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高中数学苏教版必修5
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  • ID:3-7562410 3.3.3 简单的线性规划问题(2) 课件(23张PPT)

    高中数学/苏教版/必修5/第3章 不等式/3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题/3.3.3 简单的线性规划问题

    一、问题情景 某校办工厂有方木料90m3,五合板600m2,正准备为外校新生加工新桌椅和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3,五合板2m2,生产每个书橱需要方木料0.2m3,五合板1m2,出售一张书桌可获利润80元,出售一张书橱可获利润120元. (1)假设你是工厂的生产科长,请你按要求设计出工厂的生产方案。 方案一:若只生产书桌,用完五合板,可生产书桌300张,可获得利润80×300=24000元,但方木料没有用完. 方案二:若只生产书橱,用完方木料,可生产450张书橱,可获得利润120×450=54000元,但五合板没有用完. (2)设生产书桌x张,书橱y张,利润z元,写出x,y应满足的条件以及Z与x,y之间的函数关系式. 约束条件为 : 目标函数为: (3)如果你是厂长,为使工厂原料充分利用,问怎么安排能够使资源最大限度的利用,且可获得最大利润? 方案三、生产书桌100张,书橱400张,有最大利润为56000元. 在上面两种情况下,原料都没有充分利用,造成了资源浪费,那么该怎么安排能够使资源最大限度的利用,且可获得最大利润? 二、线性规划在实际中的应用 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用, 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完 成最多的任务; 二是给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、 物力、资金等资源来完成该项任务. 下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用: 例题 例1 某工厂用A,B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8h计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?若生产一件甲产品可获利润2万元,生产一件乙产品可获利润3万元,则如何安排日生产,可使工厂所获利润最大? 分析:将已知数据列成表格 产品 A B 耗时 甲 4 1h 乙 4 2h 16 12 8h 解 设甲、乙两种产品的产量分别为x,y件,工厂利润z万元 约束条件为: 目标函数是: 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.  把目标函数z=2x+3y 变形为 y x O x+2y-8=0 y=3 x=4 它表示斜率为 随z变化的一组平行直线系 是直线在y轴上的截距,当截距最大时,z的值最大. 如图可见,当直线z=2x+3y 经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大. M M点是两条直线的交点,解方程组 得M点的坐标为: 所以zmax=2 x+3y=14 由此可知,每天生产甲产品4件、乙产品2件时,工厂可得最大最大利润14万元.   例2 投资生产A产品时,每生产一百吨需要资金200万元,需场地200m2,可获利润300万元;投资生产B产品时,每生产一百米需要资金300万元,需场地100m2,可获利润200万元.现某单位可使用资金1400万元,场地900m2,问:应作怎样的组合投资,可获利最大? 资金(百万元) 场地(百平方米) 利润(百万元) A产品(百吨) 2 2 3 B产品(百米) 3 1 2 限制 14 9 分析 将已知数据列成表格   解 设生产A产品x百吨,生产B产品y百米,利润为S百万元,则约束条件为 目标函数为 作出可行域 把目标函数S=3x+2y 变形为 A y 2x+y=9 x O 2x+3y=14 它表示斜率为 随S变化的一组平行直线系 是直线在y轴上的截距,当截距最大时,S的值最大. 如图可见,当直线S=3x+2y 经过可行域上的点A时,截距最大,即S最大. A点是两条直线的交点,解方程组 得A点的坐标为: 所以Smin=3x+2y=14.75 由此可知,,生产A产品325t,生产B产品250m时,获利最大,且最大利润为1475万元. 例3 营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪,1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg? 食物/kg 碳水化合物kg 蛋白质kg 脂肪kg 花费(元) A 0.105 0.07 0.14 28 B 0.105 0.14 0.07 21 成人日常需要 0.075 0.06 0.06 分析:将已知数据列成表格 解 设每天食用xkg食物A,ykg食物B,总成本为z,则线性约束条件为: 目标函数为:z=28x+21y 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域 把目标函数z=28x+21y 变形为 x y o 5/7 5/7 6/7 3/7 3/7 6/7 它表示斜率为 随z变化的一组平行直线系 是直线在y轴上的截 距,当截距最小时,z的值最小. M 如图可见,当直线z=28x+21y 经过可行域上的点M时,截距最小,即z最小. M点是两条直线的交点,解方程组 得M点的坐标为: 所以zmin=28x+21y=16 由此可知,每天食用食物A143g,食物B约571g,能够满足日常饮食要求,又使花费最低,最低成本为16元. 三、练习题 1. 某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3000元、2000元,甲、乙产品都需要在A,B两种设备上加工,在每台A,B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h,加工一件乙所需工时分别为2h、1h,A,B两种设备每月有效使用台数分别为400h/台和500h/台.如何安排生产可使收入最大? 设每月生产甲产品x件,生产乙产品y件,每月收入为z,目标函数为Z=3x+2y,满足的条件是 Z= 3x+2y 变形为  它表示斜率为 的直线系,Z与这条直线的截距有关. x y O 400 200 250 500 当直线经过点M时,截距最大,Z最大. M 解方程组 可得M(200,100) Zmax =3x+2y=800 故生产甲产品200件,乙产品100件,收入最大,为80万元. 2.某人准备投资1200万元兴办一所完全中学.对教育市场进行调查后,他得到了下面的数据表格(以班级为单位) 分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.若根据有关部门的规定,初中每人每年可收学费1600元,高中每人每年可收学费2700元.因生源和环境等条件限制,办学规模以20至30个班为宜(含20个与30个)那么开设初中班和高中班多少个?每年收费的学费总额最多? 学段 班级学生数 配备教师数 硬件建设(万元) 教师年薪(万元) 初中 45 2 26/班 2/人 高中 40 3 54/班 2/人 把上面四个不等式合在一起,得到 y x 20 30 40 20 30 o 另外,开设的班级不能为负,则x≥0,y≥0. 而由于资金限制,26x+54y+2×2x+2×3y≤1200 解 设开设初中班x个,高中班y个。因办学规模以20~30个班为宜,所以, 20≤x+y≤30 y x 20 30 40 20 30 o 由图可以看出,当直线Z=7.2x+10.8y经过可行域上的点M时,截距最大,即Z最大. 设收取的学费总额为Z万元,则目标函数 Z=0.16×45x+0.27×40y=7.2x+10.8y. Z=7.2x+10.8y变形为 它表示斜率为 的直线系,Z与这条直线的截距有关. M 易求得M(20,10),则Zmax= 7.2x+10.8y =252 故开设20个初中班和10个高中班, 收取的学费最多,为252万元. 四、要点归纳与方法小结 (一)线性规划的两类重要实际问题的解题思路: 1.应准确建立数学模型,即根据题意找出约束条件,确定线性目标函数. 2.用图解法求得数学模型的解,即画出可行域,在可行域内求得使目标函数取得最值的解.(一般最优解在直线或直线的交点上,要注意斜率的比较.) 3.要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解,即结合实际情况求得最优解. (二)线性规划问题的求解步骤: (1)审:审题(将题目中数据列表),将实际问题转化为数学问题; (2)设:设出变量,确定约束条件,建立目标函数; (3)画:画出线性约束条件所表示的可行域,作出目标函数线; (4)移:在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线; (5)求:通过解方程组求出最优解; (6)答:回答实际问题. (三)对于有实际背景的线性规划问题,可行域通常是一个凸多边形区域, 此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点,因此,确定 其最优解,往往只需考虑在各个顶点的情形,通过比较,即可得最优解. (四)本节课学习的数学思想:化归思想、数形结合思想.

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  • ID:3-7562408 3.3.3 简单的线性规划问题(3) 课件(8张PPT)

    高中数学/苏教版/必修5/第3章 不等式/3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题/3.3.3 简单的线性规划问题

    例1 某运输公司向某地区运送物资,每天至少运送180t.该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车,有10名驾驶员.每辆卡车每天往返次数为A型车4次,B型车3次.每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元,B型车为504元.试为该公司设计调配车辆方案,使公司花费的成本最低,若只调配A型或B型卡车,所花的成本费分别是多少? 简单线性规划的应用 解 设每天调出A型x车辆,B型y车辆,公司花费成本z元,由题可知约 束条件为 即 目标函数为 作出可行域 当直线 经过直线 与x轴的交点(7.5,0)时,z有最小值,由于(7.5,0)不是整点,故不是最优解. 由图可知,经过可行域内的整点,且与原点距离最近的直线是 ,经过的整点是(8,0),它是最优解. 答 公司每天调出A型车8辆时,花费的成本最低,即只调配A型卡车,所花最低成本费   (元);若只调配B型卡车,则y无允许值,即无法调配车辆. 例2 学校有线网络同时提供A,B两套校本选修课程.A套选修课播40分钟,课后研讨20分钟,可获得学分5分;B套选修课播32分钟,课后研讨40分钟,可获学分4分,全学期20周,网络每周开播两次,每次均独立内容.学校规定学生每学期收看选修课不超过1400分钟,研讨时间不得少于1000分钟,两套选修课怎样合理选择,才能获得最好学分成绩? 分析 线性规划问题应根据实际情况作具体分析,特别注意求整体、可解性和选择性. 解 设选择A,B两套课程分别为x,y次,z为学分,则 目标函数 由方程组解得点A(15,25),B(25,12.5)(舍) 答: A套课选15次,B套课选25次才能获得最好学分成绩. 例3 私人办学是教育发展的一个方向,某人准备投资1200万元创办一所中学,为了考虑社会效益和经济效益,对该地区教育市场进行调查,得出一组数据,列表如下(以班级为单位): 根据物价部门的有关文件,初中是义务教育阶段,收费标准适当控制,预计除书本费、办公费,初中每生每年可收取600元,高中每生每年可收取1500元,因生源和环境等条件限制,办学规模以20至30个班为宜(含20个与30个).教师实行任聘制.初、高中的教育周期均为三年,请你合理地安排招生计划,使年利润最大,大约经过多少年可以收回全部投资? 班级学生数 配备教师数 硬件建设费(万元) 教师年薪 (万元) 初中 50 2.0 28 1.2 高中 40 2.5 58 1.6 解:设初中编制为x个班,高中编制为y个班,则依题意有 (★) 又设年利润为s万元,那么 现在直角坐标系中作出(★)所表示的可行域, 如图所示 显然当直线过图中的A点时,纵截距取最大值. 即 时,得 设经过n年可收回投资,则第1年利润为  第2年利润为                 以后每年的利润为34.8万元,依题意应有 解得   故学校规模以初中18个班、高中12个班为宜,第一年初中招生6个班约300人,高中招生4个班约160人,从第三年开始年利润为34.8万元,约经过36年可以收回全部投资. 学.科.网

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  • ID:3-7562403 3.3.3 简单的线性规划问题(1) 课件+教案

    高中数学/苏教版/必修5/第3章 不等式/3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题/3.3.3 简单的线性规划问题

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