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高中数学
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  • ID:3-7152874 [精] 专题二 函数与导数(原卷版+解析版)

    高中数学/高考专区/三轮冲刺

    中小学教育资源及组卷应用平台 专题二函数与导数 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 评卷人 得分 一、单选题 1.对于函数, ,下列说法错误的是( ) A.函数在区间是单调函数 B.函数只有1个极值点 C.函数在区间有极大值 D.函数有最小值,而无最大值 2.定义方程f(x)=f′(x)的实数根x0为函数f(x)的“和谐点”.如果函数g(x)=x2(x∈(0,+∞)),h(x)=sin x+2cosx,φ(x)=ex+x的“和谐点”分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系是(  ) A.a-,∵x∈(0,π),∴0与a<0结合二次函数图像与性质得到a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞) (2)本题可以考虑先设出P、Q的坐标分别是(x1, y1),(x2, y2),00时,则ax2+2x-1>0有x>0的解. ①当a>0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0总有x>0的解;--4分 ②当a<0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,而ax2+2x-1>0总有x>0的解; 则△=4+4a>0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根.此时,-10,又因为当x>0时,f(x)=,. 所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=-=.. 综上所述:此函数的解析式. (2)f(x)<-,当x=0时,f(x)<-不成立; 当x>0时,即<-,所以<-,所以>,所以3x-1<8,解得x<2, 当x<0时,即<-,所以>-,所以3-x>32,所以x<-2, 综上所述解集是(-∞,-2)∪(0,2). 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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  • ID:3-7152721 [精] 沪教版数学高二下春季班:第九讲旋转体 同步学案(教师版)

    高中数学/沪教版/高中三年级 第一学期/第15章 简单几何体/二 旋转体/15.3旋转体的概念

    中小学教育资源及组卷应用平台 沪教版数学高二下春季班第九讲 课题 旋转体 单元 第十五章 学科 数学 年级 十一 学习 目标 1.掌握圆柱和圆锥的有关概念,理解祖暅原理和图形割补等思想方法; 2.会求柱体和锥体的表面积和体积. 重点 1.圆柱、圆锥的有关概念、表面积和体积的计算公式; 2.旋转体的有关几何问题. 难点 旋转体的有关几何问题 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 30 2 例题解析 60 3 巩固训练 20 4 师生总结 10 5 课后练习 30 1、旋转体的概念 (1)平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体,该定直线叫做旋转体的轴; (2)圆柱:将矩形绕其一边所在直线旋转一周,所形成的的几何体叫做圆柱;所在直线叫做圆柱的轴; 线段和旋转而成的圆面叫做圆柱的底面; 线段旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;叫做圆柱侧面的一条母线; 圆柱的两个底面间的距离(即的长度)叫做圆柱的高 (3)圆锥:将直角三角形(及其内部)绕其一条直角边所在直线旋转一周,所形成的几何体叫做圆锥;所在直线叫做圆锥的轴;点叫做圆锥的顶点; 直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面; 斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面; 斜边叫做圆锥侧面的一条母线; 圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高. (4)球:将圆心为的半圆绕其直径所在直线旋转一周,所形成的几何体叫做球;半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面,把点称为球心,把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径. 2、侧面积、表面积和体积 圆柱,圆锥的侧面积: ,其中,分别为圆柱的底面半径、周长,为母线长; ,其中,分别为圆锥的底面半径、周长,为母线长. 圆柱、圆锥的体积 ,其中为底面积,为高,为底面半径; ,其中为底面积,为高,为底面半径。 1、旋转体的概念 【例1】有下列命题: ①在圆柱的上?下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线; ③过球面上任意两点和球心有且只有一个大圆; ④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的. 其中正确的是( ) .①②; .②③; .①③; .②④. 【难度】★ 【答案】 【例2】下列命题中的真命题是( ) A.以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥; B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆柱; C.圆柱、圆锥的底面都是圆; D.圆锥侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径. 【难度】★ 【答案】C 【例3】用一个平面去截一个几何体,得到的截面是四边形,这个几何体可能是 ( ) 、圆锥 、圆柱 、球体 、以上都有可能 【难度】★ 【答案】 【巩固训练】 1.用一张长、宽分别为的矩形纸张卷成一个没有底面的圆柱筒,则圆柱的底面积为 . 【难度】★ 【答案】 2.轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱。若一个等边圆柱的轴截面面积为,则它的底面积为 . 【难度】★★ 【答案】 3.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的,现用一个平面去截这个几何体,若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面,那么所截得的图形可能是图中的_______. 【难度】★ 【答案】(1)(3) 2、旋转体的侧面展开 【例4】如图,有一圆柱形的开口容器(下表面密封),其轴截面是边长为2的正方形,P是BC中点,现有一只蚂蚁位于外壁A处,内壁P处有一米粒,若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒,则它所需经过的最短路程为 . 【难度】★★ 【答案】 【解析】此类求曲面上最短路程问题通常考虑侧面展开。 侧面展开后得矩形,其中问题转化为在上找一点使最短 作关于的对称点,连接,令与交于点则得的最小值为。 【例5】如图,一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为,一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点处,则该小虫爬行的最短路程为,则圆锥底面圆的半径等于(??) A. B. C. D. 【难度】★★ 【答案】C 【例6】已知顶点为的圆锥的母线长为,底面半径为,是底面圆周上的两点,为底面中心,且,求在圆锥侧面上由点到点的最短路线长. 【难度】★★ 【答案】 【解析】用侧面展开图,沿母线剪开圆锥侧面并展开成扇形,在等腰三角形中,,因而由余弦定理得,,即在圆锥侧面上由点到点的最短路线长。 【巩固训练】 1.圆锥底面半径为10,母线长为60,底面圆周上一点B沿侧面绕两周回到B点,求这个最短距离. 【难度】★★ 【答案】 2.有一根长为cm,底面半径为的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少? 【难度】★★ 【答案】把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面上得到矩形(如图), 由题意知=,=,点与点分别是铁丝的起、止位置,故线段的长度即为铁丝的最短长度。=,故铁丝的最短长度为。 3.已知圆锥的底面半径,母线,由底面圆周上一点出发绕其侧面一周的最短路线的长度是多少?最短路线上的点到底面的距离最大是多少? 【难度】★★ 【答案】 3、旋转体的侧面积、表面积和全面积 【例7】已知一圆锥的底面直径、高和一圆柱的底面直径与高均是,那么圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为 【难度】★★ 【答案】 【例8】圆锥的轴截面为正三角形,母线长为8,圆锥的内接圆柱的高为x,当内接圆柱的侧面积S最大时,x的值为 . 【难度】★★ 【答案】 【例9】如图,已知圆锥底面半径,点为半圆弧的中点,点为母线的中点,与所成的角为.求: (1)圆锥的全面积; (2)两点在圆锥侧面上的最短距离. 【难度】★★★ 【答案】; 【解析】(1)过作于,则,。 过作于,则。 ,,。 , (2)将侧面沿母线展开,点落在位置,弧。,。 在中,。 故两点在圆锥侧面上的最短距离为 【巩固训练】 1.若圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,则该圆锥的侧面积为 . 【难度】★ 【答案】 2.若圆锥的表面积为,且它的侧面展开图是一个半圆,则圆锥的底面圆的半径是 . 【难度】★★ 【答案】 3.若圆锥侧面积为全面积的,则侧面展开图的圆心角为 ( ) A.    B.      C.      D.以上都不对 【难度】★ 【答案】B 4、旋转体的体积 【例10】⑴若一个圆柱的高扩大为原来的2倍,底面积扩大为原来的3倍,则体积扩大为原来的 倍;⑵若一个圆锥的高不变,要使体积扩大为原来的5倍,则底面半径应扩大为原来的 倍. 【难度】★ 【答案】6; 【例11】甲乙两人分别利用一张长20厘米,宽15厘米的纸,用两种不同的方法围成一个圆柱体(接头处不重叠),那么围成的圆柱( ) A.体积相等 B.用20厘米作为高的体积大 C.用15厘米作为高的体积大 D.无法比较 【难度】★ 【答案】C 【例12】如图,圆锥形封闭容器,高为h,圆锥内水面高为若将圆锥倒置后,圆锥内水面高为 【难度】★★ 【答案】 【例13】由曲线,,, 围成图形绕轴旋转一周所得为旋转体的体积为,满足,, 的点组成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为,则 ( ) A、 B、 C、 【难度】★★ 【答案】C 【解析】如图,两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为的平行平面之间,用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体,设截面与原点距离为,则所得截面面积 ∵, S2=(42-y2)-[4-(2-|y|)2] ∴ 由祖暅原理知,两个几何体体积相等。故选。 【巩固训练】 1.若一个圆柱的高是,它的侧面展开图中母线与对角线的夹角是,则此圆柱的体积为____. 【难度】★ 【答案】 2.圆锥母线长为l,侧面展开圆心角为240°,该圆锥的体积是( ) A.π B.π C.π D.π 【难度】★ 【答案】C 3.设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为4,圆锥 顶点到 直线AB的距离为2,AB和圆锥的轴的距离为2,则该圆锥的体积为________. 【难度】★★ 【答案】π 【解析】如图O为底面圆心,OC⊥AB于C. 由OA=OB得C为AB中点, 由SA=SB,C为AB中点得SC⊥AB于C. ∴OC=2,SC=2,AC=CB=2, SO==2, OB==2 . ∴V=π·OB2·SO=π. 4.把一个圆柱切削成一个最大的圆锥,已已知削去部分的体积比圆锥体积大3.6立方分米,那么圆锥的体积是 立方分米. 【难度】★ 【答案】3.6 5、旋转体中的线面关系 【例14】如图,圆柱的轴截面是正方形,点在底面圆周上,点在上,且,若圆柱的底面积与的面积之比等于。 (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)求直线与平面所成角的正切值。 【难度】★★ 【答案】(Ⅰ)证明:因为,所以。又,所以,所以,故??????? ?????? (Ⅱ)过点作,垂足为。因为平面平面,所以。连结,则为直线与平面所成的角设圆柱的底半径为,则其底面积为,,由已知,则,所以点为圆柱底面的圆心。在直角中,,在中,,故直线与平面ABCD所成角的正切值为. 【例15】圆锥SO的轴截面是等腰直角三角形,AB是⊙O的直径,Q是圆周上不同于A、B的点 (1)若∠ AOQ=,SO=h,求底面中心O到平面SQB的距离; (2)若 二面角Q-SA-B等于,求SQ与轴截面SAB所成角的大小 . 【难度】★★ 【答案】①设C是QB的中点,连OC,SC,可证平面SQB⊥平面SOC,作OH⊥SC,则OH⊥平面SQB,OH 是O到平面SQB的距离,易知SO=h,OC=,则OH=h. ②作QP⊥AB,∵平面SAB⊥底面ABQ,∴QP⊥平面SAB,作PR⊥SA,连QP,则∠QRP是二面角Q- SA-B的平面角.∠QRP=60°,连SP,可知∠QSP是SQ和轴截面SAB所成的角,设SQ=l,PR=a, 则PQ=a,PQ=2a,AR=a,SR=l-a,由SQ2=SR2+RQ2得l2=(l-a)2+ (2a)2,化简得l=a,sin∠QSP==,SQ与轴截面SAB成角为arcsin. 【巩固训练】 1.如图所示,正四面体棱长为,内接一个圆柱,使圆柱下底在底面上,上底与底面、面、面相切。 求侧面积最大时内接的圆柱侧面积; 在用平面截下的正四面体内部作一个侧面积最大的内接的圆柱,如此无限继续,求所有内接的圆柱侧面积的和 【难度】★★ 【答案】(1)(2) 2.如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6米铁丝.骨架将圆柱底面8等分.再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面). (1)当圆柱底面半径取何值时,取得最大值?并求出该最大值(精确到0.01平方米); (2)在灯笼内,以矩形骨架的顶点为端点,安装一些霓虹灯.当灯笼底面半径为0.3米时,求图中两根直线型霓虹灯所在异面直线所成角的大小(结果用反三角函数值表示). 【难度】★★ 【答案】(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l,则l1.22r (0

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  • ID:3-7152658 [精] 沪教版数学高二下春季班:第八讲多面体的表面积与体积 同步学案(教师版)

    高中数学/沪教版/高中三年级 第一学期/第15章 简单几何体/三 几何体的表面积、体积和球面距离/15.4几何体的表面积

    中小学教育资源及组卷应用平台 沪教版数学高二下春季班第八讲 课题 多面体的表面积与体积 单元 第十五章 学科 数学 年级 十一 学习 目标 1.掌握棱拄、棱锥侧面积的计算方法; 2.掌握棱拄、棱锥体积的计算方法. 重点 1.掌握棱拄、棱锥侧面积的常见类型的计算方法; 2.掌握棱柱、棱锥体积的常见类型的计算方法. 难点 掌握棱柱、棱锥体积的常见类型的计算方法. 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 30 2 例题解析 60 3 巩固训练 20 4 师生总结 10 5 课后练习 30 多面体的定义:由几个多边形围成的封闭立体叫多面体。 棱柱 定义:两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面围成的多面体叫做棱柱。棱柱的互相平行的两个面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面,相邻的两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱,两个底面间的距离叫做棱柱的高。 基本性质:侧面都是平行四边形;两个底面及平行于底面的截面都是全等的多边形;过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。 棱柱的分类:侧棱与底面不垂直的的棱柱叫做斜棱柱;侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱;底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。直棱柱侧面都是矩形;直棱柱侧棱与高相等;正棱柱的侧面都是全等的矩形。底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体;底面是矩形的直棱柱是长方体。 祖暅原理:夹在两个平行平面间的两个几何体,如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积相等。 侧面积和体积公式:(为垂直于侧棱的直截面的周长,为侧棱长),(为底面面积,为高) 棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥。棱锥的这个多边形的面叫做底面,其余各个三角形的面叫做侧面。相邻的两个侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点,顶点到底面的距离叫做棱锥的高。 基本性质:如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截,那么侧棱和高被这个平面分成比例线段;截面与底面都是相似多边形;截面面积与底面面积之比,等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。 正棱锥 定义:如果一个棱锥的底面是多边形,且顶点在诺面的射影是底面的中心,这个棱锥叫做正棱锥; 基本性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形;正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形;正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 面积与体积:,。 1、多面体的表面积 【例1】⑴棱柱的侧面是 形; ⑵直棱柱的侧面是 形; ⑶正棱柱的侧面是 形; ⑷正棱锥的侧面是 形; ⑸ ;其中 . ⑹正棱锥的侧面积公式是 ;其中 . 【难度】★ 【答案】平行四边;矩;全等的矩;全等的等腰三角;,是底面周长,是直棱柱的高;, 是底面周长,是棱锥的斜高. 【例2】三棱锥V-ABC中, AB=AC=10,BC=12,各侧面与底面成的二面角都是45°,求三棱锥的高及侧面积? 【难度】★★ 【答案】取中点,连接,, ,, 各侧面与底面成的二面角都是45°,设二面角; 设,各侧面与底面成的二面角都是45°,即是的内心,设半径为,则,, 【例3】如图,已知正三棱柱的底面边长为2,高为5 ,则一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________. 【难度】★★ 【答案】13 【解析】根据题意,利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱,然后将其展开为如图所示的实线部分,则可知所求最短路线的长为=13 (). 【例4】三棱锥中,,,求该棱锥的表面积. 【难度】★★ 【答案】 【解析】取中点,连结。∵,∴。同理,。 故平面。在正三角形中,,同理。 取中点,连结,则。∴, 。 又,连结,,∴。∴。 【例5】正三棱锥的侧面都是直角三角形,底面边长为,求它的全面积. 【难度】★★ 【答案】 【例6】如左图,已知正方体的棱长为,沿图中对角面将它分割成两个部分,拼成如右图的平行六面体,则平行六面体的全面积为 ( ) A. B. C. D. 【难度】★★ 【答案】C 【例7】斜三棱柱的底面是等腰三角形,,,棱柱顶点 到三点的距离相等,侧棱长是13,求它的侧面积. 【难度】★★★ 【答案】396 【解析】取中点,连结,则。作底面,垂足为,则点在上。 ∴,即侧面为矩形。取中点,∵,∴。 由,,得。∴。 【例8】有两个相同的直三棱柱,高为,底面三角形的三边长分别为。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,表面积最小的是一个四棱柱,则的取值范围是__________。 【难度】★★ 【答案】 【解析】两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱,有三种情况:四棱柱有一种,就是边长为的边重合在一起,表面积为24+28,三棱柱有两种,边长为的边重合在一起,表面积为24+32,边长为的边重合在一起,表面积为24+36 ,两个相同的直三棱柱竖直放在一起,有一种情况表面积为12+48。最小的是一个四棱柱,这说明 【巩固训练】 1.若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是 ( ) A.三棱锥 B.三棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 【难度】★ 【答案】D 2.正四棱锥的侧棱和底面边长都是,则它的全面积是____________. 【难度】★★ 【答案】 3.正方体的八个顶点中有四个恰为一个正四面体的顶点,则正方体的全面积与该正四面体的全面积之比为 ( ) A. B. C. D. 【难度】★★ 【答案】C 4.斜三棱柱的底面是正三角形,侧棱和棱所成的角都是,若,则此三棱锥的全面积为________________. 【难度】★★ 【答案】 5.已知长方体中,从点出发沿着表面运动到的最短路线长是多少? 【难度】★★ 【答案】 6.如图,在正四棱柱中,AB=1,,点E为AB上的动点,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【难度】★★ 【答案】B 【解析】将正方形ABCD沿AB向下翻折到对角面ABC1D1内成为正方形ABC2D2,在矩形C1D1D2C2中连接D1C2,与AB的交点即为所求最小值点E,此时D1E+CE=D1C2.因为对角线BC1=2,C1C2=3,故 7.如图是某几何体的三视图(单位:m),则其表面积为_______. 【难度】★★★ 【答案】 多面体的体积 【例9】⑴两个等底等高的棱柱体积之间的关系是 ; ⑵等底等高的三棱锥体积是三棱柱体积的 ; ⑶一个棱锥(),可以分割成与原棱锥共顶点且等高的 个三棱锥; ⑷棱锥的体积公式是 ;其中 ; ⑸三棱锥的三个侧面两两垂直,其面积分别为,则该三棱锥的体积为_______. 【难度】★ 【答案】相等;;;,是底面面积,是高;. 【例10】正方体棱长为,分别是的中点.求 (1)三棱锥的体积; (2)三棱锥的体积; (3)四棱锥的体积. 【难度】★★ 【答案】(1);(2);(3). 【例11】已知正四面体的棱长为,求 (1)此正四面体的高和斜高; (2)此正四面体的体积和表面积; (3)侧面和底面所成二面角的大小; (4)侧棱和底面所成角的大小. 【难度】★★ 【答案】(1);(2);(3);(4) 【例12】用一块钢锭浇注一个厚度均匀,且全面积为2平方米的正四棱锥有盖容器(如图),设容器的高为米,盖子边长为米. (1)求关于的函数解析式; (2)设容器的容积为立方米,当为何值时,最大?并求出的最大值(不计容器的厚度) . 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】作平面,垂足为。作于,连结,则。 ∵,∴,解之,得 。 (2),当且仅当时等号成立。 即棱锥的高为1米,底面边长为米时,立方米。 【例13】三棱锥中,,且与底面成角. (1)求证是直角三角形; (2)求该三棱锥体积的最大值. 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】(1)设在底面的射影为,则为的外心,且。 ∴为中点,故是以为直角的直角三角形。 (2)。 此时是等腰直角三角形。 也可设,则,当时,。 此时。 【例14】我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题:如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭图形所截得线段的比为定值,那么 甲的面积是乙的面积的倍。你可以从给出 的简单图形①(甲:大矩形、乙: 小矩形)、②(甲:大直角三角形 乙:小直角三角形)中体会 这个原理,现在图③中的曲线分别是 与, 运用上面的原理,求图③中椭圆的面积. 【难度】★★★ 【答案】. 【例15】若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形,另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形,则该棱柱的体积为 【难度】★★ 【答案】如图,依题意可知,为棱长为2的正四面体,过点作的高,与交于D, 【例16】已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是,则正视图中的等于_____. 【难度】★★ 【答案】20 【例17】如图①,有一个长方体形状的敞口玻璃容器,底面是边长为的正方形,高为,内有深的溶液.现将此容器倾斜一定角度(图②),且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上(图①、②均为容器的纵截面). (1)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,角的最大值是多少; (2)现需要倒出不少于的溶液,当时,能实现要求吗?请说明理由. 【难度】★★ 【答案】(1)如图③,当倾斜至上液面经过点时,容器内溶液恰好不会溢出,此时最大. 解法一:此时,梯形的面积等于(), 因为,所以,, 即,解得,. 所以,要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,的最大值是. 解法二:此时,△的面积等于图①中没有液体部分的面积, 即(), 因为,所以,即, 解得,. 所以,要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,的最大值是. (2)如图④,当时,设上液面为,因为, 所以点在线段上, 此时,, (), 剩余溶液的体积为(), 由题意,原来溶液的体积为, 因为,所以倒出的溶液不满. 所以,要倒出不少于的溶液,当时,不能实现要求. 【例18】在三棱锥中,且 . 求证并求三棱锥的体积. 【难度】★★ 【答案】因为,,所以平面,所以.又.所以平面.故. 在中,,所以. 又在中,,所以. 又因为平面,所以 【巩固训练】 1.若一个长方体的全面积是,体积是,则这样的长方体的个数是_________. 【难度】★★ 【答案】0 2.已知正六棱柱的较长的对角线长为,较短的对角线与底面所成的角为,求该棱柱的体积. 【难度】★★ 【答案】 3.如图所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=5,AD=4,AA1=3,AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=. (1)求证:顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上; (2)求这个平行六面体的体积. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】(1)如图,连结A1O,则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N。由三垂线定得得A1M⊥AB,A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN, ∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N, 从而OM=ON。 ∴点O在∠BAD的平分线上。 (2)∵AM=AA1cos=3×= ∴AO==。 又在Rt△AOA1中,A1O2=AA12 – AO2=9-=, ∴A1O=,平行六面体的体积为。 4.在棱长为的正方体中,是的中点, 若都是上的点, 且,是上的点, 则四面体的体积是 ; 【难度】★★ 【答案】 5.三棱锥中,、、、分别为、、、的中点,则截面将三棱锥分成两部分的体积之比为_____________ 【难度】★★ 【答案】 6.如图,在边长为4的正方形纸片中,与相交于,剪去,将剩余部分沿,折叠,使,重合,则以(),,,为顶点的四面体的体积为______. 【难度】★★ 【答案】 7.如图,与是四面体中互相垂直的棱,,若,且,其中,为常数,则四面体的体积的最大值是_____。 【难度】★★★ 【答案】 8. 某几何体的三视图如图所示,且正视图、侧视图都是矩形,则该几何体的体积是( ) (A)16 (B)12 (C)8 (D)6 【难度】★★ 【答案】B 9.若一个三棱锥的一条棱长为3,其余五条棱长都是2,那么这个三棱锥的体积等于________. 【难度】★★ 【答案】 10.如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的主视图和左视图在下面画出(单位:cm). (1)在主视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (三视图:主(正)试图、左(侧)视图、俯视图) 【难度】★★ 【答案】 (1)如图. (2)所求多面体的体积 V=V长方体-V正三棱锥= 多面体表面积的计算主要是运用空间中的直线与平面的基本知识与方法,计算出需要的几何量,然后根据平面几何的面积公式加以计算. 多面体体积的计算是多面体计算的重难点.直接计算多面体体积主要是计算出多面体的高,而这需要运用直线与平面垂直的方法技巧.对于复杂的几何体,要注意”割”与”补” 等方法的应用,注意改变几何体的观察角度,得到最佳求积方法, 注意等积变形的应用. 正四面体的性质 设正四面体的棱长为a,则这个正四面体的 (1)全面积 S全=a2; (2)体积 V=a3; (3)对棱中点连线段的长 d=a; (4)相邻两面所成的二面角 α=arccos (5)外接球半径 R=a; (6)内切球半径 r=a. (7)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 1.正方体的对角线长为,则它的面的对角线长为_____. 【难度】★ 【答案】 2.正六棱柱高5,最长的对角线为13,则它的侧面积是 . 【难度】★ 【答案】180 3.正三棱锥的侧棱互相垂直,高为,则其体积等于________________. 【难度】★★ 【答案】 4.斜三棱柱的底面是正三角形,侧棱和棱所成的角都是,若,则此三棱锥的侧面积为________________. 【难度】★★ 【答案】 5.棱锥的底面是面积为9的矩形,它有两个侧面都垂直于底面,另外两个侧面分别与底面成角和角,此棱锥的体积为_______________;侧面积为________________. 【难度】★★ 【答案】9; 6.在长方体中,已知顶点处的三条棱长分别为和2,求对角线与过的三个相邻面所成角的余弦的平方和. 【难度】★★ 【答案】2 7.在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60,求四棱锥P-ABCD的体积? 【难度】★★ 【答案】2 【解析】在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,∠PBO=60°。 在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO, 于是PO=BOtan60°=,而底面菱形的面积为2。 ∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2。 8.如图,一石柱的顶上是一个正四棱锥,下部是一个正四棱柱.已知正四棱柱的底面边长为0.5米,高1米,正四棱锥的高是0.3米,且石料的比重为每立方米重2400千克,求这个石柱的重量. 【难度】★★ 【答案】660 9.在三棱锥S—ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,且AC=BC=5,SB=5。(如图所示) (Ⅰ)证明:SC⊥BC; (Ⅱ)求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小; (Ⅲ)求三棱锥的体积VS-ABC. 【难度】★★ 【答案】60°, 【解析】(Ⅰ)证明:∵∠SAB=∠SAC=90°, ∴SA⊥AB,SA⊥AC。 又AB∩AC=A, ∴SA⊥平面ABC。 由于∠ACB=90°,即BC⊥AC,由三垂线定理,得SC⊥BC。 (Ⅱ)解:∵BC⊥AC,SC⊥BC。 ∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角。 在Rt△SCB中,BC=5,SB=5,得SC==10。 在Rt△SAC中AC=5,SC=10,cosSCA=, ∴∠SCA=60°,即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°。 (Ⅲ)解:在Rt△SAC中, ∵SA=, S△ABC=·AC·BC=×5×5=, ∴VS-ABC=·S△ACB·SA=。 如图,已知四面体ABCD中,,其余棱长均为2,则四面体的体积为 ,最大值为 。 【难度】★★ 【答案】; 三棱锥P-ABC的侧棱PA、PB、PC两两互相垂直,侧面面积分别是6、4、3,则三棱锥的体积是 ( ) A、4 B、6 C、8 D、10 【难度】★★ 【答案】A 正四棱锥的侧棱长是,底面边长都是,则它的全面积等于 ,体积等于 。 【难度】★★ 【答案】; 正三棱锥的侧棱互相垂直,高为,则其体积等于________________. 【难度】★★ 【答案】 斜三棱柱的底面是正三角形,侧棱和棱所成的角都是,若,则此三棱锥的侧面积为________________. 【难度】★★ 【答案】 若一个三棱锥的一条棱长为3,其余五条棱长都是2,那么这个三棱锥的体积等于________. 【难度】★★ 【答案】 棱锥的底面是面积为9的矩形,它有两个侧面都垂直于底面,另外两个侧面分别与底面成角和角,此棱锥的体积为_______________;侧面积为________________. 【难度】★★ 【答案】9; 如图所示,三棱锥A—BCD一条侧棱AD=8 cm,底面一边BC=18 cm,其余四条棱的棱长都是17 cm,求三棱锥A—BCD的体积. 【难度】★★ 【答案】取BC中点M,连接AM、DM,取AD的中点N,连接MN ∵AC=AB=CD=BD,∴BC⊥AM,BC⊥DM, 又∵AM∩DM=M,∴BC⊥平面ADM,BC=18,AC=AB=DB=DC=17. ∴AM=DM=4,∴NM⊥AD,∴MN=8.∴S△ADM=·MN·AD=·8·8=32. ∴VA—BCD=VB—ADM+VC—ADM=×S△ADM×(BM+CM)=×32×18=192(cm3). 三棱锥S—ABC中,一条棱长为a,其余棱长均为1,求a为何值时VS—ABC最大,并求最大值. 【难度】★★ 【答案】如图所示, 设SC=a,其余棱长均为1,取AB的中点H,连接HS、HC, 则AB⊥HC,AB⊥HS,∴AB⊥平面SHC. 在面SHC中,过S作SO⊥HC,则SO⊥平面ABC. 在△SAB中,SA=AB=BS=1,∴SH=, 设∠SHO=,则SO=SHsin=sin, ∴VS—ABC=S△ABC·SO=××12×sin=sin≤. 当且仅当sin=1,即=90°时,三棱锥的体积最大. a=SH=×=,Vmax=. ∴a为时,三棱锥的体积最大为. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,左视图(或称侧视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V; (2)求该几何体的侧面积S. 【难度】★★ 【答案】(1)由该几何体的俯视图、正视图、左视图可知,该几何体是四棱锥,且四棱锥的底面ABCD是边长为6和8的矩形,高VO=4,O点是AC与BD的交点. ∴该几何体的体积 V=×8×6×4=64. (2)如图所示,侧面VAB中,VE⊥AB,则VE===5 ∴S△VAB=×AB×VE=×8×5=20 侧面VBC中,VF⊥BC, 则VF===4. ∴S△VBC=×BC×VF=×6×4=12 ∴该几何体的侧面积 S=2(S△VAB+S△VBC)=40+24. 如图所示,长方体ABCD—A′B′C′D′中,用截面截下一个棱锥C—A′DD′,求棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比. 【难度】★★ 【答案】已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′—BCC′B′. 设它的底面ADD′A′面积为S,高为h,则它的体积为V=Sh. 而棱锥C—A′DD′的底面面积为S,高是h, 因此,棱锥C—A′DD′的体积 VC—A′DD′=×Sh=Sh. 余下的体积是Sh-Sh=Sh. 所以棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5. 故这个三棱柱的表面积为(48+8)cm2,体积为16cm3. 已知三棱柱的底面为直角三角形,两条直角边和的长分别为4和3,侧棱的长为10. (1)若侧棱垂直于底面,求该三棱柱的表面积. (2)若侧棱与底面所成的角为,求该三棱柱的体积. 【难度】★★ 【答案】(1)因为侧棱底面,所以三棱柱的高等于侧棱的长, 而底面三角形的面积,(2分) 周长,(4分) 于是三棱柱的表面积.(6分) (2)如图,过作平面的垂线,垂足为,为三棱柱的高.(8分) 因为侧棱与底面所成的角为,所以,可计算得.(9分) 又底面三角形的面积,故三棱柱的体积. 在直三棱柱中,,,且异面直线与所成的角等于,设.求的值和三棱锥的体积. 【难度】★★ 【答案】, 就是异面直线与所成的角, 即, ,连接, 则三棱锥的体积等于三棱锥的体积, 的面积, 又平面, 所以,所以. 另解:由于顶点到平面的距离与顶点到平面的距离相等 所以. 平面外的一点,两两互相垂直,过的中点作面,且,,,连,多面体的体积是. (1)画出面与面的交线,说明理由; (2)求与面所成的线面角的大小. 【难度】★★ 【答案】(1)根据条件知:与交点恰好是 面,面, 面,面 面与面的交线 (2)两两互相垂直,面 多面体的体积是 连接,是在面的射影 是与面所成的线面角. 计算, 是与面所成的线面角 . 多面体的表面积和体积 知识梳理 例题解析 A B C V A B C P A B C A1 B1 C1 B1 C1 C B D A1 D1 A E F A B C D P C A B P ① ② 反思总结 课后练习 图 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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  • ID:3-7152617 山西省大同市左云县高级中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷(扫描版)

    高中数学/期末专区/高一上册

    山西省大同市左云县高级中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷 高一数学 注意事项 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效 3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回 5.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共100分,考试时间 第I卷(选择题) 选择题(本题共12道小题,每小题3分,共36分) 1.设全集I={x|-30且a≠1 c.y=√2-1与y=x-1 3.用样本估计总体,下列说法正确的是 A.样本的结果就是总体的结果B.样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态 C.数据的方差越大,说明数据越稳定D.样本容量越大,估计就越精确 高一数学试题第1页共6页 4.执行如图所示的程序框图,则输出s的值为 「开 A.10人的,之,“[k2,]年同某 外合计区: B.17 =213 图某人 三sk] C.19 /翰出/ D.36 5.把11化为二进制数为 A.1011 ⊥B,11011 C.1o0)D.0110 6.某单位共有老、中、青职工43人,其青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数 的2倍。为了了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青 是(020, 年职工32人,则该样本中的老年职工人数为 B.27 C.18 D.36 7.已知2X=5=m,且+-=2,则m的值为 2 A.2 B D 8.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是 A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C.“至少有一个黑球”与“都是红球”D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” x<1 9.已知函数f(x)= 是R上的增函数,那么实数a的取值范围是 ga x,(21) A B C 2 D.(0 高一数学试题第2页共6页 高一数学参考答案及评分标准 一、选择题(每小题 3 分,共 36 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A D C A C B D C A B D 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分)(13、15 题有一空错则为零分) 13. 104 , 088 14. 2 15. 75, 84 16. 3 17. ? ? ? ?0,1 1,2U 18. 3 2 三、解答题(本题共 4 道题,每道 10 分 ,共 40 分) 19. (本题满分 10 分) 解:我们用列表的方法列出所有可能结果:(没有列出全部基本事件扣 2 分) 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 由表中可知,抛掷两颗骰子,总的事件有 36 个。 (1)记“两颗骰子点数相同”为事件 A,则事件 A 有 6 个基本事件, ∴ 6 1( ) 36 6 P A ? ? ..................3 分 (2)记“点数之和小于 7”为事件 B,则事件 B有 15 个基本事件, 掷第二颗得到的点数 掷第一颗得到的点数 ∴ 15 5( ) 36 12 P B ? ? ..................6 分 (3)记“点数之和等于或大于 11”为事件 C,则事件 C 有 3 个基本事件, ∴ 3 1( ) 36 12 P C ? ? ..................10 分 20. (本题满分 10 分)解: (1)第二组的概率为 3.05)01.002.003.004.004.0(1 ??????? , 所以高为 06.0 5 3.0 ? .频率直方图如右图: 第一组的人数为 200 6.0 120 ? ,频率为 2.0504.0 ?? ,所以 1000 2.0 200 ??n . 由题可知,第二组的频率为 3.0 ,所以 第二组的人数为 3003.01000 ?? , 所以 65.0 300 195 ??p ,第四组的频率为 15.0503.0 ?? , 所以第四组的人数为 15015.01000 ?? ,所以 604.0150 ???a .........3 分 (2)中位数为 35,众数为 32.5 .........5 分 (3)因为 )45,40[ 岁年龄段的“低碳族”与 )50,45[ 岁年龄段的“低碳族”的比值为 1:230:60 ? ,所以采用分层抽样法抽取6人, )45,40[ 岁中有 4人, )50,45[ 岁中有2人. 由于从6人中选取3人作领队的所有可能情况共 20种,其中从 )45,40[ 岁中的4人中选取 3名领队的情况有4种,故所求概率为 5 1 20 4 ? . .........10 分 21. (本题满分 10 分)解: (1)图略. .........3 分 (2)根据散点图可知二者具有线性相关关系. x =4.5, 13y ? , 5 2 1 i i x ? ? =169,所以 57.0b ? ,所以 44.10?a 。所以 y =0.57 x +10.44 .........7 分 (2)当 x =8 时, y =15. 这个值不是弹簧的实际长度.因为,线性回归方程是根据样本数 据得到的,它只是对总体中两个变量关系的估计. .........10 分 22. (本题满分 10 分) 解: (1)由 ? ? ? ?f x f x? ? ? 得 2 2 2 1 2 1x x a a?? ? ? ?? ? ,解得 1a ? .........4 分 (2)设 1 2,x x R? ,且 1 2x x? ,则 ? ? ? ? ? ?? ?? ? 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 22 2 = 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x f x f x a a ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ,由 1 2x x? 可知 1 20 2 2x x? ? ,所以 1 22 2 0x x? ? , 12 1 0x ? ? , 22 1 0x ? ? ,所以 ? ? ? ?1 2 0f x f x? ? , 即 ? ? ? ?1 2f x f x? ,所以当 a取任意实数, ? ?f x 都为其定义域上的增函数. .........10 分

  • ID:3-7151737 [精] 沪教版数学高二下春季班:第七讲多面体的概念和直观图 同步学案(教师版)

    高中数学/沪教版/高中三年级 第一学期/第15章 简单几何体/一 多面体/15.2多面体的直观图

    中小学教育资源及组卷应用平台 沪教版数学高二下春季班第七讲 课题 多面体的概念和直观图 单元 第十五章 学科 数学 年级 十一 学习 目标 1.理解棱柱、棱锥的有关概念,掌握棱柱、棱锥的性质; 2.会画棱柱、棱锥的直观图,能运用前面所学知识分析论证多面体内的线面关系,并能进行有关角和距离的计算. 重点 1.棱柱、棱锥的有关概念,直棱柱和正棱锥的有关性质; 2.掌握基本的直观图作图方法. 难点 掌握基本的直观图作图方法. 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 30 2 例题解析 60 3 巩固训练 20 4 师生总结 10 5 课后练习 30 多面体的定义:由几个多边形围成的封闭立体叫多面体。 棱柱 定义:有两个面平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些围成的多面体叫棱柱。 基本性质:侧面都是平行四边形;两个底面及平行于底面的截面都是全等的多边形;过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。 侧面积和体积公式:(为垂直于侧棱的直截面的周长,为侧棱长),(为底面面积,为高) 注:(1){四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}. {直四棱柱}{平行六面体}={直平行六面体}. (2)棱柱具有的性质: = 1 \* GB3 ①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等;直棱柱的各个侧面都是矩形;正棱柱的各个侧面都是全等的矩形. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. ①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. (×) (直棱柱不能保证底面是钜形可如图) ②(直棱柱定义)棱柱有一条侧棱和底面垂直. (3)平行六面体: 定理一:平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分,而四棱柱的对角线不一定相交于一点. 定理二:长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 推论一:长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为,则. 推论二:长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为,则. ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.(×)(斜四面体的两个平行的平面可以为矩形) ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.(×)(应是各侧面都是正方形的直棱柱才行) ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.(×)(只能推出对角线相等,推不出底面为矩形) ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. (两条边可能相交,可能不相交,若两条边相交,则应是充要条件) 棱锥 定义:一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体。 基本性质:如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截,那么侧棱和高被这个平面分成比例线段;截面与底面都是相似多边形;截面面积与底面面积之比,等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。 注:棱锥的侧面积与底面积的射影公式:(侧面与底面成的二面角为) 正棱锥 定义:如果一个棱锥的底面是多边形,且顶点在诺面的射影是底面的中心,这个棱锥叫做正棱锥; 基本性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形;正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形;正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 面积与体积:,。 注:(1)正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.(不是等边三角形) (2) 正四面体是各棱相等,而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等 (3) 正棱锥定义的推论:若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形(即侧棱相等);底面为正多边形. (4)特殊棱锥的顶点在底面的射影位置: ①棱锥的侧棱长均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直,则顶点在底面的射影为三角形垂心. ⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直,则顶点在底面上的射影为三角形的垂心. ⑦每个四面体都有外接球,球心0是各条棱的中垂面的交点,此点到各顶点的距离等于球半径; ⑧每个四面体都有内切球,球心是四面体各个二面角的平分面的交点,到各面的距离等于半径. 斜二侧画图法特点 建立空间坐标系(右手法则); 把平行于、、轴的线段分别画成平行于这些轴;画线段时将与、轴平行的线段取原长,与轴平行的线段取原长的一半,并画空间图形的直观图。 斜二侧画图法性质 平行直线的斜二侧图仍是平行直线; 线段及其线段上定比分点的斜二侧图保持原比例不变。 多面体的概念 【例1】判断下列命题是否正确? (1)有两个面互相平行的多面体是棱柱; ( ) (2)各个侧面都是矩形的棱柱是长方体; ( ) (3)若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是正方体; ( ) (4)底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; ( ) (5)底面边长相等的直四棱柱是正四棱柱. ( ) 【难度】★★ 【答案】1.╳ 2.√ 3.╳ 4.√ 5.╳ 【例2】命题:①有两个面平行,其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱;②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱;③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面,所得图形不可能是矩形;④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱;正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【难度】★★ 【答案】A 【例3】设长方体各面上矩形的对角线长分别为、、.在下列条件下,求长方体的对角线长: (1)用、、表示; (2)长方体的全面积为24,所有棱长之和为24; (3)长方体的三个面的面积分别是,,. 【难度】★★ 【答案】(1);(2);(3). 【例4】如图,直三棱柱,底面是等腰直角三角形,, 侧棱,点、分别是与的中点,点在平面上的射影 是三角形的重心. (1)与平面所成角的大小(结果用反三角函数表示); (2)求点到平面的距离. 【难度】★★★ 【答案】; 【解析】解法一:(Ⅰ)解:连结BG,则BG是BE在面ABD的射影,即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角. 设F为AB中点,连结EF、FC, (Ⅱ)连结A1D,有 , 设A1到平面AED的距离为h,则 【例5】在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB1⊥BC1,AB=CC1=a,BC=b. (1)设E、F分别为AB1、BC1的中点,求证:EF∥平面ABC; (2)求证:A1C1⊥AB; (3)求点B1到平面ABC1的距离. 【难度】★★ 【答案】(1)证明:∵E、F分别为AB1、BC1的中点,∴EF∥A1C1.∵A1C1∥AC,∴EF∥AC.∴EF∥平面ABC. (2)证明:∵AB=CC1,∴AB=BB1又三棱柱为直三棱柱,∴四边形ABB1A1为正方形.连接A1B,则A1B⊥AB1.又∵AB1⊥BC1,∴AB1⊥平面A1BC1.∴AB1⊥A1C1.又A1C1⊥AA1,∴A1C1⊥平面A1ABB1.∴A1C1⊥AB. (3)解:∵A1B1∥AB,∴A1B1∥平面ABC1.∴A1到平面ABC1的距离等于B1到平面ABC1的距离.过A1作A1G⊥AC1于点G,∵AB⊥平面ACC1A1,∴AB⊥A1G.从而A1G⊥平面ABC1, 故A1G即为所求的距离,即A1G=。 【例6】若三棱锥的顶点在底面的射影是底面三角形的内心,则下列命题中错误的是 ( ) A.侧面和底面所成的二面角都相等 B.顶点到底面各边的距离都相等 C.这个棱锥是正三棱锥 D.顶点在底面的射影到各侧面的距离相等 【难度】★★ 【答案】C 【例7】一个三棱锥,SA⊥底面ABC,∠ABC为直角,则它的三个侧面 ( ) A.必然都不是直角三角形 B.至多只能有一个直角三角形 C. 至多只能有两个直角三角形 D. 可能都是直角三角形 【难度】★★ 【答案】D 【例8】设三棱锥S—ABC的底面为等腰直角三角形,已知该直角三角形的斜边 AC长为10,三棱锥的侧棱SA=SB=SC=13,求: (1)顶点S到底面的距离; (2)侧棱SB与底面所有角的大小(用反三角函数表示); (3)二面角A—SB—C的大小(用反三角函数表示); 【难度】★★ 【答案】如图(1)作SO⊥底面ABC,由已知SA=SB=SC知,O为底面△ABC的外心, 又△ABC为直角三角形,故O为斜边AC的中点.∴SO===12. 即顶点S到底面的距离是12. (2)∠SOB是SB与底面ABC所成的角.∠COB=arcsin=arcsin (3)作AD⊥SB于D,连结CD.∵SB⊥AD,SB⊥AC.∴SB⊥平面ADC ∴CD⊥SB,∠ADC是二面角A—SB—C的平面角,易得 AB=BC=5,AD=DC= ∴∠ADC=arccos(-),即二面角A—SB—C的大小是arccos(-). 【巩固训练】 1.判断正误: (1)一条侧棱与底面两条边垂直的棱柱是直棱柱; ( ) (2)底面为正方形的棱柱是正棱柱; ( ) (3)底面是正三角形,顶点在底面上的射影是正三角形的外心的棱锥是正三棱锥; ( ) (4)底面是正三角形,侧面为全等的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ( ) 【难度】★★ 【答案】1.╳ 2.╳ 3.√ 4.√ 2.现有边长为的正三角形、正方形、含角的菱形铁片各四块,并对它们编号,从1号到12号,选择一定数量的铁片作底面和侧面,可组成多面体。 (1)当你选择编号为 的铁片时,可组成一个正三棱柱; (2)当你选择编号为 的铁片时,可组成一个正四棱锥; (3)当你选择编号为 的铁片时,可组成一个斜三棱柱. 【难度】★★ 【答案】(1)1,2,5,6,7等;(2)1,2,3,4,5等;(3)1,2,5,9,10等. 3.设A={正四棱柱},B={直四棱柱},C={长方体},D={直平行六面体},则这些集合之间的关系是 ( ) A. B. C. D. 【难度】★★ 【答案】B 4.一个正三棱锥与一个正四棱锥,它们的所有棱长都相等,把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上,这个组合体可能是 ( ) A.正五棱锥 B.斜三棱柱 C.不规则几何体 D.正三棱柱 【难度】★★ 【答案】B 【解析】该棱锥一定不是正六棱锥.否则设正棱锥S—ABCDEF符合题设,则在△SAB和△OAB中(O为顶点S在底面的射影),∵SA=SB=AB=OA=OB,∴△SAB≌△OAB 但△OAB是△SAB在底面的射影,不可能. 5.在三棱锥中,平面垂直平分,且分别交、于,又. (1)求证:平面; (2)求平面与平面所成二面角的大小. 【难度】★★ 【答案】(1)证明:略;(2). 6.命题:①底面是正多边形的棱锥,一定是正棱锥;②所有的侧棱长都相等的棱锥,一定是正棱锥;③各侧面和底面所成的二面角都相等的棱锥,一定是正棱锥;④底面多边形内接于一个圆的棱锥,它的侧棱长都相等;⑤一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直;⑥一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直.其中正确的有 ( ) A.0 B.1 C.3 D.5 【难度】★★ 【答案】B 7.在底面是直角梯形的四棱锥P—ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1.(1)求D到平面PBC的距离;(2)求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小. 【难度】★★ 【答案】, 8.已知斜三棱柱A1B1C1-ABC的侧面ACC1A1与底面ABC垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC= ,且AA1 ⊥A1C,AA1 =A1C. 求侧棱AA1与底面ABC所成角的大小; 求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小; 求侧棱B1B和侧面A1ACC1的距离. 【难度】★★★ 【答案】45°;60°; 9.直平行六面体的底面锐角是α,底面一边的长是α,过这边和它对的棱的截面面积是Q,这截面和底面所成的二面角为90°-α,则底面另一边的长是?( ) A. B. C. D. 【难度】★★ 【答案】B 10.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,∠AB1C=α,∠ABC=β,∠BAB1=θ,则 ( ) A.sinα=sinβ·cosθ B.sinβ=sinα·cosβ C.cosα=cosβ·cosθ D.cosβ=cosα·cosβ 【难度】★★ 【答案】A 11.一个棱锥的各棱都相等,则这个棱锥必不是( ) A.三棱锥? B.四棱锥 C.五棱锥? D.六棱锥 【难度】★★ 【答案】D 12.三棱锥A-BCD高AH=,且H为底面的垂心,若AB=AC,二面角A-BC-D为60°,G为△ABC的重心,则HG的长是?( ) A. B. C. D. 【难度】★★ 【答案】B 2、直观图和三视图 【例9】在斜二测画法的规则下,下列结论正确的是( ) (A)角的水平放置的直观图不一定是角 (B)相等的角在直观图中仍然相等 (C)相等的线段在直观图中仍然相等 (D)若两条线段平行,且相等,则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等 【难度】★★ 【答案】D 【例10】试画出如下列各图所示的几何体中过三点的截面图: 【难度】★★ 【答案】 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【例11】用斜二侧法画出下面平面图形的直观图: 【难度】★★ 【答案】略 【例12】下列四个几何体中,几何体只有主视图和左视图相同的是(  ) A.①②  B.①③ C.①④ D.②④ 【难度】★★ 【答案】D 【例13】一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为________. 【难度】★★ 【答案】③ 【例14】一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是( ) 【难度】★★ 【答案】C 【例15】在棱长为1的正方体中,若点是棱上一点,则满足的点的个数_______. 【难度】★★ 【答案】6 【巩固训练】 1.若用“斜二测法”作出边长为2的正方形的直观图是,则直观图最长的对角线长为 . 【难度】★★ 【答案】 2.利用斜二测画法得到的:①三角形的直观图一定是三角形; ②正方形的直观图一定是菱形; ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形; ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的是 . 【难度】★★ 【答案】① 3.如图,点、是正方体棱上的三等分点,截面在面上的射影是( ) 【难度】★★ 【答案】D 4.在正方体上选择4个顶点,能作为如下五种几何形体的4个顶点:①矩形; ②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体; ④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体. 能使这些几何体(图形)正确的所有序号是 ( ) A.①④ B.①② C.①④⑤ D.①③④⑤ 【难度】★★ 【答案】D 5.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于(  ). A. B.2 C. D. 【难度】★★ 【答案】D 6.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于( ) A. B.2 C. D. 【难度】★★ 【答案】D 7.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于(  ). A. B.2 C. D. 【难度】★★ 【答案】D 8.利用斜二测画法得到的: ①三角形的直观图一定是三角形; ②正方形的直观图一定是菱形; ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形; ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的个数是________. 【难度】★★ 【答案】1 多面体是一类重要的几何体,掌握多面体的概念和分类,重点是将各种常见的多面体归类到多面体的各个分类,而且掌握其重点特征. 同时,另一类重要的问题就是在各个多面体中进行角与距离的计算,平行与垂直关系的证明,这些问题需要用到空间中的直线与平面章节的内容与方法,同时也是多面体的分类及特征的应用. 立体图形的直观图就是采用斜二测画法将立体图形画为平面图形.画截面时需要掌握三类常见画法,同时理解这三类画法与平面基本公理的练习. 名称 棱柱 直棱柱 正棱柱 图 形 定 义 有两个面互相平行,而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体 侧棱垂直于底面的棱柱 底面是正多边形的直棱柱 侧棱 平行且相等 平行且相等 平行且相等 侧面的形状 平行四边形 矩形 全等的矩形 对角面的形状 平行四边形 矩形 矩形 平行于底面的截面的形状 与底面全等的多边形 与底面全等的多边形 与底面全等的正多边形 1.正三棱锥的侧面与底面成60°的二面角,则侧棱与底面所成角的正切值是 ( ) A. B. C. D.不确定 【难度】★★ 【答案】A 2.长方体长、宽、高的和为6,全面积为11,则其对角线长为 ,若一条对角线与二个面所成的角为30°和45°,则另一个面所成的角为 ,若一条对角线与各条棱所成的角为α、β、γ,则sinα、sinβ、sinγ的关系为 . 【难度】★★ 【答案】5,30°, 3.如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD底面ABCD,PD=AD=1,设点C到平面PAB的距离为,点B到平面PAC的距离为,BC到平面PAD的距离为,则有 ( ) A. B. C. D. 【难度】★★ 【答案】D 4.在直三棱柱A1B1C1—ABC中,∠BAC=90°,AB=BB1=1,B1C与平面ABC与所30°的角.⑴求点C1与平面B1AC的距离;⑵求二面角B—B1C—A的余弦值. 【难度】★★ 【答案】; 5.P-ABCD是四棱锥,则四个侧面三角形中为直角三角形的最多个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【难度】★★ 【答案】D 6.△ABC的边BC上的高线为AD,BD=,CD=,将⊿ABC沿AD折成大小为的二面角B-AD-C,若,则三棱锥A-BCD的侧面△ABC是 ( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.形状与的值有关 【难度】★★ 【答案】C 7.正方体的截面不可能是:①钝角三角形;②直角三角形;③菱形;④正五边形⑤正六边形,下述选项正确的是( ) A.①②⑤ B.①②④ C.②③④ D.③④⑤ 【难度】★★ 【答案】B 8.正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别是棱AA1和CC1的中点,则四边形MDNB1的形状是 ( ) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.以上都不是 【难度】★★ 【答案】B 9.经过底面是菱形的直四棱柱ABCD-A'B'C'D'的顶点A作一截面AB1C1D1,分别与侧棱BB',CC',DD' 交于点B1、C1、D1,得到几何体ABCDD1C1B1,若BB1=DD1,CC1=,AB=2,∠DAB=60○. ⑴求证:四边形AB1C1D1为菱形;⑵求截面AB1C1D1与底面ABCD所成的二面角的大小. 【难度】★★ 【答案】略; 10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8,对角线B1C=10, D是AC的中点.求直线AB1到面C1BD的距离. 【难度】★★ 【答案】 11.棱柱为直棱柱的一个必要不充分条件是 ( ) A.有一条侧棱与底面垂直 B.有一个侧面与底面的一条边垂直 C.有一条侧棱与底面的两条边垂直 D.该棱柱为正棱柱 【难度】★ 【答案】C 12.若用“斜二测法”作出边长为2的正三角形的直观图是,则的重心到底边的距离是 . 【难度】★★ 【答案】 13.过正方体的棱AB、BC的中点E、F作一个截面,使得截面与底面所成的角为,则此截面的形状为( ) A.三角形或五边形 B.三角形或六边形 C.六边形 D.三角形或四边形 【难度】★★ 【答案】B 14.平行六面体ABCD- ABCD的六个面都是菱形,那么顶点B,在平面ACB上的射影一定是△ACB的( ) A.重心 B.外心 C.内心 D,垂心 【难度】★★ 【答案】B 15.如果平行六面体分别过它相对的两条侧棱的两个截面都是矩形,那么平行六面体是( ) A.立方体 B.正四棱柱 C.长方体 D.直平行六面体 【难度】★★ 【答案】D 16.三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,各侧棱与底面所成的角彼此相等,那么顶点在底面的射影是底面三角形的( ) A、垂心又是内心 B、内心但不是垂心 C、外心又是垂心 D、垂心又是重心 【难度】★★ 【答案】C 17.棱锥的底面面积是150cm2,平行于底面的一个截面面积为54cm2,底面和这个截面的距离为12cm,则这个棱锥的高_________ 【难度】★★ 【答案】30cm 18.直三棱柱中,,,是上的一点,则到截面的距离等于 . 【难度】★★ 【答案】 19.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为6,B1C=10,D为AC的中点E、F分别在侧棱A1A和BB1上,且AF=2BE=BC. (1)求证:AB1∥平面C1BD; (2)求异面直线AB1和BC1所成的角; (3)(理)求过F、E、C的平面与棱柱下底面所成二面角的大小. 【难度】★★ 【答案】(1)略;(2);(3)45. 20.直三棱柱中,,,分别是棱、上的点,且. (1)求直三棱柱中的高及的长; (2)动点在上移动,问在何位置时,的面积才能取得最小值. 【难度】★★ 【答案】(1)1,;(2)当P与N重合时,最小值为 21.已知一个凸多面体的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成,如右图所示,若该凸多面体所有棱长均为,则其体积 . 【难度】★★ 【答案】 22.已知四面体中,,,分别为,的中点,且异面直线与所成的角为,则=________. 【难度】★★ 【答案】 或 23.如图,在正方体中,是的中点,为底面内一动点,设与底面所成的角分别为(均不为.若,则动点的轨迹为哪种曲线的一部分( ). A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线 【难度】★★ 【答案】B 24.如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,底面,,则与底面所成角的大小为    (结果用反三角函数值表示). 【难度】★★ 【答案】 多面体的概念和直观图 知识梳理 例题解析 C1 A B C G D E A1 B1 N M P N P M P M N N P M N P M N P M M N P M N P M P N P M N N P M N M P P M N N P M N P M N P M M P N P M N M N P M N P 反思总结 课后练习 第24题图 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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  • ID:3-7151473 [精] 沪教版数学高二下春季班:第六讲空间中的平面与平面 同步学案(教师版)

    高中数学/沪教版/高中三年级 第一学期/第14章 空间直线与平面/14.4空间平面与平面的位置关系

    中小学教育资源及组卷应用平台 沪教版数学高二下春季班第六讲 课题 空间中的平面与平面 单元 第十四章 学科 数学 年级 十一 学习 目标 1.掌握平面与平面平行的定义、判定定理和性质定理,并能运用这些知识进行论证或解题; 2.掌握求二面角平面角的方法:定义法,三垂线定理法和垂面法. 重点 1.理解线线平行、面面平行之间的转化以及平行与垂直之间的转化的辩证关系; 2.体会求二面角的过程就是将空间的角转化为平面上的角的“化归”思想. 难点 体会求二面角的过程就是将空间的角转化为平面上的角的“化归”思想. 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 30 2 例题解析 60 3 巩固训练 20 4 师生总结 10 5 课后练习 30 1、平面与平面位置关系 位置关系 定义 符号表示 平行 平面与平面没有公共点 ∥ 相交 平面与平面有且仅有一条公共直线 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 图形语言: 符号语言:且,那么 3、两个平面平行的性质定理 如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 图形语言: 符号语言:若,,则 4、几个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行 (2)如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 (3)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,则它也垂直于另外一个 (4)夹在两个平行平面中的平行线段相等 (5)经过平面外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 注:①两个平面平行的判定定理中必须是“两条”“相交”直线才能得出面面平行,把条件改成“一条”、“两条”、“无数条”都不一定成立 ②面面平行则面内的所有直线都平行与另一个平面,但是分别在两个平行平面内的两条直线不一定平行 5、半平面的定义 一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面 6、二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面 7、画法 第一种是卧式法,也称为平卧式: 第二种是立式法,也称为直立式: 8、二面角的平面角: (1)过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线,则叫做 二面角的平面角 (2)一个平面垂直于二面角的棱,且与两半平面交线分别为为垂足, 则也是的平面角 9、平面与平面垂直定义 三垂线定理 在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直 说明:(1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系; (2)推理模式: 三垂线定理的逆定理: 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那麽它也和这条斜线的射影垂直 推理模式: . 注意:⑴三垂线指PA,PO,AO都垂直α内的直线。其实质是:斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理。⑵要考虑的位置,并注意两定理交替使用。   两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直. 表示方法:平面与垂直,记作. 画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直. 如图:            10、平面与平面垂直的判定定理   判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.   符号语言:   图形语言:          特征:线面垂直面面垂直   注:平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直,则面面垂直”.因此,处理面面垂直问题处理线面垂直问题,进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直,只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可. 11、平面与平面垂直的性质   性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.   符号语言:   图形语言:          1、线面平行到面面平行 【例1】下列命题正确的是 ( ) 一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行 直线l与平面内无数条直线都垂直则直线l与平面垂直 一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行 一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行 【难度】★★ 【答案】D 【例2】P是△ABC所在平面外一点,,,分别是△PBC,△PCA,△PAB的重心, 求证:平面∥平面ABC; 求 【难度】★★ 【答案】连PC’,PA’,PB’分别交AB,BC,CA于D,E,F则D,E,F分别为AB,BC,CA中点,且A’,B’,C’分别为PE,PF,PD的三等分点。 ∵ ∴ A’C’∥DE ∵ ∴ A’B’∥EF ∴ 平面A’B’C’D’∥平面ABC (2)∵ ∴ A’C’=DE 又DE=AC ∴ A’C’=AC,即 同理:, ∴ △A’B’C’∽△ABC ∴ 【解析】根据判定定理,欲证面面平行,应先证线面平行,而线线平行又是线面平行的基础, 就本题而言,应从容易把握的线线平行着手。 【例3】如下图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点, 求证:(1)AP⊥MN; (2)平面MNP∥平面A1BD. 【难度】★★ 【答案】(1)连结BC1、B1C,则B1C⊥BC1,BC1是AP在面BB1C1C上的射影.∴AP⊥B1C. 又B1C∥MN,∴AP⊥MN. (2)连结B1D1,∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点, ∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD, ∴PN∥BD.又PN不在平面A1BD上, ∴PN∥平面A1BD. 同理,MN∥平面A1BD.又PN∩MN=N, ∴平面PMN∥平面A1BD. 【例4】如图,正四棱锥的底面边长为,侧棱长为,点分别在和上,且,平面,求线段的长. 【难度】★★ 【答案】作交于,连,∵平面,平面. ∴平面平面, 而平面分别与此两平行平面相交于,. ∴. ∵,∴=.∴==,===. ∴,又.∴ 在Δ中由余弦定理得 【巩固训练】 1.下列命题中为真命题的是( ) A 平行于同一条直线的两个平面平行 B 垂直于同一条直线的两个平面平行 C 若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等,则这两个平面平行. D若三条直线a、b、c两两平行,则过直线a的平面中,有且只有—个平面与b,c都平行. 【难度】★★ 【答案】B 2.设平面α∥β,A、C∈α,B、D∈β,直线AB与CD交于S,若AS=18,BS=9,CD=34,则CS=_____________. 【难度】★★ 【答案】68或 【解析】如图(2),由α∥β知AC∥BD,∴==,即=.∴SC=.图(1)中显然CS=68。 2.如图已知平面α∥β∥γ,A,C∈α,B,D∈γ,异面直线AB和CD分别与β交于E和G,连结AD和BC分别交β于F,H. (2)判断四边形EFGH是哪一类四边形; (3)若AC=BD=a,求四边形EFGH的周长. 【难度】★★ 【答案】(1)由AB,AD确定的平面,与平行平面β和γ的交线分别为 (2)面CBD分别交β,γ于HG和BD.由于β∥γ,所以HG∥BD.同理EH∥AC.故EFGH为平行四边形. 3.如下图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点,AB=a. (1)求证:平面AMN∥平面EFDB; (2)求异面直线BE与MN之间的距离. 【难度】★★ 【答案】(1)证明:∵MN∥EF,∴MN∥平面EFDB. 又AM∥DF, ∴AM∥平面EFDB.而MN∩AM=M, ∴平面AMN∥平面EFDB. (2)解:∵BE平面EFDB,MN平面AMN,且平面AMN∥平面EFDB, ∴BE与MN之间的距离等于两平行平面之间的距离. 作出这两个平面与平面A1ACC1的交线AP、OQ,作OH⊥AP于H. ∵DB⊥平面A1ACC1, ∴DB⊥OH.而MN∥DB,∴OH⊥MN. 则OH⊥平面AMN. ∵A1P=a,AP= a, 设∠A1AP=θ,则cosθ==, ∴OH=AO·sinθ=a· a=a. ∴异面直线BE与MN的距离是a. 4.如下图,已知平面α∥平面β∥平面γ,且β位于α与γ之间.点A、D∈α,C、F∈γ,AC∩β=B,DF∩β=E. (1)求证:=; (2)设AF交β于M,ACDF,α与β间距离为h′,α与γ间距离为h,当的值是多少时,△BEM的面积最大? 【难度】★★★ 【答案】(1)证明:连结BM、EM、BE. ∵β∥γ,平面ACF分别交β、γ于BM、CF, ∴BM∥CF.∴=. 同理,=.∴=. (2)解:由(1)知BM∥CF, ∴==.同理,=. ∴S=CF·AD(1-)sin∠BME. 据题意知,AD与CF是异面直线,只是β在α与γ间变化位置.故CF、AD是常量, sin∠BME是AD与CF所成角的正弦值,也是常量,令h′∶h=x.只要考查函数y=x(1-x)的最值即可,显然当x=,即= 时,y=-x2+x有最大值. ∴当= ,即β在α、γ两平面的中间时,S最大. 2、线面垂直到面面垂直 【例5】设是两条不同直线,是两个不同平面,给出下列四个命题:①若则;②若,则;③若,则或;④若则。其中正确的命题是_ __; 【难度】★★ 【答案】①③④ 【解析】②中a可以平行于β,也可以和β斜交 【例6】如图,已知空间四边形中,,是的中点。 求证:(1)平面CDE; (2)平面平面。 【难度】★★ 【答案】 证明:(1),同理, 又∵ ∴平面 (2)由(1)有平面 又∵平面, ∴平面平面 【例7】已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥ 平面BCD,∠ADB=60°,E、F分别是AC、AD上的动 点,且 (Ⅰ)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC; (Ⅱ)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD? 【难度】★★★ 【答案】证明:(Ⅰ)∵AB⊥平面BCD, ∴AB⊥CD, ∵CD⊥BC且AB∩BC=B, ∴CD⊥平面ABC. 又 ∴不论λ为何值,恒有EF∥CD,∴EF⊥平面ABC,EF平面BEF, ∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥EF,又平面BEF⊥平面ACD, ∴BE⊥平面ACD,∴BE⊥AC. ∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°, ∴ 由AB2=AE·AC 得 故当时,平面BEF⊥平面ACD. 【巩固训练】 1.如图所示,四边形ABCD中,AD//BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A—BCD,则在三棱锥A—BCD中,下列命题正确的是 ( ) A、平面ABD⊥平面ABC B、平面ADC⊥平面BDC C、平面ABC⊥平面BDC D、平面ADC⊥平面ABC 【难度】★★ 【答案】D 【解析】由题中知,在四边形ABCD中,CD⊥BD,在三棱锥A—BCD中,平面ABD⊥平面BCD,两平面的交线为BD,所以CD⊥平面ABD,因此有AB⊥CD,又因为AB⊥AD,所以,AB⊥平面ADC,于是得到平面ADC⊥平面ABC。 2.已知三个平面两两互相垂直并且交于一点,点到这三个平面的距离分别为、、,则点与点之间的距离是( ) A. B. C. D. 【难度】★★ 【答案】A 【解析】以距离、、为三边构成长方体, 3. 如下图,四棱锥P—ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PD的中点,又二面角P—CD—B为45°. (1)求证:AF∥平面PEC; (2)求证:平面PEC⊥平面PCD; (3)设AD=2,CD=2,求点A到平面PEC的距离. 【难度】★★ 【答案】 (1)证明:取PC的中点G,连结EG、FG . ∵F是PD的中点,∴FG∥CD且FG=CD.而AE∥CD且AE=CD,∴EA∥GF且EA=GF,故四边形EGFA是平行四边形,从而EG∥AF.又AF平面PEC,EG平面PEC,∴AF∥平面PEC. (2)证明:∵PA⊥平面ABCD,又∵CD⊥AD,∴CD⊥PD,∠PDA就是二面角P—CD—B的平面角.∴∠ADP=45°,则AF⊥PD. 又AF⊥CD,PD∩CD=D,∴AF⊥平面PCD. 由(1),EG∥AF,∴EG⊥平面PCD, 而EG平面PEC,∴平面PEC⊥平面PCD. (3)解:过F作FH⊥PC交PC于点H,又平面PEC⊥平面PCD,则FH⊥平面PEC,∴FH为点F到平面PEC的距离,而AF∥平面PEC,故FH等于点A到平面PEC的距离. 在△PFH与△PCD中, ∵∠FHP=∠CDP=90°,∠FPC为公共角, ∴△PFH∽△PCD,=. ∵AD=2,CD=2,PF=,PC==4,∴FH=·2=1. ∴点A到平面PEC的距离为1 3、二面角及其求法 (一)定义法 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 【例8】如图,四棱锥中,底面为矩形,底面, ,点M在侧棱上,=60° (I)证明:M在侧棱的中点 (II)求二面角的大小。 【难度】★★ 【答案】(I)略;(II):利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点,则点为AM的中点,过F点在平面ASM内作,GF交AS于G,连结AC,∵△ADC≌△ADS,∴AS-AC,且M是SC的中点,∴AM⊥SC, GF⊥AM,∴GF∥AS,又∵为AM的中点,∴GF是△AMS的中位线,点G是AS的中点。则即为所求二面角.. ∵,则,又∵,∴, ∵,∴△是等边三角形,∴, 在△中,,,,∴ ,∴二面角的大小为 (二)三垂线法 三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 【例9】如图,在直四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。 (1)证明:直线EE//平面FCC; (2)求二面角B-FC-C的余弦值。 【难度】★★ 【答案】(1)略(2)因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵∴, 在Rt△OPF 中,,, 所以二面角B-FC-C的余弦值为. (三)垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直; 【例10】在四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,求B-PC-D的大小。 【难度】★★ 【答案】如图 PA⊥平面BD BD⊥AC BD⊥BC过BD作平面BDH⊥PC于HPC⊥DH、BH∠BHD为二面角B-PC-D的平面角,因PB=a,BC=a,PC=a, PB·BC=S△PBC=PC·BH, 则BH==DH, 又BD=在△BHD中由余弦定理,得:cos∠BHD= 又0<∠BHD<π 则∠BHD= ,二面角B-PC-D的大小是。 (四)补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确的交线(称为补棱),然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时,一般用补棱法解决。 【例11】如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=2. (Ⅰ)证明:平面PBE⊥平面PAB; (Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小. 【难度】★★ 【答案】(Ⅰ)证略解: (Ⅱ)延长AD、BE相交于点F,连结PF. 过点A作AH⊥PB于H,由(Ⅰ)知,平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE. 在Rt△ABF中,因为∠BAF=60°,所以,AF=2AB=2=AP. 在等腰Rt△PAF中,取PF的中点G,连接AG. 则AG⊥PF.连结HG,由三垂线定理的逆定理得,PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角(锐角). 在等腰Rt△PAF中, 在Rt△PAB中, 所以,在Rt△AHG中, 故平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小是 【解析】本题的平面PAD和平面PBE没有明确的交线,依本法显然要补充完整(延长AD、BE相交于点F,连结PF.)再在完整图形中的PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。 (五)射影面积法() 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cos)求出二面角的大小。 【例12】如图,在三棱锥中,,,,. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)求二面角的大小; 【难度】★★ 【答案】解:(Ⅰ)证略(Ⅱ),,. 又,.又,即,且,平面.取中点.连结.,.是在平面内的射影,. ∴△ACE是△ABE在平面ACP内的射影,于是可求得:,,则, , 设二面角的大小为,则 ∴二面角的大小为 【解析】本题要求二面角B—AP—C的大小,如果利用射影面积法解题,不难想到在平面ABP与平面ACP中建立一对原图形与射影图形并分别求出S原与S射,于是得到解法。 (六)向量法(补充) 向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法,可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解,用向量法解立体几何题时,通常要建立空间直角坐标系,写出各点的坐标,然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量,进行向量计算解题。 【例13】如图,在五面体ABCDEF中,FA 平面ABCD, AD//BC//FE,ABAD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=AD (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小;(II) 证明平面AMD平面CDE; 求二面角A-CD-E的余弦值。 【难度】★★ 【答案】现在我们用向量法解答:如图所示,建立空间直角坐标系,以点为坐标原点。设依题意得 (I) 所以异面直线与所成的角的大小为. (II)证明: , 【巩固训练】 1.二面角指 ( ) A.两平面组成的角; B.经过同一直线的两个平面组成的图形; C.从1条直线出发的两个半平面组成的图形; D.两个平面所夹的不大于的角. 【难度】★ 【答案】C 2.已知是正方形所在平面外一点,,,. (1)求二面角的大小; (2)求与平面所成的角. 【难度】★★ 【答案】, 【解析】(1)由已知,,过作于,连结,, ∴,为二面角的平面角,. (2) 连结交于,则,, ∴在平面上的射影是,就是与平面所成的角,. 3.如图,矩形ABCD中,DC=,AD=1,在DC上截取DE=1,将△ADE沿AE翻折到D1点,点D1在平面ABC上的射影落在AC上时,二面角D1?—AE—B的平面角的余弦值是________. 【难度】★★ 【答案】2- 【解析】过D1作D1O⊥AE于O,D1H⊥面ABC于H,在△D1AE中,D1O=,AO=,在Rt△AOH中,∠OAH=15°,∴OH=,∴在Rt△D1OH中,。 4.一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法(1)单向倾斜(2)双向倾斜(3)四面倾斜,记三种盖法屋顶面积分别为P1,P2,P3,,若屋顶斜面与水平面所成的角都是,则 ( ) A.P3>P2>P1 B.P3>P2=P1 C.P3=P2>P1 D.P3=P2=P1 (1) (2) (3) 【难度】★★ 【答案】D 5.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90?, AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD, ⑴PA与BD是否互相垂直,请证明你的结论; ⑵求二面角P-BD-C的正切值; ⑶求证:平面PAD⊥平面PAB。 【难度】★★ 【答案】⑴PA与BD互相垂直,证明如下: 取BC的中点O,连AO,交BD于点E,连PO,∵PB=PC,∴PO⊥BC 又∵面PBC⊥面ABCD,∴PO⊥面ABCD,由于Rt△ABORt△BCD ∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90?, ∴BD⊥AO,∴PA⊥BD ⑵由⑴,易知∠PEO为二面角P-BD-C的平面角, 设AB=BC=PB=PC=2CD=2a,则, ,∴二面角P-BD-C的正切值。 ⑶取PB的中点N,连CN,∵PC=BC,∴CN⊥PB 又∵面PBC⊥面PAB,∴CN⊥面PAB,取PA中点M,连DM、MN, 则由MN∥AB∥DC,,得MNCD为平行四边形 ∴CD∥DM,∴DM⊥平面PAB,又∵DM面PAB,∴平面PAD⊥平面PAB 6.在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图1)。将△AEF沿EF折起到的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连结A1B、A1P(如图2) (Ⅰ)求证:A1E⊥平面BEP; (Ⅱ)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小; (Ⅲ)求二面角B-A1P-F的大小(用反三角函数表示) 【难度】★★ 【答案】解法一: 不妨设正三角形ABC的边长为3。 (Ⅰ)在图1中,取BE的中点D,连结DF。 ∵AE : EB=CF : FA=1:2,∵AF=AD=2,而∠A=60°, ∴△ADF是正三角形。 又AE=DE=1, ∴EF⊥AD[来源:学§科§网] 在图2中,A1E⊥EF,BE⊥EF, ∴∠A1EB为二面角A1—EF—B的平面角。 由题设条件知此二面角为直二面角, ∴A1E⊥BE。 又BE∩EF=E, ∴A1E⊥平面BEF,即A1E⊥平面BEP。 (Ⅱ)在图2中,∵A1E不垂直于A1B,∴A1E是平面A1BP的斜线。 又A1E⊥平面BEP, ∴A1E⊥BP, 从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影(三垂线定理的逆定理)。 设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q,则 ∠EA1Q就是A1E与平面A1BP所成的角, 且BP⊥A1Q。 在△EBP中, ∵BE=BP=2,∠EBP=60°, ∴△EBP是等边三角形, ∴BE=EP 又A1E⊥平面BEP, ∴A1B=A1?P, ∴Q为BP的中点,且。 又A1E=1,在Rt△A1EQ中, ∴∠EA1Q=60° 所以直线A1E与平面A1BP所成的角为60°。 (Ⅲ)在图3中,过F作FM⊥A1P于M,连结QM,QF。 ∵CF=CP=1, ∠C=60°, ∴△FCP是正三角形, ∴PF=1。 又, ∴PF=PQ。 ① ∵A1E⊥平面BEP, ∴A1F=A1Q; ∴△A1FP≌△A1QP 从而∠A1PF=∠A1PQ ② 由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP, ∴∠QMP=∠FMP=90°,且MF=MQ, 从而∠FMQ为二面角B—A1P—F的平面角。 在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1, ∴。 ∵MQ⊥A1P, ∴ 在△FCQ中,FC=1,QC=2,∠C=60°,由余弦定理得QF=。 在△FMQ中, 解法二: 不妨设正三角形ABC的边长为3。 (Ⅰ)同解法一。 (Ⅱ)如图1,由解法一知A1E⊥平面BEF, BE⊥EF。建立如图4所示的空间直角坐标系 ,则E(0,0,0)、A1(0,0,1) B(2,0,0)、F(0,,0)。 在图1中,连结DP,∵AF=BP=2, AE=BD=1,∠A=∠B, ∴△FEA≌△PDB,PD=EF=。 由图1知PF//DE且PF=DE=1, ∴P(1,,0) ∴ ∴对于平面A1BP内任一非零向量a,存在不全为零的实数、, 使得 ∴ ∵直线A1E与平面A1BP所成的角是A1E与平面A1BP内非零向量夹角中最小者, ∴可设, 又的最小值为4, ∴的最大值为,即与a夹角中最小的角为60° 所以直线A1E与平面A1BP所成的角为60° (Ⅲ)如图4,过F作FM⊥A1P于M,过M作MN⊥A1P交BP于N,则∠FMN为二面角B—A1P—F的平面角。 设。 ∵ 又 ∵A1、M、P三点共线, ∴存在,使得 ∵ ∴, 从而 代入①得 同理可得,从而。 ∴ 所以二面角B—A1P—F的大小为 空间中的平面与平面的位置关系重点为二面角的计算. 在计算二面角的时候,根据定义,需要将二面角转化为平面角.而根据定义来转化的方法使用与基本题目,除此之外还应该掌握通过三垂线定理来转化以及通过垂面法来转化的方法.同过这样的题型,感受高中数学四种重要数学思想之一的转化思想的一个集中应用. 1. 设直线,平面,下列条件能得出∥的有( ) ①,,且∥,∥; ②,,且∥; ③∥,∥,且∥; A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 【难度】★ 【答案】D 2.异面直线所成的角的取值范围是________________;直线与平面所成的角的取值范围是________________;二面角的平面角的取值范围是________________. 【难度】★ 【答案】;;. 3.设所在平面外一点,若与底面所成的二面角相等,则点在底面三角形内的射影是的__________ 心. 【难度】★★ 【答案】内 4.已知二面角为,二面角内一点的距离分别为42和21,则到平面的距离为________________. 【难度】★★ 【答案】 5.是正方形的边中点,将△与△沿、向上折起,使得、重合为点,那么二面角的大小为 【难度】★★ 【答案】 6.如图,△ABC是简易遮阳棚,A,B是南北方向上两个定点,正东方向射出的太阳光线与地面成40°角,为了使遮阴影面ABD面积最大,遮阳棚ABC与地面所成的角应为( ) A.75°  B.60°    C.50°  D.45° 【难度】★★ 【答案】C 【解析】过C作CH⊥AB于H,显然CD⊥CH时DH有最大值,∴面ABC与地面所成角为50°。 7.设二面角的大小为 ,若平面 内一点到平面的距离为8 ,则点在平面内的射影到平面的距离为 ( ) A. B. C. D. 【难度】★★ 【答案】A 8.二面角 的平面角是锐角, 内的一点(不在棱上),在平面内的射影,点棱上满足为锐角的一点,那么 ( ) A. B. C. D.不能确定 【难度】★★ 【答案】A 9.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90?, AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD, ⑴PA与BD是否互相垂直,请证明你的结论; ⑵求二面角P-BD-C的正切值; ⑶求证:平面PAD⊥平面PAB。 【难度】★★ 【答案】⑴PA与BD互相垂直,证明如下: 取BC的中点O,连AO,交BD于点E,连PO,∵PB=PC,∴PO⊥BC 又∵面PBC⊥面ABCD,∴PO⊥面ABCD,由于Rt△ABORt△BCD ∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90?, ∴BD⊥AO,∴PA⊥BD ⑵由⑴,易知∠PEO为二面角P-BD-C的平面角, 设AB=BC=PB=PC=2CD=2a,则, ,∴二面角P-BD-C的正切值。 ⑶取PB的中点N,连CN,∵PC=BC,∴CN⊥PB 又∵面PBC⊥面PAB,∴CN⊥面PAB,取PA中点M,连DM、MN, 则由MN∥AB∥DC,,得MNCD为平行四边形 ∴CD∥DM,∴DM⊥平面PAB,又∵DM面PAB,∴平面PAD⊥平面PAB 10.在菱形中,,, 求:(1)点到的距离; (2)所成角的大小; (3)二面角的大小. 【难度】★★ 【答案】(1)(2)(3) 空间中的平面与平面 知识梳理 【说明】 (1)二面角的平面角范围是; (2)二面角平面角为直角时,则称为直二面角,组成直二面角的两个平面互相垂直; (3)二面角的求法:① 几何定义法;② 空间向量法;③射影面积法. 例题解析 A E D B C F G E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P A B C E D P A C B B1 C1 A1 L A C B E P A B C D S 图1 图2 图3 反思总结 课后练习 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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  • ID:3-7151370 [精] 沪教版数学高二下春季班:第五讲空间中的直线与平面2 同步学案(教师版)

    高中数学/沪教版/高中三年级 第一学期/第14章 空间直线与平面/14.3空间直线与平面的位置关系

    中小学教育资源及组卷应用平台 沪教版数学高二下春季班第五讲 课题 空间中的直线与平面2 单元 第十四章 学科 数学 年级 十一 学习 目标 1.理解直线与平面所成角的概念,并掌握求线面角常用方法; 2.掌握空间中各种距离的概念,能运用这些概念进行论证和解决有关问题. 重点 1.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法; 2.空间距离向平面距离的转化过程中,重点是确定垂足,作出辅助图形解三角形. 难点 空间距离向平面距离的转化过程中,重点是确定垂足,作出辅助图形解三角形 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 30 2 例题解析 60 3 巩固训练 20 4 师生总结 10 5 课后练习 30 ∥ 1.平面的斜线 当直线与平面相交且不垂直时,叫做直线与平面斜交,叫做平面的斜线. 斜线与平面的交点叫做斜足,斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段. 2.射影 设直线与平面斜交于点,过上任意点,作平面的垂线,垂足为,我们把点叫做点在平面上的射影,直线叫做直线在平面上的射影. 射影长定理: 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中: (1)射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长; (2)相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长; (3)垂线段比任何一条斜线段都短. 3.直线和平面所成角 如图,是平面的一条斜线,点是斜足,是上任意一点,是的垂线,点是垂足,所以直线(记作)是在内的射影,(记作)是与所成的角. 定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条斜线和平面所成的角. 直线与平面所成角求解方法: 第一步:作出斜线在平面上的射影,找到斜线与射影所成的角; 第二步:解含的三角形,求出其大小. 4.距离定义: (1)点和平面的距离:过点作平面的垂线,垂足为,我们把点到垂足之间的距离叫做点和平面的距离. (2)直线和平面的距离:设直线平行于平面.在直线上任取一点,我们把点到平面的距离叫做直线和平面的距离. (3)设平面平行平面,在平面上任取一点,我们把点到平面的距离叫做平面和平面的距离. (4)异面直线和的距离:设直线和是异面直线,当点、分别在和上,且直线既垂直于直线,又垂直于直线时,我们把直线叫做异面直线和公垂线,,垂足、之间的距离叫做异面直线和的距离. 1、直线与平面所成角 <1>直接法:关键是作垂线,找射影 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 可利用面面垂直的性质; <2>平移法:通过三角形的中位线或平行四边形的对边平移,计算其平行线与平面所成的角(也可平移平面)。 <3>通过等体积法求出斜线任一点到平面的距离,计算这点与斜足之间的线段长,则. 【例1】判断正误: (1)若直线,则直线与平面所成的角相等; ( ) (2)若直线与平面所成的角相等,则直线; ( ) (3)若两条直线在平面上的射影重合,则直线共面; ( ) (4)若都是平面的斜线段,且,则它们在平面上的射影长相等;( ) (5)若在平面内,,且与平面成等角,则; ( ) (6)过一定点作与平面所成角等于定值的直线有无数条. ( ) 【难度】★★ 【答案】1.√ 2.╳ 3.√ 4.╳ 5.√ 6.╳ 【例2】四面体ABCS中,SA,SB,SC 两两垂直,∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB的中点, 求(1)BC与平面SAB所成的角。(2)SC与平面ABC所成的角。 【难度】★★ 【答案】(1),(2) 【解析】SC垂直于面SAB,所以C点在平面SAB上的射影恰好是S点,所以所成角就是,SC与平面ABC不是垂直的,因此S点在平面上的射影直接是看不出来的,那要做垂线的话也不知道射影的位置,考虑到底面SAB是一个等腰直角三角形,所以取AB的中点M,连接SM,CM,得到AB垂直于平面SCM,因此要找S点在平面ABC中的射影,只需要过S做CM的垂线即可,所成角就是,设SB=1,, 【例3】已知长方体,点E在是棱的中点,与底面ABCD所成的角为,AB=AD=1. (1)求证:∥平面EAC; (2)求异面直线与AC之间的距离; (3)求与平面AEC所成的角. 【难度】★★ 【答案】(1)略;(2);(3) 【例4】如图,在正方体中,点为线段的中点,设点在线段上,直线与平面所成角为,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【难度】★★ 【答案】B 【例5】在棱长为1的正方体中,是侧棱上的一点,。 (Ⅰ)试确定,使直线与平面所成角的正切值为; (Ⅱ)在线段上是否存在一个定点,使得对任意的,在平面上的射影垂直于,并证明你的结论。 【难度】★★ 【答案】(1) 故。所以。 又.故 在△,即. 故当时,直线。 (Ⅱ)依题意,要在上找一点,使得.可推测的中点即为所求的点。 因为,所以又,故。 从而 【巩固训练】 1.若直线与平面所成的角为,则的取值范围是 . 【难度】★ 【答案】 2.两点相距,且与平面的距离分别为和,则与平面所成的角的大小是 ( ) A. B. C.或 D.或或 【难度】★★ 【答案】C 3.是从点引出的三条射线,每两条夹角都是,那么直线与平面所成角的余弦值是___________. 【难度】★★ 【答案】 4.若是边长等于1的正三角形,点在平面外,且,是中点.(1)求与平面所成的角;(2)求与平面所成的角. 【难度】★★ 【答案】(1);(2)。 5.如图所示,四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形,其中是圆的直径,,,垂直底面,,分是上的点,且,过点作的平行线交于.求与平面所成角的正弦值; 【难度】★★ 【答案】(1)在中,,,而PD垂直底面ABCD, ,中,,即为以为直角的直角三角形。设点到面的距离为,由有,即 2、距离问题 1.空间中的距离主要指以下七种 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (1)两点之间的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (2)点到直线的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (3)点到平面的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (4)两条平行线间的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (5)两条异面直线间的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (6)平面的平行直线与平面之间的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (7)两个平行平面之间的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 七种距离之间有密切联系,有些可以相互转化,如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离,平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 在七种距离中,求点到平面的距离是重点,求两条异面直线间的距离是难点 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 求点到平面的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (1)直接法,即直接由点作垂线,求垂线段的长 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (2)转移法,转化成求另一点到该平面的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (3)体积法 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (3)向量法 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 求异面直线的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (1)定义法,即求公垂线段的长 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (2)转化成求直线与平面的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (3)函数最值法,依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 【例6】判断正误: (1)若直线垂直于平面内两条直线,则; ( ) (2)过一定点与已知平面垂直的直线有无数条; ( ) (3)过一定点与已知直线垂直的直线都在同一平面内; ( ) (4)若直线,,则; ( ) (5)若,直线,则; ( ) (6)若,,且,则线段的长度是直线与平面的距离.( ) 【难度】★★ 【答案】1.╳ 2.╳ 3.√ 4.√ 5.╳ 6.╳ 【例7】若正四面体的各条棱长均为,平面于. (1)求证:是的中心; (2)求点到平面的距离; (3)求异面直线和的距离. 【难度】★★ 【答案】(1)略;(2);(3) 【例8】把边长为正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角,点E、F分别是AD、BC的中点,点O是原正方形的中心,求 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (1)EF的长;(2)折起后∠EOF的大小 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 【难度】★★ 【答案】(1)(2) 【例9】如图,空间四点A、B、C、D中,每两点所连线段的长都等于a,动点P在线段AB上,动点Q在线段CD上,则P与Q的最短距离为_________ (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 【难度】★★ 【答案】a 【解析】以A、B、C、D为顶点的四边形为空间四边形,且为正四面体,取P、Q分别为AB、CD的中点,因为AQ=BQ=a,∴PQ⊥AB, 同理可得PQ⊥CD,故线段PQ的长为P、Q两点间的最短距离,在Rt△APQ中,PQ=a 【例10】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB= AD=a, ∠ADC=arccos,PA⊥面ABCD且PA=a (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (1)求异面直线AD与PC间的距离; (2)在线段AD上是否存在一点F,使点A到平面PCF的距离为 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 【难度】★★★ 【答案】 (1)∵BC∥AD,BC面PBC,∴AD∥面PBC 从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 过A作AE⊥PB,又AE⊥BC ∴AE⊥平面PBC,AE为所求 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 在等腰直角三角形PAB中,PA=AB=a ∴AE=a (2)作CM∥AB,由已知cosADC= ∴tanADC=,即CM=DM ∴ABCM为正方形,AC=a,PC=a 过A作AH⊥PC,在Rt△PAC中,得AH= 下面在AD上找一点F,使PC⊥CF 取MD中点F,△ACM、△FCM均为等腰直角三角形 ∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90° ∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在满足条件的点F (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 【巩固训练】 1.已知线段AB在平面α外,A、B两点到平面α的距离分别是1和3,则线段AB中点到平面α的距离是 . 【难度】★★ 【答案】2或 2.三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,设平面A1BC1与平面ABC的交线为l,则A1C1与l的距离为( ) A (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) B (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) C (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 2.6 D (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 2.4 【难度】★★ 【答案】C 【解析】交线l过B与AC平行,作CD⊥l于D,连C1D,则C1D为A1C1与l的距离,而CD等于AC上的高,即CD=,Rt△C1CD中易求得C1D==2.6 3.已知△ABC中,AB=9,AC=15,∠BAC=120°,△ABC所在平面外一点P到此三角形三个顶点的距离都是14,则点P到平面ABC的距离是 . 【难度】★★ 【答案】7 4.在ΔABC中,已知AB=6,AC=8,BC=10,P为平面ABC外的一点,且PA=PB=PC=7,求点P到平面ABC的距离. 【难度】★★ 【答案】2 5.直角三角形ACB所在的平面外有一点P,已知P点到直角顶点C的距离是24,到两条直角边的距离都是,求点P到平面的距离. 【难度】★★★ 【答案】12 6.如图,已知三棱柱A1B1C1—ABC的底面是边长为2的正三角形,侧棱A1A与AB、AC均成45°角,且A1E⊥B1B于E,A1F⊥CC1于F (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (1)求点A到平面B1BCC1的距离; (2)当AA1多长时,点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 【难度】★★★ 【答案】(1)∵BB1⊥A1E,CC1⊥A1F,BB1∥CC1 ∴BB1⊥平面A1EF 即面A1EF⊥面BB1C1C 在Rt△A1EB1中, ∵∠A1B1E=45°,A1B1=a ∴A1E=a,同理A1F=a,又EF=a,∴A1E=a 同理A1F=a,又EF=a ∴△EA1F为等腰直角三角形,∠EA1F=90° 过A1作A1N⊥EF,则N为EF中点,且A1N⊥平面BCC1B1 即A1N为点A1到平面BCC1B1的距离 ∴A1N= 又∵AA1∥面BCC1B,A到平面BCC1B1的距离为 ∴a=2,∴所求距离为2 (2)设BC、B1C1的中点分别为D、D1,连结AD、DD1和A1D1,则DD1必过点N,易证ADD1A1为平行四边形 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) ∵B1C1⊥D1D,B1C1⊥A1N ∴B1C1⊥平面ADD1A1 ∴BC⊥平面ADD1A1 得平面ABC⊥平面ADD1A1,过A1作A1M⊥平面ABC,交AD于M, 若A1M=A1N,又∠A1AM=∠A1D1N,∠AMA1=∠A1ND1=90° ∴△AMA1≌△A1ND1,∴AA1=A1D1=,即当AA1=时满足条件 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 1、无论是求角还是求距离,其方法大致可以分为两类:一类是直接法,即作出所求的角和距离;另一类是转化法; 2、异面直线的距离,除求公垂线段外,通常划归为线面距离、面面距离;而线面距离、面面距离通常转化为点面距离。 1.两条相等的平行线段在同一平面内的射影长 . 【难度】★ 【答案】相等 2.给出下列四个命题: ①夹在两个平行平面间的线段中,较长的线段与平面所成的角较小; ②夹在两个平行平面间的线段相等,则它们与两个平面所成的角相等; ③夹在两个平行平面间的线段相等,则这两线段必平行; ④夹在两个平行平面间的平行线段必相等. 其中正确的命题有( ) A. ①②④ B. ②③④ C. ①③ D. ④ 【难度】★★ 【答案】A 3.如左下图,空间四点A、B、C、D中,每两点所连线段的长都等于a,动点P在线段AB上,动点Q在线段CD上,则P与Q的最短距离为_________. 【难度】★★ 【答案】以A、B、C、D为顶点的四边形为空间四边形,且为正四面体,取P、Q分别为AB、CD的中点,因为AQ=BQ=a,∴PQ⊥AB,同理可得PQ⊥CD,故线段PQ的长为P、Q两点间的最短距离,在Rt△APQ中,PQ=a 4.如右上图,ABCD与ABEF均是正方形,如果二面角E—AB—C的度数为30°,那么EF与平面ABCD的距离为_________. 【难度】★★ 【答案】显然∠FAD是二面角E—AB—C的平面角,∠FAD=30°,过F作FG⊥平面ABCD于G,则G必在AD上,由EF∥平面ABCD. ∴FG为EF与平面ABCD的距离,即FG=. 5.已知正方体中的棱长为, (1)求直线和平面所成的角; (2)求直线和平面所成的角; (3)求直线和平面所成的角. 【难度】★★ 【答案】(1);(2);(3). 6.如图,、是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段。点A、B在上,C在上,。 (Ⅰ)证明⊥; (Ⅱ)若,求与平面ABC所成角的余弦值。 【难度】★★ 【答案】(Ⅰ)由已知l2⊥MN, l2⊥l1 , MN∩l1 =M, 可得l2⊥平面ABN.由已知MN⊥l1 , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB. 又AN为AC在平面ABN内的射影.∴AC⊥NB (Ⅱ)∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H 是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角. 在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = . 7.如图, 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,和的长分别为和. (1)求点和点的距离; (2)求点到棱的距离;] (3)求棱和平面的距离; (4)求异面直线和的距离. 【难度】★★ 【答案】,5,3,3 8.如图,已知在平面内,,,求证:点在平面上的射影在的平分线上. 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】:作,,垂足分别为,连结, ∵ , , 又∵,∴平面,∴.同理. 在和,, ∴,∴, 即点在平面上的射影在的平分线上. 【说明】:本题给出了一个很重要的结论:平面的一条斜线,如果和这个平面内斜线为顶点的角的两边成等角,那么这条斜线在这个平面上的射影是这个角的平分线所在的直线,这个结论在解答一些问题时常常用到. 9.如图:已知直三棱柱ABC—A1B1C1,AB=AC,F为棱BB1上一点,BF∶FB1=2∶1,BF=BC=2a。 (1). 若D为BC的中点,E为AD上不同于A、D的任意一点,证明EF⊥FC1; (2) .试问:若AB=2a,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角,为什么?证明你的结论。 【难度】★★★ 【答案】(1)连结DF,DC  ∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱,   ∴CC1⊥平面ABC,∴平面BB1C1C⊥平面ABC   ∵AB=AC,D为BC的中点,∴AD⊥BC,AD⊥平面BB1C1C   ∴DF为EF在平面BB1C1C上的射影,   在△DFC1中,∵DF2=BF2+BD2=5a2,=+DC2=10a2,   =B1F2+=5a2, ∴=DF2+,∴DF⊥FC1 FC1⊥EF   (2)∵AD⊥平面BB1C1C,∴∠DFE是EF与平面BB1C1C所成的角   在△EDF中,若∠EFD=60°,则ED=DFtg60°=·=,   ∴>,∴E在DA的延长线上,而不在线段AD上   故线段AD上的E点不能使EF与平面BB1C1C成60°角 10.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB= AD=a,∠ADC=arccos,PA⊥面ABCD且PA=a. (1)求异面直线AD与PC间的距离; (2)在线段AD上是否存在一点F,使点A到平面PCF的距离为. 【难度】★★★ 【答案】(1)∵BC∥AD,BC面PBC,∴AD∥面PBC 从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离. 过A作AE⊥PB,又AE⊥BC ∴AE⊥平面PBC,AE为所求. 在等腰直角三角形PAB中,PA=AB=a ∴AE=a (2)作CM∥AB,由已知cosADC= ∴tanADC=,即CM=DM ∴ABCM为正方形,AC=a,PC=a 过A作AH⊥PC,在Rt△PAC中,得AH= 下面在AD上找一点F,使PC⊥CF 取MD中点F,△ACM、△FCM均为等腰直角三角形 ∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90° ∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在满足条件的点F. 空间中的直线与平面2 知识梳理 【规定】 (1)一条直线垂直于平面,定义这直线与平面所成的角是直角; (2)一条直线和平面平行,或在平面内,定义它和平面所成的角是的角. 【注意】 (1)直线与平面所成的角的大小与点在上的取法无关; (2)直线和平面所成角的范围是; (3)斜线和平面所成角的范围是. 例题解析 D1 C1 B C A1 B1 D E A D C B A F C P G E A B 图5 D O D C B A 反思总结 课后练习 C D A B1 B D1 A1 C1 E F B D F A C E A1 B1 C1 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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  • ID:3-7151232 [精] 沪教版数学高二下春季班:第四讲空间中的直线与平面1 同步学案(教师版)

    高中数学/沪教版/高中三年级 第一学期/第14章 空间直线与平面/14.3空间直线与平面的位置关系

    中小学教育资源及组卷应用平台 沪教版数学高二下春季班第四讲 课题 空间中的直线与平面1 单元 第十四章 学科 数学 年级 十一 学习 目标 1.掌握直线与平面平行的定义、判定定理和性质定理,并能运用这些知识进行论证或解题; 2.掌握直线与平面垂直的定义、判定定理与性质定理,并能运用它们进行论证和解决有关问题 重点 1.理解掌握线线平行、线面平行之间的转化以及平行与垂直之间的转化的辩证关系; 2.证明垂直问题常常通过“线线垂直”与“线面垂直”之间的转化来实现,而证明“线线垂直”常常利用三垂线定理. 难点 证明垂直问题常常通过“线线垂直”与“线面垂直”之间的转化来实现,而证明“线线垂直”常常利用三垂线定理. 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 30 2 例题解析 60 3 巩固训练 20 4 师生总结 10 5 课后练习 30 1、直线和平面的位置关系 (1)直线在平面内(无数个公共点); (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点); (3)直线和平面平行(没有公共点) 2、线面平行 (1)判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. (2)性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行. 3、线面垂直 (1)判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面. (2)性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 1、直线与平面平行 【例1】判断真假: (1)平行于同一直线的两直线平行( ); (2)平行于同一直线的两平面平行( ); (3)平行于同一平面的两直线平行( ); (4)平行于同一平面的两平面平行( ); (5)垂直于同一平面的两直线平行( ); (6)垂直于同一平面的两平面平行( ); (7)垂直于同一直线的两直线平行( ); (8)垂直于同一直线的两平面平行( ); (9)一个平面上不共线的三点到另一个平面距离相等,则这两个平面平行( ); (10)与同一条直线成等角的两个平面平行( ). 【难度】★★ 【答案】1.√ 2.╳ 3.╳ 4.√ 5.√ 6.╳ 7.╳ 8.√ 9.╳ 10.╳ 【例2】判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)若平面内的两条直线分别与平面平行,则与平行; (2)若平面内有无数条直线分别与平面平行,则与平行; (3)平行于同一直线的两个平面平行; (4)两个平面分别经过两条平行直线,这两个平面平行; (5)过已知平面外一条直线,必能作出与已知平面平行的平面. 【难度】★★ 【答案】不正确,不正确,不正确,正确,不正确 【例3】在正方体中,分别是棱、、的中点. 求证:(1)直线; (2)直线. 【难度】★ 【答案】(1)连接,是正方体,分别是棱、、的中点, , ,且 四边形是平行四边形 (2)连接,, , 【例4】已知分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱的中点, 求证:∥平面. 【难度】★ 【答案】 【例5】如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点Q在BD上, 点P在D1A,且AP=BQ,求证:PQ∥平面AA1B1B. 【难度】★★ 【答案】作PF⊥AD,连结QF,在△ADD1中,AP:AD1=AF:AD 又因为AP=BQ,AD1=BD所以AF:AD=BQ:BD 由此得QF⊥AD,因为AD⊥PF所以AD⊥平面PFQ 又因为AD⊥平面CC1DD1 所以平面PFQ‖平面CC1DD1 因为PQ在平面PFQ内,所以PQ‖平面CC1DD1 【例6】如图,正方体中,E为的中点,试判断与平面AEC的位置关系,并说明理由. 【难度】★★ 【答案】连接BD、AC交于点F EF是面AEC内的直线 同时EF也是三角形BDD'的中位线 有BD1平行于EF 所以有BD1平行于面AEC 【例7】E,F分别是空间四边形ABCD的AC,BD的中点,过E,F且平行于AD的平面分别交AB,CD于G,H.求证:BC平面EGFH. 【难度】★★ 【答案】 同理,, 又因为EF分别为AC,BD中点,GF、EH分别为所在三角形中位线 , 可知G、H为AB、CD中点,可知 【例8】ABCD是空间四边形,E、F、G、H分别是四边上的点,并且//面,//面,当是菱形时,____________________. 【难度】★ 【答案】 【例9】已知异面直线、都平行于平面,且、在的两侧,若、与分别交于、两点,求证:; 【难度】★ 【答案】连AD交于P,连MP、PN ∵CD∥,平面ACD∩=MP ∴CD∥MP ∴,同理可得,∴ 【例10】如下图,设P为长方形ABCD所在平面外一点,M、N分别为AB、PD上的点,且=,求证:直线MN∥平面PBC. 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】:要证直线MN∥平面PBC,只需证明MN∥平面PBC内的一条直线或MN所在的某个平面∥平面PBC. 证法一:过N作NR∥DC交PC于点R,连结RB,依题意得====NR=MB.∵NR∥DC∥AB,∴四边形MNRB是平行四边形.∴MN∥RB.又∵RB平面PBC,∴直线MN∥平面PBC. 证法二:过N作NR∥DC交PC于点R,连结RB,依题意有==,∴=,=+ + =.∴MN∥RB.又∵RB平面PBC,∴直线MN∥平面PBC. 【说明】 1:要证明直线与平面平行根据判定定理应该找平行线;但找平行线又根据性质定理的思想关键是找一个平面,借此可充分领会平行链的作用. 2.找平行线经常会用到平行线分线段成比例的性质. 3.鼓励学生一题多解, 【说明】本题重点考查直线与平面平行的性质. 【例11】两条异面直线、分别在平面、内,且=c,则直线 ( ) A.一定与,都相交 B.至少与,中的一条相交 C.至多与,中的一条相交 D.一定与,都不相交 【难度】★★ 【答案】B 【例12】如图,在正方形ABCD外有一点S到A、B、C、D四点距离相等,底面ABCD的边长为,SA=SB=SC=SD=2,P、Q分别在BD和SC上,且BP : PD=1 : 2, PQ∥平面SAD,求线段PQ的长. 【难度】★★★ 【答案】 【巩固训练】 1.如果平面外一条直线上有两个点到这个平面的距离相等,则这条直线与平面关系是________. 【难度】★ 【答案】平行,相交 2.若直线平面,则直线与平面内的直线的位置关系是 . 【难度】★ 【答案】平行、异面 3.用表示一个平面,l表示一条直线,则平面内至少有一条直线与l( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 【难度】★ 【答案】D 4.正方体中,点分别是正方形的中心. (1)直线平面的位置关系是 ; (2)直线与所成的角为 ; (3)平面与平面的位置关系是 . 【难度】★ 【答案】平行,,平行 5.直线与平面平行的充要条件是 ( ) A.直线与平面内的一条直线平行 B.直线与平面内的两条直线不相交 C.直线与平面内的无数条直线平行 D.直线与平面内的任意直线都不相交 【难度】★ 【答案】D 6.如果直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和这两个相交平面的交线的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.以上情况都有可能 【难度】★ 【答案】A 7.已知直线平面,则直线与平面的位置关系是__________。 【难度】★ 【答案】或 8.若直线平面,则下列命题中正确的是 ( ) A.平行于内所有直线 B.平行于过的平面与的交线 C.平行于内的任一直线 D.平行于内唯一确定的直线 【难度】★★ 【答案】B 9.已知直线和平面,那么的一个必要不充分条件是 ( ) A. B. C. D.与成等角 【难度】★★ 【答案】D 10.表示两个平面,表示两条直线,则的一个充分条件是 ( ) A. B. C. D. 【难度】★★ 【答案】D 11.两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,MAC,NFB且AM=FN,求证:MN∥平面BCE. 【难度】★★ 【答案】平面MNH // 平面BCE,则平面MNH 上任一直线‖平面BCE,则得证 12.设a、b是异面直线,AB是a、b的公垂线,过AB的中点O作平面α与a、b分别平行,M、N分别是a、b上的任意两点,MN与AB交于点P,求证:P是MN的中点. 【难度】★★ 【答案】证明:连接AN,交平面α于点Q,连接PQ. ∵b∥α,b平面ABN,平面ABN∩α=OQ, ∴b∥OQ.又O为AB的中点, ∴Q为AN的中点.∵a∥α,a平面AMN且平面AMN∩α=PQ, ∴a∥PQ.∴P为MN的中点. 2、直线与平面垂直 【例13】判断正误: (1)若直线垂直于平面内两条直线,则; ( ) (2)过一定点与已知平面垂直的直线有无数条; ( ) (3)过一定点与已知直线垂直的直线都在同一平面内; ( ) (4)若直线,,则; ( ) (5)若,直线,则; ( ) (6)若,,且,则线段的长度是直线与平面的距离.( ) 【难度】★★ 【答案】1.╳ 2.╳ 3.√ 4.√ 5.╳ 6.╳ 【例14】已知RtABC中,,PA平面ABC,AEPC于E,求证:AE平面PBC. 【难度】★★ 【答案】 【例15】 P是△ABC所在平面外的一点,P在平面ABC内的射影是O,①若PA=PB=PC,则O是△ABC的外心;②若P到△ABC的三边所在直线的距离相等,且O在△ABC内,则O是△ABC的内心;③若PA、PB、PC两两互相垂直,则O是△ABC的垂心;④若PA=PB=PC,且O在边AB上,则△ABC是直角三角形。正确的命题是 . 【难度】★★ 【答案】①②③④ 【例16】直角梯形ABCD中,,,,平面.求证:(1);(2). 【难度】★★ 【答案】(1)(2) 【例17】如图,在四面体ABCD中,CD⊥BD,CD⊥AD,过△ABC内一点P画一直线与CD垂直,应如何画?说明理由. 【难度】★★ 【答案】在AB边上任取一点M,连接CM,DM,使P在CM上,作PQ∥DM交CD于点Q,则PQ就是要画的直线. 证明:因为CD⊥BD,CD⊥AD,所以CD⊥平面ABD,所以CD垂直平面ABD内任何直线,所以CD⊥DM,在平面CDM中,PQ∥DM,所以PQ⊥CD. 【例18】在正方体中,与正方体的一条对角线垂直的各面的对角线的条数是 . 【难度】★★ 【答案】6 【例19】正四棱柱中,,点在上且. 证明:平面; 【难度】★★ 【答案】依题设知,.(Ⅰ)连结交于点,则. 由三垂线定理知,. 在平面内,连结交于点, 由于,故,, 与互余.于是.与平面内两条相交直线都垂直, 所以平面. 【例20】已知PD垂直于矩形ABCD所在的平面,M、N分别是AD、PB的中点(如图),求证:MN⊥AD. 【难度】★★ 【答案】连接BD,过N点作PD的平行线NQ,Q点落在BD上且平分BD,三角形PDB的中位线NQ垂直于BD,也垂直于矩形ABCD,所以NQ垂直于AD,连接MQ,中位线MQ平行于AB且垂直于AD ,所以AD就垂直于三角形MNQ,就得到AD垂直于MN. 【例21】已知直线a⊥平面,直线b⊥平面,O、A为垂足.求证:a∥b. 【难度】★ 【答案】略 【例22】已知PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上任意一点,过A点作AE⊥PC于点E,求证:AE⊥平面PBC. 【难度】★★ 【答案】证明:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC. 又∵AB是⊙O的直径,∴BC⊥AC.而PC∩AC=C,∴BC⊥平面PAC. 又∵AE在平面PAC内,∴BC⊥AE. ∵PC⊥AE,且PC∩BC=C, ∴AE⊥平面PBC 【例23】如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD⊥平面ABC,AE⊥BD于E,AF⊥CD于F,求证:BD⊥平面AEF. 【难度】★★ 【答案】因为AB是直径,所以BC⊥AC;又AD⊥面ABC,所以BC⊥AD,于是知BC⊥面ACD,可知BC⊥AF.又AF⊥CD,且AF⊥BC,所以AF⊥面BCD,即知AF⊥BD.又BD⊥AE,所以BD⊥平面AEF 【例24】正方形ABCD的边长是,为其中心.平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都是,M、N分别是PA、BD上的点,且; 求证:(1)平面ABCD ;(2)平面. 【难度】★★ 【答案】 (1)连接AC、BD,可知交点为O,连接PO,可知为等腰三角形,,同理, (2)证明:连结AN并延长和BC交于E点,由PM:MA=BN:ND,可得EN:NA=BN:ND=MP:MA,即? ∴MN∥PE,而MN?平面PBC,PE?面PBC,∴MN∥平面PBC 【例25】如图1所示,为正方形,⊥平面,过且垂直于的平面分别交于.求证:,. 【难度】★★★ 【答案】∵SA⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,∴BC⊥SA, ∵四边形ABCD为正方形,∴BC⊥AB, ∵AB、SA是平面SAB内的相交直线,∴BC⊥平面SAB. ∵AE?平面SAB,∴BC⊥AE. ∵SC⊥平面AEFG,AE?平面AEFG,∴SC⊥AE, ∵BC、SC是平面SBC内的相交直线,∴AE⊥平面SBC. ∵SB?平面SBC,∴AE⊥SB. 同理可证AG⊥SD. 【例26】如图2,在三棱锥中,,,作,E为垂足,作于.求证:. 【难度】★★★ 【答案】取AB中点F,连接CF,DF; ∵BC=AC,AD=BD,∴AB⊥CF,AB⊥DF,CF∩DF=F; ∴AB⊥平面CDF,CD?平面CD; ∴CD⊥AB,CD⊥BE,BE∩AB=B; ∴CD⊥平面ABE,AH?平面ABE; ∴CD⊥AH,即AH⊥CD,又AH⊥BE,BE∩CD=E; ∴AH⊥平面BCD. 【例27】如图:斜边为AB的与PB交于E, 求证:平面. 【难度】★★★ 【答案】BC⊥PC,?BC⊥AC,?∴BC⊥PAC,?PBC⊥PAC,(BC∈PBC).又AF⊥PC(交线) ?∴AF⊥PBC,?AF⊥PB,又AE⊥PB,∴AEF⊥PB,EF⊥PB.∴PB⊥平面AEF 【例28】下列五个正方体图形中,是正方体的一条对角线,点M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出⊥面MNP的图形的序号是 .(写出所有符合要求的图形序号) 【难度】★★★ 【答案】①④ 【巩固训练】 13.“直线垂直于平面内的无数条直线”是“”的_______条件. 【难度】★ 【答案】必要非充分 14.若直线与平面不垂直, 那么平面内与直线垂直的直线有_________条. 【难度】★ 【答案】无数 15.直线与平面斜交,那么在内与垂直的直线     (  ) A.没有           B.有一条   C.有无数条         D.有条(为大于1的整数) 【难度】★ 【答案】C 16.如果直线平面,直线,直线与的位置关系是 ( ) A. B. C.一定异面 D.一定相交 【难度】★ 【答案】B 17.(1)如图7,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AA1、CC1的中点,判断下列结论是否正确: ①AC⊥面CDD1C1 ②A A 1⊥面A1B1C1D1 ③AC⊥面BDD1B1 ④ EF⊥面BDD1B1 ⑤AC⊥BD1 (2)将(1)中正方体改成长方体呢,以上结论是否正确? 【难度】★★ 【答案】②③④⑤,不正确 18.若平面,中,,则的形状是 . 【难度】★ 【答案】直角三角形 19.直线垂直于平面内的两条直线,则直线与平面的关系是  ( ) A.垂直 B.平行 C.相交 D.都有可能 【难度】★ 【答案】D 20.直线不垂直于平面,则内与垂直的直线共有 ( ) A.0条 B.1条 C.无数条 D.内所有直线 【难度】★ 【答案】C 21.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AA1、CC1的中点,,连接,求证:. 【难度】★★ 【答案】略 22.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,为底面ABCD的中心,F为CC1的中点,求证:. 【难度】★★ 【答案】证明:连接FO. ∵DB⊥A1A,DB⊥AC,A1A∩AC=A,∴DB⊥平面A1ACC1. 又A1O?平面A1ACC1,∴A1O⊥DB. ∵tan∠AA1O=,tan∠FOC=,∴∠AA1O=∠FOC, 则∠A1OA+∠FOC=90°.∴A1O⊥OF. ∵OF∩DB=O,∴A1O⊥平面FBD. 23.如图:正方体ABCD-ABCD中,S,T分别为棱上的点, 如果,那么是( ) A.锐角 B.直角 C.钝角 D.以上都有可能 【难度】★★ 【答案】B 24.如图:P是ABC所在平面外的一点,且PA平面ABC.若O和Q分别是ABC和PBC的垂心.求证:OQ平面PBC. 【难度】★★★ 【答案】证明:∵O是△ABC的垂心,∴BC⊥AE.∵PA⊥平面ABC,根据三垂线定理得BC⊥PE. ∴BC⊥平面PAE.∵Q是△PBC的垂心,故Q在PE上,则OQ?平面PAE,∴OQ⊥BC. ∵PA⊥平面ABC,BF?平面ABC,∴BF⊥PA,又∵O是△ABC的垂心, ∴BF⊥AC,故BF⊥平面PAC.因而FM是BM在平面PAC内的射影. 因为BM⊥PC,据三垂线定理的逆定理,FM⊥PC, 从而PC⊥平面BFM.又OQ?平面BFM,所以OQ⊥PC. 综上知OQ⊥BC,OQ⊥PC, 所以OQ⊥平面PBC 1.判断正误: (1)若直线,,则;( ) (2)若直线,,且都在平面内,则;( ) (3)若直线,,则直线;( ) (4)若平面,直线,则直线;( ) (5)直线,平面,则直线;( ) (6)平面,平面,则直线;( ) (7)若平面直线,直线,且和没有公共点,则.( ) 【难度】★ 【答案】1.╳ 2.√ 3.╳ 4.╳ 5.╳ 6.√ 7.√ 2.如果直线平面,①若直线,则;②若,则;③若,则;④若,则.上述判断正确的是: ( ) A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.②④ 【难度】★★ 【答案】B 3.关于直线以及平面,下列说法正确的是 ( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 【难度】★★ 【答案】D 4、如图,三棱柱中,侧棱,底面三角形是正三角形,是中点,则下列叙述正确的是(  ) A.与是异面直线 B.平面 C.,为异面直线,且 D.平面 【难度】★★ 【答案】C 5、如图,在正四棱锥中,分别是,,的中点,动点在线段上运动时,下列四个结论:①;②;③面;④面.中恒成立的为(  ) ①③ B.③④ C.①② D.②③④ 【难度】★★ 【答案】A 6、已知一条直线与一个平面内的两条直线垂直.则该直线与这个平面的位置关系为(  ) A.平行 B.相交 C.在平面内 D.都有可能 【难度】★★ 【答案】D 7、如图,直线平面,垂足为,已知边长为的等边三角形在空间做符合以下条件的自由运动:①,②,则两点间的最大距离为(  ) B. C. D. 【难度】★★★ 【答案】C 8、已知矩形,,,沿着对角线所在的直线进行翻折,在翻折过程中( ) A. 存在某个位置,使得直线与垂直; B. 存在某个位置,使得直线与垂直; C. 存在某个位置,使得直线与垂直; D. 对任意位置,三直线“与”、“与”、“与”均不垂直. 【难度】★★★ 【答案】B 9.点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,O是对角线AC与BD的交点,且PA=PC,PB=PD. 求证:PO⊥平面ABCD. 【难度】★★ 【答案】∵PA=PC,PB=PD,∴PO⊥AC,PO⊥BD 平面PAC交平面PBD于PO,所以PO⊥平面ABCD 10.如图,已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点. 求证:(1)线段MP和NQ相交且互相平分;(2)AC∥平面MNP,BD∥平面MNP. 【难度】★★ 【解析】(1) ∵M、N是AB、BC的中点,∴MN∥AC,MN=AC. ∵P、Q是CD、DA的中点,∴PQ∥CA,PQ=CA. ∴MN∥QP,MN=QP,MNPQ是平行四边形. ∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分. (2)由(1),AC∥MN.记平面MNP(即平面MNPQ)为α.显然ACα. 否则,若ACα, 由A∈α,M∈α,得B∈α; 由A∈α,Q∈α,得D∈α,则A、B、C、D∈α, 与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾. 又∵MNα,∴AC∥α, 又AC α,∴AC∥α,即AC∥平面MNP. 同理可证BD∥平面MNP. 空间中的直线与平面1 知识梳理 例题解析 C B D A B1 C1 A1 D1 E F M C B D A B1 C1 A1 D1 E F M D B1 A C1 B C A1 D1 E F E B C D A F GF\ H E B C D A F GF\ H M N A B C D E A1 B1 C1 D1 图7 C D A B1 B D1 A1 C1 E F A C B P A S T Q M F 课后练习 B A D C P N Q M 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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  • ID:3-7150780 [精] 沪教版数学高二下春季班:第三讲平面及空间中的直线 同步学案(教师版)

    高中数学/沪教版/高中三年级 第一学期/第14章 空间直线与平面/14.2空间直线与直线的位置关系

    中小学教育资源及组卷应用平台 沪教版数学高二下春季班第三讲 课题 平面及空间中的直线 单元 第十四章 学科 数学 年级 十一 学习 目标 1.知道平面的含义,理解平面的基本性质,会用文字语言、图形语言、集合语方表述平面的基本性质; 2.掌握确定平面的方法,并能运用于确定长方体的简单截面; 3.掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系,并能用图形、符号和集合语言予以表示. 重点 1.平面的基本性质,平行线的传递性; 2.空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系及其表示方法. 难点 空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系及其表示方法. 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 30 2 例题解析 60 3 巩固训练 20 4 师生总结 10 5 课后练习 30 1、平面表示方法 平面用平行四边形表示,常用表示方法:①一个大写字母,②一个小写希腊字母,③三个或者三个以上的字母. 2、平面的基本性质 公理1、如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内. 推理模式: 如图示: 应用:是判定直线是否在平面内的依据,也可用于验证一个面是否是平面. 公理1说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻划平面的“平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”,它既是判断直线在平面内,又是检验平面的方法. 公理2、如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 推理模式:且且唯一 如图示: 应用:①确定两相交平面的交线位置;②判定点在直线上 公理2揭示了两个平面相交的主要特征,是判定两平面相交的依据,提供了确定两个平面交线的方法. 公理3、经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 推理模式:不共线存在唯一的平面,使得 应用:①确定平面;②证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解,“有”说明图形存在,但不唯一,“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个,但不保证符合条件的图形存在,“有且只有一个”既保证了图形的存在性,又保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中,“确定一个”,“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词,因此,在证明有关这类语句的命题时,要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证. 推论1、经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 推理模式:存在唯一的平面,使得, 推论2、经过两条相交直线有且只有一个平面. 推理模式:存在唯一的平面,使得 推论3、经过两条平行直线有且只有一个平面. 推理模式:存在唯一的平面,使得 公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行. 推理模式:, 3、空间两直线的位置关系 (1)相交——有且只有一个公共点; (2)平行——在同一平面内,没有公共点; (3)异面——不在任何一个平面内,没有公共点. 4、异面直线 (1)异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线. (2)异面直线画法: (3)异面直线证法:反证法,即证明两直线既不平行也不相交. (4)求异面直线所成的角 异面直线所成的角是指过空间任意一点O分别作两条异面直线的平行线,所得的两条相交直线所成的锐角(或直角)。它的取值范围为. 辨析:异面直线所成的角的取值范围是;向量所成的角的取值范围是. 所以,用向量方法求异面直线所成的角时,如果得出的是钝角,还要修正为锐角. 异面直线所成的角求法: ① 几何法:通过直线搬动,具体搬动一条直线还是两条都搬动,要看实际情况; ② 代数法:采用向量运算. 1、平面及其基本性质 【例1】判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×” (1)可画一个平面,使它的长为,宽为; ( ) (2)一个平面的面积为; ( ) (3)光滑的桌面就是一个平面; ( ) (4)一条直线把它所在的平面分成两部分,一个平面把空间分成两部分; ( ) (5)若一条直线和一个平面仅有一个公共点,则称该平面经过这条直线; ( ) (6)若一条直线上有两个点在一个平面内,则称该平面经过这条直线; ( ) (7)经过面内任意两点的直线,若直线上各点都在这个面内,那么这个面是平面; ( ) (8)空间两个平面可将空间分成四部分. ( ) 【难度】★ 【答案】1.╳ 2.╳ 3.╳ 4.√ 5.╳ 6.√ 7.√ 8.╳ 【例2】看图填空: (1)点 平面; (2)直线___________; (3)直线 平面= ; (4)直线 平面; (5)直线___________. (6)平面平面___________; (7)平面平面___________; (8)平面平面平面___________. 【难度】★ 【答案】;;,;//;;;; 【例3】下列命题中,正确命题的序号是 . (1)四边相等四边形为菱形; (2)若四边形有两个对角都为直角,则这个四边形是圆内接四边形; (3)“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”; (4)若两个平面有一条公共直线,则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上. 【难度】★★ 【答案】(3)(4) 【例4】下列命题正确的个数是 ( ) 若共面,共面,则共面; 若共面,共面,则共面; 若共面,共面,共面,则共面; 若不共面,不共面,则不共面. A.0 B.1 C.2 D.3 【难度】★★ 【答案】A 【例5】下列说法正确的为 ( ) A.平面和只有一个公共点 B.两两相交的三条直线共面 C.不共面的四点中,任何三点不共线 D.有三个公共点的两平面必重合 【难度】★★ 【答案】C 【例6】正方形中,M是中点,过、M、C作一个平面,画出这个平面截正方体所得的截面. 【难度】★★ 【答案】 【例7】已知直线,直线与分别相交于,求证:四线共面. 【难度】★★ 【解析】因为,由推论3,存在平面,使得。 又因为直线与分别相交于,由公理1,; 同理存在平面,使得。因为, 所以重合。故四线共面。 【例8】已知 三边所在直线分别与平面交于三点,求证:三点共线. 【难度】★★ 【解析】∵是不在同一直线上的三点,∴由确定一个平面。又因为,且,所以点既在内,又在内。设,则。同理可证。所以三点共线。 【例9】在棱长为4的正方体中,、分别是的中点,设过、、三点的平面与交于,求的值. 【难度】★★ 【答案】延长DN,D1C1交于S,连接MS交B1C1于P, N为CC1的中点,从而SC1=CD,又M为A1B1的中点, 所以SC1=2MB1C1P:B1P=2:1,所以, 【例10】四面体ABCD中,E、G分别为BC、AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=2∶3,DH∶HA=2∶3.求证:EF、GH、BD交于一点. 【难度】★★ 【解析】连结GE、HF, ∵E、G分别为BC、AB的中点,∴GE∥AC. 又∵DF∶FC=2∶3,DH∶HA=2∶3,∴HF∥AC.∴GE∥HF. 故G、E、F、H四点共面. 又∵EF与GH不能平行,∴EF与GH相交,设交点为O. 则O∈面ABD,O∈面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD.∴EF、GH、BD交于一点. 【巩固训练】 1.已知点,直线和平面.下列正确运用集合符号表示的是 . (1); (2); (3); (4); (5)若,则; (6)直线平面. 【难度】★ 【答案】(2)(3)(5)(6) 直线与平面 _____ 时,称直线与平面相交于点,记作: _________ . 直线与平面 时,称直线平行于平面,记作: 或__________. 【难度】★ 【答案】只有一个公共点,;没有公共点,, 3.在空间中,下列命题正确的是 ( ) A.对边相等的四边形一定是平面图形 B.四边相等的四边形一定是平面图形 C.有一组对边平行且相等的四边形是平面图形 D.有一组对角相等的四边形是平面图形 【难度】★★ 【答案】C 4.下面是一些命题的叙述语(表示点,表示直线,表示平面)。其中命题和叙述方法都正确的是 ( ) A.∵,∴ B.∵,∴ C.∵,∴ D.∵,∴ 【难度】★★ 【答案】C 5.三个互不重合的平面把空间分成6个部分时,它们的交线有 条. 【难度】★★ 【答案】1或2 6.给出下列四个命题: ①空间四点共面,则其中必有三点共线 ②空间四点不共面,则其中任何三点不共线 ③空间四点中存在三点共线,则此四点共面 ④空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面 其中正确的有( ) A.②和③ B.①②③ C.①和② D.②③④ 【难度】★★ 【答案】A 7.正方体中,对角线与平面交于点O,交于点M,求证:点共线. 【难度】★★ 【解析】∵与截面交于点,、交于点 ∴OM为平面与平面的交线 ∵ ∴在OM上,即三点共线. 2、空间中的直线 【例11】判断下列命题是否正确: (1)若直线,则直线共面; ( ) (2)经过直线的平面有无数个; ( ) (3)梯形的对角线一定共面; ( ) (4)空间四边形的对角线所在直线异面; ( ) (5)在空间一个角的两边与另一个角的两边分别平行,则这两个角相等; ( ) (6)分别在两个平面内的两条直线异面; ( ) (7)在空间一个角的两边与另一个角的两边分别垂直相交,则这两个角相等. ( ) 【难度】★ 【答案】1.╳ 2.√ 3.√ 4.√ 5.╳ 6.╳ 7.╳ 【例12】以下四个结论: (1)若,则为异面直线; (2)若,不真包含于,则为异面直线; (3)没有公共点的两条直线是平行直线; (4)两条不平行的直线就一定相交. 其中正确答案的个数为 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【难度】★ 【答案】C 【例13】已知直线和平面,,,,在内的射影分别为直线和,则的位置关系是( ) A.相交与平行 B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面 【难度】★★ 【答案】D 【例14】下列各图中,是正方体的顶点,是所在棱的中点,则直线与异面的图形的序号是 . (1) (2) (3) (4) 【难度】★★ 【答案】(2)(3) 【例15】一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有下列结论:(1);(2)与成;(3)与是异面直线;(4),其中正确的是( ) A.(1)(2) B.(3)(4) C.(2)(3) D.(1)(3) 【难度】★★ 【答案】D 【例16】对于四面体ABCD,下列命题正确的是 . (1)相对棱、AB与CD所在的直线异面; (2)由顶点A作四面体的高,其垂足是的三条高线上的交点; (3)若分别作和的边AB上的高,则这两条高所在的直线异面; (4)分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点; (5)最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱. 【难度】★★ 【答案】(1)(4)(5) 【例17】已知平面平面,,,,且. 用反证法证明:是异面直线. 【难度】★★ 【答案】假设b与c共面, ,b∩a=A ,,设b∩c=B, 又而c不在内,不可能有两个交点,与已知矛盾,所以是异面直线 【例18】如图所示,正方体ABCD - A1B1C1D1中,点M、N分别是直线A1B1、B1C1中点,问: (1)AM和CN是否为异面直线?说明理由; (2)D1B和C1C是否是异面直线?说明理由. 【难度】★★ 【答案】(1)不是异面直线. ∵ 点M、N分别是直线A1B1、B1C1中点,∴MN∥A1C1. ∵A1A∥C1C,且 A1A = C1C,所以A1ACC1为平行四边形,∴A1C1= AC. 因为MN∥AC,所以A、M、N、C在同一平面内, ∴直线AM和CN共面.。 (2)是异面直线,下面用反证法证明: 假设D1B和C1C在同一平面D1CC1内, 则B∈平面D1CC1,C∈平面D1CC1, 推得BC平面D1CC1,与BC是正方体的棱矛盾. ∴假设不成立,D1B和C1C是异面直线. 【例19】在正方体中,分别是棱的中点.求: (1)异面直线与所成的角; (2)异面直线与所成的角. 【难度】★★ 【答案】(1);(2). 【例20】已知四面体中,两两互相垂直,且,是中点,异面直线与所成的角大小为,求的长. 【难度】★★ 【答案】4 【解析】过引的平行线,交的延长线于,连结,则是异面直线与所成的角。 ∴。∵是的中点,∴是的中点,。 设,则,又,所以。 中,由余弦定理,,即的长为4。 【例21】是正三角形所在平面外一点,且∠=∠=∠=,、分别是、的中点,求异面直线SM与所成的角. 【难度】★★★ 【答案】取CM中点P,则NP//SM, 从而∠PNB为SM与BN所成的角. 设SA=SB=SC=a,则AB=BC=AC=a,所以 又 所以. ∴异面直线与所成的角是. 【例22】长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=a,BC=b,AA1=c,且a>b,求: (1)下列异面直线之间的距离:AB与CC1;AB与A1C1;AB与B1C; (2)异面直线D1B与AC所成角的余弦值. 【难度】★★★ 【答案】(1);(2) 【解析】(1)BC为异面直线AB与CC1的公垂线段,故AB与CC1的距离为b. AA1为异面直线AB与A1C1的公垂线段,故AB与A1C1的距离为c. 过B作BE⊥B1C,垂足为E,则BE为异面直线AB与B1C的公垂线,BE==,即AB与B1C的距离为. (2)解法一:连结BD交AC于点O,取DD1的中点F,连结OF、AF,则OF∥D1B,∴∠AOF就是异面直线D1B与AC所成的角. ∵AO=,OF= BD1=,AF=, ∴在△AOF中,cos∠AOF==. 解法二:如下图,在原长方体的右侧补上一个同样的长方体,连结BG、D1G,则AC∥BG,∴∠D1BG(或其补角)为D1B与AC所成的角. BD1=,BG=,D1G=, 在△D1BG中,cos∠D1BG= =-,故所求的余弦值为. 【例23】在空间四边形ABCD中,AD=AC=BD=BC=a,AB=CD=b,E、F分别是AB、CD的中点. ⑴求证:EF是AB和CD的公垂线; ⑵求AB和CD间的距离. 【难度】★★ 【答案】 【例24】长方体中,分别是和的中点,求:(1)与所成的角;(2)与之间的距离;(3)与所成的角. 【难度】★★★ 【答案】(1);(2);(3). 【巩固训练】 1.判断下列命题是否正确: (1)若直线,与异面,则直线与异面; ( ) (2)若平面,直线,则与异面; ( ) (3)若直线,直线,且,则与异面; ( ) (4)若直线,则; ( ) (5)若,且,则. ( ) 【难度】★ 【答案】1.╳ 2.╳ 3.√ 4.╳ 5.√ 2.若直线上有两个点在平面外,则 ( ) A.直线上至少有一个点在平面内 B.直线上有无穷多个点在平面内 C.直线上所有点都在平面外 D.直线上至多有一个点在平面内 【难度】★★ 【答案】D 3.设为空间四点,命题甲:点不共面;命题乙:直线和不相交,那么甲是乙的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 【难度】★★ 【答案】A 4.下列四个正方体图形中,为正方体的两个顶点,分别为其所在棱的中点,能得出 平面的图形的序号是( ) A. ①、③ B. ①、④ C. ②、③ D. ②、④ 【难度】★★ 【答案】B 5.右图是一个正方体的展开图,将它还原为正方体后,直线与的位置关系是 . 【难度】★★ 【答案】平行 6.设空间四边形,分别是的中点,若,,且四边形的面积为,则与所成角为 . 【难度】★★ 【答案】60o 7.空间四边形中,四条边和两条对角线构成了 对异面直线 【难度】★ 【答案】3 8.一条直线与两条平行线中的一条是异面直线,那么它与另一条直线的位置关系是___________ 【难度】★ 【答案】相交或异面 9.教室内有一直尺,无论如何放置,地面总有直线与直尺所在直线 ( ) A.平行 B.垂直 C.相交 D.异面 【难度】★ 【答案】B 10.若是异面直线,则只需具备的条件是 ( ) A.,平面,与不平行 B.,平面,,与无公共点 C.直线,,与不相交 D.平面,是的一条斜线 【难度】★ 【答案】C 11.正方体中,下列各组异面直线所成的角最小的一组是 ( ) A.与 B.与 C.与 D.与 【难度】★★ 【答案】D 12.正方体中。 (1)异面直线与所成的角为: ; (2)异面直线与所成的角为: ; (3)异面直线和所成的角为: ______. 【难度】★★ 【答案】;; 13.如图所示,已知:E、F、G、H分别是正方体ABCD - A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点,证明:FE、HG、DC三线共点. 【难度】★★ 【解析】连接C1B,由题意知HC1∥EB,且HC1=EB, ∴四边形HC1BE是平行四边形, ∴HE∥C1B。又C1G=GC,CF=BF,故2GF=C1B且GF∥C1B,∴GF∥HE,且GF≠HE, ∴HG与EF相交,设交点为K,则K∈HG,HG面D1C1CD.因为K∈EF,EF面ABCD, ∴K∈面ABCD. ∵面D1C1CD面ABCD=DC,∴K∈DC, ∴EF、HG、DC三线共点. 14.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,MN分别为A1B1、BB1的中点,求AM、CN所成的角. 【难度】★★ 【答案】 15.在正方体中,分别是棱的中点. 则下面直线的位置关系是: (1)与: ; (2)与: ; (3)与: ; (4)与: . 【难度】★ 【答案】异面,平行,相交,异面 16.如图,分别为空间四边形的边上的点,且,分别为上的点,且,则四边形的形状一定为 . 【难度】★★ 【答案】梯形 1.用集合符号表示以下各概念: (1)点在直线上:________;点不在直线上: . (2)点在平面内:______;点不在平面内:_____________; (3)直线在平面内:_________。平面经过直线: . 【难度】★ 【答案】,;,;,. 2.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×” (1)空间三点可以确定一个平面; ( ) (2)两条直线可以确定一个平面; ( ) (3)两条相交直线可以确定一个平面; ( ) (4)一条直线和一个点可以确定一个平面; ( ) (5)三条平行直线可以确定三个平面; ( ) (6)两两相交的三条直线确定一个平面; ( ) (7)两个平面若有不同的三个公共点,则两个平面重合; ( ) (8)若四点不共面,那么每三个点一定不共线. ( ) 【难度】★ 【答案】1.╳ 2.╳ 3.√ 4.╳ 5.╳ 6.╳ 7.╳ 8.√ 3.已知顺次为空间四边形中边的中点. (1)求证:四边形是平行四边形; (2)如果,那么四边形是什么四边形? (3)如果,那么四边形是什么四边形? (4)如果,且,那么四边形是什么四边形? 【难度】★★ 【答案】(1)略;(2)菱形;(3)矩形;(4)正方形. 4.能够确定一个平面的条件是: ; ; ; . 【难度】★ 【答案】不共线的三点,一条直线和线外一点,两条平行直线,两条相交直线. 5.⑴三条直线两两相交,则由这三条直线可以确定 个平面; ⑵三条互相平行的直线可以确定 个平面; ⑶三条直线相交,仅有两个交点时可以确定的平面个数是 ; ⑷空间四条直线,其中每两条都相交,最多可以确定平面的个数是__________. 【难度】★ 【答案】,,, 6.空间有五个点,其中共面,且也共面,那么这五个点是否共面: . 【难度】★ 【答案】不一定 7.⑴若直线既不平行也不相交,则直线的位置关系是 ________; ⑵直线确定一个平面,则的位置关系为 ________. 【难度】★ 【答案】异面,相交或平行 8.是异面直线,直线分别与都相交,则的位置关系为 . 【难度】★ 【答案】相交或异面 9.若直线与直线都相交成角,则的位置关系是______. 【难度】★ 【答案】平行、相交或异面 10.将正方体表面正方形的对角线称为面对角线.若是两条异面的面对角线,则它们所成的角大小可能为__________. 【难度】★ 【答案】 11.梯形中,,平面,平面,则直线与平面内的直线的位置关系只能是_________________. 【难度】★ 【答案】平行或异面 12.在长方体中,,则异面直线与所成的角的余弦值为_________. 【难度】★ 【答案】 13.已知a、b为不垂直的异面直线,α 是一个平面,则a、b在α 上的射影可能是:①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点,则在上面的结论中,正确结论的编号是 (写出所有正确结论的编号) 【难度】★★ 【答案】①②④ 14.在平面上,两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种.已知是两个相交平面,空间两条直线在上的射影是直线,在上的射影是直线. 用与,与的位置关系,写出一个总能确定与是异面直线的充分条件: . 【难度】★★ 【答案】一组相交,一组平行 15.给定下列三个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②垂直于同一直线的两条直线相互平行;③过空间一点,存在一个平面,使得异面直线都与垂直;其中真命题的个数是( ) (A) (B) (C) (D) 【难度】★★ 【答案】A 16.已知,、、不在同一平面内,,求证:和是异面直线. 【难度】★★ 【答案】反证法. 若AD与BC不是异面直线,从而确定一个平面,设A、B、C确定的平面为α. 又,确定一个平面β,又,所以A、B、C β, 所以α与β重合,即,同理,这与、、不在同一平面内矛盾. 所以,和是异面直线. 17.如图,在空间四边形ABCD中,AB=CD=8,M、N分别是对角线BD、AC的中点,异面直线AB、CD所成角大小是,求线段MN的长. 【难度】★★ 【答案】取棱AD的中点,连结MP、NP, 则MP,PN, 若,则, 若,则, ∴. 18.已知条互相平行的直线分别与直线l相交于点,求证:与l共面. 【难度】★★ 【答案】略 19.在四棱锥中,底面是一直角梯形,,,,,且底面,与底面成角. ⑴若,为垂足,求证:; ⑵求异面直线与所成角的余弦值. 【难度】★★★ 【答案】(1)略;(2). 平面与空间中的直线 知识梳理 例题解析 D B1 C1 A1 D1 O1 B C A O A D C B A1 D1 C1 B1 M A D C B A1 D1 C1 B1 M a b c d A B C A B C P Q R A B C D O M A B N M B M N A N B M A N M A B A a b c B1 C1 C B D A1 D1 A E F A B C D E B A N M B1 C1 C B D A1 D1 A B1 C1 C B D A1 D1 A E F A B C D M N Q P 课后练习 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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  • ID:3-7149961 [精] 沪教版数学高二下春季班:第二讲复数的方根与实系数一元二次方程 同步学案(教师版)

    高中数学/沪教版/高中二年级 第二学期/第13章 复数/13.6实系数一元二次方程

    中小学教育资源及组卷应用平台 沪教版数学高一下春季班第二讲 课题 复数的方根与实系数一元二次方程 单元 第十三章 学科 数学 年级 十一 学习 目标 1.掌握待定系数法求解复数的平方根和立方根;掌握1的立方根的相关性质,并能利用其进行化简与求值2.掌握实系数一元二次方程的解法,并会结合根的情况加以讨论3.理解复数模的几何意义,熟悉常见几何图形的复数表达式 重点 1.方根的求解与化简求值; 2.实系数一元二次方程的解法与根的情况分析. 难点 实系数一元二次方程的解法与根的情况分析 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 30 2 例题解析 60 3 巩固训练 20 4 师生总结 10 5 课后练习 30 一、复数的平方根与立方根 1.复数的平方根的定义 若复数,满足,则称是的平方根. 2.复数的平方根的求法 即利用复数相等,把复数平方根问题转化为实数方程组来求. 3.复数的平方根的性质 复数总有两个平方根,,且(见图1). 4.复数的立方根的定义 类似的,若复数,满足,则称是的立方根. 5.1的立方根 设复数,则都是1的立方根. 6.的性质 ①, ②, ③. 可运用这些性质化简相关问题(见图2). 7.其他有用结论 , 二、实系数一元二次方程 实系数一元二次方程中的为根的判别式,那么 (1)方程有两个不相等的实根; (2)方程有两个相等的实根; (3)方程有两个共轭虚根, 在(3)的情况下,方程的根与系数关系(韦达定理)仍然成立. 求解复数集上的方程的方法: (1)设化归为实数方程来解决(化归思想). (2)把看成一个未知数(而不是实部和虚部两个未知数),用复数的性质来变形(整体思想). (3)对二次方程,直接用一元二次方程的求根公式(公式法). 三、常见几何图形的复数表达式 复数,为定值,且. (1)线段的中垂线方程:; (2)以为圆心,半径为的圆方程:; (3)以、为焦点,长轴长为的椭圆方程: (其中); (4)以、为焦点,实轴长为的双曲线方程: (其中). 1、复数的平方根与立方根 【例1】求及的平方根. 【难度】★ 【答案】的平方根为或;的平方根为或 【例2】计算:(1); (2). 【难度】★★ 【答案】(1)513;(2) 【例3】记,求,. 【难度】★★ 【答案】, 【例4】已知等比数列,其中,,(). (1)求的值; (2)试求使的最小正整数; (3)对(2)中的正整数,求的值. 【难度】★★ 【答案】(1);(2);(3). 【巩固训练】 1.复数的平方根是 . 【难度】★ 【答案】 2.计算:(1) . (2) . 【难度】★ 【答案】(1);(2)0 3.已知满足等式. (1)计算;;; (2)求证:对任意复数,有恒等式; (3)计算:,. 【难度】★★ 【答案】(1);0;4;(2)略;(3) 2、复数中的代数式和方程 【例5】在复数范围内分解因式: 【难度】★ 【答案】 【例6】复数满足方程,求的值 【难度】★★ 【答案】由得, 所以原式 【巩固训练】 1.若虚数z满足,则的值为 . 【难度】★★ 【答案】 2.,,求的值. 【难度】★★ 【答案】时,原式;时,原式; 3、实系数一元二次方程 【例7】已知方程,求方程的解. 【难度】★ 【答案】 当时,即时,; 当时,即时,; 当时,即时,. 【例8】已知是实系数一元二次方程的两个虚根,且,求的值. 【难度】★★ 【答案】∵,∴,即 ∴ 【例9】已知是实系数方程的两个根,且满足,求实数的值. 【难度】★★ 【答案】, (1)当时,即时,是实根,∴,即; (2)当时,即时,是共轭虚根,设,则, ∴,由,得.从而. 综上,或. 【例10】已知是实系数一元二次方程的两个根,求的值. 【难度】★★ 【答案】, (1)当时,即或时,,∴; (2)当时,即时,. 【例11】已知复数满足,,,求. 【难度】★★ 【答案】, ∴, ∴, ∴. 令,则, ∴, ∴,即. 【例12】(1)方程有一个根为,求实数的值; (2)方程有一个根为,求的值. 【难度】★ 【答案】(1)由题意:另一个根为,∴; (2)由题意. 【例12】关于的方程有实根,且一个根的模是2,求实数、的值. 【难度】★★ 【答案】设是方程的一实根,则.则 (1)当时,此方程为. ①有实根,即或. 当根为2时,.得. 当根为时,.得. ②有一对共轭虚根即.模为2,即有(舍). (2)当时,则,此时.又因为模为2,所以. 所以或或或 【巩固训练】 1.下列命题在复数集中是否正确?为什么? (1)若,,且,则方程有两个实数根; (2)若,,且是方程的两个根,则,; (3)若,,且是方程的两个根,则; (4)若,,且是方程的根,则也是方程的根. 【难度】★★ 【答案】(1)、(2)、(4)正确,(3)不正确 2.若为方程的两个根,则 . 【难度】★★ 【答案】27 3.已知且,求的值. 【难度】★★ 【答案】 4.关于的方程的两根为,且,求实数的值. 【难度】★★ 【答案】或 5.设为方程,()的两个根,, (1)求的解析式; (2)证明关于的方程,当时恰有两个不等的根,且两根之和为定值. 【难度】★★ 【答案】(1) (2)证明:函数的图像关于直线对称(证略) 当时,为增函数,且; 当时,为减函数,且. 所以当,方程在区间上有唯一解,在区间上也有唯一解, 则. 4、复数方程综合问题 【例13】关于的二次方程中,,,都是复数,且,设这个方程的两个根、满足,求的最大值和最小值. 【难度】★★ 【答案】根据韦达定理有 ∵ ∴. ∴,即, 这表明复数在以为圆心,7为半径的圆周上, ∴,. 当即. 【例14】已知,试求的值。 【难度】★★★ 【答案】令,可得,再令可得: , 令,结合复数相等的意义综合可得:,最值可得。 【例15】设复数满足条件(其中,),当为奇数时,动点的轨迹为;当为偶数时,动点的轨迹为,且两条曲线都经过点,求轨迹与的方程 【难度】★★★ 【答案】方法1:①当为奇数时,,常数), 轨迹为双曲线的一支,其方程为; ②当为偶数时,,常数), 轨迹为椭圆,其方程为; 依题意得方程组解得, 因为,所以, 此时轨迹为与的方程分别是:,. 方法2:依题意得 轨迹为与都经过点,且点对应的复数,代入上式得, 即对应的轨迹是双曲线,方程为; 对应的轨迹是椭圆,方程为. 【例16】设虚数满足(为实常数,且,为实数). (1)求的值; (2)当,求所有虚数的实部和; (3)设虚数对应的向量为(为坐标原点),,如,求的取值范围. 【难度】★★★ 【答案】(1), (或) (2)是虚数,则,的实部为; 当 当 (3)解: ① ,恒成立, 由得,当时,;当时,. ② ,如,则, 当即, 当即. 【巩固训练】 1.若复数满足,试判断复数在复平面上对应的点的轨迹图形,并求使最大时的复数. 【难度】★★ 【答案】设,. 复数在复平面上的对应点的图形是以为圆心,为半径的圆. ,此时 2.已知,试求的值。 【难度】★★ 【答案】令, ,分别将代入等式,可得以下方程: ,解得。 3.考虑复平面上的正方形,它的四个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程的四个根,求这种正方形面积的最小值。 【难度】★★ 【答案】我们知道,在复数域有个方根,这个复数对应的点平分以原点为圆心,为半径的圆,这些点连接构成一个圆内接正边形,反之,复平面内某圆内接正多边形各个顶点对应的复数也必是某个复数的方根。本题中假设正方形的中心为复数,结合图形的平移知识可知四个顶点对应复数是方程的4个4次方根,该正方形的外接圆半径为,将展开为:,与原方程对比可知 由于都是整数,①②消去可得,只有是4的倍数才可以确保是整数,从而必然是整数,由④可知也是整数,,数形结合可知圆直径是正方形的对角线,可知正方形面积最小值为。 4.设复数与复平面上点对应. (1)若是关于的一元二次方程()的一个虚根,且,求实数的值; (2)设复数满足条件(其中、常数 ),当为奇数时,动点的轨迹为.当为偶数时,动点的轨迹为. 且两条曲线都经过点,求轨迹与的方程; (3)在(2)的条件下,轨迹上存在点,使点与点的最小距离不小于,求实数的取值范围. 【难度】★★★ 【答案】(1)是方程的一个虚根,则是方程的另一个虚根,则,所以 (2)①当为奇数时,,常数), 轨迹为双曲线,其方程为; ②当为偶数时,,常数), 轨迹为椭圆,其方程为; 依题意得方程组解得, 因为,所以, 此时轨迹为与的方程分别是:,. (3)由(2)知,轨迹:,设点的坐标为, 则 , 当即时, 当即时,, 综上,或. (1)求解复数的平方根或立方根可以利用待定系数法. (2)对于实系数一元二次方程的问题,第一考虑方程的根的判别式,第二考虑韦达定理,第三考虑已知条件;对于已知条件中有两数和、两数积的条件,可以构造相应的方程,从而求解. 1.满足+=2n的最小自然数为( ) A. 1 B.2 C.3 D.4 【难度】★★ 【答案】C 2.已知复数满足,且,则复数= 【难度】★★ 【答案】由已知可得,得,数形结合可知 3.设复数满足,则 . 【难度】★★ 【答案】,同理得 ,两式相加,再结合,得,得,,求得,所以所求原式 4.设,已知,,,求的值. 【难度】★★ 【答案】 同理, 所以, 故,。 5.若关于的方程至少有一个模为1的根,求实数的值. 【难度】★★ 【答案】或 6.设是实系数一元二次方程的两个根,若是虚数,是实数,则 . 【难度】★★ 【答案】 7.若关于的方程有纯虚数根,求的最小值. 【难度】★★ 【答案】将代入原方程,整理得:, 8.在复数范围内解方程. 【难度】★★ 【答案】把原方程化为, ,解得,,. 9.关于的二次方程中,均是复数,且,设这个方程的两个根满足,求的最大值和最小值。 【难度】★★ 【答案】, 化简得,动点轨迹是复平面上以为圆心,以为半径的圆,数形结合可知 10.已知△顶点为直角坐标分别为,,.若虚数()是实系数一元二次方程的根,且是钝角,求的取值范围. 【难度】★★ 【答案】由已知,虚数也是实系数一元二次方程的根,所以 ,解得,,则、的坐标为,, 所以,,因是钝角,故, 又当,共线时,.所以的取值范围是. 11.已知复数,满足条件,,是否存在非零实数,使得和同时成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由. 【难度】★★★ 【答案】据题意,得,即,故,是方程的两个根. (1)当△即且时,,,记, 则,,解得. (2)当△,即时,、为一对共轭虚数,则,由,得,所以. 综上,当或时,和同时成立. 12.给定实数,已知复数满足:, 求的值。 【难度】★★★ 【答案】显然,,故设, 则 ,虚部应为0,得: 即 即,即, 即,若,代入得, 此时。 同理可得当时,, 时,。 复数的方根与实系数一元二次方程 知识梳理 图1 图2 【注意】 (1)在复数集中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用,但根的判别式仅 在实数集上有效; (2)实系数一元二次方程在复数集中一定有根,若是虚根则一定成对出现; (3)齐二次实系数二次方程,将等式两端除以后,将得到一个关于得实系数一元二次方程;(不作要求) (4)虚系数一元二次方程至少有一个为虚数)   ①判别式判断实根情况失效;  ②虚根成对出现的性质失效;   如,虽然,但该方程并无实根,不过韦达定理仍适用. 例题解析 反思总结 课后练习 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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