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高中数学素材专区
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  • ID:3-7095690 高中数学一般常用特殊函数图像集锦(Word版)

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    函数表达式 图像 函数表达式 图像 函数极值点 函数极值点 函数极值点 函数极值点 过定点 函数极值点 函数极值点 函数极值点 函数极值点 函数表达式 图像 函数表达式 图像 函数表达式 图像 函数表达式 图像 函数表达式 图像 函数表达式 图像 函数表达式 图像 函数表达式 图像 函数极值点 、 函数表达式 图像 函数表达式 图像 函数过定点 函数极值点 函数极值点 过定点 函数极值点 函数极值点 函数表达式 图像 函数表达式 图像 函数过定点 函数极值点 函数极值点 过定点 函数极值点 O y O O y O y x 6 2IT 34 1=n-x 2IT T 2IT 2 2IT 2IT 2IT T 2IT 4 2IT 2 2 2IT 2IT 2IT T 2TT 2IT 2IT 4 2IT T 2IT 4 2 21 TI 2IT 4 2 2 2IT 2 T 2 -2IT T 2t x 4 2IT TT 21 y x 2IT T 2IT 4 2 2IT y y O O O y O O (x) x=ndx O 4 g(x)=x f( 22T 2IT fx)=tan() q(b= )=m(x) O f(x) hn(x) +1 O O -2T 2IT 2 2 -2TT T 2TT 4 2 -2T T 2IT 4 2 2IT T 2IT 2IT T 2IT 4 2IT T 2 -2IT T 2TT n=/m-X -4 2 2TT T 2 2 2IT 2 O y O y

  • ID:3-7012106 拉格朗日中值定理

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    (共161张PPT) 拉格朗日中值定理 罗尔(Rolle)定理 实际上, C点处的切线与弦 AB 平行. 几何解释: 把上图做一旋转,得到下图: C C点处的切线与弦线 AB 平行. C 拉格朗日(Lagrange)中值定理 弦AB斜率 切线斜率 此条件太苛刻 有限增量公式 ( C 为常数 ) 拉格朗日中值定理 函数单调性的判定法 拉格朗日中值定理 函数单调性的判定法 引入新课 新课讲授 小结与作业 导数的几何意义: y=f(x) 0 x y 引 入 新 课 例题 α 引例. 解: A B P 0 x y 注:这个例题反映了一个一般事实,可以写成下面的定理。 返回 (A) 一.拉格朗日中值定理 推论:如果y=(x)在区间(a、b)内有f'(x)≡0 则在此区间内f(x)≡c(常数)。 注:这个推论是常数的导数是零的逆定理。 例题与练习 新 课 讲 授 (B)练习1:下列函数中在区间[-1、1]上满足拉格朗日中值 定理条件的是______ (A)例1.求函数f(x)=x2+2x在区间[0、1]内满足拉 格朗日中值定理的ξ值。 解: f(1)-f(0)=3 ∴2ξ+2=3 1)f(x)=ln(1+x) 2)f(x)=|x| 4)f(x)=arctanx 下一页 二.函数单调性的判定法 0 x y 0 x y a b A B a b A B 几何特征: 定理:设函数y=f(x)在[a、b]上连续,在(a、b)内可导. 1)若在(a、b)内f’(x)>0,则y=f(x)在[a、b]上单调增加。 2)若在(a、b)内f’(x)<0,则y=f(x)在[a、b]上单调减少。 y=f(x) y=f(x) 证明 f '(x)>0 f '(x)<0 证明 在(a、b)内任取两点x1,x2且x10,则f’(ξ)>0 又x2-x1>0 ∴f(x2)>f(x1) ∴y=f(x)在[a、b]上单调增加 同理可证:若f'(x)<0 ,则函数f(x)在[a、b]上单调减少 注:1)上述定理中间区间[a、b]若改为(a、b)或无限区间 结论同样成立。 2)若f(x)在(a、b)内的个别点的导数为零,其余的点 都有f '(x)>0(或 f '(x)<0),则f(x)在(a、b)内满足单调 增加(单调减少). 例题 (A)例1. 判定y=x3的单调性 y'=3x2 当x=0时 y'=0 当x≠0时 y'>0 ∴x∈(-∞,+∞) y单调增加 0 x y (A) 例2.判断下列函数的单调性 下一页 解: 解: 1) 定义域为(-∞、+∞) 2) f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 3)列表: 令 f'(x)=0 得x1=1 x2=2 4)由表可知:函数的单调增区间为(-∞、1]∪[2、+∞) 单调减区间为(1、2)。 x y' y (-∞、1) + 1 0 (1、2) - + (2、+∞) 2 0 (B)练习2:确定函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间。 下一页 (C)例4: 解: 1)定义域为(-∞、-1)∪(-1、+∞). 3)列表: (-∞、-2) + -2 0 (-1、0) - 0 0 + (0、+∞) 4) 由表可知函数的单调增区间为(-∞、-2)∪(0、+∞) 单调减区间为(-2、-1)∪(-1、0)。 x y’ y (-2、-1) - 返回 三.小结与作业 1.拉格朗日中值定理及推论。 2.函数单调性的判定方法与步骤。 3.作业:<教与学> P40 : (A)1.(1) (B)3.(3) (4) (C)3.(6) 小 结 与 作 业 返回 拉格朗日中值定理 函数单调性的判定法 引入新课 新课讲授 小结与作业 拉格朗日中值定理 函数单调性的判定法 拉格朗日中值定理 几何直观 一. 教材分析 (1) 教材的地位和作用 (2)重点难点 (3) 课时安排 一. 教材分析 微积分学是人类思维的伟大成果之一,是人类经历了2500多年震撼人心的智力奋斗的结果,它开创了向近代数学过渡的新时期,为研究变量和函数提供了重要的方法。微分中值定理是微分学理论的重要组成部分,在导数应用中起着桥梁作用,也是研究函数变化形态的纽带,在微分学中占有很重要的地位. 拉格朗日中值定理,建立了函数值与导数值之间的定量联系,因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态,如单调性、变化快慢和极值等性态,这是本章的关键内容。 (一)教材的地位和作用 一. 教材分析 (二)重点与难点 教学重点:探求和理解拉格朗日中值定理。 教学难点:探求拉格朗日中值定理的条件; 运用定理研究函数单调性。 ? 一. 教材分析 拉格朗日中值定理和函数的单调性可安排两课时。本节作为第一课时,重在探求拉格朗日中值定理,理解拉格朗日中值定理的几何意义和定理的条件,体会该定理在研究函数性态应用中的作用。 (三)课时安排 二. 教法分析 (一)学情分析 (二)教学方法 (三)学法分析 (四)具体措施 二. 教法分析 (一)学情分析 学生已经学习了导数的概念和导数的运算,对微分的定义及运算有了直观的认识和理解。通过体会导数的思想和实际背景,已经具备一定的微分思想,但是发现函数与其导数是两个不同的概念;而导数只是反映函数在一点的局部特征;而函数反映在其定义域上的整体性态,如何建立两者之间的联系呢?多数同学对此有相当的兴趣和积极性。学生在学习时可能会遇到以下困难,发现连接曲线两端点的直线段有时与曲线上某点的切线是平行的,但是又不知是否对所有曲线都满足?? 二. 教法分析 (二)教学方法 1、多媒体辅助教学 借助多媒体教学手段引导学生发现存在某点的切线与连接两端点的线段是平行的,使问题变得直观,易于突破难点;利用多媒体向学生展示这一过程,体会逼近的思想方法。 2、探究发现法教学 让学生通过动手操作课件,经历“实验、探索、论证、应用”的过程,体验从特殊到一般的认识规律,通过学生“动手、动脑、讨论、演练”增加学生的参与机会,增强参与意识,教给学生获取知识的途径,思考问题的方法,使学生真正成为教学主体。 二. 教法分析 (三)学法分析 自主、合作、探究 借助多媒体技术创设丰富的教学情境,激发学生的学习动机,培养学习兴趣,充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。引导学生动手操作课件,指导学生讨论交流从而发现规律,培养学生探究问题的习惯和意识以及勇于探索、勤于思考的精神,提高学生合作学习和数学交流的能力。 ? 二. 教法分析 (四)具体措施 根据以上的分析,本节课采用教师引导与学生自主探究相结合,交流与练习相穿插的活动课形式,以学生为主体,教师创设和谐、愉快的环境及辅以适当的引导。同时,利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性,以提高课堂效率。教学中注重数形结合,从形的角度对概念理解和运用。在这个过程中培养学生分析解决问题的能力,培养学生讨论交流的合作意识。 ? ? 三. 教学目标 通过实验探求拉格朗日中值定理条件, 理解拉格朗日中值定理在研究函数性态中的作用,培养学生分析、抽象、概括等思维能力。 掌握知识与技能 三. 教学目标 体会过程与方法 在寻找存在某直线与连接曲线两端点的线段平行的过程中,使学生通过认识用导数来研究函数形态,发现数学的美,数学知识的融会贯通; 通过数形结合的思想的具体运用来探讨定理的条件,使学生思维达到严谨,了解科学的思维方法。 ? 三. 教学目标 培养情感态度与价值观 在拉格朗日中值定理的探讨过程中,渗透逼近和数形结合的思想,使学生了解近似与精确间的辨证关系,激发学生勇于探索、勤于思考的精神; 通过讨论、交流、合作、实验操作等活动激发学生学习数学的兴趣;培养学生合作学习和数学交流的能力。 ? ? 四. 教学过程 (一)教学流程图 (二)教学过程与设计思路 (一)教学流程图 教学程序及设计意图 教学过程 设计意图 (一)创设情景? 引入新课 提出问题: 1、将连接曲线两端点的线段平行的移动是否发现有某点处的切线与其平行? 提出问题,由学生发现函数与导数之间的联系,那么如何在两者之间架起桥梁呢?让学生感受到进一步探究学习的重要性。 教学过程 设计意图 2、可从特殊来引导一般,假如曲线两端点的函数值相等,将会有什么结果? 设问引起学生的好奇心,激发学生的求知欲,教学中让学生就此探究进行思考展开讨论。 利用认知迁移规律,从学生的“最近发展区”出发,引导学生利用已有的知识尝试解决问题,在学生已有的认知结构基础上进行新概念的建构。 教学过程 设计意图 (二)动手操作 探索求知 1、课件操作: 学生动手拖动点,观察过曲线端点的直线是否能成为某点处的切线,引导给出特殊情况下定理的内容。 2、学生自主合作学习: 学生分组讨论交流,计算过曲线两端点的直线的斜率和函数的导函数,自主合作探求直线的斜率和某点处导数的关系,教师在自主合作之后看学生得出的结论。 通过逼近方法,知道在曲线上存在某点处的切线平行与过曲线端点的直线适用于处处有不垂直于x轴的切线的曲线,这一定理将函数与其导数建立起联系。 ? 借助多媒体教学手段引导学生发现定理的几何意义,使问题变得直观,易于突破难点;学生在过程中,可以体会逼近的思想方法。最后的证明环节,能够同时从数与形两个角度强化学生对拉格朗日中值定理的理解。 (三)灵活运用 透析内涵 求函数 在[0,2]上满足拉格朗日中值定理条件的 ? 解: , 由拉格朗日中值定理得: 这是学生思维上升的又一个层次,设计该题目的在于加深学生对导数刻画函数单调性的理解,通过它及时发现学生的问题,及时纠正,能对学生情况给予及时评价。 教学过程 设计意图 教学过程 设计意图 , (四)巩固知识,提升思维 已知导函数 的下列信息: 设函数 在 上连续, 在 内可导,则有: (1)如果在 内 , 则 在 上单调增加; (2)如果在 内 , 则 在 上单调减少; 设计这个问题的目的有三个: 第一,让学生描述在一点附近曲线的变化情况,体会以直代曲的思想方法; 第二,让学生深刻理解拉格朗日中值定理架起函数和导数之间的桥梁; 第三,让学生观察、探讨函数的单调性与其导函数正负的关系。 教学过程 设计意图 1、知识技能小结 2、思想方法小结 (五)自主小结 整体把握 (六)布置作业 拓展提高 (1)阅读作业:收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料 (2)书面作业:1. 2. (3)拓展作业:3. 启发学生自主小结,知识性内容的小结,可把课堂所学知识尽快化为学生的素质;数学思想方法的小结,可使学生更清晰地梳理数学思想方法,并且逐渐养成科学的思维习惯。 针对学生素质的差异进行分层训练,既注重“双基”,又兼顾提高,为学生指明课后继续学习的方向,同时为以后的学习留下悬念,激发学生探索的兴趣。 小结提高 核心概念 知识技能?思想方法 五. 评价与反思 1、 板书设计: ? ? ? 五. 说明和反思 2、时间安排: 新课引入约10分钟, 探索求知约10分钟, 灵活运用约20分钟, 小结提高约5分钟。 五. 说明和反思 本节课设计为一节“科学探究—合作学习”的活动课,在整个教学过程中学生以探索者的身份学习,在问题解决过程中,通过自身的体验对知识的认识从模糊到清晰,从直观感悟到精确掌握。 ? 力求使学生体会微积分的基本思想,感受近似与精确的统一,运动和静止的统一,感受量变到质变的转化。希望利用这节课渗透辨证法的思想精髓。 教师在这个过程中始终扮演学生学习的协作者和指导者。学生通过自身的情感体验,能够很快的形成知识结构,并将其转化为数学能力。 过程反思 一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 四、泰勒(Taylor)中值定理 1 费马(Fermat)引理 一、罗尔(Rolle)定理 几何解释: 2 罗尔(Rolle)定理 注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立. 注2:若罗尔定理的条件仅是充分条件,不是必要的. 2)唯一性 证:1)存在性 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 几何解释: 证 分析: 化归证明法 作辅助函数 拉格朗日中值公式 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 推论1 拉格朗日中值公式另外的表达方式: 例2 证 由上式得 三、柯西(Cauchy)中值定理 几何解释: 证 作辅助函数 例3 证 分析:结论可变形为 1 问题的提出 四、泰勒(Taylor)中值定理 不足 问题 1、精确度不高; 2、误差不能估计。 分析: 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近似程度越来越好 3 泰勒(Taylor)中值定理 证明: 定理1 (带lagrange余项的泰勒定理) 拉格朗日形式的余项 皮亚诺形式的余项 定理2 (带peano余项的泰勒定理) 几点说明: 4 常用n阶泰勒公式及其简单应用 解 解 其它函数的麦克劳林公式 误差传递公式 : 微分学所要解决的两类问题: 函数的变化率问题 函数的增量问题 微分的概念 导数的概念 求导数与微分的方法,叫做微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学, 叫做微分学. 导数与微分的联系: ★ ★ C A 例8.设由方程 确定函数 求 正确解法: 2. 设 其中 在 因 故 正确解法: 时, 下列做法是否正确? 在求 处连续, 例8.设由方程 确定函数 求 解:方程组两边对 t 求导,得 故 0.1 函数的极值 0.2 函数的最值 0.3费马定理 问题:是不是所有的极值点都是驻点? 0.3费马定理 例如, 一、罗尔定理 几何解释: 如何从理论上证明? 证 注意:1、若罗尔定理的三个条件 i、 闭区间上连续; ii、 开区间内可导; iii、两端点函数值相等 是定理成立充分条件; 结论是存在 导数为0的点 导数为零的点的存在的时候,可能这三个条件都不成立 注意:2、若罗尔定理的三个条件缺一不可: 即:其中任何一个不成立, 均有可能使结果不成立 例1 证 由零点定理 即为方程的小于1的正实根. 矛盾, 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 几何解释: 分析: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 使 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 证: 问题转化为证 由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 . 证毕 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 令 则 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 推论: 若函数 在区间 I 上满足 则 在 I 上必为常数. 证: 在 I 上任取两点 日中值公式 , 得 在 I 上为常数 . 例2 证 例3 证 由上式得 三、柯西(Cauchy)中值定理 分析: 及 (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点 使 满足 : 要证 证: 作辅助函数 且 使 即 由罗尔定理知, 至少存在一点 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? 两个 ? 不 一定相同 错! 上面两式相比即得结论. 柯西定理的几何意义: 注意: 弦的斜率 切线斜率 例8 证 分析: 结论可变形为 内容小结 1. 微分中值定理的条件、结论及关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 关键: 设辅助函数 费马引理 2. 设 且在 内可导, 证明至少存 在一点 使 提示: 由结论可知, 只需证 即 验证 在 上满足罗尔定理条件. 设 4. 思考: 在 即 当 时 问是否可由此得出 不能 ! 因为 是依赖于 x 的一个特殊的函数. 因此由上式得 表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 . 应用拉格朗日中值定理得 上对函数 思考题 试证: 作业:P146: 2.⑵⑹ 5. 6. 7. 10. 费马(1601 – 1665) 法国数学家, 他是一位律师, 数学 只是他的业余爱好. 他兴趣广泛, 博 览群书并善于思考, 在数学上有许多 重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出 的费马大定理: 至今尚未得到普遍的证明. 他还是微积分学的先驱 , 费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的. 拉格朗日 (1736 – 1813) 法国数学家. 他在方程论, 解析函数论, 及数论方面都作出了重要的贡献, 近百 余年来, 数学中的许多成就都直接或间 接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一. 柯西(1789 – 1857) 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》, 《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 . 对数学的影 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 第二章 一元函数微分学及其应用 §2.6 微分中值定理 一、罗尔( Rolle )定理 费马(fermat)引理 证: 设 则 几何背景 定理2.1 定理2.1 证明: 返回 注意: 证明 推广到一般情形 定理2.2 证明 推论1: 若函数 在区间 (a, b) 内 则 在(a, b)内必为常数. 证: 在(a,b)内任取两点 日中值公式 , 得 在(a, b)内为常数 . 证恒等式: 欲证 时 只需证在 I 上 证明: 步骤: 证: 定理2.3 问题: 否! 两个 ? 不一定相同 证: 作辅助函数 且 使 即 由罗尔定理知, 至少存在一点 柯西定理的几何意义: 注意: 弦的斜率 切线斜率 例 设函数 至少存在一点 使 证: 结论可变形为 设 则 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ? , 使 即 证明 例 试证至少存在一点 使 证: 用柯西中值定理 . 则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件, 令 因此 即 分析: 内容小结 1. 微分中值定理的条件、结论及关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 关键: 利用逆向思维 设辅助函数 费马引理

  • ID:3-6961462 2020届高考必备高中数学知识点归纳汇总(pdf))

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    第 1 页 高中数学知识总结归纳(打印版) 引言 1.课程内容: 必修课程由 5个模块组成: 必修 1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修 2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修 3:算法初步、统计、概率。 必修 4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。 必修 5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、 函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打 好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上 做过高的要求。 此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有 4个系列: 系列 1:由 2个模块组成。 选修 1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修 1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列 2:由 3个模块组成。 选修 2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修 2—2:导数及其应用,推理与证明、数系的扩充与复数 选修 2—3:计数原理、随机变量及其分布列,统计案例。 系列 3:由 6个专题组成。 选修 3—1:数学史选讲。 选修 3—2:信息安全与密码。 选修 3—3:球面上的几何。 选修 3—4:对称与群。 选修 3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修 3—6:三等分角与数域扩充。 系列 4:由 10 个专题组成。 选修 4—1:几何证明选讲。 选修 4—2:矩阵与变换。 选修 4—3:数列与差分。 选修 4—4:坐标系与参数方程。 选修 4—5:不等式选讲。 选修 4—6:初等数论初步。 选修 4—7:优选法与试验设计初步。 选修 4—8:统筹法与图论初步。 选修 4—9:风险与决策。 选修 4—10:开关电路与布尔代数。 2.重难点及考点: 重点:函数,数列,三角函数,平面向量,圆锥曲线,立体几何,导数 难点:函数、圆锥曲线 高考相关考点: ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 第 2 页 ⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、 指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数:有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、 三角函数的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 ⑹不等式:概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等 式的应用 ⑺直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲 线的应用 ⑼直线、平面、简单几何体:空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间 向量 ⑽排列、组合和概率:排列、组合应用题、二项式定理及其应用 ⑾概率与统计:概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 ⑿导数:导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数:复数的概念与运算 第 3 页 高中数学 必修 1 知识点 第一章 集合与函数概念 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集, N ?或 N?表示正整数集, Z 表示整数集,Q表示有理数集, R表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象 a与集合M 的关系是 a M? ,或者 a M? ,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{ x | x具有的性质},其中 x为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合 叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 BA ? (或 )AB ? A 中的任一元素都 属于 B (1)A?A (2) A? ? (3)若 BA ? 且B C? ,则 A C? (4)若 BA ? 且B A? ,则 A B? A(B) 或 B A 真子集 A ? ?B (或 B ? ? A) BA ? ,且 B 中至 少有一元素不属于 A (1) A ? ?? (A 为非空子集) (2)若 A B ? ? 且B C ? ? ,则 A C ? ? B A 集合 相等 A B? A 中的任一元素都 属于 B,B 中的任 一元素都属于 A (1)A?B (2)B?A A(B) (7)已知集合 A有 ( 1)n n ? 个元素,则它有 2n 个子集,它有 2 1n ? 个真子集,它有 2 1n ? 个非空子集,它 有 2 2n ? 非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 A B? { | ,x x A? 且 }x B? (1) A A A?? (2) A ? ??? (3) A B A?? A B B?? 第 4 页 并集 A B? { | ,x x A? 或 }x B? (1) A A A?? (2) A A? ?? (3) A B A?? A B B?? 补集 U A? { | , }x x U x A? ?且 1 ( )UA A ??? ? 2 ( )UA A U?? ? ( ) ( ) ( )U U UA B A B?? ?痧 ( ) ( ) ( )U U UA B A B?? ?痧 A 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法 不等式 解集 | | ( 0)x a a? ? { | }x a x a? ? ? | | ( 0)x a a? ? |x x a? ? 或 }x a? | | , | | ( 0)ax b c ax b c c? ? ? ? ? 把 ax b? 看成一个整体,化成 | |x a? , | | ( 0)x a a? ? 型不等式来求解 (2)一元二次不等式的解法 判别式 2 4b ac? ? ? 0? ? 0? ? 0? ? 二次函数 2 ( 0)y ax bx c a? ? ? ? 的图象 O =O L O 一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ? 的根 2 1,2 4 2 b b acx a ? ? ? ? (其中 1 2 )x x? 1 2 2 bx x a ? ? ? 无实根 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ? 的解集 1{ |x x x? 或 2}x x? { |x }2 bx a ? ? R 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ? 的解集 1 2{ | }x x x x? ? ? ? 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 (1)函数的概念 ①设 A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A中任何一个数 x,在集合B中 都有唯一确定的数 ( )f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合 A,B以及 A到B的对应法则 f )叫 做集合 A到 B的一个函数,记作 :f A B? . 第 5 页 ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设 ,a b是两个实数,且 a b? ,满足 a x b? ? 的实数 x的集合叫做闭区间,记做[ , ]a b ;满足 a x b? ? 的实数 x的集合叫做开区间,记做 ( , )a b ;满足 a x b? ? ,或a x b? ? 的实数 x的集合叫做半开半闭 区 间 , 分 别 记 做 [ , )a b , ( , ]a b ; 满 足 , , ,x a x a x b x b? ? ? ? 的 实 数 x 的 集 合 分 别 记 做 [ , ), ( , ), ( , ], ( , )a a b b?? ?? ?? ?? . 注意:对于集合{ | }x a x b? ? 与区间 ( , )a b ,前者a可以大于或等于b,而后者必须 a b? ,(前者可以不成立,为空集;而后者必须成立). (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ① ( )f x 是整式时,定义域是全体实数. ② ( )f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③ ( )f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1. ⑤ tany x? 中, ( ) 2 x k k Z??? ? ? . ⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若 ( )f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的 定义域的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知 ( )f x 的定义域为[ , ]a b ,其复合函数 [ ( )]f g x 的 定义域应由不等式 ( )a g x b? ? 解出. ⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个 最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是 提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值. ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的 值域或最值. ③判别式法:若函数 ( )y f x? 可以化成一个系数含有 y 的关于 x的二次方程 2( ) ( ) ( ) 0a y x b y x c y? ? ? ,则在 ( ) 0a y ? 时,由于 ,x y为实数,故必须有 2 ( ) 4 ( ) ( ) 0b y a y c y? ? ? ? ? ,从而确定函数的值域或最值. ④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值. 第 6 页 ⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为 三角函数的最值问题. ⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法. 【1.2.2】函数的表示法 (5)函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之 间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念 ①设 A、 B是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A中任何一个元素,在集合 B中都有 唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合 A,B以及 A到 B的对应法则 f )叫做集合 A到 B 的映射,记作 :f A B? . ②给定一个集合 A到集合B的映射,且 ,a A b B? ? .如果元素 a和元素b对应,那么我们把元素b叫 做元素 a的象,元素 a叫做元素b的原象. 〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值 (1)函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函数的 单调性 如果对于属于定义域I内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1、x2,当 x.1.< x.2.时,都有 f(x...1.)f(x....2.), 那么就说 f(x)在这个区 间上是减函数.... y=f(X)y xo x x 2 f(x ) f(x )2 1 1 (1)利用定义 (2)利用已知函数 的单调性 (3)利用函数图象 (在某个区间图 象下降为减) (4)利用复合函数 ②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为 增函数,减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数 [ ( )]y f g x? ,令 ( )u g x? ,若 ( )y f u? 为增, ( )u g x? 为增,则 [ ( )]y f g x? 为增; 若 ( )y f u? 为减, ( )u g x? 为减,则 [ ( )]y f g x? 为增;若 ( )y f u? 为增, ( )u g x? 为减,则 [ ( )]y f g x? 为减;若 ( )y f u? 为减, ( )u g x? 为增,则 [ ( )]y f g x? 为减. 第 7 页 (2)打“√”函数 ( ) ( 0)af x x a x ? ? ? 的图象与性质 ( )f x 分别在 ( , ]a?? ? 、[ , )a ?? 上为增函数,分别在 [ ,0)a? 、 (0, ]a 上为减函数. (3)最大(小)值定义 ①一般地,设函数 ( )y f x? 的定义域为 I ,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的 x I? ,都有 ( )f x M? ; (2)存在 0x I? ,使得 0( )f x M? .那么,我们称M 是函 数 ( )f x 的最大值,记作 max ( )f x M? . ②一般地,设函数 ( )y f x? 的定义域为 I ,如果存在实数m满足:(1)对于任意的 x I? ,都有 ( )f x m? ;(2)存在 0x I? ,使得 0( )f x m? .那么,我们称 m是函数 ( )f x 的最小值,记作 max ( )f x m? . 【1.3.2】奇偶性 (4)函数的奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函数的 奇偶性 如果对于函数 f(x)定义 域内任意一个 x,都有 f(..-.x)=...-.f(x)....,那么函数 f(x)叫做奇函数.... (1)利用定义(要 先判断定义域是否 关于原点对称) (2)利用图象(图 象关于原点对称) 如果对于函数 f(x)定义 域内任意一个 x,都有 f(..-.x)=...f(x)...., 那 么 函 数 f(x)叫做偶函数.... (1)利用定义(要 先判断定义域是否 关于原点对称) (2)利用图象(图 象关于 y 轴对称) ②若函数 ( )f x 为奇函数,且在 0x ? 处有定义,则 (0) 0f ? . ③奇函数在 y轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或 奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数. 〖补充知识〗函数的图象 (1)作图 利用描点法作图: ①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. y xo 第 8 页 利用基本函数图象的变换作图: 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本 初等函数的图象. ①平移变换 0, 0, |( ) ( ) h h h hy f x y f x h ? ?? ???????? ? ? 左移 个单位 右移| 个单位 0, 0, |( ) ( ) k k k ky f x y f x k ? ?? ???????? ? ? 上移 个单位 下移| 个单位 ②伸缩变换 0 1, 1,( ) ( )y f x y f x ? ? ? ? ? ?? ????? ? 伸 缩 0 1, 1,( ) ( ) A Ay f x y Af x ? ? ?? ????? ? 缩 伸 ③对称变换 ( ) ( )xy f x y f x? ???? ? ?轴 ( ) ( )yy f x y f x? ???? ? ?轴 ( ) ( )y f x y f x? ???? ? ? ?原点 1( ) ( )y xy f x y f x??? ????? ?直线 ( ) (| |)yy yy f x y f x? ???????????????? ? 去掉 轴左边图象 保留 轴右边图象,并作其关于 轴对称图象 ( ) | ( ) |xxy f x y f x? ?????????? ? 保留 轴上方图象 将 轴下方图象翻折上去 (2)识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义 域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径, 获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法. 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果 , , , 1nx a a R x R n? ? ? ? ,且 n N?? ,那么 x叫做a的 n次方根.当 n是奇数时,a的n次 方根用符号 n a表示;当n是偶数时,正数 a的正的n次方根用符号 n a表示,负的 n次方根用符号 n a? 表示;0 的n次方根是 0;负数 a没有 n次方根. ②式子 n a叫做根式,这里 n叫做根指数,a叫做被开方数.当n为奇数时,a为任意实数;当n为 偶数时, 0a ? . ③ 根 式 的 性 质 : ( )nn a a? ; 当 n 为 奇 数 时 , n na a? ; 当 n 为 偶 数 时 , ( 0) | | ( 0) n n a aa a a a ?? ? ? ?? ?? . (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: ( 0, , , m n mna a a m n N ?? ? ? 且 1)n ? .0 的正分数指数幂等于 0. 第 9 页 ②正数的负分数指数幂的意义是: 1 1( ) ( ) ( 0, , , m m mn n na a m n N a a ? ?? ? ? ? 且 1)n ? .0 的负分数 指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① ( 0, , )r s r sa a a a r s R?? ? ? ? ② ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s R? ? ? ③ ( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r R? ? ? ? 【2.1.2】指数函数及其性质 (4)指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数 ( 0xy a a? ? 且 1)a ? 叫做指数函数 图象 1a ? 0 1a? ? 定义域 R 值域 (0, )?? 过定点 图象过定点 (0,1) ,即当 0x ? 时, 1y ? . 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 R上是增函数 在 R上是减函数 函数值的 变化情况 1 ( 0) 1 ( 0) 1 ( 0) x x x a x a x a x ? ? ? ? ? ? 1 ( 0) 1 ( 0) 1 ( 0) x x x a x a x a x ? ? ? ? ? ? a变化对图象的影响 在第一象限内,a越大图象越高;在第二象限内, a越大图象越低. 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 (1)对数的定义 ①若 ( 0, 1)xa N a a? ? ?且 ,则 x叫做以a为底N 的对数,记作 logax N? ,其中a叫做底数,N 叫 做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: log ( 0, 1, 0)xax N a N a a N? ? ? ? ? ? . 0 1 xay ? x y (0,1) O 1y ? 0 1 xay ? x y (0,1) O 1y ? 第 10 页 (2)几个重要的对数恒等式 log 1 0a ? , log 1a a ? , log b a a b? . (3)常用对数与自然对数 常用对数: lg N ,即 10log N;自然对数: lnN ,即 loge N(其中 2.71828e ? …). (4)对数的运算性质 如果 0, 1, 0, 0a a M N? ? ? ? ,那么 ①加法: log log log ( )a a aM N MN? ? ②减法: log log loga a a MM N N ? ? ③数乘: log log ( )na an M M n R? ? ④ loga Na N? ⑤ log log ( 0, )b n aa nM M b n R b ? ? ? ⑥换底公式: loglog ( 0, 1) log b a b NN b b a ? ? ?且 【2.2.2】对数函数及其性质 (5)对数函数 函数 名称 对数函数 定义 函数 log ( 0ay x a? ? 且 1)a ? 叫做对数函数 图象 1a ? 0 1a? ? 定义域 (0, )?? 值域 R 过定点 图象过定点 (1,0) ,即当 1x ? 时, 0y ? . 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 (0, )?? 上是增函数 在 (0, )?? 上是减函数 函数值的 变化情况 log 0 ( 1) log 0 ( 1) log 0 (0 1) a a a x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? log 0 ( 1) log 0 ( 1) log 0 (0 1) a a a x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? a变化对图象的影响 在第一象限内, a越大图象越靠低;在第四象限内, a越大图象越靠高. (6)反函数的概念 设函数 ( )y f x? 的定义域为 A,值域为C,从式子 ( )y f x? 中解出 x,得式子 ( )x y?? .如果对 0 1 x y O (1,0) 1x ? logay x? 0 1 x y O (1,0) 1x ? logay x? 第 11 页 于 y 在C中的任何一个值,通过式子 ( )x y?? , x在 A中都有唯一确定的值和它对应,那么式子 ( )x y?? 表示 x是 y 的函数,函数 ( )x y?? 叫做函数 ( )y f x? 的反函数,记作 1( )x f y?? ,习惯上改 写成 1( )y f x?? . (7)反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式 ( )y f x? 中反解出 1( )x f y?? ; ③将 1( )x f y?? 改写成 1( )y f x?? ,并注明反函数的定义域. (8)反函数的性质 ①原函数 ( )y f x? 与反函数 1( )y f x?? 的图象关于直线 y x? 对称. ②函数 ( )y f x? 的定义域、值域分别是其反函数 1( )y f x?? 的值域、定义域. ③若 ( , )P a b 在原函数 ( )y f x? 的图象上,则 ' ( , )P b a 在反函数 1( )y f x?? 的图象上. ④一般地,函数 ( )y f x? 要有反函数则它必须为单调函数. 〖2.3〗幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数 y x?? 叫做幂函数,其中 x为自变量,? 是常数. (2)幂函数的图象 第 12 页 (3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第 一、二象限(图象关于 y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非 偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在 (0, )?? 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 0? ? ,则幂函数的图象过原点,并且在[0, )?? 上为增函数.如果 0? ? ,则幂函数的图 象在 (0, )?? 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x轴与 y轴. ④奇偶性:当? 为奇数时,幂函数为奇函数,当? 为偶数时,幂函数为偶函数.当 q p ? ? (其中 ,p q互 质, p和 q Z? ),若 p为奇数q为奇数时,则 q py x? 是奇函数,若 p为奇数 q为偶数时,则 q py x? 是偶 函数,若 p为偶数 q为奇数时,则 q py x? 是非奇非偶函数. ⑤图象特征:幂函数 , (0, )y x x?? ? ?? ,当 1? ? 时,若0 1x? ? ,其图象在直线 y x? 下方,若 1x ? , 其图象在直线 y x? 上方,当 1? ? 时,若0 1x? ? ,其图象在直线 y x? 上方,若 1x ? ,其图象在直线 y x? 下方. 〖补充知识〗二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式: 2( ) ( 0)f x ax bx c a? ? ? ? ②顶点式: 2( ) ( ) ( 0)f x a x h k a? ? ? ? ③两根式: 1 2( ) ( )( )( 0)f x a x x x x a? ? ? ? (2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与 x轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 ( )f x 更方便. (3)二次函数图象的性质 ①二次函数 2( ) ( 0)f x ax bx c a? ? ? ? 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 , 2 bx a ? ? 顶点坐标是 第 13 页 24( , ) 2 4 b ac b a a ? ? . ②当 0a ? 时,抛物线开口向上,函数在 ( , ] 2 b a ?? ? 上递减,在[ , ) 2 b a ? ?? 上递增,当 2 bx a ? ? 时, 2 min 4( ) 4 ac bf x a ? ? ;当 0a ? 时,抛物线开口向下,函数在 ( , ] 2 b a ?? ? 上递增,在[ , ) 2 b a ? ?? 上递减, 当 2 bx a ? ? 时, 2 max 4( ) 4 ac bf x a ? ? . ③二次函数 2( ) ( 0)f x ax bx c a? ? ? ? 当 2 4 0b ac? ? ? ? 时,图象与 x轴有两个交点 1 1 2 2 1 2 1 2( ,0), ( ,0),| | | | | | M x M x MM x x a ? ? ? ? . (4)一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ? 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不 够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用, 下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ? 的两实根为 1 2,x x ,且 1 2x x? .令 2( )f x ax bx c? ? ? ,从以 下四个方面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置: 2 bx a ? ? ③判别式:? ④端点函数 值符号. ①k<x1≤x2 ? x y 1x 2x 0?a O ? a bx 2 ?? 0)( ?kf k x y 1x 2x O ? a bx 2 ?? k 0?a 0)( ?kf ②x1≤x2<k ? x y 1x 2x 0?a O ? a bx 2 ?? k 0)( ?kf x y 1x 2x O ? a bx 2 ?? k 0?a 0)( ?kf ③x1<k<x2 ? af(k)<0 第 14 页 0)( ?kf x y 1x 2x 0?a O ? k x y 1x 2xO ? k 0?a 0)( ?kf ④k1<x1≤x2<k2 ? x y 1x 2x 0?a O ? ? 1k 2k 0)( 1 ?kf 0)( 2 ?kf a bx 2 ?? x y 1x 2xO ? 0?a 1k ? 2k 0)( 1 ?kf 0)( 2 ?kf a bx 2 ?? ⑤有且仅有一个根 x1(或 x2)满足 k1<x1(或 x2)<k2 ? f(k1)f(k2)? 0,并同时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0 这两种情况是否也符合 x y 1x 2x 0?a O ? ? 1k 2k 0)( 1 ?kf 0)( 2 ?kf x y 1x 2xO ? 0?a 1k ? 2k 0)( 1 ?kf 0)( 2 ?kf ⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2 ? 此结论可直接由⑤推出. (5)二次函数 2( ) ( 0)f x ax bx c a? ? ? ? 在闭区间[ , ]p q 上的最值 设 ( )f x 在区间[ , ]p q 上的最大值为M ,最小值为m,令 0 1 ( ) 2 x p q? ? . (Ⅰ)当 0a ? 时(开口向上) ①若 2 b p a ? ? ,则 ( )m f p? ②若 2 bp q a ? ? ? ,则 ( ) 2 bm f a ? ? ③若 2 b q a ? ? ,则 ( )m f q? ①若 02 b x a ? ? ,则 ( )M f q? ② 02 b x a ? ? ,则 ( )M f p? x y0?a O a bx 2 ?? p q f (p) f (q) ( ) 2 bf a ? x y0?a O a bx 2 ?? p q f (p) f (q) ( ) 2 bf a ? x y0?a O a bx 2 ?? p q f (p) f (q) ( ) 2 bf a ? y0?a a bx 2 ?? q f (p) 0x y0?a a bx 2 ?? f (q)0x 第 15 页 (Ⅱ)当 0a ? 时(开口向下) ①若 2 b p a ? ? ,则 ( )M f p? ②若 2 bp q a ? ? ? ,则 ( ) 2 bM f a ? ? ③若 2 b q a ? ? ,则 ( )M f q? ①若 02 b x a ? ? ,则 ( )m f q? ② 02 b x a ? ? ,则 ( )m f p? . 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 ))(( Dxxfy ?? ,把使 0)( ?xf 成立的实数 x 叫做函数 ))(( Dxxfy ?? 的零点。 2、函数零点的意义:函数 )(xfy ? 的零点就是方程 0)( ?xf 实数根,亦即函数 )(xfy ? 的图象 与 x轴交点的横坐标。即: 方程 0)( ?xf 有实数根?函数 )(xfy ? 的图象与 x轴有交点?函数 )(xfy ? 有零点. 3、函数零点的求法: 求函数 )(xfy ? 的零点: ○1 (代数法)求方程 0)( ?xf 的实数根; ○2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 )(xfy ? 的图象联系起来,并利用 函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 )0(2 ???? acbxaxy . 1)△>0,方程 02 ??? cbxax 有两不等实根,二次函数的图象与 x轴有两个交点,二次函数 有两个零点. 2)△=0,方程 02 ??? cbxax 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 x轴有一个交点, 二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程 02 ??? cbxax 无实根,二次函数的图象与 x轴无交点,二次函数无零点. x y0?a O a bx 2 ?? p q f (p) f (q) ( ) 2 bf a ? x y0?a O a bx 2 ?? p q f (p) f (q) ( ) 2 bf a ? x y0?a O a bx 2 ?? p q f (p) f (q) ( ) 2 bf a ? 0x? x y0?a O a bx 2 ?? p q f (p) f (q) ( ) 2 bf a ? x y0?a O a bx 2 ?? p q f (p) f (q) ( ) 2 bf a ? ?0 x 第 16 页 高中数学 必修 2 知识点 第一章 空间几何体 1.1 柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱 ''''' EDCBAABCDE ? 或用对角线的端点字母,如五棱柱 'AD 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 ''''' EDCBAP ? 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。 (3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 ''''' EDCBAP ? 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1 三视图: 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 2 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 3 直观图:斜二测画法 4 斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于 y 轴的线长度变半,平行于 x,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 第 17 页 P · α L β D C BA α (一 )空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积 2rrlS ?? ?? 4 圆台的表面积 22 RRlrrlS ???? ???? 5 球的表面积 24 RS ?? (二)空间几何体的体积 1 柱体的体积 hSV ?? 底 2 锥体的体积 hSV ?? 底3 1 3 台体的体积 hSSSSV ???? ) 3 1 下下上上( 4 球体的体积 3 3 4 RV ?? 第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成 45 0 ,且横边画成邻边的 2 倍长(如 图) (2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的 四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A∈L B∈L => L α A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使 A∈α、B∈α、C∈α。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的 公共直线。 符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且 P∈L 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 222 rrlS ?? ?? L A ·α C · B · A ·α 共面直线 第 18 页 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b c∥b 强调:公理 4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为简便,点O 一般取在两直 线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α来表示 a α a∩α=A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示: a β b β a∩b = P β∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; =>a∥c 2 ? 第 19 页 (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a∥α a β a∥b α∩β= b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α∥β α∩γ= a a∥b β∩γ= b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义 如果直线 L 与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α互相垂直,记作 L⊥α,直 线 L 叫做平面α的垂线,平面α叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂 足。 L p α 2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l β B α 2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 第 20 页 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 本章知识结构框图 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角和斜率 3.1 倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念:当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成 的角α叫做直线 l的倾斜角.特别地,当直线 l与 x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围: 0°≤α<180°. 当直线 l与 x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l的倾斜角α一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率: 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等, 那么它们平行,即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即 如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2 2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负 倒数,那么它们互相垂直,即 3.2.1 直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程:直线 l经过点 ),( 000 yxP ,且斜率为 k )( 00 xxkyy ??? 2、、直线的斜截式方程:已知直线 l的斜率为 k,且与 y轴的交点为 ),0( b bkxy ?? 平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4) 空间直线、平面的位置关系 平面与平面的位置关系直线与平面的位置关系直线与直线的位置关系 第 21 页 ? ? ? ?2 21 2 2 2 2 1PP x x y y? ? ? ? 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程:已知两点 ),(),,( 222211 yxPxxP 其中 ),( 2121 yyxx ?? y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程:已知直线 l与 x轴的交点为 A )0,(a ,与 y轴的交点为 B ),0( b ,其中 0,0 ?? ba 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程:关于 yx, 的二元一次方程 0??? CByAx (A,B 不同时为 0) 2、各种直线方程之间的互化。 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两直线的交点坐标 1、给出例题:两直线交点坐标 L1 :3x+4y-2=0 L1:2x+y +2=0 解:解方程组 3 4 2 0 2 2 2 0 x y x y ? ? ?? ? ? ? ?? 得 x=-2,y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2) 3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式 3.3.3 点到直线的距离公式 1.点到直线距离公式: 点 ),( 00 yxP 到直线 0: ??? CByAxl 的距离为: 22 00 BA CByAx d ? ?? ? 2、两平行线间的距离公式: 已知两条平行线直线 1l 和 2l 的一般式方程为 1l : 01 ??? CByAx , 2l 02 ??? CByAx ,则 1l 与 2l 的距离为 22 21 BA CC d ? ? ? 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 1 、 圆 的 标 准 方 程 : 2 2 2( ) ( )x a y b r? ? ? ? 圆 心 为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程 2、点 0 0( , )M x y 与圆 2 2 2( ) ( )x a y b r? ? ? ? 的关系的判断方法: (1) 2 20 0( ) ( )x a y b? ? ? > 2r ,点在圆外 (2) 2 20 0( ) ( )x a y b? ? ? = 2r ,点在圆上 (3) 2 20 0( ) ( )x a y b? ? ? < 2r ,点在圆内 4.1.2 圆的一般方程 1、圆的一般方程: 022 ????? FEyDxyx 第 22 页 2、圆的一般方程的特点: (1)①x2 和 y2 的系数相同,不等于 0. ②没有 xy 这样的二次项. (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了. (3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指 出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 4.2.1 圆与圆的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 设直线 l: 0??? cbyax ,圆C: 022 ????? FEyDxyx ,圆的半径为 r ,圆心 ) 2 , 2 ( ED ?? 到直 线的距离为 d,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 rd ? 时,直线 l与圆C相离;(2)当 rd ? 时,直线 l与圆C相切; (3)当 rd ? 时,直线 l与圆C相交; 4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系. 设两圆的连心线长为 l,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 21 rrl ?? 时,圆 1C 与圆 2C 相离;(2)当 21 rrl ?? 时,圆 1C 与圆 2C 外切; (3)当 ?? || 21 rr 21 rrl ?? 时,圆 1C 与圆 2C 相交; (4)当 || 21 rrl ?? 时,圆 1C 与圆 2C 内切;(5)当 || 21 rrl ?? 时,圆 1C 与圆 2C 内含; 4.2.3 直线与圆的方程的应用 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; 2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为 代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论. 4.3.1 空间直角坐标系 1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 ),,( zyx , x、 y、 z分别是 P、Q、R 在 x、 y、 z轴上的坐标 2、有序实数组 ),,( zyx ,对应着空间直角坐标系中的一点 3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 ),,( zyx 来表示,该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系中 的坐标,记 M ),,( zyx , x叫做点 M 的横坐标, y叫做点 M 的纵坐标, z叫做点 M 的竖坐标。 第 23 页 4.3.2 空间两点间的距离公式 1、空间中任意一点 ),,( 1111 zyxP 到点 ),,( 2222 zyxP 之间的距离公式 2 21 2 21 2 2121 )()()( zzyyxxPP ?????? 高中数学 必修 3 知识点 第一章 算法初步 1.1.1 算法的概念 1、算法概念: 在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或 步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成. 2. 算法的特点: (1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的. (2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可. (3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤, 前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题. (4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设 计好的步骤加以解决. 1.1.2 程序框图 1、程序框图基本概念: (一)程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地 表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。 (二)构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 起止框 表示一个算法的起始和结束,是任何流程图不 可少的。 输入、输出框 表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法 中任何需要输入、输出的位置。 处理框 赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、公 式等分别写在不同的用以处理数据的处理框 第 24 页 内。 判断框 判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明 “是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N”。 学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下: 1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外,大多数流程图 符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类,一类 判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果。 5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 (三)、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的, 它是由若干个依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来,按顺序执行算法步骤。如在示意图中,A 框和 B 框是依次执行的,只有在执行完 A 框指定的操作后,才能接着执 行 B 框所指定的操作。 2、条件结构: 条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 条件 P 是否成立而选择执行 A 框或 B 框。无论 P 条件是否成立,只能执行 A 框或 B 框之一,不可能同 时执行 A 框和 B 框,也不可能 A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。 3、循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情况, 这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重 复结构,循环结构可细分为两类: (1)、一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件 P成立时,执行 A框,A框执行完 毕后,再判断条件 P是否成立,如果仍然成立,再执行 A框,如此反复执行 A框,直到某一次条件 P不 成立为止,此时不再执行 A框,离开循环结构。 (2)、另一类是直到型循环结构,如下右图所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条件 P是否成立, 如果 P仍然不成立,则继续执行 A框,直到某一次给定的条件 P成立为止,此时不再执行 A框,离开循 环结构。 A B 第 25 页 当型循环结构 直到型循环结构 注意:1 循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构来判断。因此,循环结构中一定包含 条件结构,但不允许“死循环”。2 在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环 次数,累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的,累加一次,计数一次。 1.2.1 输入、输出语句和赋值语句 1、输入语句 (1)输入语句的一般格式 ( 2 ) 输 入 语句的作用是实现算法的输入信息功能;(3)“提示内容”提示用户输入什么样的信息,变量是指程序在 运行时其值是可以变化的量;(4)输入语句要求输入的值只能是具体的常数,不能是函数、变量或表达式; (5)提示内容与变量之间用分号“;”隔开,若输入多个变量,变量与变量之间用逗号“,”隔开。 2、输出语句 (1)输出语句的一般格式 (2)输出语句的作用是实现算法的输出结果功能;(3)“提示内容”提示用户输入什么样的信息,表达式 是指程序要输出的数据;(4)输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。 3、赋值语句 (1)赋值语句的一般格式 (2)赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量;(3)赋值语句中的“=”称作赋值号,与数学中 的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换,它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变 量;(4)赋值语句左边只能是变量名字,而不是表达式,右边表达式可以是一个数据、常量或算式;(5) 对于一个变量可以多次赋值。 注意:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X是错误的。②赋值号左右不能对换。如 “A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。(如化简、因式分解、 解方程等)④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。 1.2.2 条件语句 A 成立 不成立 P 不成立 P 成立 A 图形计算器 格式 INPUT“提示内容”;变量 INPUT “提示内容”,变量 PRINT“提示内容”;表达式 图形计算器 格式 Disp “提示内容”,变量 变量=表达式 图形计算器 格式 表达式?变量 第 26 页 1、条件语句的一般格式有两种:(1)IF—THEN—ELSE 语句;(2)IF—THEN 语句。2、IF—THEN—ELSE 语句 IF—THEN—ELSE 语句的一般格式为图 1,对应的程序框图为图 2。 图 1 图 2 分析:在 IF—THEN—ELSE 语句中,“条件”表示判断的条件,“语句 1”表示满足条件时执行的操作内容; “语句 2”表示不满足条件时执行的操作内容;END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,则执行 THEN 后面的语句 1;若条件不符合,则执行 ELSE 后面的 语句 2。 3、IF—THEN 语句 IF—THEN 语句的一般格式为图 3,对应的程序框图为图 4。 注意:“条件”表示判断的条件;“语句”表示满足条件时执行的操作内容,条件不满足时,结束程序;END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合就执行 THEN 后边 的语句,若条件不符合则直接结束该条件语句,转而执行其它语句。 1.2.3 循环语句 循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构,一般程序设计语言中也有当 型(WHILE 型)和直到型(UNTIL 型)两种语句结构。即 WHILE 语句和 UNTIL 语句。 1、WHILE 语句 (1)WHILE 语句的一般格式是 对应的程序框图是 (2)当计算机遇到WHILE语句时,先判断条件的真假,如果条件符合,就执行WHILE与WEND之间 的循环体;然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直到某一次条 件不符合为止。这时,计算机将不执行循环体,直接跳到WEND语句后,接着执行WEND之后的语句。 IF 条件 THEN 语句 1 ELSE 语句 2 END IF 否 是 满足条件? 语句 1 语句 2 IF 条件 THEN 语句 END IF (图 3) 满足条件? 语句 是 否 (图 4) WHILE 条件 循环体 WEND 满足条件? 循环体 否 是 第 27 页 因此,当型循环有时也称为“前测试型”循环。 2、UNTIL 语句 (1)UNTIL 语句的一般格式是 对应的程序框图是 (2)直到型循环又称为“后测试型”循环,从 UNTIL 型循环结构分析,计算机执行该语句时,先执行一 次循环体,然后进行条件的判断,如果条件不满足,继续返回执行循环体,然后再进行条件的判断,这个 过程反复进行,直到某一次条件满足时,不再执行循环体,跳到 LOOP UNTIL 语句后执行其他语句,是先 执行循环体后进行条件判断的循环语句。 分析:当型循环与直到型循环的区别:(先由学生讨论再归纳) (1) 当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断; 在 WHILE 语句中,是当条件满足时执行循环体,在 UNTIL 语句中,是当条件不满足时执行循环 例题: . 99...531 的一个算法设计计算 ???? (见课本 21P ) S intPr End ISS 2 Step 99 To 3 From I 1 For For S ?? ? S intPr hile End ISS 2II 97 I hile 1 1 W W I S ?? ?? ? ? ? S intPr hile End 2II ISS 99 I hile 1 1 W W I S ?? ?? ? ? ? ? ? ? S intPr ) 99 I ( 001 I 2II ISS o 1 1 ?? ?? ?? ? ? 或者UntilLoop D I S S intPr 99 I ISS 2II o 1 1 ? ?? ?? ? ? UntilLoop D I S ? ? S intPr 2II ISS ) 100 I( 99 I Whileo 1 1 Loop D I S ?? ?? ?? ? ? 或者 S intPr ISS 2II ) 99 I( 97 I Whileo 1 1 Loop D I S ?? ?? ?? ? ? 或者 ? ? 满足条件? 循环体 是 否 DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 第 28 页 颜老师友情提醒: 1. 一定要看清题意,看题目让你干什么,有的只要写出算法,有的只要求写出伪代码,而有的题目则是既 写出算法画出流程还要写出伪代码。 2. 在具体做题时,可能好多的同学感觉先画流程图较为简单,但也有的算法伪代码比较好写,你也可以在 草稿纸上按照你自己的思路先做出来,然后根据题目要求作答。一般是先写算法,后画流程图,最后写伪 代码。 3. 书写程序时一定要规范化,使用统一的符号,最好与教材一致,由于是新教材的原因,再加上各种版本, 可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样,而且有时还会碰到我们没有见过的语言,希望大家能以 课本为依据,不要被铺天盖地的资料所淹没! 1.3.1 辗转相除法与更相减损术 1、辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: (1):用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 0 S 和一个余数 0 R ;(2):若 0 R =0,则 n 为 m,n 的最大 公约数;若 0 R ≠0,则用除数 n 除以余数 0 R 得到一个商 1 S 和一个余数 1 R ;(3):若 1 R =0,则 1 R 为 m,n 的最大公约数;若 1 R ≠0,则用除数 0 R 除以余数 1 R 得到一个商 2 S 和一个余数 2 R ;…… 依次计算 直至 n R =0,此时所得到的 1n R ? 即为所求的最大公约数。 2、更相减损术 我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数 的步骤:可半者半之,不可半者,副置分母?子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。 翻译为:(1):任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用 2 约简;若不是,执行第二步。(2): 以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得 的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。 例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数. 分析:(略) 3、辗转相除法与更相减损术的区别: (1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗 转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 (2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到,而更相减损术则以减数与差 相等而得到 1.3.2 秦九韶算法与排序 1、秦九韶算法概念: f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值问题 f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0 求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即 v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 第 29 页 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0 这样,把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题。 2、两种排序方法:直接插入排序和冒泡排序 1、直接插入排序 基本思想:插入排序的思想就是读一个,排一个。将第1个数放入数组的第1个元素中,以后读入的数与 已存入数组的数进行比较,确定它在从大到小的排列中应处的位置.将该位置以及以后的元素向后推移一 个位置,将读入的新数填入空出的位置中.(由于算法简单,可以举例说明) 2、冒泡排序 基本思想:依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第 1个数和第 2个数,大数放前, 小数放后.然后比较第 2个数和第 3个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重 复上过程,仍从第 1 个数开始,到最后第 2 个数...... 由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气 泡上升,所以叫冒泡排序. 1.3.3 进位制 1、概念:进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数 称为基数,基数为 n,即可称 n 进位制,简称 n进制。现在最常用的是十进制,通常使用 10 个阿拉伯数字 0-9 进行记数。对于任何一个数,我们可以用不同的进位制来表示。比如:十进数 57,可以用二进制表示 为 111001,也可以用八进制表示为 71、用十六进制表示为 39,它们所代表的数值都是一样的。 一般地,若 k是一个大于一的整数,那么以 k为基数的 k 进制可以表示为: 1 1 0( ) 1 1 0... (0 ,0 ,..., , )n n k n na a a a a k a a a k? ?? ? ? ? , 而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示二进制数,34(5)表示 5 进制数 第二章 统计 2.1.1 简单随机抽样 1.总体和样本 在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体. 把每个研究对象叫做个体. 把总体中个体的总数叫做总体容量. 为了研究总体 的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分: , , , 研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量. 2.简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随 机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等),样本的每个单位完全独 立,彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之 间差异程度较小和数目较少时,才采用这种方法。 第 30 页 3.简单随机抽样常用的方法: (1)抽签法;⑵随机数表法;⑶计算机模拟法;⑷使用统计软件直接抽取。 在简单随机抽样的样本容量设计中,主要考虑:①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证 程度。 4.抽签法: (1)给调查对象群体中的每一个对象编号; (2)准备抽签的工具,实施抽签 (3)对样本中的每一个个体进行测量或调查 例:请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。 5.随机数表法: 例:利用随机数表在所在的班级中抽取 10 位同学参加某项活动。 2.1.2 系统抽样 1.系统抽样(等距抽样或机械抽样): 把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采 用简单随机抽样的办法抽取。 K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模) 前提条件:总体中个体的排列对于研究的变量来说,应是随机的,即不存在某种与研究变量相关的规 则分布。可以在调查允许的条件下,从不同的样本开始抽样,对比几次样本的特点。如果有明显差别,说 明样本在总体中的分布承某种循环性规律,且这种循环和抽样距离重合。 2.系统抽样,即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低,实施也比较 简单。更为重要的是,如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用,总体单元按辅助变量的大小顺序 排队的话,使用系统抽样可以大大提高估计精度。 2.1.3 分层抽样 1.分层抽样(类型抽样): 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次,然后再在各个 类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本,最后,将这些子样本合起来构成总体 的样本。 两种方法: 1.先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。 2.先以分层变量将总体划分为若干层,再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列,最后用系统抽样 的方法抽取样本。 2.分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不同的子总体中的样本分别 代表该子总体,所有的样本进而代表总体。 第 31 页 分层标准: (1)以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。 (2)以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。 (3)以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。 3.分层的比例问题: (1)按比例分层抽样:根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。 (2)不按比例分层抽样:有的层次在总体中的比重太小,其样本量就会非常少,此时采用该方法,主 要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时,则需要先对 各层的数据资料进行加权处理,调整样本中各层的比例,使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、本均值: n xxxx n???? ?21 2、.样本标准差: n xxxxxx ss n 22 2 2 12 )()()( ???????? ? 3.用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息 会有偏差。在随机抽样中,这种偏差是不可避免的。 虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差,而只是一个估 计,但这种估计是合理的,特别是当样本量很大时,它们确实反映了总体的信息。 4.(1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准差不变 (2)如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k,标准差变为原来的 k 倍 (3)一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间 )3,3( sxsx ?? 的应用; “去掉一个最高分,去掉一个最低分”中的科学道理 2.3.2 两个变量的线性相关 1、概念: (1)回归直线方程(2)回归系数 2.最小二乘法 3.直线回归方程的应用 (1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系 (2)利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量 x)代入回归方程对预报量(即因变量 Y)进 行估计,即可得到个体 Y 值的容许区间。 (3)利用回归方程进行统计控制规定 Y 值的变化,通过控制 x 的范围来实现统计控制的目标。如 已经得到了空气中 NO2的浓度和汽车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流量来控制空气中 NO2 的浓 度。 第 32 页 4.应用直线回归的注意事项 (1)做回归分析要有实际意义; (2)回归分析前,最好先作出散点图; (3)回归直线不要外延。 第三章 概 率 3.1.1 —3.1.2 随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念: (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出 现的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 fn(A)= n nA 为事件 A 出现的概率:对于给定的随 机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A), 称为事件 A 的概率。 (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值 n nA , 它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小。我 们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复 试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质: 1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; 2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1— P(B); 4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生,其具 体包括三种不同的情形:(1)事件 A 发生且事件 B 不发生;(2)事件 A 不发生且事件 B 发生;(3)事件 第 33 页 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形;(1)事 件 A 发生 B 不发生;(2)事件 B 发生事件 A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。 3.2.1 —3.2.2 古典概型及随机数的产生 1、(1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数; ②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)= 总的基本事件个数 包含的基本事件数A 3.3.1—3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生 1、基本概念: (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则 称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式: P(A)= 积)的区域长度(面积或体试验的全部结果所构成 积)的区域长度(面积或体构成事件A ; (2) 几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出 现的可能性相等. 高中数学 必修 4 知识点 第一章 三角函数 ? ? ? ? ? 正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 2、角? 的顶点与原点重合,角的始边与 x轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称? 为第几象限角. 第一象限角的集合为? ?360 360 90 ,k k k? ?? ? ? ? ? ??? ? ? 第二象限角的集合为? ?360 90 360 180 ,k k k? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 第三象限角的集合为? ?360 180 360 270 ,k k k? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 第四象限角的集合为? ?360 270 360 360 ,k k k? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 终边在 x轴上的角的集合为? ?180 ,k k? ? ? ? ??? 终边在 y轴上的角的集合为? ?180 90 ,k k? ? ? ? ? ??? ? 终边在坐标轴上的角的集合为? ?90 ,k k? ? ? ? ??? 第 34 页 P v x y AO M T 3、与角? 终边相同的角的集合为? ?360 ,k k? ? ?? ? ? ??? 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 5、半径为 r的圆的圆心角? 所对弧的长为 l,则角? 的弧度数的绝对值是 l r ? ? . 6、弧度制与角度制的换算公式: 2 360? ? ?,1 180 ? ?? , 1801 57.3 ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? . 7、若扇形的圆心角为 ? ?? ?为弧度制 ,半径为 r,弧长为 l,周长为C,面积为 S,则 l r ?? , 2C r l? ? , 21 1 2 2 S lr r?? ? . 8、设? 是一个任意大小的角,? 的终边上任意一点?的坐标是 ? ?,x y ,它与原点的距 离是 ? ?2 2 0r r x y? ? ? ,则 sin yr? ? , cos x r ? ? , ? ?tan 0y x x ? ? ? . 9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 10、三角函数线: sin? ? ??, cos? ? ??, tan? ? ??. 11 、 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 : ? ? 2 21 sin cos 1? ?? ? ? ?2 2 2 2sin 1 cos ,cos 1 sin? ? ? ?? ? ? ? ; ? ? sin2 tan cos ? ? ? ? sinsin tan cos ,cos tan ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ..(3) 倒数关系: tan cot 1? ? ? 12、函数的诱导公式: ? ? ? ?1 sin 2 sink? ? ?? ? , ? ?cos 2 cosk? ? ?? ? , ? ? ? ?tan 2 tank k? ? ?? ? ?? . ? ? ? ?2 sin sin? ? ?? ? ? , ? ?cos cos? ? ?? ? ? , ? ?tan tan? ? ?? ? . ? ? ? ?3 sin sin? ?? ? ? , ? ?cos cos? ?? ? , ? ?tan tan? ?? ? ? . ? ? ? ?4 sin sin? ? ?? ? , ? ?cos cos? ? ?? ? ? , ? ?tan tan? ? ?? ? ? . 口诀:函数名称不变,符号看象限. ? ?5 sin cos 2 ? ? ?? ?? ?? ? ? ? , cos sin 2 ? ? ?? ?? ?? ? ? ? . ? ?6 sin cos 2 ? ? ?? ?? ?? ? ? ? , cos sin 2 ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? . 口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 13、①的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 ? ?siny x ?? ? 的图象;再将函数 ? ?siny x ?? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 1 ? 倍(纵坐标不变),得到函数 ? ?siny x? ?? ? 的图象;再将函数 ? ?siny x? ?? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的?倍 (横坐标不变),得到函数 ? ?siny x? ?? ? ? 的图象. ②数 siny x? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 1 ? 倍(纵坐标不变),得到函数 第 35 页 siny x?? 的图象;再将函数 siny x?? 的图象上所有点向左(右)平移 ? ? 个单位长度,得到函数 ? ?siny x? ?? ? 的图象;再将函数 ? ?siny x? ?? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的?倍 (横坐标不变),得到函数 ? ?siny x? ?? ? ? 的图象. 14、函数 ? ? ? ?sin 0, 0y x? ? ?? ? ? ? ? ? 的性质: ①振幅:?;②周期: 2? ? ? ? ;③频率: 1 2 f ? ? ? ? ? ;④相位: x? ?? ;⑤初相:?. 函数 ? ?siny x? ?? ? ? ?? ,当 1x x? 时,取得最小值为 miny ;当 2x x? 时,取得最大值为 maxy ,则 ? ?max min 1 2 y y? ? ? , ? ?max min 1 2 y y? ? ? , ? ?2 1 1 22 x x x x ? ? ? ? . 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: siny x? cosy x? tany x? y=cotx 图象 y=cotx 3? 2 ?? 2 2?-? - ? 2 o y x 定义 域 R R , 2 x x k k??? ?? ? ??? ? ? ? , 2 x x k k??? ?? ? ??? ? ? ? 值域 ? ?1,1? ? ?1,1? R R 最值 当 2 2 x k ??? ? ? ?k?? 时 , max 1y ? ; 当 2 2 x k ??? ? ? ?k?? 时 , min 1y ? ? . 当 ? ?2x k k?? ?? 时, max 1y ? ; 当 2x k? ?? ? ? ?k?? 时, min 1y ? ? . 既无最大值也无最小 值 既无最大值也无最小 值 周期 性 2? 2? ? ? 函 数性 质 第 36 页 奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调 性 在 2 ,2 2 2 k k? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?k?? 上是增函数; 在 32 ,2 2 2 k k? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?k?? 上是减函数. 在 ? ?? ?2 ,2k k k? ? ?? ?? 上 是 增 函 数 ; 在 ? ?2 ,2k k? ? ?? ? ?k?? 上是减函数. 在 , 2 2 k k? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?k?? 上 是 增 函 数. 对称 性 对 称 中 心 ? ? ? ?,0k k? ?? 对 称 轴 ? ? 2 x k k??? ? ?? 对 称 中 心 ? ?,0 2 k k??? ?? ??? ? ? ? 对称轴 ? ?x k k?? ?? 对 称 中 心 ? ?,0 2 k k?? ? ??? ? ? ? 无对称轴 对 称 中 心 ? ?,0 2 k k?? ? ??? ? ? ? 无对称轴 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0 的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? . ⑷运算性质:①交换律: a b b a? ? ? ? ?? ? ; ②结合律: ? ? ? ?a b c a b c? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ;③ 0 0a a a? ? ? ?? ?? ? ? . ⑸坐标运算:设 ? ?1 1,a x y? ? , ? ?2 2,b x y? ? ,则 ? ?1 2 1 2,a b x x y y? ? ? ? ?? . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 ? ?1 1,a x y? ? , ? ?2 2,b x y? ? ,则 ? ?1 2 1 2,a b x x y y? ? ? ? ?? . 设?、?两点的坐标分别为 ? ?1 1,x y ,? ?2 2,x y ,则 ? ?1 2 1 2,x x y y?? ? ? ? ???? . 19、向量数乘运算: b ? a? C ? ? a b C C? ? ? ??? ? ? ???? ???? ?????? 第 37 页 ⑴实数?与向量 a?的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 a? ?. ① a a? ??? ? ; ②当 0? ? 时, a? ?的方向与 a?的方向相同;当 0? ? 时, a? ?的方向与 a?的方向相反;当 0? ? 时, 0a? ? ?? . ⑵运算律:① ? ? ? ?a a? ? ???? ?;② ? ?a a a? ? ? ?? ? ?? ? ?;③ ? ?a b a b? ? ?? ? ?? ?? ? . ⑶坐标运算:设 ? ?,a x y?? ,则 ? ? ? ?, ,a x y x y? ? ? ?? ?? . 20、向量共线定理:向量 ? ?0a a ? ?? ? 与b ? 共线,当且仅当有唯一一个实数?,使b a?? ? ? . 设 ? ?1 1,a x y? ? , ? ?2 2,b x y? ? ,其中 0b ? ? ? ,则当且仅当 1 2 2 1 0x y x y? ? 时,向量 a ? 、 ? ?0b b ?? ? ? 共线. 21、平面向量基本定理:如果 1e ?? 、 2e ??? 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a?, 有且只有一对实数 1? 、 2? ,使 1 1 2 2a e e? ?? ? ?? ???? .(不共线的向量 1e ?? 、 2e ??? 作为这一平面内所有向量的一组基 底) 22、分点坐标公式:设点?是线段 1 2? ? 上的一点, 1? 、 2? 的坐标分别是 ? ?1 1,x y ,? ?2 2,x y ,当 1 2?? ? ? ?? ???? ???? 时,点?的坐标是 1 2 1 2, 1 1 x x y y? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? .(当 时,就为中点公式。)1?? 23、平面向量的数量积: ⑴ ? ?cos 0, 0,0 180a b a b a b? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ? .零向量与任一向量的数量积为0 . ⑵性质:设 a?和b ? 都是非零向量,则① 0a b a b? ? ? ? ? ?? ? .②当a?与b ? 同向时,a b a b? ? ? ?? ? ;当 a?与b ? 反 向时, a b a b? ? ? ? ?? ? ; 22a a a a? ? ?? ? ? ? 或 a a a? ?? ? ? .③ a b a b? ? ? ?? ? . ⑶运算律:① a b b a? ? ? ? ?? ? ;② ? ? ? ? ? ?a b a b a b? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ;③ ? ?a b c a c b c? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ?. ⑷坐标运算:设两个非零向量 ? ?1 1,a x y? ? , ? ?2 2,b x y? ? ,则 1 2 1 2a b x x y y? ? ? ?? . 若 ? ?,a x y?? , 则 2 2 2a x y? ?? , 或 2 2a x y? ?? . 设 ? ?1 1,a x y? ? , ? ?2 2,b x y? ? , 则 1 2 1 2 0a b x x y y? ? ? ? ?? . 设 a? 、 b ? 都 是 非 零 向 量 , ? ?1 1,a x y? ? , ? ?2 2,b x y? ? , ? 是 a? 与 b ? 的 夹 角 , 则 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y ya b a b x y x y ? ??? ? ? ? ?? ?? . 知识链接:空间向量 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明,求值的应用进 行总结归纳. 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴.直线的方向向量: 第 38 页 若 A、B 是直线 l上的任意两点,则 AB ???? 为直线 l的一个方向向量;与 AB ???? 平行的任意非零向量也是直 线 l的方向向量. ⑵.平面的法向量: 若向量 n ? 所在直线垂直于平面? ,则称这个向量垂直于平面? ,记作 n ?? ? ,如果 n ?? ? ,那么向量n ? 叫做平面? 的法向量. ⑶.平面的法向量的求法(待定系数法): ①建立适当的坐标系. ②设平面? 的法向量为 ( , , )n x y z? ? . ③求出平面内两个不共线向量的坐标 1 2 3 1 2 3( , , ) , ( , , )a a a a b b b b? ? ? ?? . ④根据法向量定义建立方程组 0 0 n a n b ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? . ⑤解方程组,取其中一组解,即得平面? 的法向量. (如图) 1、用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行 设直线 1 2,l l 的方向向量分别是 a b ? ? 、 ,则要证明 1l ∥ 2l ,只需证明a ? ∥b ? ,即 ( )a kb k R? ? ? ? . 即:两直线平行或重合 两直线的方向向量共线。 ⑵线面平行 ①(法一)设直线 l的方向向量是 a ? ,平面? 的法向量是u ? ,则要证明 l∥? ,只需证明 a u? ? ? ,即 0a u? ? ? ? . 即:直线与平面平行 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外 ②(法二)要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线 向量即可. ⑶面面平行 若平面? 的法向量为u ? ,平面 ? 的法向量为 v ? ,要证? ∥ ? ,只需证u ? ∥ v ? ,即证u v?? ? ? . 即:两平面平行或重合 两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直 设直线 1 2,l l 的方向向量分别是 a b ? ? 、 ,则要证明 1 2l l? ,只需证明 a b? ? ? ,即 0a b? ? ? ? . 即:两直线垂直 两直线的方向向量垂直。 ⑵线面垂直 ①(法一)设直线 l的方向向量是 a ? ,平面? 的法向量是u ? ,则要证明 l ?? ,只需证明 a ? ∥u ? ,即 a u?? ? ? . 第 39 页 ②(法二)设直线 l的方向向量是 a ? ,平面? 内的两个相交向量分别为m n ?? ??? 、 ,若 0 , . 0 a m l a n ? ? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ? ? 则 即:直线与平面垂直 直线的方向向量与平面的法向量共线 直线的方向向量与平面内两条不共线 直线的方向向量都垂直。 ⑶面面垂直 若平面? 的法向量为u ? ,平面 ? 的法向量为 v ? ,要证? ?? ,只需证u v? ? ? ,即证 0u v? ? ? ? . 即:两平面垂直 两平面的法向量垂直。 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角 已知 ,a b为两异面直线,A,C 与 B,D 分别是 ,a b上的任意两点, ,a b所成的角为? , 则 cos . AC BD AC BD ? ? ? ???? ???? ???? ???? ⑵求直线和平面所成的角 ①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 ②求法:设直线 l的方向向量为 a ? ,平面? 的法向量为u ? ,直线与平面所成的角为? ,a ? 与u ? 的夹角为? , 则? 为?的余角或?的补角 的余角.即有: coss .in a u a u ?? ? ?? ? ? ? ⑶求二面角 ①定义:平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面 二面角的平面角是指在二面角 ?? ?? l 的棱上任取一点 O,分别在两个半平面内作射线 lBOlAO ?? , ,则 AOB? 为二面角 ?? ?? l 的平面角. 如图: O A B O A B l ②求法:设二面角 l? ?? ? 的两个半平面的法向量分别为m n ?? ? 、 ,再设m n ?? ? 、 的夹角为? ,二面角 l? ?? ? 的平面角为? ,则二面角? 为m n ?? ? 、 的夹角?或其补角 .? ?? 根据具体图形确定? 是锐角或是钝角: ◆如果? 是锐角,则 cos cos m n m n ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? , 第 40 页 即 arccos m n m n ? ? ? ?? ? ?? ? ; ◆ 如果? 是钝角,则 cos cos m n m n ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? , 即 arccos m n m n ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? . 5、利用法向量求空间距离 ⑴点 Q 到直线 l距离 若 Q 为直线 l外的一点, P在直线 l上, a?为直线 l的方向向量,b ? = PQ ???? ,则点 Q到直线 l距离为 2 21 (| || |) ( ) | | h a b a b a ? ? ? ? ?? ? ? ⑵点 A 到平面? 的距离 若点 P为平面? 外一点,点M为平面? 内任一点, 平面? 的法向量为 n ? ,则 P 到平面? 的距离就等于MP ???? 在法向量 n ? 方向上的投影的绝对值. 即 cos ,d MP n MP? ???? ?????? n MP MP n MP ? ? ? ? ???? ???? ? ???? n MP n ? ? ? ???? ? ⑶直线 a与平面? 之间的距离 当一条直线和一个平面平行时,直线上的各点到平面的距离相等。由此可知,直线到平面的距离可转化 为求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离。 即 . n MP d n ? ? ? ???? ? ⑷两平行平面 ,? ? 之间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等,可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。 即 . n MP d n ? ? ? ???? ? ⑸异面直线间的距离 设向量 n ? 与两异面直线 ,a b都垂直, , ,M a P b? ? 则两异面直线 ,a b间的距离 d 就是MP ???? 在向量 n ? 方向 上投影的绝对值。 第 41 页 即 . n MP d n ? ? ? ???? ? 6、三垂线定理及其逆定理 ⑴三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂 直 推理模式: , , PO O PA A a PA a a OA ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? a P ? O A 概括为:垂直于射影就垂直于斜线. ⑵三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的 射影垂直 推理模式: , , PO O PA A a AO a a AP ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? 概括为:垂直于斜线就垂直于射影. 7、三余弦定理 设 AC 是平面? 内的任一条直线,AD 是? 的一条斜线 AB 在? 内的射影,且 BD⊥AD,垂足为 D.设 AB 与? (AD)所成的角为 1? , AD 与 AC 所成的角为 2? , AB 与 AC 所成的角为? .则 1 2cos cos cos? ? ?? . 8、 面积射影定理 已知平面 ? 内一个多边形的面积为 ? ?S S原 ,它在平面? 内的射影图形的面积为 ? ?S S? 射 ,平面? 与 平面 ? 所成的二面角的大小为锐二面角? ,则 ' cos = . SS S S ? ? 射 原 9、一个结论 长度为 l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 1 2 3l l l、 、 ,夹角分别为 1 2 3? ? ?、 、 ,则有 2 2 2 2 1 2 3l l l l? ? ? 2 2 2 1 2 3cos cos cos 1? ? ?? ? ? ? 2 2 2 1 2 3sin sin sin 2? ? ?? ? ? ? . (立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 第三章 三角恒等变换 第 42 页 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ ? ?cos cos cos sin sin? ? ? ? ? ?? ? ? ;⑵ ? ?cos cos cos sin sin? ? ? ? ? ?? ? ? ; ⑶ ? ?sin sin cos cos sin? ? ? ? ? ?? ? ? ;⑷ ? ?sin sin cos cos sin? ? ? ? ? ?? ? ? ; ⑸ ? ? tan tantan 1 tan tan ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ? ?? ?tan tan tan 1 tan tan? ? ? ? ? ?? ? ? ? ); ⑹ ? ? tan tantan 1 tan tan ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ? ?? ?tan tan tan 1 tan tan? ? ? ? ? ?? ? ? ? ). 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2 2sin cos? ? ?? . 222 )cos(sincossin2cossin2sin1 ??????? ??????? ⑵ 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?升幂公式 2 sin2cos1, 2 cos2cos1 22 ???? ???? ?降幂公式 2 cos 2 1cos 2 ?? ?? , 2 1 cos 2sin 2 ?? ?? . 26、 2 2tantan 2 1 tan ?? ? ? ? . 27、 ?(后两个不用判断符号,更加好用) 28、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 BxAy ??? )sin( ?? 形式。 ? ?2 2sin cos sin? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ,其中 tan? ?? ? . 29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角 公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和 差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的 变形如: ① ?2 是? 的二倍; ?4 是 ?2 的二倍;? 是 2 ? 的二倍; 2 ? 是 4 ? 的二倍; ② 2 304560304515 o ooooo ????? ;问: ? 12 sin ? ; ? 12 cos ? ; α α α α α αα αααα 半角公式 sin cos1 cos1 sin cos1 cos1 2 tan 2 cos1 2 sin; 2 cos1 2 cos : ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? 2 tan1 2 tan1 cos; 2 tan1 2 tan2 sin : 2 2 2 α α α α α α 万能公式 ? ? ? ? ? 第 43 页 ③ ???? ??? )( ;④ ) 4 ( 24 ????? ???? ; ⑤ ) 4 () 4 ()()(2 ????????? ???????? ;等等 (2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通 常化切为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的 代换变形有: oo 45tan90sincottancossin1 22 ????? ???? (4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常 用降幂公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式 ?cos1? 常用升幂化为有理式,常用升幂公式有: ; ; (5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如: _______________ tan1 tan1 ? ? ? ? ? ; _____________ tan1 tan1 ? ? ? ? ? ; ____________tantan ?? ?? ; ___________tantan1 ?? ?? ; ____________tantan ?? ?? ; ___________tantan1 ?? ?? ; ??tan2 ; ?? ?2tan1 ; ??? oooo 40tan20tan340tan20tan ; ?? ?? cossin = ; ?? ?? cossin ba = ;(其中 ??tan ;) ?? ?cos1 ; ?? ?cos1 ; (6)三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊 值与特殊角的三角函数互化。 如: ?? )10tan31(50sin oo ; ?? ?? cottan 。 高中数学 必修 5 知识点 第一章 解三角形 (一)解三角形: 1、正弦定理:在 C??? 中, a、b、 c分别为角?、?、C的对边,,则有 2 sin sin sin a b c R C ? ? ? ? ? ( R为 C??? 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式:① 2 sina R? ?, 2 sinb R? ?, 2 sinc R C? ; ② sin 2 a R ? ? , sin 2 b R ? ? , sin 2 cC R ? ;③ : : sin : sin : sina b c C? ? ? ; 第 44 页 3、三角形面积公式: 1 1 1sin sin sin 2 2 2C S bc ab C ac??? ? ? ? ? ? . 4、余弦定理:在 C??? 中,有 2 2 2 2 cosa b c bc? ? ? ?,推论: 2 2 2 cos 2 b c a bc ? ? ? ? 第二章 数列 1、数列中 na 与 nS 之间的关系: 1 1 , ( 1) , ( 2).n n n S n a S S n? ?? ? ? ? ?? 注意通项能否合并。 2、等差数列: ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即 na - 1?na =d ,(n≥2, n∈N ? ), 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项:若三数 a A b、 、 成等差数列 2 a bA ?? ? ⑶通项公式: 1 ( 1) ( )n ma a n d a n m d? ? ? ? ? ? 或 (na pn q p q? ? 、 是常数). ⑷前 n项和公式: ? ? ? ?1 1 1 2 2 n n n n n a a S na d ? ? ? ? ? ⑸常用性质: ①若 ? ???????? Nqpnmqpnm ,,, ,则 qpnm aaaa ??? ; ②下标为等差数列的项 ? ??,,, 2mkmkk aaa ?? ,仍组成等差数列; ③数列? ?ban ?? ( b,? 为常数)仍为等差数列; ④若{ }na 、{ }nb 是等差数列,则{ }nka 、{ }n nka pb? ( k、 p是非零常数)、 *{ }( , )p nqa p q N? ? 、,…也 成等差数列。 ⑤单调性:? ?na 的公差为 d ,则: ⅰ) ?? 0d ? ?na 为递增数列; ⅱ) ?? 0d ? ?na 为递减数列; ⅲ) ?? 0d ? ?na 为常数列; ⑥

  • ID:3-6961458 江苏省郑集高级中学城区校区高三数学基础训练1-10(word版含答案)

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    江苏省郑集高级中学城区校区高三数学基础训练(1) 1. 已知集合A={x|x2-1=0},B={-1,2,5},那么A∩B=    .? 2. 已知复数z=,那么|z|=    .? 3. 已知书架上有3本数学书,2本物理书,若从中随机取出2本,则取出的2本书都是数学书的概率为    .? 4. 运行如图所示的伪代码,其输出的结果S的值为    .? 5. 某校高一年级有学生400人,高二年级有学生360人,现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人,其中从高一年级学生中抽取20人,则从高三年级学生中抽取的人数为    .? 6. 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上.若曲线C经过点P(1,3),则其焦点到准线的距离为    .? 7. 已知实数x,y满足约束条件那么目标函数z=x-y的最小值为    .? 8. 若某个正方体与底面边长为2,侧棱长为的正四棱锥的体积相等,则该正方体的棱长为    .? 9. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=5,A=,cos B=,则c的值为    .? (第11题) 10. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an>0.若S6-2S3=5,则S9-S6的最小值为    .? 11. 如图,在△ABC中,若AB=AC=3,cos∠BAC=,=2,则·的值为    .? 12. 在平面直角坐标系xOy中,已知过点P(-4,0)的直线l与圆C:(x-1)2+y2=5相交于A,B两点.若A恰好是线段PB的中点,则直线l的方程为    .? 13. (本小题满分14分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,-<φ<,x∈R的部分图象如图所示. (1)求函数y=f(x)的解析式; (2) 当x∈时,求函数f(x)的值域. 14.已知椭圆C: ()的离心率为 ,,,,的面积为1. (1)求椭圆C的方程; (2)设的椭圆上一点,直线与轴交于点M,直线PB与轴交于点N.求证:为定值. 江苏省郑集高级中学城区校区高三数学基础训练(2) 1. 已知集合A={-1,0,1},B={0,a,2}.若A∩B={-1,0},则实数a=    .? 2. 若复数z=,则z的模为    .? 3. 执行如图所示的流程图,输出的结果是63,则判断框中整数M的值是    .? 4. 随机抽取100名年龄在[10,20),[20,30),…,[50,60]年龄段的市民进行问卷调查,由此得到样本的频率分布直方图如图所示,采用分层抽样的方法从不小于40岁的人中按年龄段随机抽取8人,则[50,60]年龄段应抽取的人数为    .? 5. 将函数f(x)=2sin2x图象上的每一点向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)=    .? 6. 若从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则取出的两个数中一个是奇数一个是偶数的概率为    .? 7. 已知sin(α-45°)=-,且0°<α<90°,那么cos2α的值为    .? 8. 如图,在圆锥VO中,O为底面圆的圆心,点A,B在圆O上,且OA⊥OB,若OA=VO=1,则点O到平面VAB的距离为    .? 9. 若△ABC是等腰三角形,∠ABC=90°,则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率为    .? 10. 已知数列{an},定义数列{bn}满足:bn=an+1-an(n∈N*),且bn+1-bn=1(n∈N*).若a3=1,a4=-1,则a1=    .? 11. 已知平面向量α,β满足|β|=1,且α与β-α的夹角为120°,那么向量α的模|α|的取值范围为    .? 12. 在曲线y=x-(x>0)上一点P(x0,y0)处的切线分别与x轴、y轴交于A,B两点,O是坐标原点,若△OAB的面积为,则x0=    .? 13. (本小题满分14分)如图,平面PAC⊥平面ABC,AC⊥BC,PE∥CB,M是AE的中点. (1) 若N是PA的中点,求证:平面CMN⊥平面PAC; (2) 若MN∥平面ABC,求证:N是PA的中点. 14.一个圆柱形圆木的底面半径为1m,长为10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形(如图所示,其中O为圆心,在半圆上),设,木梁的体积为V(单位:m3),表面积为S(单位:m2). (1)求V关于θ的函数表达式; (2)求的值,使体积V最大; (3)问当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大?请说明理由. 江苏省郑集高级中学城区校区高三数学基础训练(3) 1. 若全集U={x|x≥2,x∈N},集合A={x|x2≥5,x∈N},则?UA=    .? 2. 若复数z=(a<0),且|z|=,则a的值为    .? 3. 双曲线-=1的离心率为    .? 4. 若一组样本数据9,8,x,10,11的平均数为10,则该组样本数据的方差为    .? 5. 已知向量a=(1,2),b=(x,-2),且a⊥(a-b),那么实数x的值为    .? 6. 执行如图所示的流程图,输出的结果为    .? (第6题) 7. 函数f(x)=的值域为    .? 8. 若连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6),则两次向上的数字之和等于7的概率为    .? 9. 将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面,若这三个圆锥的底面半径依次为r1,r2,r3,则r1+r2+r3=    .? 10. 已知θ是第三象限角,若sin θ-2cos θ=-,则sin θ+cos θ=    .? 11. 已知{an}是等差数列,若a5=15,a10=-10,记数列{an}的第n项到第n+5项的和为Tn,则|Tn|取得最小值时n的值为    .? 12. 若直线l1:y=x+a和直线l2:y=x+b将圆C:(x-1)2+(y-2)2=8分成长度相等的四段弧,则a2+b2=    .? 13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足=2cos C. (1)求角C的大小; (2)若△ABC的面积为2,a+b=6,求边c的长. 14.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为4,离心率为. (1)求椭圆C的标准方程; (2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2,左、右顶点分别为A、B,点M、N为椭圆C上位于x轴上方的两点,且F1M∥F2N,直线F1M的斜率为2,记直线AM、BN的斜率分别为k1、k2,求3k1+2k2的值. 江苏省郑集高级中学城区校区高三数学基础训练(4) 1. 若复数z满足(z+i)(2+i)=5,则z=    .? 2. 若全集U={1,2,3,4},集合A={1,3},B={2,3},则B∩?UA=    .? 3. 某地区有高中学校10所、初中学校30所、小学学校60所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所学校对学生进行体质健康检查,则应抽取初中学校    所.? (第7题) 4. 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点P(1,-2),那么该双曲线的离心率为    .? 5. 函数f(x)=log2(-x2+2)的值域为    .? 6. 从某校2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工,则选出的学生中男生、女生都有的概率为    .? 7. 执行如图所示的流程图,输出的S的值是    .? 8. 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2,锐角为60°的菱形,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=3.若M是BC的中点,则三棱锥M-PAD的体积为    .? 9. 已知实数x,y满足约束条件那么目标函数z=2x+y的最大值为    .? 10. 已知平面向量a=(4x,2x),b=,x∈R.若a⊥b,则|a-b|=    .? 11. 已知等比数列{an}的各项均为正数,且a1+a2=,a3+a4+a5+a6=40,那么的值为    .? 12. 如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4,CD=1,动点P在边BC上,且满足=m+n(m,n均为正实数),则+的最小值为    .? 13.如图,在正三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E分别是A1C,AB的中点. (1)求证:ED∥平面BB1C1C; (2)若AB=BB1,求证:A1B⊥平面B1CE. 14.如图,在P地正西方向8 km的A处和正东方向1 km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD,现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F.为缓解交通压力,决定从P地分别向AC和BD修建两条互相垂直的公路PE和PF.设(). (1)为减少对周边区域的影响,试确定E,F的位置,使△PAE与△PFB的面积之和最小; (2)为节省建设成本,试确定E,F的位置,使PE+PF的值最小. 江苏省郑集高级中学城区校区高三数学基础训练(5) 1. 若全集U=R,集合A={x|x2-x>0},则?UA=    .? 2. 计算:=    .? 3. 若箱子中有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球,一次摸出2个球,则摸到的2个球颜色不同的概率为    .? 4. 已知实数x,y满足约束条件那么目标函数z=2x+y的最小值是    .? 5. 执行如图所示的流程图,若输入的n为30,则输出的S的值是    .? 6. 已知向量a=(-2,1),b=(1,0),那么|2a+b|=    .? 7. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-log2x,那么不等式f(x)<0的解集是    .? 8. 已知b,c表示两条不同的直线,α,β表示两个不重合的平面,给出下列四个命题: ①若b?α,c∥α,则b∥c; ②若b?α,b∥c,则c∥α; ③若c∥α,α⊥β,则c⊥β; ④若c∥α,c⊥β,则α⊥β. 其中正确的命题是    .(填序号)? 9. 以抛物线y2=4x的焦点为焦点,直线y=±x为渐近线的双曲线的标准方程为    .? 10. 已知某圆锥的侧面面积是底面面积的2倍,若该圆锥的底面半径为 cm,则该圆锥的体积为    cm3.? 11. 函数y=asin(ax+θ)(a>0,θ≠0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为    .? 12. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和.若=,则=    .? 13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a-c,b+c),n=(b-c,a),且m∥n. (1)求角B的大小; (2)若b=,cos=,求a的值. 14.已知椭圆+=1(a>b>0)上的点到右焦点F(c,0)的最大距离是 +1,且1,a,4c成等比数列. (1)求椭圆的方程; (2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A,B两点,线段AB的中垂线交x轴于点M(m,0)求实数m的取值范围. 江苏省郑集高级中学城区校区高三数学基础训练(6) 1. 已知集合A={x|x2-2x<0},B={0,1,2},那么A∩B=    .? 2. 若复数z=i(3-2i),则z的虚部为    .? 3. 执行如图所示的流程图,若输入的x的值为,则相应输出的y的值为    .? 4. 某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高.根据测量知被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195],按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示.估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为    .? 5. 双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为    .? 6. 若从1,2,3,4,5这五个数中,随机抽取两个不同的数,则这两个数的和是偶数的概率为    .? 7. 已知等比数列{an}满足a2+2a1=4,=a5,那么该数列的前5项和为    .? 8. 已知正四棱锥的底面边长为4,体积为32,那么此四棱锥的侧棱长为    .? 9. 已知函数f(x)=sin(0≤x≤π),若f(α)=f(β)=(α≠β),则α+β=    .? 10. 已知向量m=(cos α,sin α),n=(2,1),α∈,若m·n=1,则sin=    .? 11. 若a>b>1且2logab+3logba=7,则a+的最小值为    .? 12. 已知圆O:x2+y2=4,若不过原点O的直线l与圆O交于P,Q两点,且满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,则直线l的斜率为    .? 13.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC,D,E分别为BC,CC1的中点,BC1⊥B1D. (1)求证:DE∥平面ABC1; (2)求证:平面AB1D⊥平面ABC1. 14.右图为某仓库一侧墙面的示意图,其下部是一个矩形ABCD,上部是圆弧AB,该圆弧所在圆的圆心为O.为了调节仓库内的湿度和温度,现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E,F在圆弧AB上, G,H在弦AB上).过O作OPAB,交AB于M,交EF于N,交圆弧AB于P.已知OP=10,MP=6.5(单位:m),记通风窗EFGH的面积为S(单位:m2). (1)按下列要求建立函数关系式: (i)设∠POF=θ (rad),将S表示成θ的函数; (ii)设MN=x (m),将S表示成x的函数; (2)试问通风窗的高度MN为多少时,通风窗EFGH的面积S最大? 江苏省郑集高级中学城区校区高三数学基础训练(7) 1. 已知集合A={x|x2≤1},B={-2,-1,0,1,2},那么A∩B=    .? 2. 如图,在复平面内,点A对应的复数为z1.若=i,则z2=    .? 3. 在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的实轴长为    .? 4. 某校共有教师200人,男学生800人,女学生600人,现采用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本,已知从男学生中抽取的人数为100,那么n=    .? 5. 运行如图所示的伪代码,若输入的a,b的值分别为1,3,则最后输出的a的值为    .? 6. 甲、乙两人下棋,若甲获胜的概率为,甲、乙下成和棋的概率为,则乙不输棋的概率为    .? 7. 已知直线y=kx(k>0)与圆C:(x-2)2+y2=1相交于A,B两点,若AB=,则k=    .? 8. 若命题“?x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是    .? (第9题) 9. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为BD1的中点,三棱锥O-ABD的体积为V1,四棱锥O-ADD1A1的体积为V2,则的值为    .? 10. 已知公差为2的等差数列{an}及公比为2的等比数列{bn}满足a1+b1>0,a2+b2<0,那么a3+b3的取值范围是    .? 11. 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x+ln,记an=f(n-5),则数列{an}的前8项和为    .? 12. 在平面直角坐标系xOy中,已知A,B分别为x轴、y轴上一点,且AB=2,若点P的坐标为(2,),则|++|的取值范围是    .? 13.已知函数f(x)=cos2ωx+sin ωxcos ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)当x∈时,求函数y=f(x)的值域; (2)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f=,且a=4,b+c=5,求△ABC的面积. 14.给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆C1:x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”.已知椭圆C的离心率为,且经过点(0,1). (1)求实数a,b的值; (2)若过点P(0,m)(m>0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点,且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2,求实数m的值. 江苏省郑集高级中学城区校区高三数学基础训练(8) 1. 已知集合A={0,a},B={0,1,3}.若A∪B={0,1,2,3},则实数a的值为    .? 2. 已知复数z满足z2=-4.若z的虚部大于0,则z=    .? 3. 交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控,从速度在50~90km/h 的汽车中抽取150辆进行分析,得到数据的频率分布直方图如图所示,则速度在70km/h以下的汽车有    辆.?   4. 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,若AB=5,则ω的值为    .? 5. 若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班,每人值班1天,则甲与丙都不在第一天值班的概率为    . ? 6. 抛物线y2=4x的焦点到双曲线-=1的渐近线的距离为    .? 7. 在矩形ABCD中,已知AB=4,BC=3.若沿对角线AC折叠,使平面DAC⊥平面BAC,则三棱锥D-ABC的体积为    .? 8. 若公比不为1的等比数列{an}满足log2(a1·a2·…·a13)=13,等差数列{bn}满足b7=a7,则b1+b2+…+b13的值为    . ? 9. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时,f(x)=log2(2+x)+(a-1)x+b(a,b为常数).若f(2)=-1,则f(-6)=    . ? 10. 已知||=||=,且·=1.若点C满足|+|=1,则||的取值范围是    .? 11. 已知函数f(x)=若关于x的不等式f(x)<π的解集为,则实数a的取值范围是    .? 12.已知点A(0,1),B(1,0),C(t,0),D是直线AC上的动点,若AD≤2BD恒成立,则t的最小正整数的值为    .? 13.如图,在四棱锥P-ABCD中,已知底面ABCD为矩形,PA⊥平面PDC,E为侧棱PD的中点. (1)求证:PB∥平面EAC; (2)求证:平面PAD⊥平面ABCD. 14.如图,有一个长方形地块,边为2,为4.地块的一角是湿地(图中阴影部分),其边缘线是以直线为对称轴,以为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线上一点的直线型隔离带,,分别在边,上(隔离带不能穿越湿地,且占地面积忽略不计).设点到边的距离为(单位:),△的面积为(单位:). (1)求关于的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)是否存在点,使隔离出的△面积超过3?并说明理由. 江苏省郑集高级中学城区校区高三数学基础训练(9) 1. 已知集合A={x|-10,b>0)过点P(1,1),其一条渐近线的方程为y=x,那么该双曲线的方程为        .? 7. 若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是棱B1B的中点,则三棱锥B1-ADE的体积为    .? 8. 若函数f(x)=(a,b∈R)为奇函数,则f(a+b)的值为    .? 9. 已知sin=,那么sin+sin2的值为    .? 10. 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,0),B(4,0).若直线x-y+m=0上存在点P使得PA=PB,则实数m的取值范围是    .? 11. 在边长为6的正三角形ABC中,若=,=,AD与BE交于点P,则·的值为    .? 12. 在平面直角坐标系xOy中,若直线l与曲线y=x2(x>0)和y=x3(x>0)均相切,切点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2),则的值为    .? 13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b-c)(a+b+c)=ab. (1)求角C的大小; (2)若c=2acos B,b=2,求△ABC的面积. 14.在平面直角坐标系xoy中,椭圆C :的离心率为,右焦点F(1,0),点P在椭圆C上,且在第一象限内,直线PQ与圆O:相切于点M. (1)求椭圆C的方程; (2)求PM·PF的取值范围; (3)若OP⊥OQ,求点Q的纵坐标t的值. 江苏省郑集高级中学城区校区高三数学基础训练(10) 1. 已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2-1>0},那么A∩B=    .? 2. 若复数z满足z(1-i)=2+4i,则复数z的模为    .? 3. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为9.7,9.9,10.1,10.2,10.1,则这组数据的方差为    .? 4. 从2个红球,2个黄球,1个白球中随机取出两个球,则这两个球颜色不同的概率为    .? 5. 已知向量a=(1,2),b=(m,4),且a∥(2a+b),那么实数m的值为    .? 6. 执行如图所示的流程图,最后输出的k的值为    .? (第6题) (第7题) 7. 如图,是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))的图象的一部分,则f(0)的值为    .? 8. 若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为2x-y=0,则该双曲线的离心率为    .? 9. 若直三棱柱ABC-A1B1C1的每条棱长均为2,E为棱CC1的中点,则三棱锥A1-B1C1E的体积为    .? 10. 已知直线l,m,平面α.若m?α,则“l⊥m”是“l⊥α”成立的    (从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)条件.? 11. 已知函数f(x)=x3+x2-2ax+1.若函数f(x)在(1,2)上有极值,则实数a的取值范围为    .? 12. 在平行四边形ABCD中,已知AD=2,∠BAD=60°.若E为DC的中点,且·=1,则·的值为    .? 13.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E为侧棱PA的中点. (1)求证:PC∥平面BDE; (2)若PC⊥PA,PD=AD,求证:平面BDE⊥平面PAB. 14.某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐(上下底面及侧面的厚度不计),易拉罐的体积为108π mL,设圆柱的高度为h cm,底面半径为r cm,且h≥4r,假设该易拉罐的制造费用仅与前表面积有关.已知易拉罐的侧面制造费为 m 元/cm2,易拉罐上下底面的制造费用为n 元/cm2 (m,n为常数). (1)写出易拉罐的制造费用y(元)关于r(cm)的函数表达式,请求求定义域; (2)求易拉罐制造费最低时r(cm)的值. 1 江苏省郑集高级中学城区校区高三数学基础训练(1) 1. {-1} 【解析】由题意知A={-1,1},所以A∩B={x|x∈A且x∈B}={-1}. 2.  【解析】方法一:由题意知z===+i, 所以|z|==. 方法二:|z|===. 3.  【解析】从5本书中取出2本书,基本事件有10个.从3本数学书中取出2本书的事件有3个,故所求的概率为. 4. 17 【解析】由伪代码可知,I的取值依次为1,3,5,7,相应的S的值为2,5,10,17.故输出的S的值为17. 5. 17 【解析】因为高一年级400人中抽取20人,所以高二年级360人中应抽取18人,所以高三年级学生中应抽取的人数为55-20-18=17(人). 6.  【解析】设抛物线的方程为y2=2px.由题意知32=2×1×p,解得p=,故其焦点到准线的距离为. 7. -3 【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数z=x-y经过点(1,4)时,取得最小值,且最小值为1-4=-3. (第7题) 8. 2 【解析】由题意知正四棱锥的高为=2,所以该正四棱锥的体积为×2×(2)2=8,故原正方体的棱长为2. 9. 7 【解析】在△ABC中,因为cos B=,所以sin B=.又A=,所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=.由正弦定理=,得c=7. 10. 20 【解析】设等比数列{an}的公比为q,若q=1,则S6-2S3=0,不符合题意,舍去,故q≠1.因为S6-2S3=a4+a5+a6-S3=q3S3-S3=(q3-1)S3=5,所以S3=,且q3-1>0,所以S9-S6=a7+a8+a9=q6·S3=q6·=5·=5(q3-1)++2≥5×4=20.当且仅当q3-1=1,即q=时取等号.故S9-S6的最小值为20. 11. -2 【解析】方法一:由余弦定理得,BC2=9+9-2×3×3×=12,所以BC=2,所以cos∠ABC=,所以·=(-)·=-·=4-6=-2. 方法二:如图,以BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,由方法一知B(-,0),C(,0),D,A(0,),所以=,=(2,0),所以·=·(2,0)=-2. (第11题) 12. x±3y+4=0 【解析】方法一:设点B的坐标为(x0,y0),因为A是线段PB的中点,所以点A的坐标为,,所以 解得所以直线l的方程为y=±(x+4),即x±3y+4=0. 方法二:设圆心C到直线l的距离为d,则CA2=d2+=5,又CP2=d2+=25,解得d=.设直线l的方程为y=k(x+4),则=,解得k=±,所以直线l的方程为x±3y+4=0. 15. (1) 由图象知,A=2. (2分) 因为=-=,且ω>0,所以T=2π=,即ω=1, (4分) 所以f(x)=2sin(x+φ).又函数f(x)=2sin(x+φ)过点,2, 所以+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z. 又-<φ<,所以φ=, (6分) 所以f(x)=2sin. (8分) (2) 当x∈时,x+∈-,, (10分) 所以sin∈, 所以f(x)∈[-,2], 因此,当x∈时,函数f(x)的值域为[-,2]. (14分) 14. 解析:(1)由题意得解得.所以椭圆的方程为. [来源:学科网] 令,得.从而. 所以 . 当时,,所以. 综上,为定值. 江苏省郑集高级中学城区校区高三数学基础训练(2) 1. -1 【解析】因为A∩B={-1,0},所以a=-1. 2.  【解析】方法一:因为z===-i,所以|z|==. 方法二:|z|===. 3. 5 【解析】由流程图可知,在循环的过程中,S与A的值依次为3,2;7,3;15,4;31,5;63,6.故判断框中的条件应为A≤5,即M=5. 4. 2 【解析】设[50,60]年龄段应抽取x人,则根据分层抽样得,=,解得x=2. 5. 2sin 【解析】由题意知g(x)=f=2sin 2,整理得g(x)=2sin. 6.  【解析】从四个数中随机取两个数,基本事件有6个.其中一奇一偶的事件有4个:(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),故所求的概率为=. 7.  【解析】方法一:由题意知-45°<α-45°<45°,则cos(α-45°)=,所以cos 2α=-sin(2α-90°)=-2sin(α-45°)·cos(α-45°)=-2××=. 方法二:由sin(α-45°)=-,展开得sin α-cos α=-,所以0°<α<45°,平方得sin 2α=,因为0°<2α<90°,所以cos 2α=. 8.  【解析】方法一:设点O到平面VAB的距离为h.由题意知=,所以××1=××h,解得h=. 方法二:取AB的中点M,连接OM,VM,在Rt△VOM中,点O到VM的距离即为点O到平面VAB的距离.因为VO=1,OM=,VM=,所以点O到VM的距离为=,故点O到平面VAB的距离为. 9. +1 【解析】设双曲线的标准方程为-=1,则由题意知,AB=2c,2a=CA-CB=2(-1)c,所以==+1,即双曲线的离心率为+1. 10. 8 【解析】由题意知,数列{bn}是公差为1的等差数列,且b3=-2,所以bn=b3+(n-3)×1=n-5,所以an+1-an=n-5,所以an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)+a1=-5n+a1.令n=2,则a3=3-10+a1=1,解得a1=8. 11.  【解析】如图,由正弦定理得=,所以|α|=sin θ∈0, (第11题) 12.  【解析】由题意知y'=1+(x>0),所以在点P处的切线斜率为1+,切线方程为y-=(x-x0),该切线与x轴交于点 A,与y轴交于点B0,-.因为S△OAB=··=(其中x0>0),所以解得x0=. 13. (1) 因为平面PAC⊥平面ABC,AC为两平面的交线, 且AC⊥BC,BC?平面ABC, 所以BC⊥平面PAC. (2分) 又PE∥CB,M,N分别为AE,AP的中点, 所以MN∥PE, (3分) 所以MN∥BC, 所以MN⊥平面PAC. (5分) 又MN?平面CMN, 所以平面CMN⊥平面PAC. (7分) (2) 因为PE∥CB,BC?平面ABC,PE?平面ABC, 所以PE∥平面ABC. (9分) 设平面PAE与平面ABC的交线为l,则PE∥l. (10分) 又MN∥平面ABC,MN?平面PAE,所以MN∥l, (11分) 所以MN∥PE. (12分) 因为M是AE的中点, 所以N为PA的中点. (14分) 14.解:(1)梯形的面积 =,.…………………2分 体积.…………………3分 (2). 令,得,或(舍). ∵,∴.…………………5分 当时,,为增函数; 当时,,为减函数.…………………7分 ∴当时,体积V最大.…………………8分 (3)木梁的侧面积=,. =,.…………………10分 设,.∵, ∴当,即时,最大.…………………12分 又由(2)知时,取得最大值, 所以时,木梁的表面积S最大.…………………13分 综上,当木梁的体积V最大时,其表面积S也最大.…………………14分 江苏省郑集高级中学城区校区高三数学基础训练(3) 1. {2} 【解析】由题意知,集合A={x|x≥,x∈N},则?UA={x|2≤x<,x∈N}={2}. 2. -5 【解析】因为|z|===,所以|a|=5,又a<0,所以a=-5. 3.  【解析】由题意知a=2,b=,所以c=3,所以双曲线的离心率为. 4. 2 【解析】由=10,知x=12,所以方差为×[(10-9)2+(10-8)2+(10-12)2+(10-10)2+(10-11)2]=2. 5. 9 【解析】由题意知a·(a-b)=0,即a2-a·b=0,所以5-(x-4)=0,解得x=9. 6.  【解析】由流程图可知,在循环的过程中,x,y,z的数据依次为1,2,3;2,3,5;3,5,8.故最后输出的的值是. 7. (-∞,1] 【解析】当x≤0时,0<2x≤1;当x>0时,-x2+1<1.所以函数f(x)的值域为(-∞,1]. 8.  【解析】连续抛掷骰子两次,基本事件有36个.两次向上的数字之和等于7的事件有6个:(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1).故所求的概率为=. 9. 5 【解析】半径为5的圆的周长是10π,由题意知2πr1+2πr2+2πr3=10π,所以r1+r2+r3=5. 10. - 【解析】由sin θ-2cos θ=-,得sin θ=2cos θ-,平方整理得125cos2θ-40cos θ-21=0,解得cos θ=-或cos θ=(舍去),所以sin θ=-,所以sin θ+cos θ=-. 11. 5或6 【解析】设等差数列{an}的公差为d,则解得 所以数列{an}的前n项和为Sn=-n2+n,则Tn=Sn+5-Sn-1=-30n+165(n≥2,n∈N*).又T1=S6=135,所以对n∈N*,总有|Tn|=|-30n+165|,则当n=5或6时,|T5|=|T6|=15,此时|Tn|取得最小值. 12. 18 【解析】由题意知两平行线l1,l2将圆C的周长四等分,所以相应弦所对的圆心角为90°,所以弦心距为×2=2.因为圆心C(1,2)到直线l1:y=x+a的距离为=2,解得a=1±2,所以a=1+2,b=1-2或a=1-2,b=1+2,所以a2+b2=18. 15. (1) 由余弦定理知acos B+bcos A=a·+b·==c,(3分) 所以=1, 所以cos C=. (5分) 又C∈(0,π),所以C=. (7分) (2) 因为S△ABC=absin C=2, 所以ab=8. (10分) 又因为a+b=6, 所以c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab=12, (13分) 所以c=2. (14分) 14.解:(1)由题意,得2b=4,所以b=2. 又=,且a2-c2=b2=8. 所以a=3,c=1. 所以椭圆C的标准方程为+=1. (2)由(1)可知,A(-3,0),B(3,0),F1(-1,0). 根据题意,直线F1M的方程为y=2(x+1). 记直线F1M与椭圆的另一交点为M′. 设M(x1,y1)(y1>0),M′(x2,y2). 因为F1M∥F2N,根据对称性,得N(-x2,-y2), 联立消去y,得14x2+27x+9=0. 由题设知x1>x2, 所以x1=-,x2=-. 又k1===, k2===, 所以3k1+2k2=3×+2×=0,则3k1+2k2=0. 江苏省郑集高级中学城区校区高三数学基础训练(4) 1. 2-2i 【解析】由题意知z=-i=2-i-i=2-2i. 2. {2} 【解析】由题意知?UA={2,4},则B∩?UA={2}. 3. 6 【解析】根据分层抽样应抽取初中学校20×=6(所). 4.  【解析】由题意知双曲线C的渐近线y=-x过点P(1,-2),所以=2,所以该双曲线的离心率e===. 5.  【解析】因为(-x2+2)∈(-∞,2],所以函数f(x)=log2(-x2+2)的值域为. 6.  【解析】从5名学生中选出3名学生,基本事件有10个.只有选出的“3名学生全是女生”这1个事件不符合要求,故所求的概率为1-=. 7.  【解析】由流程图可知,在循环的过程中,S与k的值依次为-,2;,3;3,4;-,5;,6;…,3,2 014;-,2 015;,2 016.故最后输出的S的值是. 8.  【解析】由题意知==××3=. 9.  【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数z=2x+y经过点时,取得最大值,且最大值为2×+5=. (第9题) 10. 2 【解析】由a⊥b,知a·b=0,即4x+2x-2=0,解得2x=1,所以a=(1,1),b=(1,-1),所以a-b=(0,2),故|a-b|=2. 11. 117 【解析】设等比数列{an}的公比为q(q>0),由题意知(q2+q4)=40,解得q=3,所以a1=,则原式==32+33+34=117. 12.  【解析】如图,建立平面直角坐标系,则=(4,0),=(0,4).设=(x,y),则BC所在直线为4x+3y=16.由(x,y)=m(4,0)+n(0,4),得x=4m,y=4n(m,n>0),所以16m+12n=16,即m+n=1,那么+=+ 13. (1) 连接AC1,BC1, 因为四边形AA1C1C是矩形,D是A1C的中点, 所以D是AC1的中点. (2分) 在△ABC1中,因为D,E分别是AC1,AB的中点, 所以DE∥BC1. (4分) 又DE?平面BB1C1C,BC1?平面BB1C1C, 所以ED∥平面BB1C1C. (6分) (2) 因为△ABC是正三角形,E是AB的中点,所以CE⊥AB. 又因为在正三棱柱A1B1C1-ABC中, 平面ABC⊥平面ABB1A1,平面ABC∩平面ABB1A1=AB,CE?平面ABC, 所以CE⊥平面ABB1A1. 又A1B?平面ABB1A1, 所以CE⊥A1B. (9分) 在矩形ABB1A1中, 因为==, 所以Rt△A1B1B∽Rt△B1BE, 所以∠B1A1B=∠BB1E, 所以∠B1A1B+∠A1B1E=∠BB1E+∠A1B1E=90°, 所以A1B⊥B1E. (12分) 又因为CE?平面B1CE,B1E?平面B1CE,CE∩B1E=E, 所以A1B⊥平面B1CE. (14分) 14. (1)在Rt△PAE中,由题意可知,AP=8,则. 所以. …………………………………………2分 同理在Rt△PBF中,,PB=1,则, 所以. ……………………………………………………4分 故△PAE与△PFB的面积之和为………………………………5分 =8, 当且仅当,即时取等号, 故当AE=1km,BF=8km时,△PAE与△PFB的面积之和最小. ………………………6分 (2)在Rt△PAE中,由题意可知,则. 同理在Rt△PBF中,,则. 令,,…………………………8分 则,…………………………10分 令,得,记,, 当时,,单调递减; 当时,,单调递增. 所以时,取得最小值,…………………………………………12分 此时,. 所以当AE为4km,且BF为2km时,PE+PF的值最小.………………………14分 江苏省郑集高级中学城区校区高三数学基础训练(5) 1. [0,1] 【解析】由题意知A={x|x<0或x>1}=(-∞,0)∪(1,+∞),所以?UA=[0,1]. 2. -i 【解析】===-i. 3.  【解析】从5个球中摸出2个球,基本事件共有10个.摸到的2个球颜色不同的事件为:红1,白1;红1,白2;红2,白1;红2,白2;红3,白1;红3,白2,共6个.故所求的概率为=. 4. 1 【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数z=2x+y经过点(1,-1)时取得最小值,且最小值为2×1-1=1. (第4题) 5. 240 【解析】由流程图可知,在循环的过程中,S与n的值依次为:30,28;30+28,26;30+28+26,24;…,30+28+26+…+2,0.故最后输出的S的值为30+28+26+…+2=×15=240. 6.  【解析】因为2a+b=(-3,2),所以|2a+b|==. 7. (-2,0)∪(2,+∞) 【解析】当x>0时,f(x)=1-log2x<0,解得x>2;当x<0时,f(x)=-f(-x)=-1+log2(-x)<0,解得x>-2,即-2cos x,故y=cos x=. 4. 144 【解析】由频率分布直方图可知,身高低于180 cm的各组人数的频率分别为0.04,0.08,0.2,0.2,0.3,则在这800人中,身高低于180 cm的各组人数分别为32,64,160,160,240,从而身高低于180 cm的人数总共为656,故身高在180 cm 以上的人数为144. 5. 4 【解析】若在双曲线-=1中,焦点的坐标为(±c,0),渐近线的方程为bx±ay=0,则焦点到渐近线的距离为=b.故b=4即为所求. 6.  【解析】从五个数中随机抽取两个数,基本事件共有10个.这两个数的和为偶数的有4个:(2,4),(1,3),(1,5),(3,5),故所求的概率为=. 7. 31 【解析】设等比数列{an}的公比为q,则a1q+2a1=4,q4=a1q4,解得a1=1,q=2,故数列{an}的前5项和为=31. 8. 5 【解析】设正四棱锥的高为h,由题意知×(4)2×h=32,得h=3.又底面正方形的中心到顶点的距离为4,所以该正四棱锥的侧棱长为5. 9.  【解析】由题意知2x+∈,.若sin=,则2x+=或,所以x=或,所以α+β=+=. 10. - 【解析】因为m·n=2cos α+sin α=1,所以2cos α=1-sin α,平方得5sin2α-2sin α-3=0,解得sin α=-或sin α=1(舍去),所以sin(2α+)=-cos 2α=-(1-2sin2α)=-. 11. 3 【解析】由题意知2logab+=7,即2(logab)2-7logab+3=0,解得logab=或logab=3.又a>b>1,所以logab=,所以b2=a,所以a+=a+=(a-1)++1≥2+1=3.当且仅当a=2时取等号.故原式的最小值为3. 12. ±1 【解析】设直线l的方程为y=kx+b(b≠0),点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).联立方程得(1+k2)x2+2bkx+b2-4=0,则x1+x2=-,x1x2=.若直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,则k2=kOP·kOQ,即k2===k2+,所以k(x1+x2)+b=0,所以-+b=0,所以=1,所以k2=1,所以k=±1,故直线l的斜率为±1. 13. (1) 因为D,E分别为BC,CC1的中点, 所以DE∥BC1. (2分) 因为DE?平面ABC1,BC1?平面ABC1, 所以DE∥平面ABC1. (6分) (2) 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,因为AD?平面ABC, 所以CC1⊥AD. (8分) 因为AB=AC,D为BC的中点, 所以AD⊥BC. 又因为CC1∩BC=C,CC1?平面BCC1B1,BC?平面BCC1B1, 所以AD⊥平面BCC1B1. 因为BC1?平面BCC1B1, 所以AD⊥BC1. (11分) 又因为BC1⊥B1D,B1D∩AD=D,B1D?平面AB1D,AD?平面AB1D, 所以BC1⊥平面AB1D. 因为BC1?平面ABC1, 所以平面AB1D⊥平面ABC1. (14分) 14.解:(1)由题意知,OF=OP=10,MP=6.5,故OM=3.5. (i)在Rt△ONF中,NF=OFsinθ=10sinθ,ON=OFcosθ=10cosθ. 在矩形EFGH中,EF=2MF=20sinθ,FG=ON-OM=10cosθ-3.5, 故S=EF×FG=20sinθ(10cosθ-3.5)=10sinθ(20cosθ-7). 即所求函数关系是S=10sinθ(20cosθ-7),0<θ<θ0,其中cosθ0=. ………… 4分 (ii)因为MN=x,OM=3.5,所以ON=x+3.5. 在Rt△ONF中,NF===. 在矩形EFGH中,EF=2NF=,FG=MN=x, 故S=EF×FG=x. 即所求函数关系是S=x,0<x<6.5. ………… 8分 (2)方法一:选择(i)中的函数模型: 令f(θ)=sinθ(20cosθ-7), 则f ′(θ)=cosθ(20cosθ-7)+sinθ(-20sinθ)=40cos2θ-7cosθ-20.………… 10分 由f ′(θ)=40cos2θ-7cosθ-20=0,解得cosθ=,或cosθ=-. 因为0<θ<θ0,所以cosθ>cosθ0,所以cosθ=. 设cosα=,且α为锐角, 则当θ∈(0,α)时,f ′(θ)>0 ,f(θ)是增函数;当θ∈(α,θ0)时,f ′(θ)<0 ,f(θ)是减函数, 所以当θ=α,即cosθ=时,f(θ)取到最大值,此时S有最大值. 即MN=10cosθ-3.5=4.5m时,通风窗的面积最大. ………… 14分 方法二:选择(ii)中的函数模型: 因为S= ,令f(x)=x2(351-28x-4x2), 则f ′(x)=-2x(2x-9)(4x+39). ……… 10分 因为当0<x<时 ,f ′(x)>0,f(x)单调递增,当<x<时,f ′(x)<0,f(x)单调递减, 所以当x=时,f(x)取到最大值,此时S有最大值. 即MN=x=4.5m时,通风窗的面积最大. ………… 14分 江苏省郑集高级中学城区校区高三数学基础训练(7) 1. {-1,0,1} 【解析】由题意知A=[-1,1],所以A∩B={-1,0,1}. 2. -2-i 【解析】由题意知z1=-1+2i,所以z2=z1i=-2-i. 3. 2 【解析】由题意知a=,所以实轴长为2a=2. 4. 200 【解析】由分层抽样的方法知,=,解得n=200. 5. 5 【解析】第一次运算后a=4,b=1,i=2≤2,第二次运算后a=5,b=4,i=3>2,最后输出的a=5. 6.  【解析】乙不输棋的概率为1-=. 7.  【解析】由题意知,圆心(2,0)到直线kx-y=0(k>0)的距离为=,所以4k2=1,解得k=. 8. (2,+∞) 【解析】由题意知ax2+4x+a>0对任意的x∈R恒成立,所以a>0且Δ=16-4a2<0,解得a>2,故实数a的取值范围是(2,+∞). 9.  【解析】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AB=a,BC=b,CC1=c,则V1=··=,V2=·bc·=,所以=. 10. (-∞,-2) 【解析】由题意知a1+b1>0,a1+2+2b1<0,即a1+2b1<-2,则a3+b3=a1+4+4b1=-2(a1+b1)+3(a1+2b1)+4<-6+4=-2, 所以a3+b3的取值范围是(-∞,-2). 11. -16 【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以数列{an}的前8项和为f(-4)+f(-3)+f(-2)+…+f(3)=-f(4)-f(3)-f(2)-f(1)+0+f(1)+f(2)+f(3)=-f(4)=-24=-16. 12. [7,11] 【解析】设点A的坐标为(x,0),点B的坐标为(0,y),则x2+y2=4.因为++=(2-x,)+(2,-y)+(2,)=(6-x,3-y), 所以|++|=,即求圆x2+y2=4上的点到点C(6,3)的距离的取值范围,又OC=9,所以|++|的取值范围是[7,11]. 13. (1) f(x)=(1+cos 2ωx)+sin 2ωx=sin+, (2分) 因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0, 所以=π,解得ω=1, 所以f(x)=sin+. (4分) 又0≤x≤,则≤2x+≤, 所以-≤sin2x+≤1, 所以0≤sin+≤+1, 即函数y=f(x)在x∈上的值域为[0,+1] (7分) (2) 因为f=, 所以sin=. 由A∈(0,π),知0,由题意知(a+bi)2=a2+2abi-b2=-4,所以a=0,b2=4,则b=±2.又b>0,所以b=2,故z=2i. 3. 75 【解析】由频率分布直方图可知,速度在70 km/h以下的汽车的频率为0.02×10+0.03×10=0.5,所以速度在70 km/h以下的车辆数为0.5×150=75(辆). 4.  【解析】由题意知+42=52,解得ω=. 5.  【解析】三人安排在3天值班,基本事件有6个.符合题意的事件有乙、甲、丙和乙、丙、甲,共2个.故所求的概率为=. 6.  【解析】由题意知,抛物线的焦点(1,0)到双曲线的渐近线3x±4y=0的距离为=. 7.  【解析】若平面DAC⊥平面BAC,则点D到AC的距离即为三棱锥D-ABC的高,所以其体积为×6×=. 8. 26 【解析】因为数列{an}是等比数列,所以a1·a2·…·a13==213,所以a7=2,所以b7=2.又因为数列{bn}是等差数列,所以b1+b2+…+b13=13b7=26. 9. 4 【解析】由f(0)=0,得b=-1,又由f(2)=-1,得a=0,所以f(x)=log2(x+2)-x-1,所以f(-6)=-f(6)=-(3-6-1)=4. 10. [-1,+1] 【解析】方法一:由题意知cos∠AOB==,所以∠AOB=60°.如图,建立平面直角坐标系xOy,设A(,0),B,C(x,y),则由|+|=(,0)+-x,-y=1,得+=1,即点C在以,为圆心、半径为1的圆上.又圆心到原点O的距离为,则||的取值范围是[-1,+1]. (第10题) 方法二:由题意知|+|2=+2··+=2+2+2=6,所以|+|=.又|+|=|+-|=1,所以|+|-||≤1且||-|+|≤1, 所以-1≤||≤+1. 11. (-2,+∞) 【解析】由题意知,当x≥0时,f'(x)=2-sin x>0,所以f(x)在[0,+∞)上为增函数,则当x=时,f(x)=2×+cos =π,所以当x∈时,f(x)<π恒成立.当x<0时,若a≥0,则f(x)<0<π;若a<0,则f(x)max=,令<π,解得-20时,二次函数图象的顶点坐标为;当x<0时,二次函数图象的顶点坐标为(-1,-a),所以-=-1,-=a,解得a=-1,b=2.以下同方法一. 9.  【解析】因为sin=sin(x+-π)=-sin=-,sin2=sin2-x+=cos2=1-sin2=,所以原式=-+=. 10. [-2,2] 【解析】设点P的坐标为(x,y),由PA=PB,得2=,整理得圆O:x2+y2=4.由题意知,直线x-y+m=0与圆O有公共点,所以≤2,所以-2≤m≤2.故实数m的取值范围是[-2,2]. 11.  【解析】根据题意,以BC所在的直线为x轴、AD所在的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,则B(-3,0),E(1,2),所以直线BE的方程为y=(x+3),且点P的坐标为(0,),所以=,=,所以·=. (第12题) 12.  【解析】在曲线y=x2上点A(x1,y1)处的切线方程为y=2x1x-,在曲线y=x3上点B(x2,y2)处的切线方程为y=3x-2.由题意知2x1=3,=2,则=,所以=. 13. (1) 在△ABC中,由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得=-, 即cos C=-. (3分) 因为00,则点D的坐标为(1,),点E的坐标为. (第12题) 由·=·(1-x,)=4--=1,得x=2, 所以·=(-1,)·(0,)=3. 方法二:由·=+·(-)=4-||-||2=1,得||=2,所以·=(-)·=-·+=3. 13. (1) 如图,连接AC,交BD于点O,连接OE. 因为底面ABCD是平行四边形, 所以OA=OC. (2分) 因为E为侧棱PA的中点, 所以OE∥PC. (4分) 又因为PC?平面BDE,OE?平面BDE,所以PC∥平面BDE. (6分) ) (2) 因为E为PA的中点,PD=AD, 所以PA⊥DE. (8分) 又因为PC⊥PA,OE∥PC, 所以PA⊥OE. 因为OE?平面BDE,DE?平面BDE,OE∩DE=E, 所以PA⊥平面BDE. (12分) 又因为PA?平面PAB, 所以平面BDE⊥平面PAB. (14分) 14.解:(1)由题意,体积V=r2h,得h==. y=2rh×m+2r2×n=2 (+nr2). …………………………………………………4分 因为h≥4r,即≥4r,所以r≤3,即所求函数定义域为(0,3]. …………………6分 (2)令f(r)=+nr2,则f'(r)=-+2nr. 由f'(r)=0,解得r=3. ①若<1,当n>2m时,3∈(0,3],由 R (0,3) 3 (3,3] f'(r) - 0 + f(r) 减 增 得,当r=3时,f(r)有最小值,此时易拉罐制造费用最低. …………10分 ②若≥1,即n≤2m时,由f'(r)≤0知f(r)在(0,3]上单调递减, 当r=3时,f(r)有最小值,此时易拉罐制造费用最低. ……………………………14 27

  • ID:3-6808793 导数各类题型方法总结(绝对经典)(1)

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    导数及其应用 导数的概念 1..已知的值是( ) A. B. 2 C. D. -2 变式1:( ) A.-1 B.-2 C.-3 D.1 变式2: ( ) A. B. C. D. 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); (请同学们参看2010省统测2) 例1:设函数在区间D上的导数为,在区间D上的导数为,若在区间D上,恒成立,则称函数在区间D上为“凸函数”,已知实数m是常数, (1)若在区间上为“凸函数”,求m的取值范围; (2)若对满足的任何一个实数,函数在区间上都为“凸函数”,求的最大值. 解:由函数 得 (1) 在区间上为“凸函数”, 则 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于 解法二:分离变量法: ∵ 当时, 恒成立, 当时, 恒成立 等价于的最大值()恒成立, 而()是增函数,则 (2)∵当时在区间上都为“凸函数” 则等价于当时 恒成立 变更主元法 再等价于在恒成立(视为关于m的一次函数最值问题) 例2:设函数 (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若对任意的不等式恒成立,求a的取值范围. (二次函数区间最值的例子) 解:(Ⅰ) 令得的单调递增区间为(a,3a) 令得的单调递减区间为(-,a)和(3a,+) ∴当x=a时,极小值= 当x=3a时,极大值=b. (Ⅱ)由||≤a,得:对任意的恒成立① 则等价于这个二次函数 的对称轴 (放缩法) 即定义域在对称轴的右边,这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。 上是增函数. (9分) ∴ 于是,对任意,不等式①恒成立,等价于 又∴ 点评:重视二次函数区间最值求法:对称轴(重视单调区间)与定义域的关系 第三种:构造函数求最值 题型特征:恒成立恒成立;从而转化为第一、二种题型 例3;已知函数图象上一点处的切线斜率为, (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)当时,求的值域; (Ⅲ)当时,不等式恒成立,求实数t的取值范围。 解:(Ⅰ)∴, 解得 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递减 又 ∴的值域是 (Ⅲ)令 思路1:要使恒成立,只需,即分离变量 思路2:二次函数区间最值 二、题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法1:转化为在给定区间上恒成立, 回归基础题型 解法2:利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集; 做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”,要弄清楚两句话的区别:前者是后者的子集 例4:已知,函数. (Ⅰ)如果函数是偶函数,求的极大值和极小值; (Ⅱ)如果函数是上的单调函数,求的取值范围. 解:. (Ⅰ)∵ 是偶函数,∴ . 此时,, 令,解得:. 列表如下: (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) + 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 可知:的极大值为, 的极小值为. (Ⅱ)∵函数是上的单调函数, ∴,在给定区间R上恒成立判别式法 则 解得:. 综上,的取值范围是. 例5、已知函数 (I)求的单调区间; (II)若在[0,1]上单调递增,求a的取值范围。子集思想 (I) 1、 当且仅当时取“=”号,单调递增。 2、 单调增区间: 单调增区间: (II)当 则是上述增区间的子集: 1、时,单调递增 符合题意 2、, 综上,a的取值范围是[0,1]。 三、题型二:根的个数问题 题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题 解题步骤 第一步:画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”; 第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系; 第三步:解不等式(组)即可; 例6、已知函数,,且在区间上为增函数. 求实数的取值范围; 若函数与的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围. 解:(1)由题意 ∵在区间上为增函数, ∴在区间上恒成立(分离变量法) 即恒成立,又,∴,故∴的取值范围为 (2)设, 令得或由(1)知, ①当时,,在R上递增,显然不合题意… ②当时,,随的变化情况如下表: — ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由于,欲使与的图象有三个不同的交点,即方程有三个不同的实根,故需,即 ∴,解得 综上,所求的取值范围为 根的个数知道,部分根可求或已知。 例7、已知函数 (1)若是的极值点且的图像过原点,求的极值; (2)若,在(1)的条件下,是否存在实数,使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点?若存在,求出实数的取值范围;否则说明理由。高1考1资1源2网 解:(1)∵的图像过原点,则 , 又∵是的极值点,则 (2)设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点, 等价于有含的三个根,即: 整理得: 即:恒有含的三个不等实根 (计算难点来了:)有含的根, 则必可分解为,故用添项配凑法因式分解, 十字相乘法分解: 恒有含的三个不等实根 等价于有两个不等于-1的不等实根。 题2:切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数 例7、已知函数在点处取得极小值-4,使其导数的的取值范围为,求:(1)的解析式;(2)若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围. (1)由题意得: ∴在上;在上;在上 因此在处取得极小值 ∴①,②,③ 由①②③联立得:,∴ (2)设切点Q, 过 令, 求得:,方程有三个根。 需: 故:;因此所求实数的范围为: 题3:已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法:根分布或判别式法 例8、 解:函数的定义域为(Ⅰ)当m=4时,f (x)= x3-x2+10x, =x2-7x+10,令 , 解得或. 令 , 解得 可知函数f(x)的单调递增区间为和(5,+∞),单调递减区间为. (Ⅱ)=x2-(m+3)x+m+6, 要使函数y=f (x)在(1,+∞)有两个极值点,=x2-(m+3)x+m+6=0的根在(1,+∞) 根分布问题: 则, 解得m>3 例9、已知函数,(1)求的单调区间;(2)令=x4+f(x)(x∈R)有且仅有3个极值点,求a的取值范围. 解:(1) 当时,令解得,令解得, 所以的递增区间为,递减区间为. 当时,同理可得的递增区间为,递减区间为. (2)有且仅有3个极值点 =0有3个根,则或, 方程有两个非零实根,所以 或 而当或时可证函数有且仅有3个极值点 其它例题: 1、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在上的函数在区间上的最大值是5,最小值是-11. (Ⅰ)求函数的解析式; (Ⅱ)若时,恒成立,求实数的取值范围. 解:(Ⅰ) 令=0,得 因为,所以可得下表: 0 + 0 - ↗ 极大 ↘ 因此必为最大值,∴因此, , 即,∴,∴ (Ⅱ)∵,∴等价于, 令,则问题就是在上恒成立时,求实数的取值范围, 为此只需,即, 解得,所以所求实数的取值范围是[0,1]. 2、(根分布与线性规划例子) (1)已知函数 (Ⅰ) 若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行, 求的解析式; (Ⅱ) 当在取得极大值且在取得极小值时, 设点所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程. 解: (Ⅰ). 由, 函数在时有极值 , ∴ ∵ ∴ 又∵ 在处的切线与直线平行, ∴ 故 ∴ ……………………. 7分 (Ⅱ) 解法一: 由 及在取得极大值且在取得极小值, ∴ 即 令, 则 ∴ ∴ 故点所在平面区域S为如图△ABC, 易得, , , , , 同时DE为△ABC的中位线, ∴ 所求一条直线L的方程为: 另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分, 设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G, 则 , 由 得点F的横坐标为: 由 得点G的横坐标为: ∴ 即 解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为: 综上,所求直线方程为: 或 .…………….………….12分 (Ⅱ) 解法二: 由 及在取得极大值且在取得极小值, ∴ 即 令, 则 ∴ ∴ 故点所在平面区域S为如图△ABC, 易得, , , , , 同时DE为△ABC的中位线, ∴所求一条直线L的方程为: 另一种情况由于直线BO方程为: , 设直线BO与AC交于H , 由 得直线L与AC交点为: ∵ , , ∴ 所求直线方程为: 或 3、(根的个数问题)已知函数的图象如图所示。 (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若函数的图象在点处的切线方程为,求函数f ( x )的解析式; (Ⅲ)若方程有三个不同的根,求实数a的取值范围。 解:由题知: (Ⅰ)由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 ),且= 0 得 (Ⅱ)依题意 = – 3 且f ( 2 ) = 5 解得a = 1 , b = – 6 所以f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3 (Ⅲ)依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a>0 ) = 3ax2 + 2bx – 3a – 2b 由= 0b = – 9a ① 若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根,当且仅当 满足f ( 5 )<8a<f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3<8a<7a + 3<a<3 - 所以 当<a<3时,方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。………… 12分 4、(根的个数问题)已知函数 (1)若函数在处取得极值,且,求的值及的单调区间; (2)若,讨论曲线与的交点个数. 解:(1) ………………………………………………………………………2分 令得 令得 ∴的单调递增区间为,,单调递减区间为…………5分 (2)由题得 即 令……………………6分 令得或……………………………………………7分 当即时 此时,,,有一个交点;…………………………9分 当即时, + — , ∴当即时,有一个交点; 当即时,有两个交点;   当时,,有一个交点.………………………13分 综上可知,当或时,有一个交点; 当时,有两个交点.…………………………………14分 5、(简单切线问题)已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为,函数. (Ⅰ) 若函数在处有极值,求的解析式; (Ⅱ) 若函数在区间上为增函数,且在区间上都成立,求实数的取值范围. 函数中任意性和存在性问题探究 高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点,下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究 一、相关结论: 结论1:;【如图一】 结论2:;【如图二】 结论3:;【如图三】 结论4:;【如图四】 结论5:的值域和的值域交集不为空;【如图五】 【例题1】:已知两个函数; 若对,都有成立,求实数的取值范围; 若,使得成立,求实数的取值范围; 若对,都有成立,求实数的取值范围; 解:(1)设,(1)中的问题可转化为:时,恒成立,即。 ; 当变化时,的变化情况列表如下: -3 (-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3 (x) + 0 - 0 + h(x) k-45 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 k-9 因为,所以,由上表可知,故k-45≥0,得k≥45,即k∈[45,+∞). 小结:①对于闭区间I,不等式f(x)k对x∈I时恒成立[f(x)]min>k, x∈I. ②此题常见的错误解法:由[f(x)]max≤[g(x)]min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]max≤[g(x)]min”只是原题的充分不必要条件,不是充要条件,即不等价. (2)根据题意可知,(2)中的问题等价于h(x)= g(x)-f(x) ≥0在x∈[-3,3]时有解,故[h(x)]max≥0. 由(1)可知[h(x)]max= k+7,因此k+7≥0,即k∈[7,+∞). (3)根据题意可知,(3)中的问题等价于[f(x)]max≤[g(x)]min,x∈[-3,3]. 由二次函数的图像和性质可得, x∈[-3,3]时, [f(x)]max=120-k. 仿照(1),利用导数的方法可求得x∈[-3,3]时, [g(x)]min=-21. 由120-k≥-21得k≥141,即k∈[141,+∞). 说明:这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量. 从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“x”恒成立,还是“x”使之成立,同时还要看清不等式两边是同一个变量,还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜.. 二、相关类型题:  〈一〉、型;   形如型不等式,是恒成立问题中最基本的类型,它的理论基础是“在上恒成立,则在x∈D上恒成立,则”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.    例1 :已知二次函数,若时,恒有,求实数a的取值范围.   解:,∴;即;   当时,不等式显然成立,  ∴a∈R.   当时,由得:,而   . ∴.  又∵,∴,综上得a的范围是。   〈二〉、型   例2 已知函数,若对,都有成立,则的最小值为____.   解 ∵对任意x∈R,不等式恒成立,   ∴分别是的最小值和最大值.   对于函数,取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π,即半个周期.   又函数的周期为4,∴的最小值为2.   〈三〉、.型   例3: (2005湖北)在这四个函数中,当时,使恒成立的函数的个数是(  )    A.0      B.1      C.2      D.3   解:本题实质就是考察函数的凸凹性,即满足条件的函数,应是凸函数的性质,画草图即知符合题意;   〈四〉、.型   例4 已知函数定义域为,,若,时,都有,若对所有,恒成立,求实数取值范围.   解:任取,则,由已知,又,∴f,即在上为增函数.   ∵,∴,恒有;   ∴要使对所有,恒成立,即要恒成立,   故恒成立,令,只须且,   解得或或。   评注: 形如不等式或恒成立,实际上是函数的单调性的另一种表现形式,在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.   〈五〉、.型:   例5: 已知,,若当时,)恒成立,求实数t的取值范围.   解:在恒成立,即在恒成立在上的最大值小于或等于零.   令,,∵   ∴,即在[0,1]上单调递减,F(0)是最大值.   ∴,即。   〈六〉、型   例6:已知函数,若对任意,都有,求的范围.   解:因为对任意的,都有成立,   ∴,∵,令得x>3或x<-1;得;∴在为增函数,在为减函数.   ∵,∴.∴,∴。   〈七〉、(为常数)型; 例7 :已知函数,则对任意()都有 恒成立,当且仅当=____,=____时取等号.   解:因为恒成立,   由,易求得,,∴。   例8 :已知函数满足:(1)定义域为;(2)方程至少有两个实根和;(3)过图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于1.   (1)证明|;   (2)证明:对任意,都有.   证明 (1)略;   (2)由条件(2)知,   不妨设,由(3)知, 又∵ ;∴ 〈八〉、型   例9: 已知函数,对于时总有成立,求实数的范围.   解 由,得,   当时,,∵, ∴,  ∴   评注 由导数的几何意义知道,函数图像上任意两点连线的斜率的取值范围,就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范围,利用这个结论,可以解决形如|或(m>0)型的不等式恒成立问题. 考前寄语:①先易后难,先熟后生;②一慢一快:审题要慢,做题要快;③不能小题难做,小题大做,而要小题小做,小题巧做;④我易人易我不大意,我难人难我不畏难;⑤考试不怕题不会,就怕会题做不对;⑥基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分;⑦对数学解题有困难的考生的建议:立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略. -2 2 3a a a 3a a-1 -1 -1 1 PAGE 1

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    2 高中数学知识归纳汇总 目录 第一部分 集合 ................................................................................................................... 3 第二部分 函数与导数 ......................................................................................................... 4 第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形 ............................................................. 8 第四部分 立体几何 ......................................................................................................... 10 第五部分 直线与圆 ......................................................................................................... 12 第六部分 圆锥曲线 ......................................................................................................... 14 第七部分 平面向量 ....................................................................................................... 16 第八部分 数列 ............................................................................................................... 17 第九部分 不等式 ............................................................................................................... 19 第十部分 复数 ................................................................................................................. 20 第十一部分 概率 ............................................................................................................. 21 第十二部分 统计与统计案例 ........................................................................................... 22 第十三部分 算法初步 ....................................................................................................... 23 第十四部分 常用逻辑用语与推理证明 ........................................................................... 24 第十五部分 推理与证明 ................................................................................................... 25 第十六部分 理科选修部分 ............................................................................................. 26 3 第一部分 集合 1.N,Z,Q,R 分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集; 2.交集, }.{ BxAxxBA ??? 且? 并集, }.{ BxAxxBA ??? 或? 符号区分; 3.(1)含 n 个元素的集合的子集数为 2n,非空子集数为 2n-1;真子集数为 2n-1;非 空真子集的数为 2n-2; (2) ;BBAABABA ????? ?? 注意:讨论的时候不要遗忘了 ??A 的情 况。 (3) );()()();()()( BCACBACBCACBAC IIIIII ???? ?? 4.? 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 4 第二部分 函数与导数 1.定义域:①抽象函数;已知 [k(x)]f 定义域,求 [g(x)]f 定义域, (x)k 与 (x)g 值 域相同。(具体可以参考本节第 4点复合函数定义域求法)。 ②具体函数。分母不为 0,偶次根号下不为负数, 0a 中 a不为 0, tan? , loga x 中的 x为正数。 2.值域:①一元二次方程配方法 ;②换元法;③分离参数法 ; 3.解析式:①配方法 ;②换元法;③待定系数和;④消去法。 4.复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法: ① 若 f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 f[g(x)]的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 解出; ② 若 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于 x∈[a,b]时,求 g(x)的值 域。 (2)复合函数单调性的判定: ①首先将原函数 )]([ xgfy ? 分解为基本函数:内函数 )(xgu ? 与外函数 )(ufy ? ; ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性; ③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意:外函数 )(ufy ? 的定义域是内函数 )(xgu ? 的值域。 5.函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件....; ⑵ )(xf 是奇函数? 1 )( )( 0)()()()( ?? ? ???????? xf xf xfxfxfxf ; ⑶ )(xf 是偶函数 1 )( )( 0)()()()( ? ? ???????? xf xf xfxfxfxf ; ⑷奇函数 )(xf 在原点有定义,则 0)0( ?f ; ⑸在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性; 6.函数的单调性 ⑴单调性的定义: ① )(xf 在 区 间 M 上 是 增 函 数 ,, 21 Mxx ??? 当 21 xx ? 时 有 5 0)()( 21 ?? xfxf 0)]()([)( 2121 ????? xfxfxx 0 )()( 21 21 ? ? ? ? xx xfxf ; ② )(xf 在 区 间 M 上 是 减 函 数 ,, 21 Mxx ??? 当 21 xx ? 时 有 0)()( 21 ?? xfxf 0)]()([)( 2121 ????? xfxfxx 0 )()( 21 21 ? ? ? ? xx xfxf ; ⑵单调性的判定 ① 定义法:一般要将式子 )()( 21 xfxf ? 化为几个因式作积或作商的形式,以利于 判断符号; ② 导数法(见导数部分); ③ 复合函数法; ④ 图像法。 注:证明单调性主要用定义法和导数法。 7.函数的周期性 (1)周期性的定义: 对定义域内的任意 x ,若有 )()( xfTxf ?? (其中T 为非零常数),则称函数 )(xf 为周期函数,T 为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指 最小正周期。 (2)三角函数的周期 ① ?2:sin ?? Txy ;② ?2:cos ?? Txy ;③ ??? Txy :tan ; ④ || 2 :)cos(),sin( ? ? ???? ????? TxAyxAy ;⑤ || :tan ? ? ? ?? Txy ; ⑶ 与周期有关的结论 ① )()( axfaxf ??? 或 )0)(()2( ??? axfaxf ? )(xf 的周期为 a2 ; ② )(xfy ? 的图象关于点 )0,(),0,( ba 中心对称? )(xf 周期为 2 ba ? ; ③ )(xfy ? 的图象关于直线 bxax ?? , 轴对称? )(xf 周期为 2 ba ? ; ④ )(xfy ? 的图象关于点 )0,(a 中心对称,直线 bx ? 轴对称? )(xf 周期为 6 4 ba ? ; 8.基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数: ?xy ? ( )R?? ;⑵指数函数: )1,0( ??? aaay x ; ⑶对数函数: )1,0(log ??? aaxy a ;⑷正弦函数: xy sin? ; ⑸余弦函数: xy cos? ;(6)正切函数: xy tan? ;⑺一元二次函数: 02 ??? cbxax ; ⑻其它常用函数: ① 正比例函数: )0( ?? kkxy ;②反比例函数: )0( ?? k x k y ;特别的 x y 1 ? ② 函数 )0( ??? a x a xy ; 9.二次函数: ⑴解析式: ①一般式: cbxaxxf ??? 2)( ;②顶点式: khxaxf ??? 2)()( , ),( kh 为顶点; ③零点式: ))(()( 21 xxxxaxf ??? 。 ⑵二次函数问题解决需考虑的因素: ①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。 ⑶二次函数问题解决方法:①数形结合;②分类讨论。 10.函数图象: ⑴图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法 ⑵图象变换: ① 平移变换:ⅰ )()( axfyxfy ???? , )0( ?a ———左“+”右“-”; ⅱ )0(,)()( ????? kkxfyxfy ———上“+”下“-”; ② 伸缩变换: ⅰ )()( xfyxfy ???? , ( )0?? ———纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 ? 1 倍; ⅱ )()( xAfyxfy ??? , ( )0?A ———横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 A倍; ③ 对称变换:ⅰ )(xfy ? ??? )0,0( )( xfy ??? ;ⅱ )(xfy ? ??? ?0y )(xfy ?? ; 7 ⅲ )(xfy ? ??? ?0x )( xfy ?? ; ④ 翻转变换: ⅰ |)(|)( xfyxfy ??? ———右不动,右向左翻( )(xf 在 y 左侧图象去掉); ⅱ |)(|)( xfyxfy ??? ———上不动,下向上翻(| )(xf |在 x 下面无图象); 11.函数图象(曲线)对称性的证明 (1)证明函数 )(xfy ? 图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴) 的对称点仍在图像上; (2)证明函数 )(xfy ? 与 )(xgy ? 图象的对称性,即证明 )(xfy ? 图象上任意 点关于对称中心(对称轴)的对称点在 )(xgy ? 的图象上,反之亦然; (注意上述两点的区别!) 注: ①曲线 C1:f(x,y)=0 关于点(a,b)的对称曲线 C2 方程为:f(2a-x,2b-y)=0; ②曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=a 的对称曲线 C2方程为:f(2a-x, y)=0; ③曲线 C1:f(x,y)=0,关于 y=x+a(或 y=-x+a)的对称曲线 C2的方程为 f(y- a,x+a)=0(或 f(-y+a,-x+a)=0); ④f(a+x)=f(b-x) (x∈R) ??y=f(x)图像关于直线 x= 2 ba ? 对称; 特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R) ??y=f(x)图像关于直线 x=a 对称; ⑤函数 y=f(x-a)与 y=f(b-x)的图像关于直线 x= 2 ba ? 对称; 12.函数零点的求法: ⑴直接法(求 0)( ?xf 的根);⑵图象法;. 13.导数 ⑴导数定义:f(x)在点 x0处的导数记作 x xfxxf xfy x xx ? ??? ???? ?? ? )()( lim)( 00 0 00 ; ⑵常见函数的导数公式: ① 'C 0? ;② 1')( ?? nn nxx ;③ xx cos)(sin ' ? ; ④ xx sin)(cos ' ?? ;⑤ aaa xx ln)( ' ? ;⑥ xx ee ?')( ;⑦ ax xa ln 1 )(log ' ? ; ⑧ x x 1 )(ln ' ? 。 8 ⑶导数的四则运算法则: ;)(;)(;)( 2v vuvu v u vuvuuvvuvu ??? ????????????? ⑷(理科)复合函数的导数: ;xux uyy ????? ⑸导数的应用: ①利用导数求切线:注意:ⅰ)所给点是切点吗?ⅱ)所求的是“在”还是“过” 该点的切线? ②利用导数判断函数单调性: ⅰ )(0)( xfxf ??? 是增函数;ⅱ )(0)( xfxf ??? 为减函数; ⅲ )(0)( xfxf ??? 为常数; ③利用导数求极值:ⅰ求导数 )(xf ? ;ⅱ求方程 0)( ?? xf 的根;ⅲ列表得极值。 ④利用导数最大值与最小值:ⅰ求的极值;ⅱ求区间端点值(如果有);ⅲ得最值。 14.(理科)定积分 ⑴定积分的定义: )(lim)( 1 i n i b a n f n ab dxxf ??? ? ?? ? ? ⑵定积分的性质:① ? ?? b a b a dxxfkdxxkf )()( ( k 常数); ② ?? ? ??? b a b a b a dxxfdxxfdxxfxf )()()]()([ 2121 ; ③ ?? ? ?? b c b a c a dxxfdxxfdxxf )()()( (其中 )bca ?? 。 ⑶微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式):? ??? b a b a aFbFxFdxxf )()(|)()( ⑷定积分的应用:①求曲边梯形的面积: dxxgxfS b a |)()(|? ?? ; ③ 求变速直线运动的路程: ?? b a dttvS )( ;③求变力做功: ?? b a dxxFW )( 。 第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形 9 1.⑴角度制与弧度制的互化:? 弧度 ?180? , 180 1 ? ?? 弧度,1弧度 ?) 180 ( ? ? '1857?? ⑵弧长公式: Rl ?? ;扇形面积公式: RlRS 2 1 2 1 2 ?? ? 。 2.三角函数定义:角? 中边上任意一点P 为 ),( yx ,设 rOP ?|| 则: ,cos,sin r x r y ?? ?? x y ??tan 3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三两切,四余弦; 4.诱导公式记忆规律:“奇变偶不变,符号看象限”; 5.⑴ )sin( ?? ?? xAy 对称轴: ? ? ? ? ?? ? 2 k x ;对称中心: ))(0,( Zk k ? ? ? ?? ; ⑵ )cos( ?? ?? xAy 对称轴: ? ?? ? ? k x ;对称中心: ))(0, 2( Zk k ? ?? ? ? ? ? ; 6.同角三角函数的基本关系: x x x xx tan cos sin ;1cossin 22 ??? ; 7. 三角函数的单调区间 xy s i n? 的递增区间是 )]( 2 2, 2 2[ Zkkk ??? ? ? ? ? ,递减区间是 )]( 2 3 2, 2 2[ Zkkk ??? ? ? ? ? ; xy cos? 的递增区间是 )](2,2[ Zkkk ?? ??? ,递减区间是 )](2,2[ Zkkk ????? xy tan? 的递增区间是 ) 2 , 2 ( ? ? ? ? ?? kk )( Zk? xy cot? 的递减区间是 ))(,( Zkkk ????? 8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:① ;sincoscossin)sin( ?????? ??? ② ;sinsincoscos)cos( ?????? ??? ③ ?? ?? ?? tantan1 tantan )tan( ? ? ?? 。.二 9. 倍角公式:① ??? cossin22sin ? ; ② ????? 2222 sin211cos2sincos2cos ?????? ;③ ? ? ? 2tan1 tan2 2tan ? ? 。 10 10.正、余弦定理: ⑴正弦定理: R C c B b A a 2 sinsinsin ??? ( R2 是 ABC? 外接圆直径 ) 注:① CBAcba sin:sin:sin:: ? ;② CRcBRbARa sin2,sin2,sin2 ??? ; ③ CBA cba C c B b A a sinsinsinsinsinsin ?? ?? ??? 。 ⑵余弦定理: Abccba cos2222 ??? 等三个;注: bc acb A 2 cos 222 ?? ? 等三个。 11。几个公式: ⑴三角形面积公式: CabahS ABC sin 2 1 2 1 ??? ; ⑵内切圆半径 r= cba S ABC ?? ?2 ;外接圆直径 2R= ; sinsinsin C c B b A a ?? 11.已知 Aba ,, 时三角形解的个数的判定: 第四部分 立体几何 1.三视图与直观图:注:原图形与直观图面积之比为 1:22 。 A b a C h 其中 h=bsinA,⑴A 为锐角时:①ab 时, 一解(锐角)。 11 2.表(侧)面积与体积公式: ⑴柱体:①表面积:S=S 侧+2S 底;②侧面积:S 侧= rh?2 ;③体积:V=S 底h ⑵锥体:①表面积:S=S 侧+S 底;②侧面积:S 侧= rl? ;③体积:V= 3 1 S 底h: ⑶台体:①表面积:S=S 侧+S 上底S 下底;②侧面积:S 侧= lrr )( '?? ; ③体积:V= 3 1 (S+ '' SSS ? )h; ⑷球体:①表面积:S= 24 R? ;②体积:V= 3 3 4 R? 。 3.位置关系的证明(主要方法): ⑴直线与直线平行:①公理 4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。 ⑵直线与平面平行:①线面平行的判定定理;②面面平行?线面平行。 ⑶平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面 平行。 ⑷直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。 ⑸平面与平面垂直:①定义---两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。 注:理科还可用向量法。 4.求角:(步骤-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角) ⑴异面直线所成角的求法: ① 平移法:平移直线,构造三角形; ② 补形法:补成正方体、平行六面体、长方体等,发现两条异面直线间的关系。 注:理科还可用向量法,转化为两直线方向向量的夹角。 ⑵直线与平面所成的角: ①直接法(利用线面角定义);②先求斜线上的点到平面距离 h,与斜线段长度作 比,得 sin? 。 注:理科还可用向量法,转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。 5.结论: ⑴ 长方体从一个顶点出发地三条棱长分别为 a,b,c,则对角线长为 222 cba ?? , 全面积为 2ab+2bc+2ca; 长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 ,,, ??? 则: cos 2? +cos2? +cos2? =1;sin2? +sin2 ? +sin2? =2 ⑵ 正方体的棱长为 a,则对角线长为 a3 ,全面积为 6 2a ,体积为 3a ⑶ 长方体或正方体的外接球直径 2R 等于长方体或正方体的对角线长; (4) 正四面体的性质:设棱长为a ,则正四面体的: A 12 ① 高: ah 3 6 ? ;②对棱间距离: a 2 2 ; ② 内切球半径: a 12 6 ;外接球半径: a 4 6 ; 第五部分 直线与圆 1.直线方程 ⑴点斜式: )( ?? xxkyy ??? ;⑵斜截式: bkxy ?? ;⑶截距式: 1?? b y a x ; 13 ⑷两点式: 12 1 12 1 xx xx yy yy ? ? ? ? ? ;⑸一般式: 0??? CByAx ,(A,B 不全为 0)。 (直线的方向向量:( ), AB ? ,法向量( ), BA 2.求解线性规划问题的步骤是: (1)列约束条件;(2)作可行域,写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。 3.两条直线的位置关系: 4.直线系: 5.几个公式 ⑴设 A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),⊿ABC 的重心 G:( 3 , 3 321321 yyyxxx ???? ); ⑵点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离: 22 00 BA CByAx d ? ?? ? ; ⑶两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离是 22 21 BA CC d ? ? ? ; 6.圆的方程: 直线方程 bkxy ?? 0??? CByAx 平行直线系 mkxy ?? 0??? mByAx 垂直直线系 mx k y ??? 1 0??? mAyBx 相交直线系 0)( 222111 ?????? CyBxACyBxA ? 直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注 222 111 : : bxkyl bxkyl ?? ?? 21,21 bbkk ?? 121 ??? kk 21 , ll 有斜率 0: 1111 ??? CyBxAl ,1221 BABA ? 且 02121 ?? BBAA 不可写成 0: 2222 ??? CyBxAl 1221 CBCB ? (验证) 分式 14 ⑴标准方程:① 222 )()( rbyax ???? ;② 222 ryx ?? 。 ⑵一般方程: 022 ????? FEyDxyx ( )0422 ??? FED 注:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆? A=C≠0 且 B=0 且 D2+E2-4AF>0; 7.圆的方程的求法:⑴待定系数法;⑵几何法;⑶圆系法。 8.圆系: ⑴ )1(,0)( 222 22 111 22 ???????????? ?? FyExDyxFyExDyx ; 注:当 1??? 时表示两圆交线。 ⑵ )1(,0)(22 ?????????? ?? CByAxFEyDxyx 。 9.点、直线与圆的位置关系:(主要掌握几何法) ⑴点与圆的位置关系:(d 表示点到圆心的距离) ① ?? Rd 点在圆上;② ?? Rd 点在圆内;③ ?? Rd 点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系:(d 表示圆心到直线的距离) ① ?? Rd 相切;② ?? Rd 相交;(直线与圆相交所得的弦长 22 drAB ?? ) ③ ?? Rd 相离。 ⑶圆与圆的位置关系:(d 表示圆心距, rR, 表示两圆半径,且 rR ? ) ① ??? rRd 相离;② ??? rRd 外切;③ ????? rRdrR 相交; ④ ??? rRd 内切;⑤ ???? rRd0 内含。 10.与圆有关的结论: ⑴过圆 x2+y2=r2 上的点 M(x0,y0)的切线方程为:x0x+y0y=r 2; 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上的点 M(x0,y0)的切线方程为:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r 2; ⑵以 A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。 第六部分 圆锥曲线 (此部分重点内容为三种圆锥曲线的方程、几何性质,下面所列可能是你 15 会疏忽的一些内容) 1.定义:⑴椭圆: |)|2(,2|||| 2121 FFaaMFMF ??? ; ⑵双曲线: |)|2(,2|||||| 2121 FFaaMFMF ??? ; ⑶抛物线: dMF ? 2.结论 ⑴焦半径:①椭圆: 0201 , exaPFexaPF ???? (e 为离心率); (左“+”右 “-”); ②抛物线 pxy 22 ? : 2 0 p xPF ?? ( 0?p ) ⑵弦长公式: ]4))[(1(1 21 2 21 2 12 2 xxxxkxxkAB ???????? ]4)[() 1 1( 1 1 21 2 212122 yyyy k yy k ????????? ; 注:(Ⅰ)抛物线焦点弦长: AB =x1+x2+p (Ⅱ)通径(最短弦):①椭圆、双曲线: a b 22 ;②抛物线:2p。 ⑶ 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为: 122 ?? nymx ( nm, 同时大于 0 时表示椭圆, 0?mn 时表示双曲线); (4) 双曲线中的结论: ①双曲线 1 2 2 2 2 ?? b y a x (a>0,b>0)的渐近线: 0 2 2 2 2 ?? b y a x ; ②共渐进线 x a b y ?? 的双曲线标准方程为 ??( 2 2 2 2 ?? b y a x 为参数,? ≠0); ③双曲线为等轴双曲线? ?? 2e 渐近线为 xy ?? ?渐近线互相垂直; 3.直线与圆锥曲线问题解法: ⑴直接法(通法):联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。 注意以下问题: ①联立的关于“ x ”还是关于“ y ”的一元二次方程? ②直线斜率不存在时考虑了吗? ③判别式验证了吗? ⑵设而不求(代点相减法或叫点差法):--------处理弦中点问题 16 步骤如下:①设点 A(x1,y1)、B(x2,y2);②作差得 ??? ? ? ? 21 21 xx yy kAB ;③解 决问题。 4.求轨迹的常用方法: (1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式);(3)代入法(相关 点法或转移法);⑷待定系数法;(5)参数法;(6)交轨法。 第七部分 平面向量 ⑴设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: ① a∥b(b≠0)? a=? b ( )R?? ? x1y2-x2y1=0; ② a⊥b(a、b≠0)? a·b=0? x1x2+y1y2=0 . 17 ⑵a·b=|a||b|cos=x2+y1y2; 注:①|a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影;|b|cos叫做 b 在 a 方向上的投 影; ③ a·b 的几何意义:a·b 等于|a|与|b|在 a 方向上的投影|b|cos 的乘积。 ⑶cos= |||| ba ba ? ; (4) 22 222 yxaaaaaa ??????? ⑷三点共线的充要条件 P,A,B三点共线? )1yx( ???? 且OByOAxOP ; 附:(理科)P,A,B,C四点共面? )1zyx( ?????? 且OCzOByOAxOP 。 第八部分 数列 1.定义: ⑴等差数列 *),2(2( 11n1n Nnnaaaddaaa nnnn ???????? ??? 为常数)}{ BnAnsbkna nn ?????? 2 ; 18 ⑵等比数列 N)n2,(n)0(} 1n1-n 2 n 1n n ???????? ? ? aaaqq a a a n { )0k,1q,0q(kqkSn0,( n ???????? 的常数)均为不为qccqa nn ; 2.等差、等比数列性质 等差数列 等比数列 通项公式 dnaan )1(1 ??? 1 1 ?? nn qaa 前 n 项和 d nn na aan S nn 2 )1( 2 )( 1 1 ??? ? ? q qaa q qa Sq naSq n n n n ? ? ? ? ? ?? ?? 1 1 )1( 1.2 ;1.1 1 1 1 时, 时, 性质 ①an=am+ (n-m)d, ①an=amq n-m ; ②m+n=p+q 时 am+an=ap+aq ②m+n=p+q 时 aman=apaq ③ ?,,, 232 kkkkk SSSSS ?? 成 AP ③ ?,,, 232 kkkkk SSSSS ?? 成 GP ④ ?,,, 2mkmkk aaa ?? 成 AP, mdd ?' ④ ?,,, 2mkmkk aaa ?? 成 GP, mqq ?' 3.数列通项的求法: ⑴定义法(利用 AP,GP 的定义);(2)累加法( 型nnn caa ???1 ; (3)公式法: ⑷累乘法( n n n c a a ??1 型);⑸变形构造法( bkaa nn ???1 、 4 11 4 1 11 ????? ? ?? nn nnnn aa aaaa 等类型); 4.前n 项和的求法: (1)倒序相加法;(2)错位相减法。(3)裂项相消法;(4)分组求和法 5.等差数列前 n 项和最值的求法: ⑴(数列思想) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 0 0 0 0 11 n n n n a a a a 或 ;⑵(函数思想)利用二次函数的图象 an= S1 (n=1) Sn-Sn-1 (n≥2) 19 与性质。 第九部分 不等式 1.均值不等式: 22 22 baba ab ? ? ? ? 注意:①一正二定三相等;②变形, 2 ) 2 ( 22 2 babaab ? ? ? ? 。 2.不等式的性质: ⑴ abba ??? ;⑵ cacbba ???? , ; 20 ⑶ cbcaba ????? ; dcba ?? , dbca ???? ; ⑷ bdaccba ???? 0, ; bcaccba ???? 0, ; ,0?? ba bdacdc ???? 0 ; ⑸ )(00 ??????? Nnbaba nn ;(6) ??? 0ba )( ??? Nnba nn 。 4.不等式等证明(主要)方法: ⑴比较法:作差或作比;⑵综合法;⑶分析法。 第十部分 复数 1.概念: ⑴z=a+bi∈R? b=0 (a,b∈R)? z= z ? z2≥0; ⑵z=a+bi 是虚数? b≠0(a,b∈R); ⑶z=a+bi 是纯虚数? a=0 且 b≠0(a,b∈R)? z+ z =0(z≠0)? z2<0; ⑷a+bi=c+di? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R); 2.复数的代数形式及其运算:设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: (1) z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i;⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i; ⑶ z1÷z2 (z2≠0) (方法:分子分母同时乘以分母的共轭复数); 21 3.共轭的性质:⑴ 2121 )( zzzz ??? ;⑵ 2121 zzzz ?? ;⑶ 2 1 2 1 )( z z z z ? ;⑷ zz ? 。 4.模的性质:(1) |||||| 2121 zzzz ? ;(2) || || || 2 1 2 1 z z z z ? ;(3) nn zz |||| ? ; 第十一部分 概率 1.事件的关系: (1)事件 A 与事件 B 互斥:不可能同时发生的两个事件 A 和 B 叫做互斥事件; ﹙2﹚对立事件:两个互斥事件 A、B 必有一个发生,则这两个事件叫做对立事件 2.概率公式: (1) 互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B); (2)对立事件概率公式: )(1)( APAP ?? 22 (3) 古典概型: 基本事件的总数 包含的基本事件的个数A AP ?)( ; (4) 几何概型: 等)区域长度(面积或体积试验的全部结果构成的 积等)的区域长度(面积或体构成事件A AP ?)( = D d ; 第十二部分 统计与统计案例 1.抽样方法 ⑴简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为 N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个 容量为 n 的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。 注:①每个个体被抽到的概率为 N n ; ②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数法。 ⑵系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的 规则,从每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。 23 注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号 l ; ④按预先制定的规则抽取样本。 ⑶分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的 情况,将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。 注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数? N n 2.总体特征数的估计: ⑴样本平均数 ? ? ???????? n i in x n xxx n x 1 21 1 )( 1 ; ⑵样本方差 ])()()[( 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n S n ?????????? 2 1 )( 1 xx n n i i ?? ? ? ; ⑶样本标准差 ])()()[( 1 22 2 2 1 xxxxxx n S n ?????????? = 2 1 )( 1 xx n n i i ?? ? ; 3.相关系数(判定两个变量线性相关性): ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? n i n i ii n i ii yyxx yyxx r 1 1 22 1 )()( ))(( 注:⑴ r >0 时,变量 yx, 正相关; r <0 时,变量 yx, 负相关; ⑵ ① || r 越接近于 1,两个变量的线性相关性越强; ② || r 接近于 0时,两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 (3)判断两个变量线性相关性还可以通过画出散点图进行分析 4.独立性检验(分类变量关系): 随机变量 2K 越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。 第十三部分 算法初步 1.程序框图: ⑴图形符号: ① 终端框(起止况);② 输入、输出框;⑥ 连接点。 ③ 处理框(执行框);④ 判断框;⑤ 流程线 ; ⑵程序框图分类: ①顺序结构: ②条件结构: ③循环结构: 24 r=0? 否 求 n 除以 i 的余数 输入 n 是 n 不是质素 n 是质数 i=i+1 i=2 i? n或 r=0?否 是 第十四部分 常用逻辑用语与推理证明 1. 四种命题: ⑴原命题:若 p 则 q; ⑵逆命题:若 q 则 p; ⑶否命题:若?p 则?q;⑷逆否命题:若?q 则?p 注:原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。 2.充要条件的判断: (1)定义法----正、反方向推理; (2)利用集合间的包含关系:例如:若 BA? ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件; 3.逻辑连接词: ⑴且(and) :命题形式 p? q; p q p? q p? q ?p 25 ⑵或(or):命题形式 p? q; 真 真 真 真 假 ⑶非(not):命题形式?p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 4.全称量词与存在量词 ⑴ 全称量词-------“所有的”、“任意一个”等,用?表示; 全称命题 p: )(, xpMx?? ; 全称命题 p 的否定?p: )(, xpMx ??? 。 ⑵ 存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等,用?表示; 特称命题 p: )(, xpMx?? ; 特称命题 p 的否定?p: )(, xpMx ??? ; 第十五部分 推理与证明 数学归纳法(仅限理科) 一般的证明一个与正整数n 有关的一个命题,可按以下步骤进行: ⑴证明当n 取第一个值 0n 是命题成立; ⑵假设当 ),( 0 ???? Nknkkn 命题成立,证明当 1?? kn 时命题也成立。 那么由⑴⑵就可以判定命题对从 0n 开始所有的正整数都成立。 这种证明方法叫数学归纳法。 注:①数学归纳法的两个步骤缺一不可,用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行; 26 ④ 0n 的取值视题目而定,可能是 1,也可能是 2 等。 第十六部分 理科选修部分 1. 排列、组合和二项式定理 ⑴排列数公式: m nA =n(n-1)(n-2)?(n-m+1)= )!( ! mn n ? (m≤n,m、n∈N*),当 m=n 时为全排 列 n nA =n(n-1)(n-2)?3.2.1=n!; ⑵组合数公式: 123)2()1( )1()1( ! ????????? ??????? ?? mmm mnnn m A C m nm n (m≤n), 10 ?? nnn CC ; ⑶组合数性质: m n m n m n mn n m n CCCCC 1 1; ? ?? ??? ; ⑷二项式定理: )()( 1110 ??? ???????? NnbCbaCbaCaCba nnn kknk n n n n n n ?? 27 ①通项: );,...,2,1,0(1 nrbaCT rrnr nr ?? ? ? ②注意二项式系数与系数的区别; ⑸二项式系数的性质: ①与首末两端等距离的二项式系数相等;②若 n 为偶数,中间一项(第 2 n +1 项)二 项式系数最大;若 n 为奇数,中间两项(第 2 1?n 和 2 1?n +1 项)二项式系数最大; ③ ;2;2 13120210 ????????????????????? nnnnn nn nnnn CCCCCCCC (6)求二项展开式各项系数和或奇(偶)数项系数和时,注意运用赋值法。 2. 概率与统计 ⑴随机变量的分布列: ①随机变量分布列的性质:pi≥0,i=1,2,?; p1+p2+?=1; ②离散型随机变量: X x1 X2 ? xn ? P P1 P2 ? Pn ? 期望:EX= x1p1 + x2p2 + ? + xnpn + ? ; 方差:DX= ????????????? nn pEXxpEXxpEXx 2 2 2 21 2 1 )()()( ; 注: DXabaXDbaEXbaXE 2)(;)( ????? ; ③两点分布: X 0 1 期望:EX=p;方差:DX=p(1-p). P 1-p p ① 超几何分布: 一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则 },,min{,,1,0,)( nMmmk C CC kXP n N kn MN k M ???? ? ? ? 其中, NMNn ?? , 。 称分布列 X 0 1 ? m 28 P n N n MNM C CC 00 ?? n N n MNM C CC 11 ?? ? n N mn MN m M C CC ?? 为超几何分布列, 称 X 服从超几何分布。 ⑤二项分布(独立重复试验): 若 X~B(n,p),则 EX=np, DX=np(1- p);注: knkk n ppCkXP ???? )1()( 。 ⑵条件概率:称 )( )( )|( AP ABP ABP ? 为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率。 注:①0? P(B|A)? 1;②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 ⑶独立事件同时发生的概率:P(AB)=P(A)P(B)。 ⑷正态总体的概率密度函数: ,, 2 1 )( 2 2 2 )( Rxexf x ?? ? ? ? ? ?? 式中 ??, 是参数,分别表 示总体的平均数(期望值)与标准差; (6)正态曲线的性质: ①曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交;②曲线是单峰的,关于直线 x=? 对称; ③曲线在 x=? 处达到峰值 ?? 2 1 ;④曲线与 x 轴之间的面积为 1; ② 当? 一定时,曲线随? 质的变化沿 x 轴平移; ③ 当? 一定时,曲线形状由? 确定:? 越大,曲线越“矮胖”,表示总体分布越集 中; ? 越小,曲线越“高瘦”,表示总体分布越分散。 注:P )( ???? ???? x =0.6826;P )22( ???? ???? x =0.9544 P )33( ???? ???? x =0.9974

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  • ID:3-6260834 上海市实验学校2019-2020学年高三上学期数学9月周练二(PDF含答案)

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    上海市实验学校2019年度第一学期 高三数学周测试卷二 20199.11 填空题 1、设全集U=R,集合M={0的解集是空集,则实数k的取值范围是 6、已知x>0,y>0,若不等式 > 恒成立,则实数的最大值为 7、已知函数八x)=m-x-2,m∈R,且(x+2)21的解集A满足[11=A,则实数 m的取值范围B= 8、已知c>0,设p:函数y=c2在R上递减;q:函数八x)=x2-cx的最小值小于-,, 如果“p或q”为真,且“p且q”为假,则实数c的取值范围为 9、若不等式x2+4x+6-a≥0当-3≤x≤1时有解,则实数a的取值范围为 10已知集合4-钟b=21-1x∈R},集合B-b=√=x+2x+3xeR,则集合 ∈且xgB} 11、已知( x2-4x+3xs0 当x∈a+1时不等式八x+a)2J2a-x)恒 x2-2x+3x>0 成立,则实数a的最大值是 12、已知ab=1,a,b∈(01),则1+2的最小值为 1-a1-b 选择题 13、集合A、B各有8个元素,A∩B有6个元素,若集合C满足(4∩BsC(AUB), 则满足条件的集合C共有() (A)32个 (B)16个 (C)8个 (D)4个 14、已知命题甲是“x+20”命题乙是“钟g2x+10”则() (A)甲是乙的充分条件,但不是乙必要条件 (B)甲是乙的必要条件,但不是乙充分条件 (C)甲是乙的充分必要条件 (D)甲既不是乙的充分条件,也不是乙必要条件 1s设4-{xyb=一x},B-{x,b=x+a,若A∩B2,则实数a满足() (A)g|≤32 kl (C)-3≤a≤3 (D)3≤a≤3√2 16、已知函数x),集合M={-1

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  • ID:3-6260824 江苏省太湖高级中学2019-2020学年度第一学期期初考试高二数学试卷(PDF版,无答案)

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    江苏省太湖?级中学 2019 ? 2020学年度第?学期期初考试 ??数学 2019.09.10 ?. 选择题 本?题共 8?题 每题 5分 共 40分 1. 若直线过点 A(1,2),B(3,6)则该直线的斜率为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 在△ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 b = 2asinB,则 A = ( ) A. 30? B. 60? C. 60?或120? D. 30?或150? 3. 若直线 x+2ay = 2a+2与直线 ax+2y = 0平行,则实数 a的值是 ( ) A. 0 B. 1 C. ?1 D. ±1 4. 连续掷两次骰子,分别得到的点数作为点 P的坐标,点 P落在圆 x2 + y2 = 15内的概率为 ( ) A. 1 9 B. 2 9 C. 5 9 D. 7 9 5. 点 P(?1,2)到直线 kx? y? k = 0(k ∈ R)的距离最大值为 ( ) A. 2 √ 2 B. √ 2 C. 2 D. 3 √ 2 6. 空间中三条不重合的直线 a,b,c,两个不重合的平面 α,β,下列判断正确的是 ( ) A.若 a α,b β,则 a b B.若 b⊥a,c⊥a,则 b c C.若 a⊥α,a β,则 α⊥β D.若 a ? α,b ? β,α β,则 a b 7. 在△ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 a b = cosB cosA ,则△ABC的形状是 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 8. 在平面直角坐标系中 xOy,圆C1:x2 + y2 = 4,圆C2:x2 + y2 = 6,点 M(1,0),动点 A,B分别在圆C1 和圆C2 上,且 MA⊥MB,N 为线段 AB的中点,则 MN 的最小值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ?. 填空题 本?题共 8?题 每题 5分 共 40分 9. 若二元二次方程 x2 + y2 +2mx?4y+2m2 +3 = 0表示圆,则实数 m的取值 范围是 . 10. 若一个正四棱锥的底面边长为 2 √ 3,侧棱长为 √ 7,则该正四棱锥的体积 为 . 11. 随机抽取 100名年龄在 [10,20),[20,30), · · ·,[50,60)年龄段的市民 进行问卷调查,由此得到样本的频率颁布直方图如图所示.从不小于 40岁 的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 12人,则在 [50,60)年龄段抽 取的人数为 . 12. 在数列 {an},a1 = 1,an+1 = 2an 2+an (n ∈ N?),则 a2019 = . 年龄 频率 组距 10 20 30 40 50 60 0.005 0.015 0.020 0.025 13. 具有线性相关关系的变量 x,y, 已知有一组观测数据 (xi,yi)(i = 1,2, · · ·,8), 其回归直线方程是 y = 1 6 x+a,且 x1 + x2 + x3 + · · ·+ x = 3,y1 + y2 + y+ · · ·+ y8 = 6,那么实数 a的值是 . 14. 在△ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 A = π 3 ,a = √ 3,b+ c = 3(1,1),B(?1,?3),x+ y+3 = 0 则 S△ABC = . S 期初考试试卷 第 1页(共 4页) 15. 某人在高出海平面 h米的山上 P处,测得海平面上航标 A在正东方向,俯角为 30?,航标 B在南偏东 60?,俯 角 45?,且两个航标间的距离为 200米,则 h = 米. 16. 在平面直角坐标系 xOy中,已知圆O:x2+y2 = 1,圆O1:(x+4)2+y2 = 4,动点 P在直线 l:x?2 √ 2y+b= 0(b< 0) 上,过 P分别作圆 O,O1的切线,切点分别为 A,B,若满足 PB = 2PA的点 P有且只有一个,则实数 b = . 三. 解答题 本?题共 6?题 共 90分 解答应写出?字说明 证明过程或演算步骤 17. (本小题 10分) 已知圆C过两点 A(1,1),B(?1,?3),且圆心在直线 x+ y+3 = 0上. (1) 求圆C的标准方程; (2) 求过点 B且与圆C相切的直线方程. 18. (本小题 12分) 如图,在四棱锥 E ?ABCD中,平面 EDC⊥平面 ABCD,四边形 ABCD为 矩形,ED⊥EC,点 F,G分别是 EC,AB的中点,求证: (1) 直线 FG 平面ADE; (2) 平面 ADE⊥平面EBC. A B CD E F G S 期初考试试卷 第 2页(共 4页) 19. (本小题 12分) 在△ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知 a?b = ccosB? ccosA. (1) 判断△ABC的形状; (2) 若C = 120?,a = 2,求 c. 20. (本小题 12分) 在等差数列 {an}中,a3 = 10,a17 = 66. (1) 求数列 {an}的通项公式; (2) 若数列 {an}的前 n项和 Sn = 722,求 n. S 期初考试试卷 第 3页(共 4页) 21. (本小题 12分) 如图,在三棱锥 P?ABC中,△PBC为等边角形,点 O为的中点,AC⊥PB, 平面 PBC⊥平面ABC. (1) 求直线 PB和平面 ABC所成的角的大小; (2) 求证:平面 PAC⊥平面PBC; (3) 已知 E为 PO的中点,F是 AB上的点,AF = λAB. 若 EF 平面PAC, 求实数 λ 的值. A B C E F O P 22. (本小题 12分) 在平面直角坐标系 xOy中,已知圆 O:x2 + y2 = 16,过点 M(0,1)的直线 l 与圆 O交于 A,B两点. (1) 若 AB = 3 √ 7,求直线 1的方程; (2) 若直线 l 与 x轴交于点 N,设 # ?NA = m # ?MA, # ?NB = n # ?MB,m,n ∈ R,求 m+n的值. S 期初考试试卷 第 4页(共 4页)

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  • ID:3-6140107 2018年10月江苏泰州高中数学课标培训资料:新课程实验教学中落实数学核心素养的一点思考 (共19张PPT)

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    (共19张PPT) 新课程实验教学中 落实数学核心素养的一点思考 江苏省赣榆高级中学 陈庆广 2018.10.19 目录 ※ 新课程实验教学中落实数学核心素养的一点体会 ※ 本次培训体会 ※ 课改在今后教学工作中的一点设想 一、新课程实验教学中落实数学核心素养的一点体会 《普通高中数学课程标准(2017年版)》在课程“基本理念”中提出来了“高中数学课程以学生发展为本,落实立德树人的根本任务,培育科学精神和创新意识,提升数学学科核心素养”的课程理念。通过高中数学课程的学习,进一步提升数学素养,促进全面、可持续发展。数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的关键能力与思维品质。 数学核心素养的内涵包括数学核心知识、核心能力、核心品质。 数学核心素养主要有数学抽象、逻辑推理、数学建摸、直观想象、数学运算、数据分析等六个方面组成,这些数学核心素养既有独立性,又相互交融,形成一个有机整体。数学核心素养是数学课程目标的集中体现,是学生在数学学习的过程中逐步形成的。 数学课堂是学生学习数学的主阵地,怎样在课堂教学中培养学生的数学核心素养呢?这是我们目前任课教师都要去思考的问题。下面我就近一个多月的具体的教学案例,谈谈如何在数学课堂教学中提升学生的数学核心素养。 我就前期的教学实验谈一点概念教学中,感受数学抽象的过程,提升学生的数学抽象素养。数学概念是揭示事物的数量关系、结构关系、空间形式的本质属性。数学抽象是指舍去事物在一切物理属性,得到数学研究对象的思维过程。数学具有高度抽象的特点,要求我们能从具体事物中区分、抽取研究对象的本质特征,即抽象概括。 数学概念的获得离不开数学抽象的过程,因此,数学概念的教学就成为培养和提升学生数学抽象核心素养的重要环节,此环节情景的创设又是课堂教学设计的关键。 案例1 指数函数的概念教学片断 创设情境 1.细胞分裂时,第一次由1个分裂成2个,第二次由2个分裂成4个,如此下去,如果第x次分裂得到y个细胞,那么细胞个数y与分裂次数x的对应关系是什么? 2.引用庄子的“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,这句话揭示什么现象? 3.折纸问题:让学生动手折纸,观察对折次数x与所得层数y之间的关系?观察对折次数x与折后纸张面积y之间的关系? 案例2 三角函数的周期性概念教学片段 创设情景,感悟周期现象。 1.自然界中的“周而复始”现象 白居易诗歌《草》:离离原上草,一岁一枯荣。野火烧不尽,春风吹又生。 2.生活中的“周而复始”现象 今天是星期五,7天后是星期几?14天后呢? 3.数学中的“周而复始”现象 单位圆中角的终边绕原点每旋转一周,三角函数线怎样变化?三角函数值怎样变化? 案例3 函数的零点 昨天三位老师都用数学问题创设情景,层次深入逐步抽象出函数零点的概念。 以上这些案例都实现了让学生经历概念抽象的过程。让学生经历概念生成、公式的推导方法从特殊到一般的抽象过程,感受数学抽象过程及作用。有生活到数学,从特殊到一般,从具体到抽象,用数学符号语言表达抽象形成数学概念。 数学概念的学习包括概念的获得、概念的应用、建立概念体系三个阶段。数学概念是学习数学的根基,是代数运算、推理证明的依据。 二、本次培训体会 通过本次两天聆听大师、专家的讲座我收益非浅,对新课程理念的理解也逐步提升,新课程的核心是"为了每一位学生的发展",我想这就是评价新课程课堂教学的惟一标准。 通过昨天的听课学习,使我对新课程标准有了进一步的理解,对课改有了一个新的认识,获得了一些宝贵经验。其中感触最深的是新课改中特别关注学生的全面发展。 (一)建立新型的师生关系,成为学生的朋友和榜样 教师需真情对待学生,关心爱护学生;展现教学过程的魅力,品味教学成功的喜悦;完善个性,展现个人魅力。教师要得到学生的爱戴,就要利用内在的人格魅力。努力完善自己的个性,使自己拥有热情、真诚、宽容、负责等优秀品质,这是优化师生关系的重要保证。为此,教师要自觉提高自身修养,扩展知识视野,提高敬业精神,提升教育艺术,努力成为富有个性魅力的人。 (一)建立新型的师生关系,成为学生的朋友和榜样 课堂上老师要重视积极评价,激励学生数学积极体验的良性发展。昨天三位老师对学生的发言与表现都有积极的评价,帮助学生建立信心、促进发展。当学生回答不完善或不正确时,三位教师也多是积极诱导、正面启发、肯定当中的合理成分。三位老师口中的“非常棒”、“挺好的”、“回答的很好”等这些肯定的话语,都给了学生积极的评价,促进学生继续探究。实现了课堂上学生的主体地位及全面参与。 (二)课堂教学要最大限度的提高课堂教学效率 1、创设情境,发挥最佳效果。 在教学实践中,试图从日常生活入手,创设生动有趣的问题情境,吸引学生的注意力,激发学生的学习兴趣,这样使学生从生活经验和客观事实出发。我们在教学中适当加入这些内容,会开阔学生的思路,加深对相关知识的理解,并能够认识到许多社会问题的多方面性。 因此,在教学中教师要善于引导学生从熟悉的事物,现象出发,根据学生掌握的情况,创设情境提出问题,激励学生共同参与,发挥想象,积极思维来解决问题的意向。 2、奖励激励,提高学习积极性。 在教学中,充分关注学生情感态度变化,采取积极的评价,较多地运用激励性的语言。如:说得真好!你懂得真不少!你想象力非常丰富!真聪明等等!调动了学生积极探求知识的欲望,激发了学生学习的情感,让每个学生体验成功,增强自信心。课改要求能发挥学生主体性和积极性,有一个创新思维活动的空间,关键在于教师;教师如何引导、启发、点拔?能否真正地把学生引到这一领域?教师在平时备课中不但要吃透教材,而且要尽量地搜集,制作与教材有关的知识、教具;又要善于把握学生的心里,使学生能够与老师发生共鸣。 3、学生应真正成为课堂学习的主人 课堂教学中一些具有较高综合性和较高思维价值的问题,教师要将知识点分化,增强对学生自主探究和知识的综合运用能力的培养;一些需要让学生自己去动手操作、试验、讨论、归纳、总结的内容不要老师取而代之;一些需要学生要经过自己的深思熟虑形成的独特见解和疑问的,老师不要扼杀学生探究的机会。在新课程下,教师应当成为学生学习的组织者、引导者和合作者,激发学生的学习积极性、创造性,为学生提供从事活动的机会,构建开展研究的平台,让学生成为学习的主人。 三、课改设想 1.在数学定理公式的教学中培养学生的逻辑推理能力。 逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。让学生建构严谨的知识体系。让学生亲自参与知识的建构过程;让学生亲自参与公式的推导过程,能够掌握和运用公式,体会推导过程的严谨性以及数学公式的简约性。 2.在立体几何、解析几何的课例教学中,培养学生直观想象的核心素养。 在立体几何、解析几何学习过程中,画图、观察、分析、猜想、定性把握“形”,是培养学生几何直观想象能力的过程;建立坐标系,写出方程,联系方程组,讨论方程组的解,求点到直线距离等,量化把握“数”,是培养学生逻辑推理能力的过程;处理代数问题,优化算理、精准运算是培养学生数学运算能力的过程。既用数学的眼光观察“行”,也用数学的思维分析“数”,还用数学的语言刻画“行”、描述“数”,这正是提升学生的数学核心素养所需要的。 3.在实际应用问题的教学中,培养学生的数学建模和数据分析的核心素养 数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。数据分析是指针对研究现象获得相关数据,运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断,形成知识的过程。在运用数学知识解决生活实际问题中,往往需要通过对数据的分析处理,将实际问题转化为数学模型(建模),求得数学模型的解,最后将数学模型的解转化为实际问题的解。 总之,两天半的培训,我的脑海里充斥着新的教学理念及以人为本的教学态度。关注全体学生,把学生当作朋友会是我今后工作的方向。教学资源共享成为本次培训的一大收获。通过培训对新课程有比较深刻的理解与体会。但对具体实施仍会有一定的困惑,还须在实践中不断学习、总结和反思。有机会还希望能向各位专家、同仁请教,本次发言到此结束。 谢谢!

  • ID:3-6140106 2018年10月江苏泰州高中数学课标培训资料:寻找核心素养“三位一体”的课堂表达(1) (共34张PPT)

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    (共34张PPT) 寻找核心素养 “三位一体”的课堂表达? 2018年10月19日 扬州大学附属中学 何继刚 前 言 哈佛大学文理学院院长柯比在《学习力》一书的扉页上写到:“一个没有掌握学习力的人,是已经为自己准备好了人生葬礼的人”。什么是学习力?柯比说,它是学习能力、学习动力、态度、效率和创新能力的总和。柯比又说,没有学习力就没有创造力,创造力的枯竭也就意味着生命力的枯竭。哈佛不愿意看到自己的学生有这样的结果:在校是个优等生,离开学校之后,不能利用继续学习来使自己不断增值,以致使自身的价值像阳光下的雪人一样——慢慢融化,直至消失得无影无踪。 一、“我们到底为何而教?” 华东师范大学现代教育研究所特聘研究员刘濯源的观点如下: 他为“核心素养”的判定设定了五条标准:第一,普遍基础性;第二,持续影响性;第三,后天可发展性;第四,内化综合性;第五,非先天禀赋性。 基于以上认识他给出了如下思维导图: 符合这五条标准的素养只有两个:一个是人的感性能力,以“自我定义”及“情绪感知及管理”能力为主,他把这类能力称之为“心”的能力;一个是人的理性能力,以探究意识及系统思考能力为主,他把这类能力称之为“智”。因此,我把关注“核心素养”的教育理解为关注人核心素养的教育。而“心智水平”是影响一个人学习动力、学习毅力、学习能力、学习转化力及创造力的关键因素。 依据以上观点我们可以对 “我们到底为何而教?”这个问题作如下回答: 我们必须为培养学生的核心素养而教,也就是为发展学生的心智而教,也可以说是为发展学生的学习力而教,为学生学会认识自己、管理自己、发展自己而教! 二、“学习力”导图给我们的启示 三、 “三位一体”的课堂表达结构图 核心素养的培育仅仅局限在课程建设层面,是不可能得到校本化落实的。落实核心素养必须以学习方式和教学方式、评价方式的变革和形成的“三位一体”的课堂表达为保证。“三位一体”的课堂表达可以用结构图描述如下: (一)发展“学习力”的教学方式是核心素养获得课堂表达的关键 1.通过层次化教学方式,实施指向核心素养的差异化教学案例 构建层次化资源,线上线下自主学习 。 2. 通过整体化教学方式,横向联系指向核心素养。 案例 圆锥曲线的教学,整体—部分—整体。 案例 数学概念的教学 整体把握高中数学课程的理念 课程理念 1.学生发展为本,立德树人,提升素养 2.优化课程结构,突出主线,精选内容 3.把握数学本质,启发思考,改进教学 4.重视过程评价,聚焦素养,提高质量 数学概念教学的重要性 知名华人数学家、哈佛大学教授丘成桐兴冲冲地赶到杭州,去与一群刚在高考中取得好成绩的数学尖子见面。结果却让他颇为失望: “大多数学生对数学根本没有清晰的概念,对定理不甚了了,只是做习题的机器。这样的教育体系,难以培养出什么数学人才。” 李邦河院士:“数学根本上是玩概念的,不是玩技巧.技巧不足道也!” 概念教学常常采用“一个定义,几项注意”的方式,以解题教学代替概念教学的做法,严重偏离了数学的正轨,必须纠正. 否则,学生在数学上耗费大量时间、精力,结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少,“数学育人”终将落空. 数学是用概念思维的,在概念学习中养成的思维方式,其迁移能力也最强. 数学概念教学的意义,不仅在于使学生掌握“书本知识”,更重要的是让他们从中体验数学家概括数学概念的心路历程,领悟数学家用数学的观点看待和认识世界的思想真谛,学会用概念思维,进而发展智力和培养能力。 数学概念教学要整体设计 1.教数学概念的本质 概念:反映事物本质属性的思维产物. 数学:空间形式和数量关系. 数学概念:反映数学对象的本质属性的思维产物. 本质属性:共有性,特有性,整体性; 相对性:在一定范围内保持不变的性质是“本质属性”,而可变的性质则是“非本质属性”。 (1)概念教学的关键是揭示本质属性 (2)凸显概念本质的基本策略是“变式教学” 变化当中保持不变的属性就是事物的本质属性。 变式是变更对象的非本质属性或本质属性特征的表现形式,变更观察事物的角度或方法,以突出对象的本质特征,突出那些隐蔽的本质要素。 概念变式和非概念变式,统称为概念性变式. (2)凸显概念本质的基本策略是“变式教学” 变化当中保持不变的属性就是事物的本质属性。 变式是变更对象的非本质属性或本质属性特征的表现形式,变更观察事物的角度或方法,以突出对象的本质特征,突出那些隐蔽的本质要素。 概念变式和非概念变式,统称为概念性变式. 3. 通过主题化教学方式,纵向联系指向核心素养 案例 函数单调性的教学 (既可以主题性教学又可以整体性教学) 函数单调性 为什么要讨论函数单调性? 学生已经具备了什么样的相关经验? 如何刻画函数的单调性?(为什么用符号语言) 函数单调性的抽象过程 问题1(从具体函数出发) 函数的单调性 问题2 思路1:利用两点连线与x轴所成的倾斜角 思路2:利用两点连线的斜率(导数的几何意义) 思路3:自变量与函数值增量的符号(导数的符号意义) 思路4:自变量与函数值增量的保号性(单调性的定义) 4. 通过问题化教学方式,纵横联系指向核心素养 5. 通过情景化教学方式,在生活化体验中培育核心素养 创设有意义的问题与情境 多样化的情境:与学生实际生活有联系的情境,与公共常识或职业领域相关的情境,设计科学知识与现象的情境,数学问题情境; 有意义的问题:加深对数学的理解,强调通性通法,有助于培养和发展数学核心素养; 加强数学建模的教学: 作为数学教学途径的建模; 作为数学活动的建模; 作为数学核心素养的建模 过程1:对问题情境的数学化 确定现实情境中一个问题的数学特征及关键变量; 确认问题或情境中的数学结构(包括规律、关系和模式); 简化一个情境或问题,使其更有利于数学分析; 在建模过程中弄清各种限制和假设,并逐步简化背景; 利用恰当的变量、符号、图表和标准模型对问题情境进行数学表征; 用不同的途径描述问题,包括数学概念和数学假设的利用; 理解和解释用于描述同一问题的现实情境语言和数学形式语言之间的关系; 把问题转译为数学语言或数学表征; 把问题化归为已知的问题或者数学概念、事实、程序; 利用技术去凸显隐含在问题情境中的数学关系. 过程2:运用数学概念、事实、程序和推理 设计和实施各种解题策略去发现数学结论; 利用各种数学工具/技术去获得精确的或近似的结果; 运用数学事实、规则、算法和结构去发现数学结果; 能够在解题过程中操作数字、图形、统计数据和信息、代数式和方程、几何表征; 能够制作数学图表、构造数学对象,并从中提取数学信息; 在解题过程中利用不同的表征并进行相互转化; 能够依据数学程序获得结果并将结果一般化; 能够反思数学的论证过程并解释和判断所得的结果. 过程3:解释、应用和评价所得的数学结论 回到原来的现实背景解释数学结果; 依据现实背景评价数学结果的合理性; 理解现实情境是如何影响数学结果和过程,以及如何依据实际情况进行调整和运用; 解释为什么所得的数学结果对于一个实际情境中的问题来说是有意义的或者无意义的; 理解数学概念和结果的适用范围和局限性; 在利用数学模型解决问题时能够评价和确定限制条件. (二)、增强“学习力”的学习方式是核心素养获得课堂表达的抓手 学生的学习方式要实现以下转变: 第一,转变学生被动学习的现状,培育自主学习意识, 培养学生自主学习的能力。教师要牢固树立“为发展学生学习力而教”这一教育理念,给予学生自主思维的时间和空间,做学生学习的合作者、鼓励者、引导者。把学习方式的选择权还给学生,培养学生自主的选择能力。第二,转变个体学习现状,培养良好的合作交流的习惯和能力。合作交流能让学生在独立探索的基础上,互通独立见解,充分暴露和交流个性思维方法与过程,使自己的思想、思维更加丰富和全面。第三,转变简单的接受学习现状,引导学生进行实践和体验,开展理解性学习和探究性学习,培养探究实践能力。 案例 混合式教学 (三)激活“学习力”的评价方式是核心素养获得课堂表达的保障 即时性评价是教师对学生的学习态度、方法、效果等进行即兴点评的过程,是一种起着反馈、激励、调控和引导等作用的定性分析,其目的是帮助学生后继学习。具有低起点、小目标、快反馈、易接受的特点。它要求教师具备四种意识:教学目标意识、教学批判意识、教学资源意识、教学发展意识(发展学生的学习力)。[4] 教师要做到有效的即时性评价,应当考虑做好五个结合:(1)行为层面评价与元认知层面评价的结合。(2)认知层面评价与非认知层面评价的结合。(3)思维结果评价与思维过程评价的结合。(4)预设性目标评价与生成性目标评价的结合。(5)即时性评价与延时性评价的结合。 学生“课堂学习状态”即时评价表 课堂教学实践表明,课堂教学即时性评价,其实质是教师帮助学生建构知识搭建“脚手架”,即时性评价是师生的互动过程,也是个人知识建构的行为。因此,建构主义为即时性评价奠定了理论基础。把目光投向课堂上学生学习状态和教师为“学习力”而教的状态,是十分科学的,为此,我们设计了“学生‘课堂学习状态’即时评价表”,以此引导学生积极主动投入自主、合作、探究学习过程,进而不断提升自身的学习力。这种具有“为发展学习力而评”的“状态”的课堂才能称得上是以学生为主体的课堂,学生才称得上是学习的主体和主人。 基于数学核心素养的行为表现展开评价 核心素养 行为表现 数学抽象 形成数学概念和规则 形成数学命题与模型 形成数学方法与思想 形成数学结构与体系 逻辑推理 发现和提出命题 掌握推理的基本形式 探索和表述论证的过程 构建命题体系 交流探索 直观想象 利用图形描述数学问题 利用图形理解数学问题 利用图形探索和解决数学问题 构建数学问题直观模型 核心素养 行为表现 数学建模 发现和提出问题 建立模型 求解模型 检验结果和完善模型 数学运算 理解运算对象 掌握运算法则 探索运算思路 设计运算程式 数据分析 数据获取 数据分析 知识构建 四、结束语 构建基于立德树人、基于课程意识、基于学科本质、基于学生学习力的课堂教学样态,是一项事关我们的学生是否具有创新力,是否能肩负民族复兴使命的艰巨工程。要完成这一工程,必须要做好以下几项关键性的工作:其一,各级教育职能部门要更新教育理念,认真领会基于“立德树人”总目标的核心素养培育体系;其二,汇聚推动课堂转型的各种力量:行政推动力、教研引领力、校长领导力、教师内驱力、教师课程领导力、教师课堂教学力、家长协同力、学生学习力。把这些力量,在核心素养的统领下进行有效整合,让它们产生理性的力量、结构的力量、创新的力量;其三,学校要依据课程标准做好国家课程校本化以及学校的课程体系建构工作;其四,要提高教师的课程领导力、课堂教学力,构建“以学为中心”的自主、合作、探究式学习的课堂教学理念体系;其四,发动教师开展学科核心素养培育的课堂教学实践,构建指向立德树人的为学习力而教、为学习力而学、为学习力而评的“三位一体”的各学科课堂教学样态,实现课堂教学的真正转型。 谢谢聆听! Thanks for listening!