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高中数学会考(学业水平测试)专区
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  • ID:3-5455674 2019年1月浙江省普通高校招生选考科目考试数学试卷(扫描版)

    高中数学/会考(学业水平测试)专区/会考真题

    2019年1月浙江学考数学试题及参考答案 答案   ================================================ 压缩包内容: 2019年1月浙江省普通高校招生选考科目考试数学试卷(扫描版).doc

    • 小/初/高考真题试卷
    • 2019-02-15
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    • francise
  • ID:3-5434010 江西省临川区2018-2019学年高二上学期学业水平发展考试数学(理)试题 扫描版含答案

    高中数学/会考(学业水平测试)专区/模拟试卷

    2018-2019学年度上学期学生学业发展水平测试 高二数学试卷(理科) 参考答案与评分标准 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  答案 B A C B D A C C D D A B   二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若成等比数列,则    14. 15.                  16. 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 解:(1)依题意,……………………………………………………(2分) 从而,,…………………………………(6分) 故所求线性回归方程为.……………………………………………(8分) (2)令,得. 预测该地区在2019年农村居民家庭人均纯收入为千元.……………………(10分) 18.(本小题满分12分) 解:……………………(2分) ,…………………………………………………(4分) (1)由于为真命题,故为真命题或为真命题,从而有或,即.……………………………………………………………………………(7分) (2)由于为真命题,为假命题,所以均为真命题或均为假命题,从而有或,解得 即:.………………………………………………………(12分) 19.(本小题满分12分) 解:(1)依条件有,故,抛物线. …………(5分) 设,联立方程组消去并化简得:  ………………………………………………………………(8分) , ………………………………………(10分) ,从而. 所以坐标原点在以为直径的圆上…………………………………………………(12分) 20.(本小题满分12分) 解:(1)由频率分布直方图,可知, 解得.……………………………………………………………………………(3分) 设该学校的教职工对后勤处评分的中位数为,有: ,解得:(分) ================================================ 压缩包内容: 江西省临川区2018-2019学年高二上学期学业水平发展考试数学(理)试题 扫描版含答案.doc

  • ID:3-5430632 2019版数学浙江省学业水平考试专题复习(精美WORD,全解析):必修1 §1

    高中数学/会考(学业水平测试)专区/模拟试卷

    知识点一 集合的含义与表示 1.集合的含义:把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合. 2.集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. 3.集合的相等:若A?B,且B?A,则A=B. 4.元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或?表示. 5.常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N+) Z Q R 6.集合的表示方法:列举法、描述法、图示法. 知识点二 集合与集合的关系 1.子集与真子集 定义 符号语言 图形语言 (Venn图) 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集 A?B(或B?A) 真子集 如果集合A?B,但存在元素x∈B,且x?A,我们称集合A是集合B的真子集 AB(或BA) 2.子集的性质 (1)规定:空集是任何集合的子集,也就是说,对任意集合A,都有??A. (2)任何一个集合A都是它本身的子集,即A?A. (3)如果A?B,B?C,则A?C. (4)如果AB,BC,则AC. 3.子集个数的计算 若A含有n个元素,则A的子集有2n个,A的非空子集有2n-1个. 知识点三 集合的运算 1.交集 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集 A∩B={x|x∈A,且x∈B} 2.并集 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为A与B的并集 A∪B={x|x∈A,或x∈B} 3.交集与并集的性质 交集的运算性质 并集的运算性质 A∩B=B∩A A∪B=B∪A A∩A=A A∪A=A A∩?=? A∪?=A A?B?A∩B=A A?B?A∪B=B 4.全集 在研究集合与集合之间的关系时,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U. 5.补集 文字语言 对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作?UA 符号语言 ?UA={x|x∈U,且x?A} 图形语言 题型一 集合的运算 例1 (1)若集合A={x|1≤3x≤81},B={x|log2(x2-x)>1},则A∩B等于(  ) A.(2,4] B.[2,4] C.(-∞,0)∪(0,4] D.(-∞,-1)∪[0,4] (2)(2018年4月学考)已知集合P={x|0≤x<1},Q={x|2≤x≤3}.记M=P∪Q,则(  ) A.{0,1,2}?M B.{0,1,3}?M C.{0,2,3}?M D.{1,2,3}?M (3)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(?UA)∩B=________. 答案 (1)A (2)C (3){7,9} 解析 (1)∵A={x|1≤3x≤81}={x|0≤x≤4}, B={x|log2(x2-x)>1}={x|x2-x>2} ={x|x<-1或x>2}, ∴A∩B={x|21},则图中阴影部分所表示的集合为___________. 答案 {x|x≤1或x>2} 解析 如图,设U=A∪B=R,A∩B={x|12}. 14.设全集U={x∈Z|-2≤x≤4},A={-1,0,1,2,3},若B??UA,则集合B的个数是________. 答案 4 解析 全集U={x∈Z|-2≤x≤4}={-2,-1,0,1,2,3,4},A={-1,0,1,2,3},?UA={-2,4}, ∵B??UA,则集合B=?,{-2},{4},{-2,4}, 因此满足条件的集合B的个数是4. 15.已知集合A={x||x-2|0), ∴A=(2-a,2+a)(a>0). 由x2-2x-3<0,解得-1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数. (2)函数的单调性:若函数f(x)在区间D上是增(减)函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做f(x)的单调区间. (3)单调性的常见结论:若函数f(x),g(x)均为增(减)函数,则f(x)+g(x)仍为增(减)函数;若函数f(x)为增(减)函数,则-f(x)为减(增)函数;若函数f(x)为增(减)函数,且f(x)>0,则为减(增)函数. 2.函数的最大值、最小值 最值 类别   最大值 最小值 条件 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 性质:定义在闭区间上的单调函数,必有最大(小)值. 知识点四 函数的奇偶性 1.函数奇偶性的概念 偶函数 奇函数 条件 对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) 结论 函数f(x)是偶函数 函数f(x)是奇函数 2.性质 (1)偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称. (2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反. (3)在定义域的公共部分内,两个奇函数之积与商(分母不为零)为偶函数;两个奇函数之和为奇函数;两个偶函数的和、积与商(分母不为零)为偶函数;一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数. 题型一 函数的定义域、值域 例1 (1)(2018年6月学考)函数y=log2(x+1)的定义域是(  ) A.(-1,+∞) B.[-1,+∞) C.(0,+∞) D.[0,+∞) (2)函数f(x)=x+的值域为____________. 答案 (1)A (2) 解析 (2)因为函数的定义域是,且函数为单调递增函数,所以函数的最小值是f=,故函数的值域是. 感悟与点拨 (1)求函数的定义域,就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围. (2)在求函数定义域和值域的时候,要把定义域和值域写成集合或区间的形式. 跟踪训练1 (1)(2018年4月学考)函数f(x)=+的定义域是(  ) A.{x|x>0} B.{x|x≥0} C.{x|x≠0} D.R (2)函数f(x)=的定义域为________. 答案 (1)A (2)(-1,0) 解析 (1)由题意知,所以x>0. (2)∵2+x-x2>0且|x|-x≠0, ∴x∈(-1,2)且x?[0,+∞), ∴x∈(-1,0). 题型二 函数的图象及图象的应用 例2 (2016年4月学考)下列图象中,不可能成为函数y=f(x)的图象的是(  ) 答案 A 解析 当x=0时,有两个y值对应,故A不可能是函数y=f(x)的图象. 感悟与点拨 一个图象能不能作为函数的图象,关键是看它是否符合函数的定义及函数的特征. 跟踪训练2 已知函数f(x)=则下列函数的图象错误的是(  ) 答案 D 题型三 分段函数 例3 已知函数f(x)=则f(f(3))=________,f(x)的单调递减区间是________. 答案 5 [-1,+∞) 解析 f(3)==-1, ∴f(f(3))=f(-1)=-1+2+4=5. 当x≤1时,f(x)=-x2-2x+4=-(x+1)2+5, 对称轴为x=-1,f(x)在[-1,1]上单调递减. 当x>1时,f(x)单调递减,且-12-2×1+4>, ∴f(x)在[-1,+∞)上单调递减. 感悟与点拨 解决分段函数问题的关键是:在定义域内的自变量x取不同区间上的值时,有着不同的对应关系,要注意分别考虑. 跟踪训练3 已知函数f(x)=则f+f=________. 答案 -4 解析 f+f =f+f-4 =sin+sin-4=-4. 题型四 函数的单调性及应用 例4 已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)2a-1,即a<.② 由①②可知,00, (x1-1)(x1-3)(x2-1)(x2-3)>0, 综上得f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0时,(2a+1)-(a+1)=2, 解得a=2; 当a<0时,有(a+1)-(2a+1)=2, 解得a=-2.综上知,a=±2. 8.已知f(x)=是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围为(  ) A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8) 答案 B 解析 ∵f(x)是R上的单调递增函数, ∴解得4≤a<8. 9.已知函数f(x)=|x3+1|+|x3-1|,则下列坐标表示的点一定在函数y=f(x)的图象上的是(  ) A.(a,-f(a)) B.(a,f(-a)) C.(-a,-f(a)) D.(-a,-f(-a)) 答案 B 解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(-a)=f(a), ∴(a,f(-a))一定在y=f(x)的图象上,故选B. 10.已知函数f(x)满足f(4+x)=f(-x).当x1,x2∈(-∞,2)时,>0;当x1,x2∈(2,+∞)时,<0.若x14,则f(x1),f(x2)的大小关系是(  ) A.f(x1)f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.不确定 答案 B 解析 ∵f(4+x)=f(-x), ∴函数图象关于x=2对称. ∵当x1,x2∈(-∞,2)时,>0, ∴此时函数单调递增. 当x1,x2∈(2,+∞)时,<0, ∴此时函数单调递减. ∵x14, ∴若2f(x2); 若x1<24,得x2>4-x1. ∵x1<2,∴-x1>-2,则4-x1>2, 则f(x2)f(x2). 二、填空题 11.已知函数f(x)=若f(a)=a,则实数a=________. 答案 -1或 解析 当a≥0时,f(a)=1-a=a,得a=; 当a<0时,f(a)==a, 解得a=-1或1(舍去). ∴a=-1或. 12.已知函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围为______________. 答案 (0,1)∪(1,4) 解析 根据绝对值的意义, y= = 在平面直角坐标系中作出该函数的图象,如图中实线所示. 根据图象可知,当0<k<1或1<k<4时, 函数y=kx-2与y=的图象恰有两个交点. 13.若关于x的不等式x2-4x-a≥0在[1,3]上恒成立,则实数a的取值范围为________. 答案 (-∞,-4] 解析 若关于x的不等式x2-4x-a≥0在[1,3]上恒成立, 则a≤x2-4x在[1,3]上恒成立, 令f(x)=x2-4x=(x-2)2-4,x∈[1,3], 对称轴为x=2,开口向上, ∴f(x)在[1,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增, ∴f(x)min=f(2)=-4,∴a≤-4. 14.已知函数f(x)=,g(x)=ax+1,其中a>0,若f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点,则a的取值范围是________. 答案 (0,1) 解析 由题意得f(x)=在平面直角坐标系内分别画出当01时,函数f(x),g(x)的图象, 由图易得当f(x),g(x)的图象有两个交点时, 有解得02,0<(x-1)(x-1)<1, 所以>2>a, 所以a-<0. 又因为x1-x2<0,所以f(x1)>f(x2), 所以函数f(x)在(0,1)上单调递减. 16.已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],当a+b≠0时,有>0成立. (1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明; (2)解不等式:f0, 又x1-x2<0, 所以f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是:=(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q); (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q); (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 知识点二 指数函数及其性质 1.指数函数的定义 一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R. 2.指数函数的图象和性质 a>1 00,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数.记作x=logaN,a叫做对数的底数,N叫做真数. 2.特殊对数 3.对数和指数的关系 当a>0,a≠1,N>0时,ax=N?x=logaN. 4.对数的性质 (1)负数和0没有对数. (2)loga1=0. (3)logaa=1. (4)=N. (5)logaaN=N. 5.对数的运算 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0.那么: (1)loga(M·N)=logaM+logaN. (2)loga=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM(n∈R). (4)logamMn=logaM. 6.对数的重要公式 (1)换底公式:logbN=(a,b均大于零且不等于1); (2)logab=,推广logab·logbc·logcd=logad. 知识点四 对数函数及其性质 1.对数函数的定义 一般地,我们把函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 2.对数函数的图象及其性质 a>1 01时,y>0 当00,当x>1时,y<0 单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 知识点五 幂函数 1.幂函数的概念 一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 2.幂函数的图象与性质 幂函数 y=x y=x2 y=x3 y=x y=x-1 图象 定义域 R R R [0,+∞) {x|x≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在R上是增函数 在(-∞,0)上是减函数;在[0,+∞)上是增函数 在R上是增函数 在[0,+∞)上是增函数 在(-∞,0)上是减函数;在(0,+∞)上是减函数 公共点 (1,1) 题型一 指数幂、对数运算 例1 (1)(2017年4月学考)计算:lg 4+lg 25等于(  ) A.2 B.3 C.4 D.10 (2)(2018年4月学考)已知函数f(x)=log2(3+x)+log2(3-x),则f(1)等于(  ) A.1 B.log26 C.3 D.log29 答案 (1)A (2)C 解析 (1)lg 4+lg 25=lg(4×25)=lg 100=2. (2)f(1)=log2(3+1)+log2(3-1)=2+1=3. 感悟与点拨 (1)在指数幂运算中可先将根式化成分数指数幂,再按照指数幂的运算性质进行运算,但应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的先后顺序. (2)在对数运算中,要灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量化成同底的形式. 跟踪训练1 (1)已知函数f(x)=则f(f(1))+f的值是(  ) A.5 B.3 C.-1 D. (2)已知函数f(x)=,则f(log23)+f=________. 答案 (1)A (2)1 解析 (1)∵f(1)=log21=0, ∴f(f(1))=f(0)=2. ∵log3<0, ∴f=+1=+1=2+1=3. ∴f(f(1))+f=2+3=5. (2)f(x)+f(-x)=+=1, 又log4==-log23, ∴f(log23)+f=1. 题型二 函数的图象与性质 例2 函数f(x)=log2(2x)的图象大致是(  ) 答案 A 解析 函数f(x)=log2(2x)=1+log2x,可由y=log2x的图象向上平移1个单位得到.y=log2x的图象过(1,0)点且在(0,+∞)上递增,其图象向上平移1个单位后,得到函数f(x)=log2(2x),图象过点且在定义域内单调递增. 感悟与点拨 (1)①幂函数解析式一定要设为y=xα(α为常数的形式);②可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性. (2)与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、轴对称变换得到其图象. (3)对复合函数的性质进行讨论时,要搞清复合而成的两个函数,然后对两层函数分别进行研究,有时也可利用平移等方法,从原来标准函数入手分析. (4)函数的单调性是函数最重要的性质,可以用来比较函数值的大小、解不等式等. 跟踪训练2 (1)已知lg a+lg b=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是(  ) (2)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的大致图象为(  ) 答案 (1)B (2)C 解析 (1)∵lg a+lg b=0,∴lg ab=0,即ab=1. A项,∵g(x)的定义域为{x|x>0},∴A错误; B项,由图象知指数函数单调递增, ∴a>1,此时g(x)单调递增,满足条件; C项,由图象知指数函数单调递减, ∴01,此时g(x)单调递增,不满足条件. 故选B. (2)由二次函数的图象易得-1<b<0,a>1,则函数g(x)=ax+b单调递增,当x=0时,g(0)=a0+b=b+1∈(0,1),即函数图象在y轴上的截距在(0,1)内,故选C. 题型三 幂函数、指数函数、对数函数的单调性 例3 (2016年10月学考)设函数f(x)=x,g(x)=x,其中e为自然对数的底数,则(  ) A.对于任意实数x恒有f(x)≥g(x) B.存在正实数x0使得f(x0)>g(x0) C.对于任意实数x恒有f(x)≤g(x) D.存在正实数x0使得f(x0)0, 所以a2+1>2a. 由loga(a2+1)1,解得a>. 综上所述,x2≥0, 则f(x1)-f(x2)=-+-, ∵x1>x2≥0,∴-x1<-x2, ∴<,<, 即-<0,-<0, ∴f(x1)-f(x2)=-+-<0, ∴f(x)在[0,+∞)上是减函数. (3)解 ∵f(x)是奇函数且在[0,+∞)上单调递减, ∴f(x)在R上是减函数. ∵f(x-1)+f(2x+3)<0, ∴f(2x+3)<-f(x-1)=f(1-x), ∴2x+3>1-x,解得x>-. 即不等式的解集为. 感悟与点拨 解决指数函数、对数函数综合问题时,无论是讨论函数的性质,还是利用函数的性质,都要注意: (1)要分清函数的底数是a∈(0,1),还是a∈(1,+∞); (2)确定函数的定义域,无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质,都要在其定义域上进行; (3)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误. 跟踪训练4 已知函数f(x)=loga(3-ax). (1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围; (2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由. 解 (1)∵a>0且a≠1, 设t(x)=3-ax, 则t(x)=3-ax为减函数, 当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a, 又当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义, 即当x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立, ∴3-2a>0,∴a<. 又a>0且a≠1,∴a∈(0,1)∪. (2)假设存在实数a使f(x)在[1,2]上为减函数, 则f(x)的最大值为f(1)=loga(3-a)=1, 此时a=,f(x)=, 当x=2时,f(x)没有意义. 故不存在这样的实数a, 使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1. 一、选择题 1.(2017年4月学考)函数y=3α的值域为(  ) A.(0,+∞) B.[1,+∞) C.(0,1] D.(0,3] 答案 A 2.在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图象可能是(  ) 答案 D 解析 根据函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax知函数图象为幂函数的一部分和对数函数图象.A选项没有幂函数图象,不符合;B选项f(x)=xa(x≥0)中a>1,而g(x)=logax(x>0)中0<a<1,不符合;C选项f(x)=xa(x≥0)中0<a<1,而g(x)=logax(x>0)中a>1,不符合;D选项两者都是0<a<1,符合,故选D. 3.设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为(  ) A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 答案 A 解析 ∵函数y=xα的定义域为R, ∴α≠-1和. 当α=1和3时,y=xα为奇函数,故选A. 4.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上是单调增函数的是(  ) A.y= B.y=|x|-1 C.y=lg x D.y=|x| 答案 B 解析 对于A,y=为定义域上的奇函数,不满足题意; 对于B,y=|x|-1是定义域R上的偶函数,且在(0,+∞)上是单调增函数,满足题意; 对于C,y=lg x是非奇非偶的函数,不满足题意; 对于D,y=|x|是定义域上的偶函数,但在(0,+∞)上是单调减函数,不满足题意. 故选B. 5.函数y=的值域是(  ) A.(-∞,4) B.(0,+∞) C.(0,4] D.[4,+∞) 答案 C 解析 令t=x2+2x-1, 则t=(x+1)2-2≥-2, ∴y=t≤-2=4. 又y=t>0, ∴0<y≤4. 6.已知函数f(x)=则方程f(x)=0的实数解x0为(  ) A.,0 B.-2,0 C. D.0 答案 D 解析 当x≤1时,f(x)=3x-1=0,解得x=0; 当x>1时,f(x)=1+log2x=0,解得x=,舍去. 故方程f(x)=0的实数解x0为0. 7.下列不等式正确的是(  ) A.log30.2<0.23<30.2 B.log30.2<30.2<0.23 C.0.23<log30.2<30.2 D.30.2<log30.2<0.23 答案 A 解析 log30.2<log31=0, 0<0.23<0.20=1,30.2>30=1, ∴log30.2<0.23<30.2. 8.已知函数f(x)=则f(log23)的值为(  ) A.- B. C. D. 答案 D 解析 ∵14, ∴f(log23)==3× =×=×=. 9.函数f(x)=(00,排除D.故选C. 方法二 由函数性质知f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上为减函数,故选C. 10.对于函数f(x)=lg x,定义域中任意x1,x2(x1≠x2)有如下结论: ①f(x1+x2)=f(x1)+f(x2); ②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2); ③>0; ④f<. 上述结论中正确结论的序号有(  ) A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 答案 B 解析 由运算律f(x1)+f(x2)=lg x1+lg x2=lg x1x2=f(x1x2),所以①错误,②对; 因为f(x)是定义域内的增函数,所以③正确; f=lg , ==lg , 因为≥,又x1≠x2, 所以lg >lg ,所以④错误.故选B. 二、填空题 11.已知f(x)=(m2-m-1)·是幂函数,且在(0,+∞)上是减函数,则实数m=________. 答案 2 解析 由幂函数定义得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,f(x)=x-3,在(0,+∞)上是减函数;当m=-1时,f(x)=x0,不符合题意. ∴m=2. 12.在同一平面直角坐标系中,函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称.若g(m)=-1,则m=________. 答案 - 解析 由题意,得f(x)=ln x. 由于函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称, 可得g(x)=f(-x)=ln(-x),g(m)=-1, 即ln(-m)=-1,解得m=-e-1=-. 13.已知点(n,an)(n∈N*)在函数y=ex的图象上,若满足Tn=ln a1+ln a2+…+ln an>k时n的最小值为5,则k的取值范围是________. 答案 [10,15) 解析 ∵点(n,an)(n∈N*)在函数y=ex的图象上, ∴an=en,∴ln an=n, ∴Tn=ln a1+ln a2+…+ln an=1+2+…+n=. 又Tn>k时n的最小值为5, ∴T4≤k<T5,即10≤k<15. 14.已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f=0,则不等式f(log4x)>0的解集是________________. 答案  解析 ∵f(x)是偶函数,∴f=f=0. 又∵f(x)在[0,+∞)上是增函数, ∴f(x)在(-∞,0)上是减函数. ∴f(log4x)>0,即log4x>或log4x<-. 解得x>2或0<x<. 三、解答题 15.已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1). (1)若a=3,f=-5,求x的值; (2)若f(3a-1)>f(a),求实数a的取值范围; (3)若函数f(x)在区间[a,2a]上最大值是最小值的3倍,求a的值. 解 (1)f=log3=-5, ∴=3-5,∴x===38. (2)①若a>1,则f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴3a-1>a>1,解得a>1; ②若01时,loga2a=3logaa,解得a=. ∴a=或. 16.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求a的值; (2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围. 解 (1)∵f(x)为定义域R上的奇函数, ∴f(1)=-f(-1),即=-. 解得a=2.经检验,符合题意. (2)∵f(t2-2t)+f(2t2-k)<0, ∴f(t2-2t)<-f(2t2-k). ∵f(x)为奇函数,∴f(t2-2t)<f(-2t2+k). 由(1)得f(x)===-+, ∴f(x)在定义域内为单调递减函数. ∴t2-2t>-2t2+k,即3t2-2t-k>0恒成立. ∴k<3t2-2t对t∈R恒成立, 其中g(t)=3t2-2t在t∈R上的最小值为-, ∴k<-. 知识点一 函数的零点 1.函数零点的概念 (1)定义 对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)几何意义 函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标,就是函数y=f(x)的零点. 2.函数的零点与方程的根的关系 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点. 3.函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. 知识点二 几类函数模型及其增长差异 1.几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 反比例函数模型 f(x)=+b(k,b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)=axn+b (a,b,n为常数,a≠0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 在(0,+∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax0,且x≠1)的图象有两个交点.故函数f(x)=ln x-的零点有2个. (2)令g(x)=f(x)-f(a), 即g(x)=x2+-a2-, 整理得g(x)=(x-a)(ax2+a2x-2). 显然g(a)=0, 令h(x)=ax2+a2x-2. ∵h(0)=-2<0, h(a)=2(a3-1)>0, ∴h(x)在区间(-∞,0)和(0,a)上各有一个零点. ∴g(x)有3个零点, 即方程f(x)=f(a)有3个实数解. 感悟与点拨 函数零点个数的确定,常从函数单调性分析,结合零点存在性定理或数形结合来判断. 跟踪训练1 若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是(  ) A.0,2 B.0, C.0,- D.2,- 答案 C 解析 因为2a+b=0, 所以g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1), 所以零点为0,-. 题型二 根据函数零点存在情况求参数 例2 已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是________. 答案  解析 作出函数y=f(x)的图象,如图所示. 则y=a的图象只能夹在y=0与y=的图象之间, 故a的取值范围是. 感悟与点拨 根据函数的零点存在情况求参数.常用如下方法处理: (1)y=g(x)-m有零点即y=g(x)与y=m的图象有交点,所以可以结合图象求解. (2)g(x)-f(x)=0有两个相异实数根?y=f(x)与y=g(x)的图象有两个不同交点,所以可利用它们的图象求解. 跟踪训练2 设函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m在[0,2π]内恰有4个不同的零点,则实数m的取值范围是(  ) A.(0,1) B.[1,2] C.(0,1] D.(1,2) 答案 A 解析 画出函数f(x)在[0,2π]的图象,如图所示: 若函数g(x)=f(x)-m在[0,2π]内恰有4个不同的零点, 即y=f(x)和y=m在[0,2π]内恰有4个不同的交点, 结合图象知0<m<1. 题型三 函数与方程思想的应用 例3 已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0). (1)若y=g(x)-m有零点,求m的取值范围; (2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实数根. 解 (1)方法一 ∵g(x)=x+≥2=2e, 等号成立的条件是x=e, 故g(x)的值域是[2e,+∞), 因而只需m≥2e, 则y=g(x)-m就有零点. 方法二 作出g(x)=x+(x>0)的大致图象(如图所示). 可知若使y=g(x)-m有零点,则只需m≥2e. (2)若g(x)-f(x)=0有两个相异实数根, 即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点, 作出g(x)=x+(x>0)的大致图象(如图所示). ∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2. ∴其图象的对称轴为直线x=e,开口向下, 最大值为m-1+e2. 故当m-1+e2>2e, 即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个不同的交点, 即g(x)-f(x)=0有两个相异的实数根. ∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞). 感悟与点拨 求函数零点的值、判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题,都可利用方程来求解,但当方程不易甚至不可能解出时,可构造两个函数,利用数形结合的方法进行求解. 跟踪训练3 已知a,b∈R,定义运算“?”:a?b=函数f(x)=(x2-2)?(x-1),x∈R,若方程f(x)-a=0只有两个不同实数根,则实数a的取值范围是(  ) A.[-2,-1]∪(1,2) B.(-2,-1]∪(1,2] C.[-2,-1]∪[1,2] D.(-2,-1]∪(1,2) 答案 B 解析 由x2-2-(x-1)≤1, 解得x∈[-1,2], 故f(x)= 画出函数图象如图所示, 由图可知当f(x)=a有两个不同实数根时,a的取值范围为(-2,-1]∪(1,2]. 题型四 函数应用问题 例4 某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示,当通话150分钟时,这两种方式电话费相差(  ) A.10元 B.20元 C.30元 D.元 答案 A 解析 依题意可设sA(t)=20+kt,sB(t)=mt, 又sA(100)=sB(100), 所以100k+20=100m,即k-m=-0.2, 于是sA(150)-sB(150)=20+150k-150m=20+150×(-0.2)=-10, 即两种方式电话费相差10元,故选A. 感悟与点拨 函数应用问题、文字量往往比较大,所以解决此类问题,一般要审读、提炼、建模.就本题而言:(1)认真阅读题干内容,理清数量关系.(2)分析题目提供的信息,从题目内容可看出函数是分段的.(3)建立函数模型,确定解决模型的方法. 跟踪训练4 某种型号的电脑自投放市场以来,经过三次降价,单价由原来的5 000元降到2 560元,则平均每次降价的百分率是(  ) A.10% B.15% C.16% D.20% 答案 D 解析 设平均每次降价的百分率为x, 则由题意得5 000(1-x)3=2 560, 解得x=0.2,即平均每次降价的百分率为20%,故选D. 一、选择题 1.函数f(x)=x2-|x|-6,则f(x)的零点个数为(  ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 C 解析 当x>0时,令x2-x-6=0, 解得x=-2或3,∴x=3; 当x<0时,x2+x-6=0, 解得x=2或-3,∴x=-3. ∴f(x)的零点个数为2. 2.若方程x=有解x0,则x0所在区间是(  ) A.(2,3) B.(1,2) C.(0,1) D.(-1,0) 答案 C 解析 令f(x)=x-, ∵f(0)=1>0,f(1)=-<0, ∴f(0)f(1)<0, ∴方程x=x的解所在区间为(0,1). 3.下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是(  ) A.y=log2x B.y=2x-1 C.y=x2-1 D.y=-x3 答案 B 解析 当x=0时,y=log2x无意义,故A错误; y=x2-1在(-1,0)上单调递减,故C错误; y=-x3在(-1,1)上单调递减,故D错误. ∵y=2x-1在(-1,1)上单调递增, f(-1)<0,f(1)>0, ∴y=2x-1在(-1,1)内存在零点. 4.若函数f(x)=x2-2mx+m2-1在区间[0,1]上恰有一个零点,则m的取值范围为(  ) A.[-1,0]∪[1,2] B.[-2,-1]∪[0,1] C.[-1,1] D.[-2,2] 答案 A 解析 令f(x)=x2-2mx+m2-1=0, 可得x1=m-1,x2=m+1, ∵函数f(x)=x2-2mx+m2-1在区间[0,1]上恰有一个零点, ∴0≤m-1≤1或0≤m+1≤1, ∴-1≤m≤0或1≤m≤2.故选A. 5.已知函数f(x)=x-cos x,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 令f(x)=0,得x=cos x, 分别作出函数y=x和y=cos x的图象, 由图象可知y=x和y=cos x在[0,2π]上有3个交点, ∴f(x)在[0,2π]上有3个零点,故选C. 6.函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 解析 因为函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)上是单调递增函数,且f(0)=-1<0,f(1)=1>0, 所以根据零点存在性定理可知, 在区间(0,1)上函数的零点个数为1, 故选B. 7.(2017年4月学考)若实数a,b,c满足10,f(-1)=a-b+c>0, ∵10. 又对称轴为x=-∈(-1,0), ∴关于x的方程ax2+bx+c=0在区间(-1,0)内有两个不相等的实数根,故选D. 8.函数f(x)=的零点个数为(  ) A.3 B.2 C.1 D.0 答案 B 解析 当x≤0时,只有一个零点-3, 当x>0时,也只有一个零点e2. 9.(2017年11月学考)已知1是函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c)的一个零点.若存在实数x0,使得f(x0)<0,则f(x)的另一个零点可能是(  ) A.x0-3 B.x0- C.x0+ D.x0+2 答案 B 解析 由题意可知a+b+c=0, 又∵a>b>c,∴a>0,c<0, ∴1是方程ax2+bx+c=0的较大的根. ∵f(x0)<0,∴x0<1, 由另一个零点小于x0知C,D不正确. ∵a>b,∴<1,∴->-. 设另一个零点为x2,则>-, ∴x2>-2. 对于A,∵x0<1,∴x0-3<-2,排除A. 当a>0>b>c时,-1<<0, 对称轴-∈, ∴∈, ∴x2∈(-1,0). 又x0<1,B中x0-∈, ∴f(x)的另一个零点可能是x0-.故选B. 10.(2018年4月学考)设a为实数,若函数f(x)=2x2-x+a有零点,则函数y=f(f(x))的零点个数是(  ) A.1或3 B.2或3 C.2或4 D.3或4 答案 C 二、填空题 11.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-x有三个不同的零点,则实数m的取值范围是________. 答案 [-1,2) 解析 由题意可得函数f(x)= 若它的图象和直线y=x有3个不同的交点, 即直线y=x和直线y=2有交点, 且y=x2+4x+2的图象和直线y=x有两个交点, 即必须使函数y=2-x有零点, 并且函数y=x2+3x+2=(x+1)(x+2)有两个零点, 从而得到m<2并且m≥-1. 故答案为[-1,2). 12.(2016年10月学考改编)函数f(x)按照下列方式定义:当x≤2时,f(x)=-x2+2x;当x>2时,f(x)=f(x-2).则方程f(x)=的所有实数根之和是________. 答案 18 解析 作函数y=f(x)的草图如下, 知f(1)=1,f(3)=,f(5)=,f(7)=,所以f(x)=有6个根,它们的和是2×1+2×3+2×5=18. 13.已知函数f(x)=则函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点个数是________. 答案 5 解析 由2f2(x)-3f(x)+1=0, 得f(x)=或f(x)=1. 作出y=f(x)的大致图象, 由图象知零点的个数为5. 14.已知f(x)为R上的增函数,且对任意x∈R,都有f(f(x)-3x)=4,则f(2)=________. 答案 10 解析 根据题意得,f(x)-3x为常数,设f(x)-3x=m, 则f(m)=4,f(x)=3x+m, ∴3m+m=4, 易知该方程有唯一解m=1, ∴f(x)=3x+1,∴f(2)=10. 15.在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x(x∈N*)台的收入函数为R(x)=3 000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4 000(单位:元),利润是收入与成本之差. (1)边际利润函数MP(x)=________________; (2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)的最大值分别为________________. 答案 (1)2 480-40x (2)74 120,2 440 解析 由题意知,x∈[1,100],且x∈N*. (1)P(x)=R(x)-C(x)=3 000x-20x2-(500x+4 000)=-20x2+2 500x-4 000, MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2 500(x+1)-4 000-(-20x2+2 500x-4 000)=2 480-40x. (2)P(x)=-20x2+2 500x-4 000=-202+74 125. 当x=62或x=63时,P(x)的最大值为74 120元. ∵MP(x)=2 480-40x是减函数, ∴当x=1时,MP(x)的最大值为2 440元. ∴利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)的最大值分别为74 120和2 440. 三、解答题 16.已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点. 解 由题意可知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的两个零点为1和2, 则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的两个根, 可得解得 所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1). 令log2(-2x+1)=0,解得x=0. 所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0. 模块检测(必修1) (时间:80分钟 满分:100分) 一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分) 1.若集合M={y|y=2-x},N={y|y=},则M∩N等于(  ) A.{y|y>1} B.{y|y≥1} C.{y|y≥0} D.{y|y>0} 答案 D 解析 因为M={y|y=2-x}={y|y>0}, N={y|y=}={y|y≥0}, 所以M∩N={y|y>0},故选D. 2.已知集合A={x|(2x-5)(x+3)>0},B={1,2,3,4,5},则(?RA)∩B等于(  ) A.{1,2,3} B.{2,3} C.{1,2} D.{1} 答案 C 解析 由(2x-5)(x+3)>0,解得x>或x<-3, 所以集合A=(-∞,-3)∪, 所以?RA=. 所以(?RA)∩B={1,2},故选C. 3.已知全集U=N,集合A=,B=,则图中阴影部分所表示的集合等于(  ) A. B. C. D. 答案 C 解析 ∵A=, ∴B==, ∴图中的阴影部分所表示的集合为(?UA)∩B=. 4.函数f(x)=x-2+ln x的零点所在的大致区间为(  ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 B 解析 因为函数f(x)=x-2+ln x在定义域(0,+∞)内单调递增,且f(1)=1-2+ln 1=-1<0,f(2)=2-2+ln 2=ln 2>0,所以函数f(x)的零点所在的大致区间为(1,2),故选B. 5.已知函数f(x)=则f+f等于(  ) A.3 B.5 C. D. 答案 A 解析 由题意得f+f =f-1+f=2×-1=2×2-1=3, 故选A. 6.若点A(a,-1)在函数f(x)=的图象上,则a等于(  ) A.1 B.10 C. D. 答案 D 解析 由x≥1,≥1,知0<a<1,则f(a)=lg a=-1,a=. 7.若a=0.32,b=20.3,c=log0.32,则a,b,c由大到小的关系是(  ) A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b 答案 B 解析 ∵0<a=0.32<1,b=20.3>1,c=log0.32<0, ∴c<a<b.故选B. 8.设f(x)=ax,g(x)=,h(x)=logax,且a满足loga(1-a2)>0,那么当x>1时必有(  ) A.h(x)0=loga1, 所以0<1-a2<1,所以01时,logax<0,01, 所以h(x)f(log35)>f(log25), 即f(log25)0且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是(  ) 答案 B 解析 由y=loga(-x),得对数函数的定义域为(-∞,0),排除A,C;则由B,D选项中的对数函数的图象易得a>1,则指数函数y=ax单调递增,排除D,故选B. 16.已知函数f(x)=满足对任意的实数x1≠x2都有<0成立,则实数a的取值范围为(  ) A.(-∞,2) B. C.(-∞,2] D. 答案 B 解析 由题意知函数f(x)是R上的减函数,于是有由此解得a≤, 即实数a的取值范围为,故选B. 17.设函数f(x)的定义域为A.若函数f(x)满足: ①A={x|x≠2k-1,k∈Z}; ②函数f(x)是奇函数; ③对任意x∈A,有f(x+1)=-. 则下面关于函数f(x)的叙述中错误的是(  ) A.函数f(x)是周期函数,且最小正周期是2 B.函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称 C.函数f(x)在(0,1)上是增函数 D.函数f(x)的零点是x=2k(其中k∈Z) 答案 C 解析 由f(x+1)=-得f(x)=-, f(x+1)=-, 所以f(x)=f(x+2),所以函数的最小正周期为2, 由此可画出满足条件的函数f(x)的一个简图, 如图所示,由图易知C不正确,故选C. 18.已知函数f(x)=log2(x+2)与g(x)=(x-a)2+1,若对任意的x1∈[2,6),都存在x2∈[0,2],使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是(  ) A.[-1,3] B.[-1,1] C.[,] D.[-1,2-]∪[,3] 答案 D 解析 当x∈[2,6)时,f(x)=log2(x+2)∈[2,3), 则由对任意的x1∈[2,6),都存在x2∈[0,2], 使得f(x1)=g(x2),得当x∈[0,2]时, g(x)min≤2,g(x)max≥3. 当a<0时,g(x)min=g(0)=a2+1, g(x)max=g(2)=(2-a)2+1, 则由g(x)min≤2,g(x)max≥3, 解得-1≤a<0; 当0≤a<1时, g(x)min=g(a)=1, g(x)max=g(2)=(2-a)2+1, 则由g(x)min≤2,g(x)max≥3, 解得0≤a≤2-; 当1≤a<2时,g(x)min=g(a)=1, g(x)max=g(0)=a2+1, 则由g(x)min≤2,g(x)max≥3, 解得≤a<2; 当a≥2时,g(x)min=g(2)=(2-a)2+1, g(x)max=g(0)=a2+1, 则由g(x)min≤2,g(x)max≥3, 解得2≤a≤3, 综上所述,实数a的取值范围为[-1,2-]∪[,3], 故选D. 二、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分) 19.已知集合A={x|y=},B={y|y=2x,x∈R},则A=________;(?RA)∩B=________. 答案 [0,2] (2,+∞) 解析 ∵A={x|2x-x2≥0}=[0,2],B=(0,+∞), ∴?RA=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴(?RA)∩B=(2,+∞). 20.设函数f(x)=则f(f(1))=________. 答案 1 解析 ∵f(1)=2e1-1=2, ∴f(f(1))=f(2)=log3(22-1)=1. 21.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),其关于y=x对称的函数为g(x).若f(2)=9,则g+f(3)的值是________. 答案 25 解析 函数f(x)=ax(a>0,且a≠1), 其关于y=x对称的函数为g(x), 则函数f(x)=ax的反函数为g(x)=logax. 又f(2)=9, 即a2=9,∴a=3,∴g(x)=log3x, ∴g+f(3)=log3+33=25. 22.已知函数f(x)=sin +e-|x-1|,有下面四个结论: ①图象关于直线x=1对称; ②f(x)的最大值是2; ③f(x)的最小值是-1; ④f(x)在[-2 015,2 015]上有2 015个零点. 其中正确的结论是________.(写出所有正确结论的序号) 答案 ①②④ 解析 对于①,因为函数y=sin 的对称轴为x=1+2k,k∈Z,函数y=e-|x-1|的对称轴为直线x=1, 所以函数f(x)=sin +e-|x-1|的对称轴为直线x=1,①正确; 对于②,当x=1+4k,k∈Z时, 函数y=sin 取得最大值1, 当x=1时,函数y=e-|x-1|取得最大值1, 所以函数f(x)=sin +e-|x-1|的最大值为1+1=2,②正确; 对于③,因为函数y=sin 的最小值等于-1, 函数y=e-|x-1|大于0, 所以函数f(x)=sin +e-|x-1|的最小值大于-1,③错误; 对于④,在平面直角坐标系内画出函数y=sin 与函数y=-e-|x-1|的图象(图略), 由图易得当x∈(1,2 015]时, 两函数图象有503×2+1=1 007个交点, 当x∈[-2 015,1)时,两函数图象有504×2=1 008个交点, 所以两函数图象共有1 007+1 008=2 015个交点, 即函数f(x)=sin +e-|x-1|在[-2 015,2 015]上有2 015个零点,④正确. 综上所述,正确的结论为①②④. 三、解答题(本大题共3小题,共31分) 23.(10分)已知函数f(x)=2x,x∈(0,2)的值域为A,函数g(x)=log2(x-2a)+(a<1)的定义域为B. (1)求集合A,B; (2)若B?A,求实数a的取值范围. 解 (1)A=(1,4),B=(2a,a+1],a<1. (2)∵(2a,a+1]?(1,4), ∴ ∴≤a<1. 故实数a的取值范围为. 24.(10分)已知函数f(x)=x2-|x2-ax-2|,a为实数. (1)当a=1时,求函数f(x)在[0,3]上的最小值和最大值; (2)若函数f(x)在(-∞,-1)和(2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围. 解 (1)当a=1时, f(x)= 结合图象(图略)可知,f(x)在上单调递减,在上单调递增, ∴f(x)在[0,3]上的最小值为f=-, f(x)在[0,3]上的最大值为f(3)=5. (2)令x2-ax-2=0, ∵Δ=a2+8>0, 必有两根x1=,x2=, ∴f(x)= 若函数f(x)在(-∞,-1)和(2,+∞)上单调递增, 则只需满足即可, 解得1≤a≤8. 故实数a的取值范围为[1,8]. 25.(11分)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在[2,3]上有最大值4和最小值1,设f(x)=. (1)求a,b的值; (2)若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上恒成立,求实数k的取值范围. 解 (1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a,其对称轴为x=1. 因为a>0,所以g(x)在[2,3]上是增函数, 故解得 (2)由已知可得f(x)=x+-2, 所以f(2x)-k·2x≥0可化为2x+-2≥k·2x, 化为1+2-2·≥k, 令t=,则k≤t2-2t+1, 因为x∈[-1,1],故t∈, 记h(t)=t2-2t+1, 因为t∈,故h(t)min=0, 所以k的取值范围是(-∞,0].

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  • ID:3-5426377 2019版数学浙江省学业水平考试专题复习仿真模拟(二)(解析版)

    高中数学/会考(学业水平测试)专区/模拟试卷

    仿真模拟(二) 一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分) 1.若集合A={x|-2<x<1},B={x|0<x<2},则A∩B等于(  ) A.{x|-1<x<1} B.{x|-2<x<1} C.{x|-2<x<2} D.{x|0<x<1} 答案 D 解析 利用数轴可求得A∩B={x|0<x<1},故选D. 2.函数y=+ln(x-1)的定义域为(  ) A.(1,2] B.[1,2] C.(-∞,1) D.[2,+∞) 答案 A 解析 由得1<x≤2,即函数的定义域为(1,2].故选A. 3.不等式组表示的平面区域是(  ) 答案 C 解析 由不等式组可知不等式组表示的平面区域为x+y=2的下方,直线y=x的上方,故选C. 4.设向量a=(1,-1),b=(0,1),则下列结论中正确的是(  ) A.|a|=|b| B.a·b=1 C.(a+b)⊥b D.a∥b 答案 C 解析 因为|a|=,|b|=1,故A错误; a·b=-1,故B错误; (a+b)·b=(1,0)·(0,1)=0,故C正确; a,b不平行,故D错误.故选C. 5.已知m,n为两条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,下列结论正确的是(  ) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若α∥γ,β∥γ,则α∥β C.若α⊥β,m∥α,则m⊥β D.若α⊥β,m?α,n?β,则m⊥n 答案 B 解析 对于选项A,若m,n?β,m∩n=P,α∥β,则m∥α,n∥α,此时m与n不平行,故A错; 对于选项B,由平面平行的传递性可知B正确; 对于选项C,当α⊥β,α∩β=l,m∥l,m?α时,有m∥α, 此时m∥β或m?β,故C错; 对于选项D,位于两个互相垂直的平面内的两条直线位置关系不确定,故D错.故选B. 6.不等式x+3>|2x-1|的解集为(  ) A. B. C.(-∞,4) D. 答案 B 解析 不等式x+3>|2x-1|等价于-(x+3)<2x-1ab>ab2 B.ab>a>ab2 C.ab>ab2>a D.ab2>ab>a 答案 C 解析 由题意得ab-ab2=ab(1-b)>0, 所以ab>ab2,ab2-a=a(b+1)(b-1)>0, 所以ab2>a,故选C. 11.已知一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),则这个几何体的侧面积是(  ) A.(1+)cm2 B.(3+)cm2 C.(4+)cm2 D.(5+)cm2 答案 C 解析 由三视图可知该几何体的直观图如图所示,所以侧面积为(4+)cm2.故选C. 12.已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+的最小值是(  ) A. B. C. D. 答案 C 解析 由题意得x1+x2=4a,x1x2=3a2, 则x1+x2+=4a+, 因为a>0,所以4a+≥, 当且仅当a=时等号成立. 所以x1+x2+的最小值是,故选C. 13.已知函数f(x)=若函数y=f有四个零点,则实数a的取值范围为(  ) A.[-2,2) B.[1,5) C.[1,2) D.[-2,5) 答案 C 解析 函数y=f有四个零点, 则f=0有四个解, 则方程f(x)+a=-1与f(x)+a=2各有两个解, 作出函数f(x)的图象(图略)可得 解得所以1≤a<2.故选C. 14.已知等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,若S3=,则S6等于(  ) A. B. C.63 D. 答案 B 解析 由题意得S6=S3(1+q3)=×(1+23)=,故选B. 15.已知数列{an}为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9的值为(  ) A.10 B.20 C.100 D.200 答案 C 解析 a7(a1+2a3)+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9=a+2a4a6+a=(a4+a6)2=102=100,故选C. 16.已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是(  ) A.[-1,1) B.[0,2] C.[-2,2) D.[-1,2) 答案 D 解析 由题意知g(x)= 因为g(x)有三个不同的零点, 所以2-x=0在x>a时有一个解,由x=2得a<2. 由x2+3x+2=0,得x=-1或x=-2, 则由x≤a得a≥-1. 综上,a的取值范围为[-1,2),故选D. 17.已知F1(-c,0),F2(c,0)分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线上的一点且满足·=-c2,则此双曲线的离心率的取值范围是(  ) A.[2,+∞) B.[,+∞) C.[,+∞) D. 答案 C 解析 设P(x0,y0),则·=(-c-x0)(c-x0)+y=x+y-c2, 所以x+y-c2=-c2. 又-=1,所以x=a2, 所以a2+y-c2=-c2, 整理得=-a2, 所以-a2≥0,所以c≥a,e≥,故选C. 18.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=,BC=AA1=1,点P为对角线AC1上的动点,点Q为底面ABCD上的动点(点P,Q可以重合),则B1P+PQ的最小值为(  ) A. B. C. D.2 答案 A 解析 P在对角线AC1上,Q在底面ABCD上, PQ取最小值时P在平面ABCD上的射影落在AC上, 将△AB1C1沿AC1翻折到△AB1′C1,使平面AB1′C1与平面ACC1在同一平面内,B1P=B1′P, 所以(B1′P+PQ)min为B1′到AC的距离B1′Q. 由题意知,△ACC1和△AB1′C1为有一个角为30°的直角三角形,∠B1′AC=60°,AB1′=, 所以B1′Q=·sin 60°=. 二、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分) 19.若坐标原点到抛物线x=-m2y2的准线的距离为2,则m=________;焦点坐标为________. 答案 ± (-2,0) 解析 由y2=-x,得准线方程为x=, ∴=2,∴m2=, 即m=±,∴y2=-8x, ∴焦点坐标为(-2,0). 20.在数列{an}中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),记Sn为{an}的前n项和,则S2 017=________. 答案 -1 007 解析 由a1=1,an+1=(-1)n(an+1), 可得a2=-2,a3=-1,a4=0,a5=1, 该数列是周期为4的循环数列, 所以S2 017=504(a1+a2+a3+a4)+a1=504×(-2)+1=-1 007. 21.已知向量a=(-5,5),b=(-3,4),则a-b在b方向上的投影为________. 答案 2 解析 由a=(-5,5),b=(-3,4),则a-b=(-2,1),(a-b)·b=(-2)×(-3)+1×4=10,|b|==5,则a-b在b方向上的投影为==2. 22.已知函数f(x)=x2+px-q(p,q∈R)的值域为[-1,+∞),若关于x的不等式f(x)<s的解集为(t,t+4),则实数s=________. 答案 3 解析 因为函数f(x)=x2+px-q=2--q的值域为[-1,+∞),所以--q=-1,即p2+4q=4.因为不等式f(x)<s的解集为(t,t+4),所以方程x2+px-q-s=0的两根为x1=t,x2=t+4,则x2-x1== ===4,解得s=3. 三、解答题(本大题共3小题,共31分) 23.(10分)等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. 解 (1)设{an}的公比为q,由已知得16=2q3,解得q=2. 所以an=2·2n-1=2n(n∈N*). (2)由(1)得a3=8,a5=32, 则b3=8,b5=32. 设{bn}的公差为d,则有 解得 所以bn=-16+12(n-1)=12n-28. 所以数列{bn}的前n项和Sn= =6n2-22n(n∈N*). 24.(10分)如图,已知椭圆+y2=1(a>1),过直线l:x=2上一点P作椭圆的切线,切点为A,当P点在x轴上时,切线PA的斜率为±. (1)求椭圆的方程; (2)设O为坐标原点,求△POA面积的最小值. 解 (1)当P点在x轴上时, P(2,0),PA:y=±(x-2). 联立 化简得x2-2x+1=0, 由Δ=0,解得a2=2, 所以椭圆的方程为+y2=1. (2)设切线方程为y=kx+m,P(2,y0),A(x1,y1), 则 化简得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0, 由Δ=0,解得m2=2k2+1, 且x1=,y1=,y0=2k+m, 则|PO|=,直线PO的方程为y=x,则点A到直线PO的距离d=, 设△POA的面积为S, 则S=|PO|·d=|y0x1-2y1| = ==|k+m|. 当m=时,S=|k+|. (S-k)2=1+2k2,则k2+2Sk-S2+1=0, Δ=8S2-4≥0,解得S≥,当S=时k=-. 同理当m=-时,可得S≥, 当S=时k=. 所以△POA面积的最小值为. 25.(11分)设a为实数,函数f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1). (1)若f(0)≤1,求a的取值范围; (2)讨论f(x)的单调性; (3)当a≥2时,讨论f(x)+在区间(0,+∞)内的零点个数. 解 (1)f(0)=a2+|a|-a2+a=|a|+a,因为f(0)≤1,所以|a|+a≤1,当a≤0时,0≤1,显然成立; 当a>0时,则有|a|+a=2a≤1, 所以a≤,所以0a,开口向上, 所以f(x)在(-∞,a)上单调递减. 综上所述,f(x)在(a,+∞)上单调递增,在(-∞,a)上单调递减. (3)由(2)得f(x)在(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,所以f(x)min=f(a)=a-a2. ①当a=2时,f(x)min=f(2)=-2, f(x)= 令f(x)+=0,即f(x)=-(x>0), 因为f(x)在(0,2)上单调递减,所以f(x)>f(2)=-2, 而g(x)=-在(0,2)上单调递增,所以g(x)2时,f(x)min=f(a)=a-a2, 当x∈(0,a)时,f(0)=2a>4,f(a)=a-a2, 而g(x)=-在(0,a)上单调递增, 当x=a时,g(x)=-,下面比较f(a)=a-a2与-的大小, 因为a-a2-= =<0, 所以f(a)=a-a2<-. 结合图象不难得到当a>2时,y=f(x)与g(x)=-有两个交点. 综上所述,当a=2时,f(x)+在区间(0,+∞)内有一个零点x=2; 当a>2时,f(x)+在区间(0,+∞)内有两个零点.

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  • ID:3-5426374 2019版数学浙江省学业水平考试专题复习(精美WORD,全解析):必修1 §1

    高中数学/会考(学业水平测试)专区/模拟试卷

    知识点一 集合的含义与表示 1.集合的含义:把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合. 2.集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. 3.集合的相等:若A?B,且B?A,则A=B. 4.元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或?表示. 5.常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N+) Z Q R 6.集合的表示方法:列举法、描述法、图示法. 知识点二 集合与集合的关系 1.子集与真子集 定义 符号语言 图形语言 (Venn图) 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集 A?B(或B?A) 真子集 如果集合A?B,但存在元素x∈B,且x?A,我们称集合A是集合B的真子集 AB(或BA) 2.子集的性质 (1)规定:空集是任何集合的子集,也就是说,对任意集合A,都有??A. (2)任何一个集合A都是它本身的子集,即A?A. (3)如果A?B,B?C,则A?C. (4)如果AB,BC,则AC. 3.子集个数的计算 若A含有n个元素,则A的子集有2n个,A的非空子集有2n-1个. 知识点三 集合的运算 1.交集 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集 A∩B={x|x∈A,且x∈B} 2.并集 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为A与B的并集 A∪B={x|x∈A,或x∈B} 3.交集与并集的性质 交集的运算性质 并集的运算性质 A∩B=B∩A A∪B=B∪A A∩A=A A∪A=A A∩?=? A∪?=A A?B?A∩B=A A?B?A∪B=B 4.全集 在研究集合与集合之间的关系时,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U. 5.补集 文字语言 对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作?UA 符号语言 ?UA={x|x∈U,且x?A} 图形语言 题型一 集合的运算 例1 (1)若集合A={x|1≤3x≤81},B={x|log2(x2-x)>1},则A∩B等于(  ) A.(2,4] B.[2,4] C.(-∞,0)∪(0,4] D.(-∞,-1)∪[0,4] (2)(2018年4月学考)已知集合P={x|0≤x<1},Q={x|2≤x≤3}.记M=P∪Q,则(  ) A.{0,1,2}?M B.{0,1,3}?M C.{0,2,3}?M D.{1,2,3}?M (3)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(?UA)∩B=________. 答案 (1)A (2)C (3){7,9} 解析 (1)∵A={x|1≤3x≤81}={x|0≤x≤4}, B={x|log2(x2-x)>1}={x|x2-x>2} ={x|x<-1或x>2}, ∴A∩B={x|21},则图中阴影部分所表示的集合为___________. 答案 {x|x≤1或x>2} 解析 如图,设U=A∪B=R,A∩B={x|12}. 14.设全集U={x∈Z|-2≤x≤4},A={-1,0,1,2,3},若B??UA,则集合B的个数是________. 答案 4 解析 全集U={x∈Z|-2≤x≤4}={-2,-1,0,1,2,3,4},A={-1,0,1,2,3},?UA={-2,4}, ∵B??UA,则集合B=?,{-2},{4},{-2,4}, 因此满足条件的集合B的个数是4. 15.已知集合A={x||x-2|0), ∴A=(2-a,2+a)(a>0). 由x2-2x-3<0,解得-1

    • 学业考试/会考
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  • ID:3-5411372 揭阳市2019学年度高三学业水平文科数学试题

    高中数学/会考(学业水平测试)专区/会考真题

    绝密★启用前 揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试 数学(文科) 本试卷共23题,共150分,共4页,考试结束后将本试卷和答题卡一并收回. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,,则 A. B. C. D. 2.复数的虚部是 A.3 B.2 C. D. 3.“”是“与的夹角为锐角”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知函数,,则 A.1 B. C. D. 5.记等比数列的前项和为,已知,且公比,则= A.-2 B.2 C.-8 D.-2或-8 6. 若点在抛物线上,记抛物线的焦点为,则直线的斜率为 A. B. C. D. 7. 已知,且,则= A. B. C. D.2 8. 右图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图. 则下列结论中表述不正确的是 A.从2000年至2016年,该地区环境基础 设施投资额逐年增加; B.2011年该地区环境基础设施的投资额比 2000年至2004年的投资总额还多; C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ; D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额,根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为)建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型,根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元. 9.函数的图象大致为 10.若满足约束条件,则的最小值为 A. -1 B.-2 C.1 D. 2 11.某几何体示意图的三视图如图示,已知其主视图的周长为8, 则该几何体侧面积的最大值为 A. B. C. D. 12.已知函数,其中是自然对数的底, 若,则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知向量、,若,则 _____; 14.已知双曲线的一条渐近线方程为, 则该双曲线的离心率为____; 15. 如图,圆柱O1 O2 内接于球O,且圆柱的高等于球O的半径,则从 球O内任取一点,此点取自圆柱O1 O2 的概率为 ; 16. 已知数列满足,,则数列中最大项的值为 . 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求做答. (一)必考题:共60分 17.(12分) 在中,内角、、所对的边分别是、、,且, (1)求; (2)当函数取得最大值时,试判断的形状. 18.(12分) 如图,在三棱锥P-ABC中,正三角形PAC所在平面与等腰三角形 ABC所在平面互相垂直,AB=BC,O是AC中点,OH⊥PC于H. (1)证明:PC⊥平面BOH; (2)若,求三棱锥A-BOH的体积. 19.(12分) 某公司培训员工某项技能,培训有如下两种方式,方式一:周一到周五每天培训1小时,周日测试;方式二:周六一天培训4小时,周日测试.公司有多个班组,每个班组60人,现任选两组(记为甲组、乙组)先培训;甲组选方式一,乙组选方式二,并记录每周培训后测试达标的人数如下表: 第一周 第二周 第三周 第四周 甲组 20 25 10 5 乙组 8 16 20 16 (1)用方式一与方式二进行培训,分别估计员工受训的平均时间(精确到0.1),并据此判断哪种培训方式效率更高? (2)在甲乙两组中,从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求这2人中至少有1人来自甲组的概率. 20.(12分) 设椭圆的右顶点为A,下顶点为B,过A、O、B(O为坐标原点)三点的圆的圆心坐标为. (1)求椭圆的方程; (2)已知点M在x轴正半轴上,过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N,若∠BMN=60°,求点M的坐标. 21.(12分) 已知函数. (1)求函数的单调递减区间; (2)求实数的值,使得是函数唯一的极值点. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. [选修4-4:坐标系与参数方程] (10分) 已知曲线C的参数方程为,(t为参数),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,过极点的两射线、相互垂直,与曲线C分别相交于A、B两点(不同于点O),且的倾斜角为锐角. (1)求曲线C和射线的极坐标方程; (2)求△OAB的面积的最小值,并求此时的值. 23. [选修45:不等式选讲] (10分) 已知函数. (1)当时,求不等式的解集; (2)当时,不等式恒成立,求的取值范围. 揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学 (文科)参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一、选择题 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B D C C B D A A C D 解析: 11. 三视图知,该几何体为圆锥,设底面的半径为r,母线的长为,则, S侧=(当且仅当时“=”成立) 12. 由,知在R上单调递增, 且,即函数为奇函数, 故, 解得. 二、填空题 题序 13 14 15 16 答案 2 解析:16. 由得, 即数列是公差为8的等差数列,故,所以, 当时;当时,,数列递减,故最大项的值为. 三、解答题 17.解:(1)由正弦定理得,----------------------------------2分 又, ∴,即,------------------------------------------------------------------------4分 ∵ ∴.-----------------------------------------------------------------------------6分 (2)解法一:∵ ∴,从而, ------------------------------7分 ∴------------------------------------------8分 ---------------------------------------------10分 ∵,∴当时,函数取得最大值, 这时,即是直角三角形. -------------------------------------------12分 【解法二:∵ ∴, -----------------------------------------------------------------7分 ∴ --------------------------------------------------------------------------------------10分 ∵,∴当时,函数取得最大值, ∴是直角三角形.------------------- --------------------------------------------------------12分】 18.解:(1)∵AB=BC,O是AC中点, ∴ BO⊥AC, -------------------------------------------------------------------------------------------1分 又平面PAC⊥平面ABC, 且平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC, ∴ BO⊥平面PAC,----------------------------------------------3分 ∴ BO⊥PC,------------------------------------------------------4分 又OH⊥PC,BO∩OH=O, ∴ PC⊥平面BOH;---------------------------------------------6分 (2)解法1:∵△HAO与△HOC面积相等, ∴, ∵BO⊥平面PAC, ∴, -------------------------------------------------8分 ∵,∠HOC=30° ∴, ∴,-----------------------------------------------------------------------10分 ∴,即.----------------------------------------------------12分 【其它解法请参照给分】 19.解:(1)设甲乙两组员工受训的平均时间分别为、,则 (小时) ----------------------------------------2分 (小时)----------------------------------------4分 据此可估计用方式一与方式二培训,员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时,因,据此可判断培训方式一比方式二效率更高;---------------------------------------------6分 (2)从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人, 则这6人中来自甲组的人数为:,--------------------------------------------------7分 来自乙组的人数为:,----------------------------------------------------------------8分 记来自甲组的2人为:;来自乙组的4人为:,则从这6人中随机抽取 2人的不同方法数有:,,,,共15种,----------------------------------------------10分 其中至少有1人来自甲组的有:, 共9种,故所求的概率.----------------------------------------------------------------------12分 20.解:(1)依题意知,,------------------------------------------------------------------1分 ∵△AOB为直角三角形,∴过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点, ∴,即,--------------------------------3分 ∴椭圆的方程为.-----------------------------------------4分 (2)由(1)知,依题意知直线BN的斜率存在且小于0, 设直线BN的方程为, 则直线BM的方程为:,------------------------------------------------------------5分 由消去y得,----------------------------------------------6分 解得:,,---------------------------------------------------------------7分 ∴ ∴,------------------------------------------------8分 【注:学生直接代入弦长公式不扣分!】 在中,令得,即 ∴,-----------------------------------------------------------------------------------9分 在Rt△MBN中,∵∠BMN=60°,∴, 即,整理得, 解得,∵,∴,------------------------------------------------------11分 ∴点M的坐标为.---------------------------------------------------------------------------12分 21.解:(1),-----------------------------------------------------------------1分 令,得或,-----------------------------------------------------2分 由得,而不等式组的解集为-----------------------------3分 ∴函数的单调递减区间为;----------------------------------------------------------4分 (2)依题意得,显然,---5分 记,,则, 当时,;当时,; 由题意知,为使是函数唯一的极值点,则必须在上恒成立;----------7分 只须,因, ①当时,,即函数在上单调递增, 而,与题意不符; --------------------------------------------------------8分 ②当时,由,得,即在上单调递减, 由,得,即在上单调递增, 故, ------------------------------------------------------------------------10分 若,则,符合题意;------------------------------------11分 若,则,不合题意; 综上所述,.----------------------------------------------------------------------------------12分 【或由,及,得, ∴,解得. -----------------------------------------------------------------12分】 22. 解:(1)由曲线C的参数方程,得普通方程为, 由,,得, 所以曲线C的极坐标方程为,[或] --------------------------3分 的极坐标方程为;----------------------------------------------------------------------5分 (2)依题意设,则由(1)可得, 同理得,即,--------------------------------------------------7分 ∴ ∵∴,∴, ----------------9分 △OAB的面积的最小值为16,此时, 得,∴. -------------------------------------------------------------------------10分 23.解:(1)①当时,, 解得,-------------------------------------------------------------------------------------------1分 ②当时,, 解得,--------------------------------------------------------------------------------------2分 ③当时, 解得,---------------------------------------------------------------------------------------------3分 上知,不等式的解集为;-----------------------------------5分 (2)解法1:当时,,------------6分 设,则,恒成立, 只需,-------------------------------------------------------------------------------------8分 即,解得--------------------------------------------------------------------10分 【解法2:当时,,----------------------------------------------6分 ,即,即---------------------------------7分 ①当时,上式恒成立,;------------------------------------------8分 ②当时,得恒成立, 只需, 综上知,.----------------------------------------------------------------10分】 1 1 -1 -1 x y A. 1 1 -1 -1 x y B. 1 1 -1 -1 x y C. 1 1 -1 -1 x y D. PAGE 揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学(文科)试题 第1页(共4页)

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  • ID:3-5410250 广东省揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试文科数学试题

    高中数学/会考(学业水平测试)专区/会考真题

    绝密★启用前 揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试 数学(文科) 本试卷共23题,共150分,共4页,考试结束后将本试卷和答题卡一并收回. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,,则 A. B. C. D. 2.复数的虚部是 A.3 B.2 C. D. 3.“”是“与的夹角为锐角”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知函数,,则 A.1 B. C. D. 5.记等比数列的前项和为,已知,且公比,则= A.-2 B.2 C.-8 D.-2或-8 6. 若点在抛物线上,记抛物线的焦点为,则直线的斜率为 A. B. C. D. 7. 已知,且,则= A. B. C. D.2 8. 右图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图. 则下列结论中表述不正确的是 A.从2000年至2016年,该地区环境基础 设施投资额逐年增加; B.2011年该地区环境基础设施的投资额比 2000年至2004年的投资总额还多; C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ; D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额,根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为)建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型,根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元. 9.函数的图象大致为 10.若满足约束条件,则的最小值为 A. -1 B.-2 C.1 D. 2 11.某几何体示意图的三视图如图示,已知其主视图的周长为8, 则该几何体侧面积的最大值为 A. B. C. D. 12.已知函数,其中是自然对数的底, 若,则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知向量、,若,则 _____; 14.已知双曲线的一条渐近线方程为, 则该双曲线的离心率为____; 15. 如图,圆柱O1 O2 内接于球O,且圆柱的高等于球O的半径,则从 球O内任取一点,此点取自圆柱O1 O2 的概率为 ; 16. 已知数列满足,,则数列中最大项的值为 . 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求做答. (一)必考题:共60分 17.(12分) 在中,内角、、所对的边分别是、、,且, (1)求; (2)当函数取得最大值时,试判断的形状. 18.(12分) 如图,在三棱锥P-ABC中,正三角形PAC所在平面与等腰三角形 ABC所在平面互相垂直,AB=BC,O是AC中点,OH⊥PC于H. (1)证明:PC⊥平面BOH; (2)若,求三棱锥A-BOH的体积. 19.(12分) 某公司培训员工某项技能,培训有如下两种方式,方式一:周一到周五每天培训1小时,周日测试;方式二:周六一天培训4小时,周日测试.公司有多个班组,每个班组60人,现任选两组(记为甲组、乙组)先培训;甲组选方式一,乙组选方式二,并记录每周培训后测试达标的人数如下表: 第一周 第二周 第三周 第四周 甲组 20 25 10 5 乙组 8 16 20 16 (1)用方式一与方式二进行培训,分别估计员工受训的平均时间(精确到0.1),并据此判断哪种培训方式效率更高? (2)在甲乙两组中,从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求这2人中至少有1人来自甲组的概率. 20.(12分) 设椭圆的右顶点为A,下顶点为B,过A、O、B(O为坐标原点)三点的圆的圆心坐标为. (1)求椭圆的方程; (2)已知点M在x轴正半轴上,过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N,若∠BMN=60°,求点M的坐标. 21.(12分) 已知函数. (1)求函数的单调递减区间; (2)求实数的值,使得是函数唯一的极值点. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. [选修4-4:坐标系与参数方程] (10分) 已知曲线C的参数方程为,(t为参数),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,过极点的两射线、相互垂直,与曲线C分别相交于A、B两点(不同于点O),且的倾斜角为锐角. (1)求曲线C和射线的极坐标方程; (2)求△OAB的面积的最小值,并求此时的值. 23. [选修45:不等式选讲] (10分) 已知函数. (1)当时,求不等式的解集; (2)当时,不等式恒成立,求的取值范围. 揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学 (文科)参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一、选择题 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B D C C B D A A C D 解析: 11. 三视图知,该几何体为圆锥,设底面的半径为r,母线的长为,则, S侧=(当且仅当时“=”成立) 12. 由,知在R上单调递增, 且,即函数为奇函数, 故, 解得. 二、填空题 题序 13 14 15 16 答案 2 解析:16. 由得, 即数列是公差为8的等差数列,故,所以, 当时;当时,,数列递减,故最大项的值为. 三、解答题 17.解:(1)由正弦定理得,----------------------------------2分 又, ∴,即,------------------------------------------------------------------------4分 ∵ ∴.-----------------------------------------------------------------------------6分 (2)解法一:∵ ∴,从而, ------------------------------7分 ∴------------------------------------------8分 ---------------------------------------------10分 ∵,∴当时,函数取得最大值, 这时,即是直角三角形. -------------------------------------------12分 【解法二:∵ ∴, -----------------------------------------------------------------7分 ∴ --------------------------------------------------------------------------------------10分 ∵,∴当时,函数取得最大值, ∴是直角三角形.------------------- --------------------------------------------------------12分】 18.解:(1)∵AB=BC,O是AC中点, ∴ BO⊥AC, -------------------------------------------------------------------------------------------1分 又平面PAC⊥平面ABC, 且平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC, ∴ BO⊥平面PAC,----------------------------------------------3分 ∴ BO⊥PC,------------------------------------------------------4分 又OH⊥PC,BO∩OH=O, ∴ PC⊥平面BOH;---------------------------------------------6分 (2)解法1:∵△HAO与△HOC面积相等, ∴, ∵BO⊥平面PAC, ∴, -------------------------------------------------8分 ∵,∠HOC=30° ∴, ∴,-----------------------------------------------------------------------10分 ∴,即.----------------------------------------------------12分 【其它解法请参照给分】 19.解:(1)设甲乙两组员工受训的平均时间分别为、,则 (小时) ----------------------------------------2分 (小时)----------------------------------------4分 据此可估计用方式一与方式二培训,员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时,因,据此可判断培训方式一比方式二效率更高;---------------------------------------------6分 (2)从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人, 则这6人中来自甲组的人数为:,--------------------------------------------------7分 来自乙组的人数为:,----------------------------------------------------------------8分 记来自甲组的2人为:;来自乙组的4人为:,则从这6人中随机抽取 2人的不同方法数有:,,,,共15种,----------------------------------------------10分 其中至少有1人来自甲组的有:, 共9种,故所求的概率.----------------------------------------------------------------------12分 20.解:(1)依题意知,,------------------------------------------------------------------1分 ∵△AOB为直角三角形,∴过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点, ∴,即,--------------------------------3分 ∴椭圆的方程为.-----------------------------------------4分 (2)由(1)知,依题意知直线BN的斜率存在且小于0, 设直线BN的方程为, 则直线BM的方程为:,------------------------------------------------------------5分 由消去y得,----------------------------------------------6分 解得:,,---------------------------------------------------------------7分 ∴ ∴,------------------------------------------------8分 【注:学生直接代入弦长公式不扣分!】 在中,令得,即 ∴,-----------------------------------------------------------------------------------9分 在Rt△MBN中,∵∠BMN=60°,∴, 即,整理得, 解得,∵,∴,------------------------------------------------------11分 ∴点M的坐标为.---------------------------------------------------------------------------12分 21.解:(1),-----------------------------------------------------------------1分 令,得或,-----------------------------------------------------2分 由得,而不等式组的解集为-----------------------------3分 ∴函数的单调递减区间为;----------------------------------------------------------4分 (2)依题意得,显然,---5分 记,,则, 当时,;当时,; 由题意知,为使是函数唯一的极值点,则必须在上恒成立;----------7分 只须,因, ①当时,,即函数在上单调递增, 而,与题意不符; --------------------------------------------------------8分 ②当时,由,得,即在上单调递减, 由,得,即在上单调递增, 故, ------------------------------------------------------------------------10分 若,则,符合题意;------------------------------------11分 若,则,不合题意; 综上所述,.----------------------------------------------------------------------------------12分 【或由,及,得, ∴,解得. -----------------------------------------------------------------12分】 22. 解:(1)由曲线C的参数方程,得普通方程为, 由,,得, 所以曲线C的极坐标方程为,[或] --------------------------3分 的极坐标方程为;----------------------------------------------------------------------5分 (2)依题意设,则由(1)可得, 同理得,即,--------------------------------------------------7分 ∴ ∵∴,∴, ----------------9分 △OAB的面积的最小值为16,此时, 得,∴. -------------------------------------------------------------------------10分 23.解:(1)①当时,, 解得,-------------------------------------------------------------------------------------------1分 ②当时,, 解得,--------------------------------------------------------------------------------------2分 ③当时, 解得,---------------------------------------------------------------------------------------------3分 上知,不等式的解集为;-----------------------------------5分 (2)解法1:当时,,------------6分 设,则,恒成立, 只需,-------------------------------------------------------------------------------------8分 即,解得--------------------------------------------------------------------10分 【解法2:当时,,----------------------------------------------6分 ,即,即---------------------------------7分 ①当时,上式恒成立,;------------------------------------------8分 ②当时,得恒成立, 只需, 综上知,.----------------------------------------------------------------10分】 1 1 A. y -1 1 1 C. y x -1 -1 -1 x -1 -1 1 1 B. y x -1 1 1 -1 x y D. PAGE 揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学(文科)试题 第1页(共4页)

    • 学业考试/会考
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  • ID:3-5410247 广东省揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试理科数学试卷

    高中数学/会考(学业水平测试)专区/会考真题

    绝密★启用前 揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试 数学(理科) 本试卷共23题,共150分,共4页,考试结束后将本试卷和答题卡一并收回. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数的虚部是 A. B.2 C. D. 2.已知集合,,则 A. B. C. D. 3.已知命题若,则;命题、是直线,为平面,若//,,则//.下列命题为真命题的是 A. B. C. D. 4.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图. 则下列结论中表述不正确的是 A.从2000年至2016年,该地区环境基础 设施投资额逐年增加; B.2011年该地区环境基础设施的投资额比 2000年至2004年的投资总额还多; C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ; D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额,根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为)建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型,根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元. 5. 函数的图象大致为 6. 若满足约束条件,则的最小值为 A. 1 B.2 C.-2 D.-1 7.若,,,则的大小关系为 A. B. C. D. 8.若点在抛物线上,记抛物线的焦点为,直线与抛物线的另一交点为B,则 A. B. C. D. 9.某几何体示意图的三视图如图示,已知其主视图的周长为8, 则该几何体侧面积的最大值为 A. B. C. D. 10.已知在区间上,函数与函数的图象交于点P,设点P在x轴上的射影为,的横坐标为,则的值为 A. B. C. D. 11.已知双曲线C:的左、右焦点分别为,坐标原点O关于点的对称点为P,点P到双曲线的渐近线距离为,过的直线与双曲线C右支相交于M、N两点,若,的周长为10,则双曲线C的离心率为 A. B.2 C. D.3 12. 如图,在三棱柱中,底面,∠ACB=90°, 为上的动点,则的最小值为 A. B. C.5 D. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.的展开式中的系数为_______; 14.若向量、不共线,且,则_______; 15. 已知函数,若,则实数的取值范围是 ; 16. 已知,则 . 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求做答. (一)必考题:共60分 17.(12分) 已知数列的前n项和为,且满足,. (1)求数列的通项公式; (2)若等差数列的前n项和为,且,,求数列的前项和. 18.(12分) 如图,在三棱锥P-ABC中,正三角形PAC所在平面与等腰三角形 ABC所在平面互相垂直,AB=BC,O是AC中点,OH⊥PC于H. (1)证明:PC⊥平面BOH; (2)若,求二面角A-BH-O的余弦值. 19.(12分) 某公司培训员工某项技能,培训有如下两种方式,方式一:周一到周五每天培训1小时,周日测试;方式二:周六一天培训4小时,周日测试.公司有多个班组,每个班组60人,现任选两组(记为甲组、乙组)先培训,甲组选方式一,乙组选方式二,并记录每周培训后测试达标的人数如下表,其中第一、二周达标的员工评为优秀. 第一周 第二周 第三周 第四周 甲组 20 25 10 5 乙组 8 16 20 16 (1)在甲组内任选两人,求恰有一人优秀的概率; (2)每个员工技能测试是否达标相互独立,以频率作为概率. (i)设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为、,求、的分布列,若选平均受训时间少的,则公司应选哪种培训方式? (ii)按(i)中所选方式从公司任选两人,求恰有一人优秀的概率. 20.(12分) 已知椭圆:的上顶点为A,以A为圆心,椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为、. (1)求椭圆的方程; (2)设不经过点A的直线与椭圆交于P、Q两点,且,试探究直线是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标,若不过定点,请说明理由. 21.(12分) 已知函数(,). (1)讨论函数的单调性; (2)当时,,求k的取值范围. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. [选修4-4:坐标系与参数方程] (10分) 已知曲线C的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,过极点的两射线、相互垂直,与曲线C分别相交于A、B两点(不同于点O),且的倾斜角为锐角. (1)求曲线C和射线的极坐标方程; (2)求△OAB的面积的最小值,并求此时的值. 23. [选修45:不等式选讲] (10分) 已知函数, (1)当a=2时,求不等式的解集; (2)当时不等式恒成立,求的取值范围. 揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学 (理科)参考答案及评分说 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一、选择题 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C B D A D A D C B B C 解析:8.依题意易得,,由抛物线的定义得,联立直线AF的方程与抛物线的方程消去y得,得, 则,故. 9.由三视图知,该几何体为圆锥,设底面的半径为r,母线的长为,则,又 S侧=(当且仅当时“=”成立) 10. 依题意得. 11.依题意得点P,,由双曲线的定义得周长为,由此得,,故. 12.由题设知△为等腰直角三角形,又平面,故∠=90°, 将二面角沿展开成平面图形,得四边形如图示,由此, 要取得最小值,当且仅当三点共线,由题设知∠, 由余弦定理得. 二、填空题 题序 13 14 15 16 答案 224 3 解析: 15.因函数为增函数,且为奇函数,, ,解得.【学生填或或都给满分】 16.依题意可得,其最小正周期,且故 三、解答题 17.解:(1)当时,,------------------------------------1分 由得(), 两式相减得,又, ∴(),---------------------------------------3分 又,∴(),----------------4分 显然,,即数列是首项为3、公比为3的等比数列, ∴;-----------------------------------------6分 (2)设数列的公差为d,则有,由得,解得,--------8分 ∴,-----------------------------------------9分 又-----------------------10分 ∴ .--------------------------------------------12分 18.解:(1)∵AB=BC,O是AC中点, ∴ BO⊥AC,---------------------------------------1分 又平面PAC⊥平面ABC, 且平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC, ∴ BO⊥平面PAC,-------------------------------------3分 ∴ BO⊥PC,又OH⊥PC,BO∩OH=O, ∴ PC⊥平面BOH;------------------------------------5分 (2)易知PO⊥AC,又BO⊥平面PAC, 如图,以O为原点,OB所在的直线为x轴建立空间直角坐标系O-xyz, 由易知,OC=2, ,, ∴ ,,, ,,--------------------------7分 设平面ABH的法向量为, 则, ∴,取x=2,得,-------9分 由(1)知是平面BHO的法向量,易知,------10分 设二面角A-BH-O的大小为,显然为锐角, 则, ∴ 二面角A-BH-O的余弦值为.------------------------------------------12分 【其它解法请参照给分】 19.解:(1)甲组60人中有45人优秀,任选两人, 恰有一人优秀的概率为;--------------------3分 (2)(i)的分布列为 5 10 15 20 P ,--------------------------------6分 的分布列为 4 8 12 26 P , ∵,∴公司应选培训方式一;-------------------------------------------9分 (ii)按培训方式一,从公司任选一人,其优秀的概率为, 则从公司任选两人,恰有一人优秀的概率为.-------------------------12分 20.解:(1)依题意知点A的坐标为,则以点A圆心,以为半径的圆的方程为: ,-----------------------------------------------------1分 令得,由圆A与y轴的交点分别为、 可得,解得,-----------------------------------3分 故所求椭圆的方程为.----------------------------------------------------------------4分 (2)解法1:由得,可知PA的斜率存在且不为0, 设直线---------------① 则-------------②--------------6分 将①代入椭圆方程并整理得, 可得,则,--------------------------------------------------------8分 类似地可得,----------------------------------------------------------9分 由直线方程的两点式可得:直线的方程为 ,-------------------------------11分 即直线过定点,该定点的坐标为.----------------------------------------------------------12分 【解法2:若直线l垂直于x轴,则AP不垂直于AQ,不合题意, 可知l的斜率存在,又l不过点(0,1),设l的方程为, 又设点,则, 由得, 由,消去y得,------------------------------6分 ,当即时, -------① ---------②---------------------------------7分 又,,------------------8分 于是有,-----------③--------------9分 将①②代入③得 整理得:,----------------------------------------------------------------------------------11分 满足,这时直线的方程为,直线过定点.--------------12分】 (21)解:(1).--------------1分 ①若,当时,,在上单调递增; 当时,,在上单调递减.----------3分 ②若,当时,,在上单调递减; 当时,,在上单调递增. ∴当时,在上单调递增,在上单调递减; 当时,在上单调递减,在上单调递增.-----------5分 (2)(), 当时,上不等式成立,满足题设条件;-----------------------------------------6分 当时,,等价于, 设,则, 设(),则, ∴在上单调递减,得.-----------------9分 ①当,即时,得,, ∴在上单调递减,得,满足题设条件;--------10分 ②当,即时,,而, ∴,,又单调递减, ∴当,,得, ∴在上单调递增,得,不满足题设条件; 综上所述,或.------------------------------------------------------------------12分 22.解:(1)由曲线C的参数方程,得普通方程为, 由,,得, 所以曲线C的极坐标方程为,[或] ------------------------3分 的极坐标方程为;--------------------------------------------------------------------5分 (2)依题意设,则由(1)可得, 同理得,即,---------------------------------------------7分 ∴ ∵∴,∴,-----------------9分 △OAB的面积的最小值为16,此时, 得,∴.--------------------------------------------------------------------------10分 23.解:(1)①当时,, 解得,-------------------------------------------------------------------------1分 ②当时,, 解得,---------------------------------------------------------------------2分 ③当时, 解得,------------------------------------------------------------------------------3分 综上知,不等式的解集为.--------------------5分 (2)解法1:当时,,---6分 设,则,恒成立, 只需,-------------------------------------------------------------------------8分 即,解得---------------------------------------------------------10分 【解法2:当时,,---------------------------------6分 ,即,即----------------------7分 ①当时,上式恒成立,;-----------------------------------------------8分 ②当时,得恒成立, 只需, 综上知,.--------------------------------------------------------------------10分】 -1 1 1 y y x -1 -1 1 1 y x A. x -1 -1 1 1 1 1 y x -1 -1 -1 B. C. D. PAGE 揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学(理科)试题 第4页(共4页)

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  • ID:3-5336755 新疆维吾尔自治区2019年普通高中学业水平考试数学模拟试卷 答案版 (4)

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  • ID:3-5336752 新疆维吾尔自治区2019年普通高中学业水平考试数学模拟试卷 答案版 (3)

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