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高中数学人教新课标A版
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  • ID:3-5884718 2019年云南省大姚一中选修2-1第三章空间向量检测题解析版

    高中数学/人教新课标A版/选修2-1/第三章 空间向量与立体几何/本章综合与测试

    云南省大姚一中选修2-1第三章空间向量检测题 第Ⅰ卷(选择题,共60分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 一、选择题(每小题5分,共60分) 1.已知向量a=(2,-3,5)与向量b=(3,λ,)平行,则λ=(  ) A. B. C.- D.- 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,++-等于(  ) A.   B.   C.   D. 3.若向量a=(1,m,2),b=(2,-1,2),若cos〈a,b〉=,则m的值为(  ) A.2 B.-2 C.-2或 D.2或- 4.已知空间向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),则与向量a+b方向相反的单位向量的坐标是(  ) A.(0,1,2) B.(0,-1,-2) C.(0,,) D.(0,-,-) 5.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC内任一点O,下列条件中能确定M与点A,B,C一定共面的是(  ) A.=++ B.=2-- C.=++ D.=++ 6.如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OA,BC的中点,点G在线段MN上,且=2,现用基向量,,表示向量,设=x+y+z,则x,y,z的值分别是(  ) A.x=,y=,z= B.x=,y=,z= C.x=,y=,z= D.x=,y=,z= 7.如图所示,已知三棱锥A-BCD,O为△BCD内一点,则=(++)是O为△BCD的重心的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若ABCD是边长为2的正方形,AA1=1,∠A1AD=∠A1AB=60°,则BD1的长为(  ) A.3 B. C. D.9 9.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF与BC1所成的角是(  ) A.45° B.60° C.90° D.120° 10.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥的体积最大时,直线BD与平面ABC所成的角的大小为(  ) A.90° B.60° C.45° D.30° 11.如图所示,在三棱锥P-ABC中,∠APB=∠BPC=∠APC=90°,M在△ABC内,∠MPA=60°,∠MPB=45°,则∠MPC的度数为(  ) A.150°   B.45° C.60° D.120° 12.已知直二面角α-PQ-β,A∈PQ,B∈α,C∈β,CA=CB,∠BAP=45°,直线CA和平面α所成的角为30°,那么二面角B-AC-P的正切值为(  ) A.2 B.3 C. D. 第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题(每小题5分,共20分) 13.已知四面体ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,AC,BD的中点分别为E,F,则=________. 14.在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=,M是CC1的中点,则异面直线AB1与A1M所成角的大小为________. 15.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,ABCD是边长为a的正方形,AA1=b,∠A1AB=∠A1AD=120°,则AC1的长为________. 16. 如图,平面ABCD⊥平面ABEF,四边形ABCD是正方形,四边形ABEF是矩形,且AF=AD=a,G是EF的中点,则GB与平面AGC所成角的正弦值为________. 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分) 17.(10分)已知A(1,-2,11),B(6,-1,4),C(4,2,3),D(12,7,-12),证明:A,B,C,D四点共面. 18.(12分)如图,已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线BD1上,∠PDA=60°. (1)求DP与CC1所成角的大小; (2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小. 19.(12分)如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点. (1)求证A1E⊥BD; (2)若平面A1BD⊥平面EBD,试确定E点的位置. 20.(12分)如图,四边形PDCE为矩形,四边形ABCD为梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=CD=a,PD=a. (1)若M为PA的中点,求证:AC∥平面MDE; (2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小. 21.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB=1,BM⊥PD于点M. (1)求证AM⊥PD; (2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值. 22.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,且∠BAD=120°,PA⊥平面ABCD,PA=2,M,N分别为PB,PD的中点. (1)证明MN∥平面ABCD; (2)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值. 参考答案 1.C ∵a∥b,∴b=ma(m∈R), ∴==,得λ=-. 2.A ++-=-=+=. 3.C a·b=6-m,|a|=,|b|=3,cos〈a,b〉===,解得m=-2或m=. 4.D 由已知得a+b=(0,1,2)且|a+b|=,则与向量a+b方向相反的单位向量为-(0,1,2)=(0,-,-).故选D. 5.D  6.D 连接ON,∵M,N分别是对边OA,BC的中点,∴=,=(+), ∴=+=+=+(-)=+=×+×(+)=++,∴x=,y=z=.故选D. 7.C 8.A =++=++,||2=2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=4+4+1+0+2×2×1×(-)+2×2×1×=9,||=3,即BD1的长为3. 9.B  以点B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设各棱长为2,则E(0,1,0),F(0,0,1),C1(2,0,2),B(0,0,0),则=(0,-1,1),=(2,0,2),∴cos〈,〉==,∴〈,〉=60°,∴直线EF与BC1所成的角为60°. 10.C 翻折后A,B,C,D四点构成三棱锥的体积最大时,平面ADC⊥平面BAC,设未折前正方形对角线的交点为O,则∠DBO即为BD与平面ABC所成的角,大小为45°. 11.C  如右图所示,过M作MH⊥面PBC于H,则MH∥AP,∴∠MPH=30°,∴cos45°=cos∠HPB·cos30°,∴cos∠HPB=,∴cos∠HPC=.又cos∠HPC·cos30°=cos∠MPC,∴×=cos∠MPC,∴∠MPC=60°. 12.A 在平面β内过点C作CO⊥PQ于O,连接OB.又α⊥β,则OC⊥OB,OC⊥OA,又CA=CB,所以△AOC≌△BOC,故OA=OB.又∠BAP=45°,所以OA⊥OB.以O为原点,分别以OB,OA,OC所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图). 不妨设AC=2,由∠CAO=30°,知OA=,OC=1.在等腰直角三角形OAB中,∠ABO=∠BAO=45°,则OB=OA=,所以B(,0,0),A(0,,0),C(0,0,1),=(,-,0),=(0,-,1),设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z),由,取x=1,则y=1,z=,所以n1=(1,1,),易知平面β的一个法向量为n2=(1,0,0),则cos〈n1,n2〉===,又二面角B-AC-P为锐角,由此可得二面角B-AC-P的正切值为2. 13.3a+3b-5c 解析: 如图所示,取BC的中点M,连接EM,MF,则=+=+=(a-2c)+(5a+6b-8c)=3a+3b-5c. 14. 解析:由条件知AC,BC,CC1两两垂直,如图,以C为原点,CB,CA,CC1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),A(0,,0),B1(1,0,),M,A1(0,,), ∴=(1,-,), =, cos〈,〉=0,∴〈,〉=, 即直线AB1与A1M所成角为. 15. 解析:设=a,=b,=c,则|a|=|b|=a,|c| =b,∴=++=a+b+c,∴||2=(a+b+c)2=2a2+b2-2ab,∴||=. 16. 解析:如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(a,0,0),=(a,a,0),=(0,2a,2a),=(a,-a,0), 设平面AGC的一个法向量为n1=(x1,y1,1),由, 得,则,故n1=(1,-1,1).设GB与平面AGC所成的角为θ,则 sinθ===. 17.证明:=(5,1,-7),=(3,4,-8),=(11,9,-23),设=x+y, 得, 解得x=1,y=2. 所以=+2,则,,为共面向量,又,,有公共点A,因此A,B,C,D四点共面. 18.解: 如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则=(1,0,0),=(0,0,1),连接BD,B1D1,在矩形BB1D1D中,延长DP交B1D1于H点. 设=(m,m,1)(m>0),〈,〉=60°,则·=||||cos〈,〉, 可得2m=,得m=, 所以=(,,1). (1)cos〈,〉==,所以〈,〉=45°,即DP与CC1所成的角为45°. (2)平面AA1D1D的一个法向量为=(0,1,0),cos〈,〉==,所以〈,〉=60°,故DP与平面AA1D1D所成的角为30°. 19.(1)证明:如图所示,以D为原点,,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为a,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a),设E(0,a,e),则=(-a,a,e-a),=(-a,-a,0),·=-a·(-a)+a·(-a)+(e-a)·0=0,∴⊥,则A1E⊥BD. (2)解:当E为CC1的中点时,平面A1BD⊥平面EBD.由题意可得DE=BE, ∴EO⊥BD. 同理A1O⊥BD,∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角,EO==a,A1O==a,A1E2=(a)2+2=a2,∴EO2+A1O2=a2=A1E2,∴∠A1OE=90°,∴平面A1BD⊥平面EBD. 20.解: ∵四边形PDCE是矩形,且平面PDCE⊥平面ABCD,平面PDCE∩平面ABCD=CD,∴PD⊥平面ABCD,则PD⊥AD,PD⊥DC,又∠ADC=90°,∴PD,AD,DC两两垂直.以D为原点,分别以DA,DC,DP所在 直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知,得D(0,0,0),A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,2a,a),C(0,2a,0),B(a,a,0). (1)∵M为PA的中点,∴M(,0,), 则=(-a,2a,0),=(,0,),=(0,2a,a). 设平面MDE的法向量为m=(x,y,z), 由题意得,则, 取m=(2,1,-). 而·m=(-a)·2+2a+0=0,且AC?平面MDE, ∴AC∥平面MDE. (2)平面PAD的一个法向量n1=(0,1,0),=(0,2a,-a),=(a,a,-a).设平面PBC的法向量为n2=(x0,y0,z0),则有,即, 取n2=(1,1,). 设平面PAD与PBC所成锐二面角的大小为θ,则有 cosθ=|cos〈n1,n2〉|=||=, 则θ=60°, ∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为60°. 21.(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,AB?平面ABCD, ∴PA⊥AB. ∵AB⊥AD,AD∩PA=A,∴AB⊥平面PAD. ∵PD?平面PAD,∴AB⊥PD. ∵BM⊥PD,AB∩BM=B,∴PD⊥平面ABM. ∵AM?平面ABM,∴AM⊥PD. (2)解:如右图所示,以点A为坐标原点,,,所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),M(0,1,1),则=(1,2,0),=(0,1,1),=(-1,0,0). 设平面ACM的一个法向量为n=(x,y,z),由n⊥,n⊥可得令z=1,得x=2,y=-1,∴n=(2,-1,1).设直线CD与平面ACM所成的角为α,则sinα==,∴cosα=,∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为. 22.(1)证明:连接BD,因为M,N分别为PB,PD的中点,所以MN是△PBD的中位线,所以MN∥BD.又因为MN?平面ABCD,所以MN∥平面ABCD. (2)解法1:连接AC交BD于O,以O为原点,,所在直线为x轴、y轴,建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示.在菱形ABCD中,∠BAD=120°,得AC=AB=2,BD=AB=6,又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AC,在直角三角形PAC中,AC=2,PA=2,AQ⊥PC,得QC=2,PQ=4.由此知各点坐标如下:A(-,0,0),B(0,-3,0),C(,0,0),D(0,3,0),P(-,0,2),M,N,Q.设m=(x1,y1,z1)为平面AMN的一个法向量,=,=,由m⊥,m⊥知取z1=-1,得m=(2,0,-1).设n=(x2,y2,z2)为平面QMN的一个法向量,=,=.由n⊥,n⊥知取z2=5,得n=(2,0,5).故cos〈m,n〉==,所以二面角A-MN-Q的平面角的余弦值为. 解法2:如图所示,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,得AC=AB=BC=CD=DA,BD=AB.又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥AD,所以PB=PC=PD,所以△PBC≌△PDC.而M,N分别是PB,PD的中点,所以MQ=NQ,且AM=PB=PD=AN.取线段MN的中点E,连接AE,EQ,则AE⊥MN,QE⊥MN,所以∠AEQ为二面角A-MN-Q的平面角,由AB=2,PA=2,故在△AMN中,AM=AN=3,MN=BD=3,得AE=.在直角三角形PAC中,AQ⊥PC,得AQ=2,QC=2,PQ=4,在△PBC中,cos∠BPC==,得MQ==.在等腰三角形MQN中,MQ=NQ=,MN=3,得QE==.在△AEQ中,AE=,QE=,AQ=2,得cos∠AEQ==,所以二面角A-MN-Q的平面角的余弦值为 .

  • ID:3-5879183 2018-2019 学年人教A版必修一 集合与函数概念 单元测试

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第一章 集合与函数概念/本章综合与测试

    2018-2019 学年人教A版必修一 集合与函数概念 单元测试 1.已知函数, ,则的最大值是__________. 【答案】3 【解析】函数在上为减函数,故最大值为. 2.【陕西省2018届高三教学质量检测试题】若函数, 的图像关于原点对称,则函数, 的值域为__________. 【答案】  3.【浙江省杭州市2018届高三上学期期末】设函数,记为函数在上的最大值, 为的最大值.( ) A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 【答案】C  4.【四川省德阳市2018届高三二诊】已知、是函数(其中常数)图象上的两个动点,点,若的最小值为0,则函数的最大值为( ) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【解析】由题,当点、分别位于分段函数的两支上,且直线分别与函数图像相切时,最小,设 当时, 直线 因为点在直线直线上, 解得 同理可得 则  ,且函数在上单调递增, 在上单调递见,故函数的最大值为. 故选B. 5.【陕西省延安市黄陵中学2018届高三(重点班)下学期第一次大检测】已知函数, , 是的导数,若存在,使得成立,则实数的取值范围是( ) A.  B.  C.  D.  【答案】D  6.【河北省定州中学2018届高三下学期第一次月考】若函数在区间上的最大值、最小值分别为、,则的值为( ). A.  B.  C.  D.  【答案】C 【解析】因为 所以 因为函数 为奇函数,所以它在区间上的最大值、最小值之和为0, 也即, 所以 7.【吉林省实验中学2017-2018学年上学期期末考试】定义在上的函数满足.当时, . (Ⅰ)求的解析式; (Ⅱ)当时,求的最大值和最小值. 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) , . 所以. (Ⅱ)令, ,则,对称轴为, 当,即时, , 当,即时, . 【点睛】利用函数的奇偶性求函数的解析式,一般反用定义如奇函数利用,偶函数利用,但奇函数要注意处的定义,另外求指数型复合函数的最值时,常用换元法,可以简化函数的形式,转化为其他函数求最值,解题要注意新元的范围. ================================================ 压缩包内容: 2018-2019 学年人教a版必修一 集合与函数概念 单元测试.doc

  • ID:3-5877619 [精] (中山市公开课二等奖)正弦定理(第一课时) 课件(15张PPT)+教案

    高中数学/人教新课标A版/必修5/第一章解三角形/1.1 正弦定理和余弦定理

    本资料是参与中山市青年教师教学竞赛的备课资料,包含课件与教学设计 课件制作精良,例题典型,讲解细致,值得下载借鉴 【教学目标】 1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法。 2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 【学习重点】正弦定理的探索和证明及其基本应用。 【学习难点】已知两边和其中一边的对角解三角形时,判断解的个数。 【授课类型】新授课 【教 具】多媒体教学平台、PPT教学课件 一、新课引入: 工人师傅的一个三角形模型坏了,只剩下如图所示的部分, ,AB的长为1m,但他不知道AC和BC的长是多少而无法去截料,你能告诉师傅这两边的长度吗? 二、新课学习: 如图,过点A作BC边上的高,垂直记作D 过点B向AC作高,垂直记作E,如图:

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  • ID:3-5876472 [精] (中山市微课竞赛一等奖)三角函数线及其应用 课件+导学案+实验分析报告+微课

    高中数学/人教新课标A版/必修4/第一章 三角函数/1.2 任意的三角函数

    本资料是一节实验公开课的全部资料,包含课件,导学案,微课以及实验分析报告。 内容很充实,详尽,例题典型,讲解细致,课件制作精良,有特色,图形的动态效果非常好,对学生的理解有很大帮助,对三角函数整章的学习有不可忽视的作用。 本节公开课在竞赛中获得一等奖,绝对值得下载。 【学习目标】 1.了解与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来; 2.会利用三角函数线比较三角函数值的大小、解简单的三角不等式; 3.通过三角函数的几何表示的学习,培养数形结合的思想. 【课前导学】阅读教材第15-17面,完成新知识学习. 1.任意角的三角函数的定义:设 是一个任意角,它的终边与单位圆 交于点P ,由于 ,那么 , , , 2.有向线段: 的线段,叫做有向线段. 3.三角函数线:当角的终边上一点 的坐标满足_______________时,有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线. 设任意角 的终边与单位圆相交与点 过 作 轴的垂线,垂足为 ;过点 作单位圆的切线,它与角 的终边或其反向延长线交与点 . 由四个图看出:当角 的终边不在坐标轴上时,有向线段 ,于是有 ______, _______, ______. 分别称有向线段 为角 的正弦线、余弦线、正切线. 说明: ①三角函数线是用某些特定的 来表示三角函数值,其中三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值,方向表示函数值的正负; ②任意角的正弦线MP的起点都在 轴上,余弦线OM的起点都在 ,正切线AT的起点都在点 ,当角的终边在第二、三象限时,过点 作圆的切线与角的终边的 线相交于T,AT为正切线,这是一种非常特别的现象,要牢记! ③当角的终边在轴线上时,如何画出正弦线、余弦线和正切线? 任意角的三角函数的定义 设α是任意一个角,α的终边与单位圆交于点P(x,y), 那么 正弦、余弦、正切都是以角(弧度)为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数。 代数形式 如图,设角α为第一象限角,其终边与单位圆的交点为P(x,y),则 , 都是正数,你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗?

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  • ID:3-5875262 第四章框图学案+章末检测

    高中数学/人教新课标A版/选修1-2/第四章 框图/本章综合与测试

    第四章框图学案+章末检测 ================================================ 压缩包内容: §4.1.docx §4.2.docx 章末检测试卷(四).docx 第四章 章末复习.docx

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  • ID:3-5875261 第三章数系的扩充与复数的引入学案+滚动训练+章末检测

    高中数学/人教新课标A版/选修1-2/第三章 数系的扩充与复数的引入/本章综合与测试

    第三章数系的扩充与复数的引入学案+滚动训练+章末检测 ================================================ 压缩包内容: 3.1.1.docx 3.1.2.docx 3.2.1.docx 3.2.2.docx 滚动训练(三).docx 滚动训练(四).docx 章末检测试卷(三).docx 第三章 章末复习.docx

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  • ID:3-5875260 第二章推理与证明学案+滚动训练+章末检测

    高中数学/人教新课标A版/选修1-2/第二章 推理与证明/本章综合与测试

    第二章推理与证明学案+滚动训练+章末检测 ================================================ 压缩包内容: 2.1.1.docx 2.1.2.docx 2.2.1.docx 2.2.2.docx 滚动训练(二).docx 章末检测试卷(二).docx 第二章 章末复习.docx

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  • ID:3-5875257 第一章统计案例学案+滚动训练+章末检测

    高中数学/人教新课标A版/选修1-2/第一章 统计案例/本章综合与测试

    第一章统计案例学案+滚动训练+章末检测 ================================================ 压缩包内容: §1.1.docx §1.2.docx 滚动训练(一).docx 章末检测试卷(一).docx 第一章 章末复习.docx

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  • ID:3-5875251 [精] 选修4-4 第一章 极坐标与直角坐标的互化 (学生版+解析版)

    高中数学/人教新课标A版/选修4-4/第一章 坐标系/极坐标系

    中小学教育资源及组卷应用平台 第二课时 极坐标和直角坐标的互化(学生版) 考点 考纲要求 要点 常考题型 极坐标与直角坐标互化 1.掌握点的极坐标与直角坐标的互化公式. 2.能进行点的极坐标与直角坐标的互相转化. iii 解答题 知识梳理 点的极坐标和直角坐标的互化 1.互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示. 2.互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ≥0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M 直角坐标(x,y) 极坐标(ρ,θ) 互化公式 ρ2=x2+y2 tan θ=(x≠0) 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M所在的象限取最小正角. 典例解析 考向一 化极坐标为直角坐标 [例1] 分别把下列点的极坐标化为直角坐标: (1);(2);(3)(5,-5).      变式训练 1.将下列点的极坐标化为直角坐标: (1);(2);(3). 考向二 点的直角坐标化为极坐标 [例2] 将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ≥0,θ∈[0,2π)): (1)(-2,2);(2);(3)(0,-).      变式训练 2.已知点的直角坐标分别为A(3,-),B,C(-2,2),求它们的极坐标,其中极角θ∈[0,2π). 考向三 极坐标与直角坐标的综合应用 [例3] 在极坐标系中,如果等边三角形ABC的两个顶点的极坐标分别为A,B,且ρ≥0,θ∈[0,2π),求: (1)顶点C的极坐标; (2)三角形的面积.      变式练习 3.(2017·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值. 过关检测 1.将极坐标化为直角坐标为(  ) A.(0,2)   B.(0,-2)C.(2,0) D.(-2,0) 2.把点的直角坐标(3,-4)化为极坐标(ρ,θ)(限定ρ≥0,0≤θ<2π),则(  ) A.ρ=3,θ=4 B.ρ=5,θ=4C.ρ=5,tan θ= D.ρ=5,tan θ=- 3.在极坐标系中,点A与B之间的距离为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.若A,B两点的极坐标为A(4,0),B,则线段AB的中点的极坐标为(  ) A. B.C. D. 5.在极坐标系中,点A,B,则线段AB中点的极坐标为(  ) A. B.C. D. 6.极坐标系中,直角坐标为(1,-)的点的极角为________. 7.极坐标系中,点的直角坐标为________. 8.平面直角坐标系中,若点P经过伸缩变换后的点为Q,则极坐标系中,极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________. 9.已知点的极坐标分别为A,B,C,D,求它们的直角坐标. 10.分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π). (1)(-1,1);(2)(4,-4); (3);(4)(-,-). 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源及组卷应用平台 第二课时 极坐标和直角坐标的互化(解析版) 考点 考纲要求 要点 常考题型 极坐标与直角坐标互化 1.掌握点的极坐标与直角坐标的互化公式. 2.能进行点的极坐标与直角坐标的互相转化. iii 解答题 知识梳理 点的极坐标和直角坐标的互化 1.互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示. 2.互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ≥0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M 直角坐标(x,y) 极坐标(ρ,θ) 互化公式 ρ2=x2+y2 tan θ=(x≠0) 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M所在的象限取最小正角. 典例解析 考向一 化极坐标为直角坐标 [例1] 分别把下列点的极坐标化为直角坐标: (1);(2);(3)(5,-5). [解析] (1)∵x=ρcos θ=2cos=1, y=ρsin θ=2sin=, ∴点的极坐标化为直角坐标为(1,). (2)∵x=ρcos θ=4cos=0, y=ρsin θ=4sin=-4, ∴点的极坐标化为直角坐标为(0,-4). (3)∵x=ρcos θ=5cos(-5)=5cos 5, y=ρsin θ=5sin(-5)=-5sin 5, ∴点的极坐标(5,-5)化为直角坐标为(5cos 5,-5sin 5). 1.点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件 (1)极点与直角坐标系的原点重合; (2)极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; (3)两种坐标系的长度单位相同. 2.将点的极坐标(ρ,θ)化为点的直角坐标(x,y)时,运用到求角θ的正弦值和余弦值,熟练掌握特殊角的三角函数值,灵活运用三角恒等变换公式是关键.      变式训练 1.将下列点的极坐标化为直角坐标: (1);(2);(3). 解析:由公式将极坐标化为直角坐标. (1)∵x=2cos=-,y=2sin=-1, ∴点的极坐标化为直角坐标为(-,-1). (2)∵x=6cos=3,y=6sin=-3, ∴点的极坐标化为直角坐标为(3,-3). (3)∵x=2cos=0,y=2sin=-2, ∴点的极坐标化为直角坐标为(0,-2). 考向二 点的直角坐标化为极坐标 [例2] 将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ≥0,θ∈[0,2π)): (1)(-2,2);(2);(3)(0,-). [解析] (1)由ρ==2,tan θ==-1,且角θ的终边经过点(-2,2), 当θ∈[0,2π)时,θ=, 故点的极坐标为. (2)由ρ==1, tan θ==-, 且角θ的终边经过点, 当θ∈[0,2π)时,θ=, 故点的极坐标为. (3)由ρ==,且角θ的终边经过点(0,-),当θ∈[0,2π)时,θ=,故点的极坐标为. 点的直角坐标化为极坐标的注意事项 化点的直角坐标为极坐标时,一般取ρ≥0,θ∈[0,2π),即θ取最小正角,由tan θ=(x≠0)求θ时,必须根据角θ的终边经过点(x,y)所在的象限来确定θ的值.      变式训练 2.已知点的直角坐标分别为A(3,-),B,C(-2,2),求它们的极坐标,其中极角θ∈[0,2π). 解析:根据ρ2=x2+y2,tan θ=(x≠0), 得A,B,C. 考向三 极坐标与直角坐标的综合应用 [例3] 在极坐标系中,如果等边三角形ABC的两个顶点的极坐标分别为A,B,且ρ≥0,θ∈[0,2π),求: (1)顶点C的极坐标; (2)三角形的面积. [解析] (1)由公式得点A,B的直角坐标分别为A(,),B(-,-). 点C必在直线y=-x上,且|OC|=2tan 60°=2, 设点C的直角坐标为(x,-x), 则=2, 即|x|=2, 解得x=±, 故点C的直角坐标为(-,)或(,-). 由公式且ρ≥0,θ∈[0,2π), 得点C的极坐标为或. (2)由上述,得三角形的边长为4, 得S△ABC=×2×4=4. 不论是平面直角坐标系还是极坐标系,都是利用代数方法刻画几何位置以及几何度量问题,所以利用条件画出几何图形就能容易明确解题方向,从而优化解题思路,简化解题过程.      变式练习 3.(2017·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值. 解析:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0). 由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=. 由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0), 由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB =4cos α·|sin| =2|sin-| ≤2+. 当α=-时,S取得最大值2+. 所以△OAB面积的最大值为2+. 过关检测 1.将极坐标化为直角坐标为(  ) A.(0,2)        B.(0,-2) C.(2,0) D.(-2,0) 解析:由题意可知,x=2cos=0,y=2sin=-2. 答案:B 2.把点的直角坐标(3,-4)化为极坐标(ρ,θ)(限定ρ≥0,0≤θ<2π),则(  ) A.ρ=3,θ=4 B.ρ=5,θ=4 C.ρ=5,tan θ= D.ρ=5,tan θ=- 解析:由公式得ρ= = =5, tan θ==-,θ∈[0,2π). 答案:D 3.在极坐标系中,点A与B之间的距离为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:方法一 点A与B的直角坐标分别为(,1)与(,-1), 于是|AB|= =2. 方法二 由点A与B知, |OA|=|OB|=2,∠AOB=, 于是△AOB为等边三角形,所以|AB|=2. 答案:B 4.若A,B两点的极坐标为A(4,0),B,则线段AB的中点的极坐标为(  ) A. B. C. D. 解析:由题易知点A,B的直角坐标分别为(4,0),(0,4),则线段AB的中点的直角坐标为(2,2). 由ρ2=x2+y2,得ρ=2. 因为tan θ==1,且点(2,2)在第一象限,所以θ=.故线段AB的中点的极坐标为. 答案:A 5.在极坐标系中,点A,B,则线段AB中点的极坐标为(  ) A. B. C. D. 解析:由点A,B知,∠AOB=,于是△AOB为等腰直角三角形, 所以|AB|=×=1, 设线段AB的中点为C, 则|OC|=,极径OC与极轴所成的角为, 所以线段AB中点C的极坐标为. 答案:A 6.极坐标系中,直角坐标为(1,-)的点的极角为________. 解析:直角坐标为(1,-)的点在第四象限, tan θ=-,所以θ=2kπ-(k∈Z). 答案:2kπ-(k∈Z) 7.极坐标系中,点的直角坐标为________. 解析:∵x=ρcos θ=6cos=3, y=ρsin θ=6sin=3, ∴点的极坐标化为直角坐标为(3,3). 答案:(3,3) 8.平面直角坐标系中,若点P经过伸缩变换后的点为Q,则极坐标系中,极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________. 解析:因为点P经过伸缩变换后的点为Q,则极坐标系中,极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6|sin|=3. 答案:3 9.已知点的极坐标分别为A,B,C,D,求它们的直角坐标. 解析:根据x=ρcos θ,y=ρsin θ,得A,B(-1,-),C,D(0,-4). 10.分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π). (1)(-1,1);(2)(4,-4); (3);(4)(-,-). 解析:(1)∵ρ==, tan θ=-1,θ∈[0,2π), 由于点(-1,1)在第二象限,所以θ=, ∴直角坐标(-1,1)化为极坐标为. (2)∵ρ==8, tan θ==-,θ∈[0,2π), 由于点(4,-4)在第四象限. ∴θ=, ∴直角坐标(4,-4)化为极坐标为. (3)∵ρ==, tan θ==1,θ∈[0,2π), 由于点在第一象限, ∴θ=, ∴直角坐标化为极坐标为. (4)∵ρ==2, tan θ==,θ∈[0,2π), 由于点(-,-)在第三象限, ∴θ=, ∴直角坐标(-,-)化为极坐标为. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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  • ID:3-5874895 人教版必修四1.3 三角函数的诱导公式(1)课件(共26张PPT)

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    人教版必修四1.3 三角函数的诱导公式(1)课件(共26张ppt):26张PPT§1.3 三角函数的诱导公式(一) α的终边 P(x,y) 三角函数定义: 温故知新 同角三角函数的基本关系 平方关系:sin2α+cos2α=1 商数关系:tanα=sinα/cosα 诱导公式一: 终边相同角的同一三角函数的值相等 探要点·究所然 情境导学 在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°~360°内的角的三角函数值,对于90°~360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解?这就是本节学习的内容. ================================================ 压缩包内容: 人教版必修四1.3 三角函数的诱导公式(1)课件(共26张ppt).pptx