? ? .所以,m的最小值为8,此时{ }na 公比为 7 410 10 . (3)设数列 10021 ,,, aaa ? 的公差为d .由 1 3 3 n n n a a d a? ? ? , 2 2 3 n n a d a? ? ? , 99,,2,1 ??n . ① 当 0d ? 时, 129899 aaaa ???? ? ,所以 10 2d a? ? ,即0 2d? ? . ② 当 0d ? 时, 129899 aaaa ???? ? ,符合条件. ③ 当 0d ? 时, 129899 aaaa ???? ? , 所以 99 99 2 2 3 a d a? ? ? , 2 (1 98 ) 2(1 98 ) 3 d d d? ? ? ? ? , 又 0d ? ,所以 2 0 199 d? ? ? . 综上, 10021 ,,, aaa ? 的公差的取值范围为 2 [ ,2] 199 ? 2014 理 23. (1)依题意, 2 3 2 1 3 3 a a a? ? ,∴ 2 6 3 x? ? ,又 3 4 3 1 3 3 a a a? ? ,∴3 27x? ? , 综上可得3 6x? ? ; (2)由已知得 1nna q ?? ,又 1 2 1 1 3 3 a a a? ? ,∴ 1 3 3 q? ? 当 1q ? 时, nS n? , 1 1 3 3 n n n S S S?? ? ,即 1 33 n n n? ? ? ,成立 当1 3q? ? 时, 1 1 n n q S q ? ? ? , 1 1 3 3 n n n S S S?? ? ,即 11 1 1 1 3 3 1 1 1 n n nq q q q q q ?? ? ? ? ? ? ? ? , ∴ 11 1 3 3 1 n n q q ? ? ? ? ? ,此不等式即 1 1 3 2 0 3 2 0 n n n n q q q q ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ,∵ 1q ? , ∴ 13 2 (3 1) 2 2 2 0n n n nq q q q q? ? ? ? ? ? ? ? ? , 对于不等式 1 3 2 0n nq q? ? ? ? ,令 1n ? ,得 2 3 2 0q q? ? ? ,解得1 2q? ? , 又当1 2q? ? 时, 3 0q ? ? , ∴ 1 3 2 ( 3) 2 ( 3) 2 ( 1)( 2) 0n n nq q q q q q q q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 成立, ∴1 2q? ? 当 1 1 3 q? ? 时, 1 1 n n q S q ? ? ? , 1 1 3 3 n n n S S S?? ? ,即 11 1 1 1 3 3 1 1 1 n n nq q q q q q ?? ? ? ? ? ? ? ? , 即 1 1 3 2 0 3 2 0 n n n n q q q q ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ,3 1 0, 3 0q q? ? ? ? ∵ 13 2 (3 1) 2 2 2 0n n n nq q q q q? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 3 2 ( 3) 2 ( 3) 2 ( 1)( 2) 0n n nq q q q q q q q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ 1 1 3 q? ? 时,不等式恒成立 综上,q的取值范围为 1 2 3 q? ? (3)设公差为d ,显然,当 1000, 0k d? ? 时,是一组符合题意的解, ∴ max 1000k ? ,则由已知得 1 ( 2) 1 ( 1) 3[1 ( 2) ] 3 k d k d k d ? ? ? ? ? ? ? ? , ∴ (2 1) 2 (2 5) 2 k d k d ? ? ?? ? ? ? ?? ,当 1000k ? 时,不等式即 2 2 , 2 1 2 5 d d k k ? ? ? ? ? ? , ∴ 2 2 1 d k ? ? ? , 1 2 ( 1) ... 1000 2k k k d a a a k ? ? ? ? ? ? ? , ∴ 1000k ? 时, 2000 2 2 ( 1) 2 1 k d k k k ? ? ? ? ? ? , 解得1000 999000 1000 999000k? ? ? ? ,∴ 1999k ? , ∴ k的最大值为1999,此时公差 2000 2 1998 1 ( 1) 1999 1998 1999 k d k k ? ? ? ? ? ? ? ? 2015 文 23. (1)根据题意 1 6n na a? ? ? ,即{ }na 为等差数列,∴ 1 ( 1) 6 6 5na n n? ? ? ? ? ? (2)根据题意正整数 0n 为满足 1n na a ?? 且 1n na a ?? 的解 当 1n na a ?? , 1 12( ) 0n n n na a b b? ?? ? ? ? ,即 1n nb b ?? 当 1n na a ?? , 1 12( ) 0n n n na a b b? ?? ? ? ? ,即 1n nb b ?? ∴正整数 0n 为满足 1n nb b ?? 且 1n nb b ?? 的解,即{ }nb 的第 0n 项是最大项; (3)根据题意 11 (2 2) n n na a ? ? ? ?? ? ? ,累加可得 2 n na ? ?? ? , ( 0)? ? ① 当 ( 1,0)?? ? 时,偶数项均大于?,奇数项均小于?, ∵ ( 1,0)?? ? ,∴偶数项是递减的,奇数项是递增的 ∴ 2 max 2 2a a ? ?? ? ? , min 1 3a a ?? ? ,∴ 21 2 6 6 3 ? ? ? ? ? ? 解得 1 0 4 ?? ? ? ② 当 1? ? ? 时,奇数项均为 3? ,偶数项均为1,明显不符合题意 ③ 当 ( , 1)?? ?? ? 时,偶数项均大于?,奇数项均小于?, ∵ ( , 1)?? ?? ? ,∴偶数项是递增的,必含有正数项,奇数项是递减的,均为负值 ∴不可能对任意m、n? *N ,满足 0na ? ,且 m n a a 为正,不符合题意 综上 1 ( ,0) 4 ?? ? 2015 理 22.(1)根据题意 1 6n na a? ? ? ,即{ }na 为等差数列,∴ 1 ( 1) 6 6 5na n n? ? ? ? ? ? (2)根据题意正整数 0n 为满足 1n na a ?? 且 1n na a ?? 的解 当 1n na a ?? , 1 12( ) 0n n n na a b b? ?? ? ? ? ,即 1n nb b ?? 当 1n na a ?? , 1 12( ) 0n n n na a b b? ?? ? ? ? ,即 1n nb b ?? ∴正整数 0n 为满足 1n nb b ?? 且 1n nb b ?? 的解,即{ }nb 的第 0n 项是最大项; (3)根据题意 11 (2 2) n n na a ? ? ? ?? ? ? ,累加可得 2 n na ? ?? ? , ( 0)? ? 当 ( 1,0)?? ? 时,偶数项均大于 ?? ,奇数项均小于 ?? , ∵ ( 1,0)?? ? ,∴偶数项是递减的,奇数项是递增的 ∴ 2 2 2M a ? ?? ? ? , 1m a ?? ? ,∴ 22 2 1 M m ? ? ? ? ? ? ? ? 即 2 1 ( 2, 2)? ? ? ? ,∴ 1( ,0) 2 ?? ? 当 1? ? ? 时,奇数项均为 1? ,偶数项均为3,明显不符合题意 当 ( , 1)?? ?? ? 时,偶数项均大于 ?? ,奇数项均小于 ?? , ∵ ( , 1)?? ?? ? ,∴偶数项是递增的,奇数项是递减的,无最大值和最小值 综上 1 ( ,0) 2 ?? ? 2016 文 22.(1)不是无穷互补数列, 4na ? , 4nb ? ,不满足 *A B N?? (2) 1 2a ? , 2 4a ? , 3 8a ? , 4 16a ? , 16 (1 20) 20 2 4 8 16 180 2 S ? ? ? ? ? ? ? ? (3)由题意,公差为2 ,∴ 2 4na n? ? , , 5 2 5, 6n n n b n n ?? ? ? ? ?? 2016 理 23.(1) 2 5 2a a? ? ,∴ 3 6a a? , 4 7 3a a? ? , 5 8 2a a? ? ,∴ 6 16a ? , 3 16a ? (2)∵ 1 5 1b c? ? , 5 1 81b c? ? ,∴ 20 19nb n? ? , 53 nnc ?? ,即 520 19 3 nna n ?? ? ? ∵ 1 1 1 82a b c? ? ? , 5 5 5 82a b c? ? ? ,∴ 1 5a a? ,∵ 2 48a ? , 1 6 101 3a ?? ? , ∴ 2 6a a? ,∴{ }na 不具有性质P (3)充分性:{ }nb 是常数列,设 nb b? ,∴ 1 sinn na b a? ? ? ,若 p qa a? , 1 sinp pa b a? ? ? , 1 sinq qa b a? ? ? ,∴ 1 1p qa a? ?? 一定成立,∴{ }na 具有性质P 必要性: 2 1 1sina b a? ? ,设函数 1( )f x x b? ? , ( ) sing x x? ,两函数图像必有交点, ∴必存在 1a ,使得 1 1 1sina b a? ? ,∴ 1 2a a? ,∴ 1n na a ?? ,∴ 1n nb b? ? ,{ }nb 是常数列 2017 19.(1)前 4 个月累计投放量为 1 2 3 4 20 95 420 430 965a a a a? ? ? ? ? ? ? ? 辆, 前 4 个月累计损失量为 1 2 3 4 6 7 8 9 30b b b b? ? ? ? ? ? ? ? 辆, ∴该地区第 4 个月底的共享单车的保有量为965 30 935? ? 辆. (2)当 n na b? 时,保有量始终增加,∴ 10 470 5 42n n n? ? ? ? ? ? , 即第 42 个月底,保有量达到最大,此时 1 2 42 1 2 42( ) ( )a a a b b b? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? (420 50) 38 (6 47) 42 [965 ] 8782 2 2 ? ? ? ? ? ? ? , 即保有量为 8782 辆,而容纳量 242 4(42 46) 8800 8736S ? ? ? ? ? , 8782 8736? ,∴该保有量超出了此时停放点的单车容纳量. 2018 21.(1)数列{ }nb 与{ }na 接近,由题意, 11( ) 2 n na ?? , 1 1 1 ( ) 1 2 n n nb a ?? ? ? ? , ∴ 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 2 2 n n n n nb a ?? ? ? ? ? ? ,∵n? *N 时, 1 1 0 ( ) 2 2 n? ? ,∴ 1 1 1 ( ) 1 2 2 n? ? ? 满足对任意n? *N , | | 1n nb a? ? ,∴数列{ }nb 与{ }na 接近; (2)∵ 1 1a ? , 2 2a ? , 3 4a ? , 4 8a ? ,又{ }nb 与{ }na 接近,∴ | | 1n nb a? ? , ∴ [ 1, 1]n n nb a a? ? ? ,则 1 [0,2]b ? , 2 [1,3]b ? , 3 [3,5]b ? , 4 [7,9]b ? , ∴当 1 2 [1,2]b b? ? 时,M 中有 1 2( )b b 、 3b 、 4b 三个元素; 或 2 3 3b b? ? 时,M 中有 1b 、 2 3( )b b 、 4b 三个元素; 当 1 2b b? , 2 3b b? 时,M 中有 1b 、 2b 、 3b 、 4b 四个元素; ∴M 中元素的个数m为 3 或 4; (3)∵ | | 1n nb a? ? ,∴ [ 1, 1]n n nb a a? ? ? , 1 1 1[ 1, 1]n n nb a a? ? ?? ? ? , ∴ 1 1 1[ 2, 2]n n n n n nb b a a a a? ? ?? ? ? ? ? ? ,即 1 [ 2, 2]n nb b d d? ? ? ? ? ,n? *N , ① 若 2d ? ? ,则 1 0n nb b? ? ? 恒成立,不满足“至少有 100 个为正数”,不符; ② 若 2d ? ? ,令 ( 1)nn nb a? ? ? ,n? *N ,∴ | | | ( 1) | 1nn nb a? ? ? ? , 满足 | | 1n nb a? ? ,数列{ }nb 与{ }na 接近,此时 1 2( 1) n n nb b d? ? ? ? ? , 当 n为奇数时, 1 2( 1) 2 0 n n nb b d d? ? ? ? ? ? ? ? , ∴在 2 1b b? 、 3 2b b? 、 ? ? ?、 201 200b b? 这 200 个数中, 至少存在 2 1b b? 、 4 3b b? 、 ? ? ?、 200 199b b? 这 100 个数为正, 故 2d ? ? 时,存在数列 ( 1)nn nb a? ? ? ( )n? *N 满足题意, ∴ d 的取值范围即 2d ? ? .

    • 三轮冲刺/综合资料
    • 2019-05-24
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