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高中数学人教版
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  • ID:3-5420788 山东省青州实验中学高一期末考试数学试题扫描版无答案

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  • ID:3-5413142 高中数学必修2复习(备课)资料含知识点,练习题,期末测试题,教案,学案(适用于高三一轮复习及高二期末复习)

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    第一部分:知识点整理1-65页 第二部分:习题,章末测试题,综合试题65-210页 第三部分:教案、学案210页-594页 数学必修(二)知识梳理与解题方法分析 第一部分:立体几何1-39页 第二部分:直线与圆40-65页 第一章 《空间几何体》 一、本章总知识结构 二、各节内容分析 1.1空间几何体的结构 1.本节知识结构 1.2空间几何体三视图和直观图 1、本节知识结构 1.3 空间几何体的表面积与体积 1、本节知识结构 。 三、高考考点解析 本部分内容在高考中主要考查以下两个方面的内容: 1.多面体的体积(表面积)问题; 2.点到平面的距离(多面体的一个顶点到多面体一个面的距离)问题—“等体积代换法”。 (一)多面体的体积(表面积)问题 1. 在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60. (1)求四棱锥P-ABCD的体积; 【解】(1)在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得 ∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,∠PBO=60°. 在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,由PO⊥BO, 于是,PO=BOtan60°=, 而底面菱形的面积为2. ∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2. 2.如图,长方体ABCD-中,E、P分别是BC、的中点,M、N分别是AE、的中点, (Ⅲ)求三棱锥P-DEN的体积。 【解】 (Ⅲ) 作,交于,由面得 ∴面 ∴在中, ∴。 (二)点到平面的距离问题—“等体积代换法”。 1 如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点, (III)求点E到平面ACD的距离。 【解】 (III) 设点E到平面ACD的距离为 , ∴ 在中, 而 点E到平面ACD的距离为 2.如图,已知正三棱柱的侧棱长和底面边长为1,是底面边上的中点,是侧棱上的点,且。 (Ⅱ)求点到平面的距离。 【解】(Ⅱ)过在面内作直线 ,为垂足。又平面,所以AM。于是H平面AMN,故即为到平面AMN的距离。在中,=。故点到平面AMN的距离为1。 3 如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点。 (1)求O点到面ABC的距离; 【解】(1)取BC的中点D,连AD、OD。 ,则 ∴BC⊥面OAD。过O点作OH⊥AD于H, 则OH⊥面ABC,OH的长就是所要求的距离。 ,。 ∴面OBC,则。 ,在直角三角形OAD中,有 (另解:由知:) 第二章 《点、直线、平面之间的位置关系》 一、本章的知识结构 二、各节内容分析 2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系 1、本节知识结构 2.内容归纳总结 (1)四个公理 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 符号语言:。 公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 三个推论:① ② ③ 它给出了确定一个平面的依据。 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线(两个平面的交线)。 符号语言:。 公理4:(平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言:。 (2)空间中直线与直线之间的位置关系 1.概念 异面直线及夹角:把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线,经过空间任意一点O作直线,我们把与所成的角(或直角)叫异面直线所成的夹角。(易知:夹角范围) 定理:空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。(注意:会画两个角互补的图形) 2.位置关系: (3)空间中直线与平面之间的位置关系 直线与平面的位置关系有三种: (4)空间中平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种: 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 1、本节知识结构 2.内容归纳总结 (1)四个定理 定理 定理内容 符号表示 分析解决问题的常用方法 直线与平面平行的判定 平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题” 平面与平面平行的判定 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 判定的关键:在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题” 直线与平面平行的性质 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 平面与平面平行的性质 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (2)定理之间的关系及其转化 两平面平行问题常转化为直线与直线平行,而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行,所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是:将“高维问题”转化为“低维问题”,将“空间问题”转化为“平面问题”。 2.3 直线、平面平垂直的判定及其性质 1、本节知识结构 2.内容归纳总结 (一)基本概念 1.直线与平面垂直:如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线与平面垂直,记作。直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面。直线与平面的公共点叫做垂足。 2. 直线与平面所成的角: 角的取值范围:。 3.二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。 二面角的记法: 二面角的取值范围: 两个平面垂直:直二面角。 (二)四个定理 定理 定理内容 符号表示 分析解决问题的常用方法 直线与平面垂直的判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直。 在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直” 平面与平面垂直的判定 一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面垂直。 (满足条件与垂直的平面有无数个) 判定的关键:在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题” 直线与平面垂直的性质 同垂直与一个平面的两条直线平行。 平面与平面垂直的性质 两个平面垂直,则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直。 解决问题时,常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线 (三)定理之间的关系及其转化: 两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直,而直线与平面垂直又可转化为直线与直线垂直,所以在解题时应注意从“高维”到“低维” 的转化,即“空间问题”到“平面问题”的转化。 三、高考考点解析 第一部分、三类角(异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角、二面角)的求解问题 (一)异面直线所成的夹角与异面直线的公垂线 1.异面直线所成的夹角是本部分的重点和难点更是高考的考点。 异面直线所成的角的大小是刻划空间两条异面直线的相关位置的一个量,掌握好概念是解题的关键,其思维方法是把两条异面直线所成的角通过“平移法”转化为“平面角”,然后证明这个角就是所求的角,再利用三角形解出所求的角(简言之:①“转化角”、②“证明”、③“求角”)。以上三个步骤“转化角”是求解的关键,因为转化的过程往往就是求解的过程——其目的就是将“空间问题”转化为“平面问题(角问题)”。 1. 如图所示,、分别是、的直径,与两圆所在的平面均垂直,.是的直径, ,。 (II)求直线与所成的角。 【解】(II)第一步:将“问题”转化为求“平面角”问题 根据定义和题设,我们只能从两条异面直线的四个顶点出发作其中一条直线的平行线,此题我们只能从点D作符合条件的直线。 连结DO,则∠ODB即为所求的角。 第二步:证明∠ODB就是所求的角 在平面ADEF中,DE//AF,且DE=AF,所以四边形ODEF为平行四边形 所以DO//EF 所以根据定义,∠ODB就是所求的角。 第三步:求角 由题设可知:底面ABCD为正方形 ∵ DA⊥平面ABCD 平面 ∴ DA⊥BC 又 ∵AF⊥BC ∴ BC⊥平面ADO ∴ DO⊥BC ∴ △DOB为直角三角形 ∴ 在Rt△ODB, ∴ (或用反三角函数表示为:) 2.在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60. (2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的大小(结果用反三角函数值表示). 【解】(2)取AB的中点F,连接EF、DF. 由E是PB的中点,得EF∥PA, ∴∠FED是异面直线DE与PA所成角(或它的补角)。 在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP, 于是,在等腰Rt△POA中,PA=,则EF=. 在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=. cos∠FED== ∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos. 3. 如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点, (II)求异面直线AB与CD所成角的大小; 【解】 本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。 方法一:(II) 取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角 在中, 是直角斜边AC上的中线, 异面直线AB与CD所成角的大小为 4. 如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点。 (2)求异面直线BE与AC所成的角; 【解】(2)取OA的中点M,连EM、BM,则EM∥AC,∠BEM是异面直线BE与AC所成的角。 求得:, , ∴。 2. 异面直线的公垂线问题 异面直线的公垂线问题也是高考的考点之一。 与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段. 1.如图,在直三棱柱中,、分别为、的中点。 (I)证明:ED为异面直线与的公垂线; 【解】 (Ⅰ)设O为AC中点,连接EO,BO,则EOC1C, 又C1CB1B,所以EODB,EOBD为平行四边形,ED∥OB. ∵AB=BC,∴BO⊥AC, 又平面ABC⊥平面ACC1A1, BO面ABC, 故BO⊥平面ACC1A1, ∴ED⊥平面ACC1A1, ED⊥AC1, ED⊥CC1, ∴ED⊥BB1,ED为异面直线AC1与BB1的公垂线. 2如图,已知平面平行于三棱锥的底面ABC,等边△所在的平面与底面ABC垂直,且∠ACB=90°,设 (Ⅰ)求证直线是异面直线与的公垂线; 【解】解法1:(Ⅰ)证明: ∵平面∥平面, 又∵平面⊥平面,平面∩平面, ∴⊥平面, , 又,. 为与的公垂线. (二) 直线与平面所成夹角 1.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,, , 底面,且,分别为、的中点。 (Ⅱ)求与平面所成的角。 【解】 (II)取的中点,连结、, 则, 所以与平面所成的角和与平面所成的角相等. 因为平面, 所以是与平面所成的角. 在中,。 故与平面所成的角是。 2. 在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图1)。将△AEF沿EF折起到的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连结A1B、A1P(如图2) (Ⅱ)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小; 【解】不妨设正三角形的边长为3,则 (II)在图2中,∵A1E不垂直于A1B,∴A1E是面A1BP的斜线,又A1E⊥面BEP, ∴A1E⊥BP,∴BP垂直于A1E在面A1BP内的射影(三垂线定理的逆定理) 设A1E在面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于Q, 则∠EA1Q就是A1E与面A1BP所成的角,且BP⊥A1Q。 在△EBP中,∵BE=BP=2,∠EBP=60o,∴△EBP为正三角形,∴BE=EP。 又A1E⊥面BEP,∴A1B=A1P,∴Q为BP的中点,且EQ=,而A1E=1, ∴在Rt△A1EQ中,,即直线A1E与面A1BP所成角为60o。 (三) 二面角与二面角的平面角问题 1. 如图所示,、分别是、的直径,与两圆所在的平面均垂直,.是的直径, ,。 (I)求二面角的大小; 【解】(I)∵AD与两圆所在的平面均垂直, ∴AD⊥AB,AD⊥AF, 故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角, 依题意可知,ABFC是正方形,所以∠BAF=450. 即二面角B—AD—F的大小为450; 2.如图,P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点,,P在平面ABC内的射影为BF的中点O。 (Ⅱ)求面与面所成二面角的大小。 【解】连结AD,则易知AD与BF的交点为O。 (II)设M为PB的中点,连结AM,MD。 斜线PB在平面ABC内的射影为OB,。 又 因此,为所求二面角的平面角。 在正六边形ABCDEF中, 在Rt 在Rt,则 在中,由余弦定理得 因此,所求二面角的大小为 3. 如图,在底面为平行四边形的四棱锥中,,平面,且,点是的中点. (Ⅲ)求二面角的大小. 【解】(Ⅲ)如图,取AD的中点F,连EF,FO,则EF是△PAD的中位线, EFPA又平面, EF平面 同理FO是△ADC的中位线,FOABFOAC由三垂线定理可知EOF是二面角E-AC-D的平面角. 又FO=AB=PA=EF。 EOF=45而二面角与二面角E-AC-D互补, 故所求二面角的大小为135. 4. 如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形, 与相交于点,且顶点在底面上的射影恰为点,又. (Ⅱ)求二面角的大小; 【解】 平面, 又, 由平面几何知识得: (Ⅱ)连结,由(Ⅰ)及三垂线定理知,为二面角的平面角 , 二面角的大小为 5. 如图,α⊥β,α∩β=l , A∈α, B∈β,点A在直线l 上的射影为A1, 点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求: (II)二面角A1-AB-B1的大小。 【解】 (Ⅱ)∵BB1⊥α, ∴平面ABB1⊥α。 在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B。过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB, ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角. 在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°, ∴AB1=B1B=. ∴Rt△AA1B中, A1B== = 。 由AA1·A1B=A1F·AB得 A1F== = , ∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE = = , ∴二面角A1-AB-B1的大小为arcsin. 第二部分 《空间直线、平面的平行问题》 将“空间问题”转化为“平面问题”的“转化思想” (一)“线线平行”与“线面平行”的转化问题 1 如图,在底面为平行四边形的四棱锥中,,平面,且,点是的中点. (Ⅱ)求证:平面; 【解】 证明本题的关键:在平面EAC中“找”一条与PB平行的直线,由于点E在平面PBD中,所以可以在平面PBD中过点E“找”(显然,要“找”的直线就是平面PBD与平面EAC的交线)。最终将“线面平行”问题转化为“线线平行”问题。 (Ⅱ)连接BD,与AC相交与O,连接EO, ABCD是平行四边形 O是BD的中点 又E是PD的中点, EO//PB. 又PB平面AEC,EO平面AEC, PB平面AEC。 2.如图,在五面体中,点是矩形的对角线的交点,面是等边三角形,棱. (1)证明//平面; (2)设,证明平面. 【解】分析通上题。 (Ⅰ)证明:取CD中点M,连结OM. 在矩形ABCD中。 ,又, 则,连结EM,于是四边形EFOM为平行四边形. 又平面CDE,且EM平面CDE,∵FO∥平面CDE (二) “线面平行”与“面面平行”的转化问题 2.如图,长方体ABCD-中,E、P分别是BC、的中点,M、N分别是AE、的中点, (Ⅰ)求证:; 【证明】本题如果利用“线线平行”找“线”比较复杂(不是不可以),所以我们可以考虑利用“面面平行”来将问题转化。关键是:考虑到点M、N都是中点,于是我们就轻松的可以找到另一个比较特殊的中点K(OC的中点),将“线面平行”问题转化为“面面平行”问题。 (Ⅰ)取的中点,连结 ∵分别为的中点 ∵ ∴面,面 ∴面面 ∴面 第三部分 《 空间直线、平面的垂直问题》 将“空间问题”转化为“平面问题”转化思想。 (一)“线线垂直”到“线面垂直” 1.如图,是正四棱柱。 (I)求证:BD⊥平面; 【解】 根据直线与平面平行的判定定理很容易找到两条相交的直线AC、A1A与BD垂直。 (Ⅰ)∵ 是正四棱柱, ∴ CC1⊥平面ABCD, ∴ BD⊥CC1, ∵ ABCD是正方形, ∴ BD⊥AC 又 ∵AC,CC1平面,且AC∩CC1=C, ∴ BD⊥平面。 2. 如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点, (I)求证:平面BCD; 【解】(I)证明:连结OC 在中,由已知可得 而 即 平面 3. 如图4, 已知两个正四棱锥的高分别为1和2, 。 (I)证明: ; 【解】(Ⅰ)取AD的中点M,连接PM、QM。 因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥,所以ADPM,ADQM。 从而AD平面PQM。 又PQ平面PQM,所以PQ⊥AD。 同理PQ⊥AB,所以PQ⊥平面ABCD。 9. 在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图1)。将△AEF沿EF折起到的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连结A1B、A1P(如图2) (Ⅰ)求证:A1E⊥平面BEP; 【解】 不妨设正三角形的边长为3,则 (I)在图1中,取BE的中点D,连结DF, ∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2,∴AF=AD=2,而∠A=60o,∴△ADF为正三角形。 又AE=DE=1,∴EF⊥AD。 在图2中,A1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的一个平面角, 由题设条件知此二面角为直二面角,∴A1E⊥BE。 又BEEF=E,∴A1E⊥面BEF,即A1E⊥面BEP。 (二) “线面垂直” 到“线线垂直” 1.如图,P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点,,P在平面ABC内的射影为BF的中点O。 (Ⅰ)证明⊥; (Ⅱ)求面与面所成二面角的大小。 【解】连结AD,则易知AD与BF的交点为O。 (I)证法1: 又 证法2: 2.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,, , 底面,且,分别为、的中点。 (Ⅰ)求证:; 【解】 (I)因为是的中点,,所以. 因为平面,所以, 从而平面.因为平面, 所以. 3.如图,在三棱锥A-BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形 (1)求证:ADBC; 【解】 (1)方法一:作AH面BCD于H,连DH。 ABBDHBBD,又AD=,BD=1 AB==BC=AC BDDC 又BD=CD,则BHCD是正方形,则DH BC ADBC 方法二:取BC的中点O,连AO、DO 则有AOBC,DOBC, BC面AOD BCAD 4. 如图,、是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段。点A、B在上,C在上,AM=MB=MN。 (Ⅰ)证明ACNB 【解】 (Ⅰ) 又AN为AC在平面ABN内的射影 高中课程复习专题——数学立体几何 一 空间几何体 ㈠ 空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 ㈡ 几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2 棱柱的分类 1.3 棱柱的性质 ⑴ 侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵ 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷ 直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 1.4 长方体的性质 ⑴ 长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成 的角分别是α、β、γ,那么: cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ,则: cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 1.5 棱柱的侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 1.6 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长,h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底 ·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 2-2 圆柱的性质 ⑴ 上、下底及平行于底面的截面都是等圆; ⑵ 过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面 = 2π·r·h (r为底面半径,h为圆柱的高) S圆柱全 = 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴ 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ⑵ 正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心, 这样的棱锥叫做正棱锥。 3-2 正棱锥的结构特征 ⑴ 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比; ⑵ 正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; ⑶ 正棱锥中的六个元素,即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面边长的一半(BH),构成四个直角三角形(三角形SOB、SOH、SBH、OBH均为直角三角形)。 3-3 正棱锥的侧面展开图:正n棱锥的侧面展开图是由n个全等的等腰三角形组成。 3-4 正棱锥的面积和体积公式 S正棱锥侧 = 0.5 c h’ (c为底面周长,h’为侧面斜高) S正棱锥全 = 0.5 c h’ + S底面 V?棱锥 = 1/3 S底面·h (h为棱锥的高) 4 圆锥的结构特征 4-1 圆锥的定义:以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 4-2 圆锥的结构特征 ⑴ 平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比; ⑵ 轴截面是等腰三角形; ⑶ 母线的平方等于底面半径与高的平方和: l2 = r2 + h2 4-3 圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形。 4-4 圆锥的面积和体积的公式 S圆锥侧 = π r·l (r为底面半径,l为母线长) S圆锥全 = πr·(r + l) V圆锥 = 1/3 πr2·h (h为圆锥高) 5 棱台的结构特征 5.1 棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱台。 5.2 正棱台的结构特征 ⑴ 各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形; ⑵ 正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形; ⑶ 正棱台的对角面也是等腰梯形; ⑷ 棱台经常被补成棱锥,然后利用形似三角形进行研究。 5-3 正棱台的面积和体积公式 S棱台侧= n/2 (a + b)·h’ (a为上底边长,b为下底边长,h’为棱台的斜高,n为边数) S棱台全 = S上底 + S下底 + S侧 V棱台 = 6 圆台的结构特征 6-1 圆台的定义:用一个平行于底面的平面去截圆锥,我们把截面和底面之间的部分称为圆台。 6-2 圆台的结构特征 ⑴ 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆; ⑵ 圆台的截面是等腰梯形; ⑶ 圆台经常补成圆锥,然后利用相似三角形进行研究。 6-3 圆台的面积和体积公式 S圆台侧 = π·(R + r)·l (r、R为上下底面半径) S圆台全 = π·r2 + π·R2 + π·(R + r)·l V圆台 = 1/3 (π r2 + π R2 + π r R) h (h为圆台的高) 7 球的结构特征 7-1 球的定义:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中,与定点距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成的几何体称为球体。 7-2 球的结构特征 ⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面; ⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差:r2 = R2 – d2 ★7-3 球与其他多面体的组合体的问题 球体与其他多面体组合,包括内接和外切两种类型,解决此类问题的基本思路是: ⑴ 根据题意,确定是内接还是外切,画出立体图形; ⑵ 找出多面体与球体连接的地方,找出对球的合适的切割面,然后做出剖面图; ⑶ 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题; ⑷ 注意圆与正方体的两个关系:球内接正方体,球直径等于正方体对角线; 球外切正方体,球直径等于正方体的边长。 7-4 球的面积和体积公式 S球面 = 4 π R2 (R为球半径) V球 = 4/3 π R3 ㈢ 空间几何体的视图 1 三视图:观察者从三个不同的位置观察同一个空间几何体而画出的图形。 正视图:光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图。 侧视图:光线从几何体的左边向右边正投影,得到的投影图。 俯视图:光线从几何体的上面向右边正投影,得到的投影图。 注意:⑴ 俯视图画在正视图的下方,“长度”与正视图相等;侧视图画在正视图的右方,“高度”与正视图相等,“宽度”与俯视图相等。(正侧一样高,正俯一样长,俯侧一样宽) ⑵ 正视图、侧视图、俯视图都是平面图形,而不是直观图。 2 直观图 2-1 直观图的定义:是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形,直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 2-2 斜二测法做空间几何体的直观图 ⑴ 在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy,即取∠xOy = 90°; ⑵ 画直观图时,把它画成对应的轴O’x’、O’y,取∠x’O’y’ = 45°或135°,它们确定的平面表示水平平面; ⑶ 在坐标系x’o’y’中画直观图时,已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变;平行于x轴的线段保持长度不变;平行于y轴的线段长度减半。 结论:采用斜二测法作出的直观图的面积是原平面图形的 2-3 解决关于直观图问题的注意事项 ⑴ 由几何体的三视图画直观图时,一般先考虑“俯视图”; ⑵ 由几何体的直观图画三视图时,能看见的轮廓线和棱画成实线,不能看见的轮廓线和棱画成虚线。 二 点、直线、平面之间的关系 ㈠ 平面的基本性质 1 立体几何中图形语言、文字语言和符号语言的转化 图形语言 文字语言 符号语言 点A在直线a上点B在直线a外 A∈aBa 点A在平面α内 点B在平面α外 A∈α Bα 直线a在平面α内 直线b在平面α外 aα bα 直线a与平面α相交于点A a∩α=A 直线a与直线b相交于点A a∩b=A 平面α与平面β交于直线a α∩β=a ★2 平面的基本性质 公理一:如果一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内。 公理二:不共线的三点确定一个平面。 推论一:直线与直线外一点确定一个平面。 推论二:两条相交直线确定一个平面。 推论三:两条平行直线确定一个平面。 公理三:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共点,这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。 ㈡ 空间图形的位置关系 1 空间直线的位置关系(相交、平行、异面) 1.1 平行线的传递公理:平行于同一直线的两条直线相互平行。 即:a∥b,b∥c a∥c 1.2 等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。 1.3 异面直线 ⑴ 定义:不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 ⑵ 判定定理:连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线为异面直线。 即: 1.4 异面直线所成的角 ⑴ 异面直线成角的范围:(0°,90°]. ⑵ 作异面直线成角的方法:平移法。 注意:找异面直线所成角时,经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等),形成异面直线所成的角。 2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行) 3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直) ㈢ 平行关系(包括线面平行和面面平行) 1 线面平行 1.1 线面平行的定义:平面外的直线与平面无公共点,则称为直线和平面平行。 1.2 判定定理: 1.3 性质定理: 1.4 判断或证明线面平行的方法 ⑴ 利用定义(反证法):l ∩ α = ф ,l∥α (用于判断); ⑵ 利用判定定理:线线平行线面平行 (用于证明); ⑶ 利用平面的平行:面面平行线面平行 (用于证明); ⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。 2 线面斜交和线面角:l ∩ α = A 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与平面斜交,则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围:θ∈[0°,90°] 注意:当直线在平面内或者直线平行于平面时,θ=0°; 当直线垂直于平面时,θ=90° 3 面面平行 3.1 面面平行的定义:空间两个平面没有公共点,则称为两平面平行。 3.2 面面平行的判定定理: ⑴ 判定定理1:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么两个平面相互平行。 即: 推论:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条线段,那么这两个平面平行。即: ⑵ 判定定理2:垂直于同一条直线的两平面互相平行。即: 3.3 面面平行的性质定理 ⑴ (面面平行线面平行) ⑵ ⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直 1.1 线面垂直的定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于平面。 1.2 线面垂直的判定定理: 1.3 线面垂直的性质定理: ⑴ 若直线垂直于平面,则它垂直于平面内任意一条直线。 即: ⑵ 垂直于同一平面的两直线平行。 即: 1.4 常用的判定或证明线面垂直的依据 ⑴ 利用定义,用反证法证明。 ⑵ 利用判定定理证明。 ⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线,则另一条直线也垂直与平面。 ⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个,则也垂直于另一个。 ⑸ 如果两平面垂直,在一平面内有一直线垂直于两平面交线,则该直线垂直于另一平面。 ★1.5 三垂线定理及其逆定理 ⑴ 斜线定理:从平面外一点向这个平面所引的所有线段中,斜线相等则射影相等,斜线越长则射影越长,垂线段最短。 如图: ⑵ 三垂线定理及其逆定理 已知PO⊥α,斜线PA在平面α内的射影为OA,a是平面 α内的一条直线。 ① 三垂线定理:若a⊥OA,则a⊥PA。即垂直射影则垂直斜线。 ② 三垂线定理逆定理:若a⊥PA,则a⊥OA。即垂直斜线则垂直射影。 ⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用 ① 证明异面直线垂直; ② 作出和证明二面角的平面角; ③ 作点到线的垂线段。 2 面面斜交和二面角 2.1 二面角的定义:两平面α、β相交于直线l,直线a是α内的一条直线,它过l上的一点O且垂直于l,直线b是β内的一条直线,它也过O点,也垂直于l,则直线a、b所形成的角称为α、β的二面角的平面角,记作∠α-l-β。 2.2 二面角的范围:∠α-l-β ∈[0°,180°] 2.3 二面角平面角的作法: ⑴ 定义法:证明起来很麻烦,一般不用; ⑵ 三垂线法:常用方法; ⑶ 垂面法:常用于空间几何体中的二面角。 3 面面垂直 3.1 面面垂直的定义:若二面角α-l-β的平面角为90°,则两平面α⊥β。 3.2 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 即: 3.3 面面垂直的性质定理 ⑴ 若两面垂直,则这两个平面的二面角的平面角为90°; ⑵ ⑶ ⑷ 三 立体几何主要难点 1 三种角的对比 角的类型 范围 解题步骤 异面直线所成角 0°~90° 1找:利用平移法找出异面直线所成角; ⑴ 固定一条直线,平移另一条直线, ⑵ 将两条直线都平移至一特殊位置。2证:证明所作出的角就是异面直线所成角或其补角,常需证明线线平行;3计算:通过解三角形,算出异面直线角的角度。 直线与平面所成角 0°~90° 1找:作出斜线与其在平面内射影的夹角,一般用三垂线定理;2证:证明所作出的角就是直线与平面所成角或其补角,常证明线面垂直;3计算:通过解三角形,求出线面角的角度。 二面角的平面角 0~π 1作:根据二面角平面角的定义,作出这个平面角;2证:证明所作的角就是二面角的平面角,常用三垂线法和垂面法;3计算:通过解三角形,求出二面角平面角的角度。 2 立体几何知识网络 高考题典例 考点1 点到平面的距离 (?http:?/??/?www.zxxk.com?) 例1如图,正三棱柱的所有棱长都为,为中点. (?http:?/??/?www.zxxk.com?) (Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的大小; (?http:?/??/?www.zxxk.com?) (Ⅲ)求点到平面的距离. (?http:?/??/?www.zxxk.com?) 解答过程(Ⅰ)取中点,连结. (?http:?/??/?www.zxxk.com?) 为正三角形,. (?http:?/??/?www.zxxk.com?) 正三棱柱中,平面平面, (?http:?/??/?www.zxxk.com?) 平面.连结,在正方形中,分别为的中点, , . (?http:?/??/?www.zxxk.com?) 在正方形中,, 平面. (?http:?/??/?www.zxxk.com?) (Ⅱ)设与交于点,在平面中,作于,连结,由(Ⅰ)得平面. , 为二面角的平面角. (?http:?/??/?www.zxxk.com?) 在中,由等面积法可求得, (?http:?/??/?www.zxxk.com?) 又, . (?http:?/??/?www.zxxk.com?) 所以二面角的大小为. (?http:?/??/?www.zxxk.com?) (Ⅲ)中,,. (?http:?/??/?www.zxxk.com?) 在正三棱柱中,到平面的距离为. (?http:?/??/?www.zxxk.com?) 设点到平面的距离为. (?http:?/??/?www.zxxk.com?) 由,得, . (?http:?/??/?www.zxxk.com?) 点到平面的距离为. (?http:?/??/?www.zxxk.com?) 考点2 异面直线的距离 例2 已知三棱锥,底面是边长为的正三角形,棱的长为2,且垂直于底面.分别为的中点,求CD与SE间的距离. 解答过程: 如图所示,取BD的中点F,连结EF,SF,CF, 为的中位线,∥∥面,到平面的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线上一点C到平面 的距离,设其为h,由题意知,,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点, 在Rt中, 在Rt中, 又 由于,即,解得 故CD与SE间的距离为. 考点3 直线到平面的距离 例3. 如图,在棱长为2的正方体中,G是的中点,求BD到平面的距离. 思路启迪:把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解. 解答过程:解析一∥平面, 上任意一点到平面的距离皆为所求,以下求 点O平面的距离, ,,平面, 又平面 平面,两个平面的交线是, 作于H,则有平面,即OH是O点到平面的距离. 在中,. 又. 即BD到平面的距离等于. 解析二 ∥平面, 上任意一点到平面的距离皆为所求,以下求点B平面的距离. 设点B到平面的距离为h,将它视为三棱锥的高,则 , 即BD到平面的距离等于. 小结:当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点,转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离;解析二是等体积法求出点面距离. 考点4 异面直线所成的角 例4如图,在中,,斜边.可以通过以直线为轴旋转得到,且二面角的直二面角.是的中点. (I)求证:平面平面; (II)求异面直线与所成角的大小. 解答过程:(I)由题意,,, 是二面角是直二面角, ,又,平面, 又平面.平面平面. (II)作,垂足为,连结(如图),则, 是异面直线与所成的角. 在中,,,. 又.在中,. 异面直线与所成角的大小为. 小结: 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形,作法有:①平移法:在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二;②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,如解析三.一般来说,平移法是最常用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围:. 考点5 直线和平面所成的角 例5. 四棱锥中,底面为平行四边形,侧面底面.已知,,,. (Ⅰ)证明;(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小. 解答过程:(Ⅰ)作,垂足为,连结,由侧面底面,得底面. 因为,所以, 又,故为等腰直角三角形,,由三垂线定理,得. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,依题设, 故,由,,,得 ,. 的面积. 连结,得的面积 设到平面的距离为,由于,得,解得. 设与平面所成角为,则. 所以,直线与平面所成的我为. 小结:求直线与平面所成的角时,应注意的问题是(1)先判断直线和平面的位置关系;(2)当直线和平面斜交时,常用以下步骤:①构造——作出斜线与射影所成的角,②证明——论证作出的角为所求的角,③计算——常用解三角形的方法求角,④结论——点明直线和平面所成的角的值. 考点6 二面角 例6.如图,已知直二面角,,,,,,直线和平面所成的角为.(I)证明 (II)求二面角的大小. 过程指引:(I)在平面内过点作于点,连结. 因为,,所以, 又因为,所以. 而,所以,, 从而,又, 所以平面.因为平面,故. (II)由(I)知,,又,, ,所以.过点作于点,连结,由三垂线定理知,.故是二面角的平面角. 由(I)知,,所以是和平面所成的角,则, 不妨设,则,. 在中,,所以,于是在中,.故二面角的大小为. 小结:本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱,进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径:①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱,③补形构造几何体发现棱;解法二则是利用平面向量计算的方法,这也是解决无棱二面角的一种常用方法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面向量计算的方法求出二面角的大小. 考点7 利用空间向量求空间距离和角 例7. 如图,已知是棱长为的正方体, 点在上,点在上,且. (1)求证:四点共面; (2)若点在上,,点在上,,垂足为,求证:平面; (3)用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小,求. 过程指引:(1)如图,在上取点,使,连结,,则,. 因为,,所以四边形,都为平行四边形.从而,. 又因为,所以,故四边形是平行四边形,由此推知,从而.因此,四点共面. (2)如图,,又,所以, . 因为,所以为平行四边形,从而. 又平面,所以平面. (3)如图,连结.因为,,所以平面,得.于是是所求的二面角的平面角,即. 因为,所以 , . 立体几何知识点 1、柱、锥、台、球的结构特征?(1)棱柱:? 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。?(2)棱锥? 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。? (3)棱台:?? 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形??②侧面是梯形????③侧棱交于原棱锥的顶点?(4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成? 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。?(5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成? 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。?(6)圆台:定义:以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成? 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。?(7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体?几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,为斜高,l为母线) (3)柱体、锥体、台体的体积公式 (4)球体的表面积和体积公式:V= ; S= 1、平面及基本性质 公理1 公理2 若,则且 公理3 不共线三点确定一个平面(推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线) 2、空间两直线的位置关系 共面直线:相交、平行(公理4) 异面直线 3、异面直线 (1)对定义的理解:不存在平面,使得且 (2)判定:反证法(否定相交和平行即共面) 判定定理: ★(3)求异面直线所成的角:①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角,再解三角形. ②向量法 (注意异面直线所成角的范围) (4)证明异面直线垂直,①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明; ②向量法 (5)求异面直线间的距离:大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算. 9.2 直线与平面的位置关系 1、直线与平面的位置关系 2、直线与平面平行的判定 (1)判定定理: (线线平行,则线面平行) (2)面面平行的性质: (面面平行,则线面平行) 3、直线与平面平行的性质 (线面平行,则线线平行) ★4、直线与平面垂直的判定 (1)直线与平面垂直的定义的逆用 (2)判定定理: (线线垂直,则线面垂直) (3) (练习 第6题) (4)面面垂直的性质定理: (面面垂直,则线面垂直) (5)面面平行是性质: 5、射影长定理 ★6、三垂线定理及逆定理 线垂影线垂斜 9.3 两个平面的位置关系 1、空间两个平面的位置关系 相交和平行 2、两个平面平行的判定 (1)判定定理: (线线平行,则面面平行) (2) 垂直于同一平面的两个平面平行 (3) 平行于同一平面的两个平面平行 (练习 第2题) 3、两个平面平行的性质 (1)性质1: (2)面面平行的性质定理: (面面平行,则线线平行) (3)性质2: 4、两个平面垂直的判定与性质 (1)判定定理: (线面垂直,则面面垂直) (2)性质定理:面面垂直的性质定理: (面面垂直,则线面垂直) 9.4 空间角 1、异面直线所成角(9.1) 2、斜线与平面所成的角 (1)求作法(即射影转化法):找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足. (2)向量法:设平面的法向量为,则直线与平面所成的角为,则 (3)两个重要结论 最小角定理: ,例4 第6题 9.5 空间距离 1、求距离的一般方法和步骤 (1)找出或作出有关的距离; (2)证明它符合定义; (3)在平面图形内计算(通常是解三角形) 2、求点到面的距离常用的两种方法 (1)等体积法——构造恰当的三棱锥; (2)向量法——求平面的斜线段,在平面的法向量上的射影的长度: 3、直线到平面的距离,两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解 4、异面直线的距离 1 定义:和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分(公垂线段) 2 求法:法1 找出两异面直线的公垂线段并计算,法2 转化为点面距离 向量法 (,分别为两异面直线上任意一点,为垂直于两异面直线的向量) 注意理解应用: 重点例题:和例2 高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解: 1、倾斜角:①找α:直线向上方向、x轴正方向; ②平行:α=0°; ③范围:0°≤α<180° 。 2、斜率:①找k :k=tanα (α≠90°); ②垂直:斜率k不存在; ③范围: 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标: ①构造直角三角形(数形结合); ②斜率k值于两点先后顺序无关; ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系: ①相交:斜率(前提是斜率都存在) 特例----垂直时:<1> ; <2> 斜率都存在时: 。 ②平行:<1> 斜率都存在时:; <2> 斜率都不存在时:两直线都与x轴垂直。 ③重合: 斜率都存在时:; 二、方程与公式: 1、直线的五个方程: ①点斜式: 将已知点直接带入即可; ②斜截式: 将已知截距直接带入即可; ③两点式: 将已知两点直接带入即可; ④截距式: 将已知截距坐标直接带入即可; ⑤一般式: ,其中A、B不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标:直接将两直线方程联立,解方程组即可 3、距离公式: ①两点间距离: ②点到直线距离: ③平行直线间距离: 4、中点、三分点坐标公式:已知两点 ①AB中点: ②AB三分点: 靠近A的三分点坐标 靠近B的三分点坐标 中点坐标公式,在求对称点、第四章圆与方程中,经常用到。 三分点坐标公式,用得较少,多见于大题难题。 5.直线的对称性问题 已知点关于已知直线的对称:设这个点为P(x0,y0),对称后的点坐标为P’(x,y),则pp’的斜率与已知直线的斜率垂直,且pp’的中点坐标在已知直线上。 3、解题指导与易错辨析: 1、解析法(坐标法): ①建立适当直角坐标系,依据几何性质关系,设出点的坐标; ②依据代数关系(点在直线或曲线上),进行有关代数运算,并得出相关结果; ③将代数运算结果,翻译成几何中“所求或所要证明”。 2、动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”: ①的最小值:找对称点再连直线,如右图所示: ②的最大值:三角形思想“两边之差小于第三边”; ③的最值:函数思想“转换成一元二次函数,找对称轴”。 3、直线必过点:① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3 令:x+2=0 => 必过点(-2,3) ②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 => m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令:3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 => 必过点(-1/7,3/7) 4、易错辨析: ① 讨论斜率的存在性: 解题过程中用到斜率,一定要分类讨论:<1>斜率不存在时,是否满足题意; <2>斜率存在时,斜率会有怎样关系。 ② 注意“截距”可正可负,不能“错认为”截距就是距离,会丢解; (求解直线与坐标轴围成面积时,较为常见。) ③ 直线到两定点距离相等,有两种情况: <1> 直线与两定点所在直线平行; <2> 直线过两定点的中点。 圆的方程 1. 定义:一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆,其中定点称为圆的圆心,定长为圆的半径. 2. 圆的方程表示方法: 第一种:圆的一般方程—— 其中圆心,半径. 当时,方程表示一个圆, 当时,方程表示一个点. 当时,方程无图形. 第二种:圆的标准方程——.其中点为圆心,为半径的圆 第三种:圆的参数方程——圆的参数方程:(为参数) 注:圆的直径方程:已知 3. 点和圆的位置关系:给定点及圆. ①在圆内 ②在圆上 ③在圆外 4. 直线和圆的位置关系: 设圆圆:; 直线:; 圆心到直线的距离. ①时,与相切; ②时,与相交;, ③时,与相离. 5、圆的切线方程: ①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上,则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地,过圆上一点的切线方程为.(注:该点在圆上,则切线方程只有一条) ②若点(x0 ,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则,联立求出切线方程.(注:过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解,那么另外一条切线必定是垂直于X轴的直线。) 6.圆系方程: 过两圆的交点的圆方程:假设两圆方程为:C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0则过两圆的交点圆方程可设为:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 过两圆的交点的直线方程:x2+y2+D1x+E1y+F1- x2+y2+D2x+E2y+F2=0(两圆的方程相减得到的方程就是直线方程) 7.与圆有关的计算: 弦长的计算:AB=2*√R2-d2 其中R是圆的半径,d等于圆心到直线的距离 AB=(√1+k2)*∣X1-X2∣ 其中k是直线的斜率,X1与X2是直线与圆的方程联 立之后得到的两个根 过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线 圆内的最长弦是直径 8.圆的一些最值问题 ①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径 ②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径 ③假设P(x,y)是在某个圆上的动点,则(x-a)/(y-b)的最值可以转化为圆上的点与该点(a,b)的斜率问题,即先求过该定点的切线,得到的斜率便是该分式的最值。 ④假设P(x,y)是在某个圆上的动点,则求x+y或x-y的最值可以转化为:设T=x+y或T=x-y,在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化。 9.圆的对称问题 ①已知圆关于已知的直线对称,则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的,只需求出已知圆 的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。 ②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆,则这个直线必过某定点,且该定点是圆的圆 心坐标 圆锥曲线 椭圆 椭圆:平面内到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间距离)的点的集合 1、定义: 第二定义: 2、标准方程: 或 ; 3、参数方程 (为参数)几何意义:离心角 4、几何性质:(只给出焦点在x轴上的的椭圆的几何性质) ①、顶点 ②、焦点 ③、离心率 ④准线:(课改后对准线不再要求,但题目中偶尔给出) 5、焦点三角形面积:(设)(推导过程必须会) 6、椭圆面积:(了解即可) 7、直线与椭圆位置关系:相离();相交();相切() 判定方法:直线方程与椭圆方程联立,利用判别式判断根的个数 8、椭圆切线的求法 1)切点()已知时, 切线 切线 2)切线斜率k已知时, 切线 切线 9、焦半径:椭圆上点到焦点的距离 (左加右减) (下加上减) 双曲线 1、定义: 第二定义: 2、标准方程:(焦点在x轴) (焦点在y轴) 参数方程: (为参数) 用法:可设曲线上任一点P 3、几何性质 ① 顶点 ② 焦点 ③ 离心率 ④ 准线 ⑤ 渐近线 或 或 4、特殊双曲线 ①、等轴双曲线 渐近线 ②、双曲线的共轭双曲线 性质1:双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线 性质2:双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上 5、直线与双曲线的位置关系 ① 相离();② 相切(); ③ 相交() 判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起 时可以是相交也可以是相切 6、焦半径公式 点P在右支上 (左加右减) 点P在左支上 (左加右减) 点P在上支上 (下加上减) 点P在上支上 (下加上减) 7、双曲线切线的求法 ① 切点P已知 切线 切线 ② 切线斜率K已知 8、焦点三角形面积:(为) 抛物线 1、定义:平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的集合(轨迹) 2、几何性质:P几何意义:焦准距 焦点到准线的距离设为P 标准方程: 图 像: 范 围: 对 称 轴: x轴 x轴 顶 点: (0,0) (0,0) 焦 点: () () 离 心 率: 准 线: 标准方程: 图 像: 范 围: 对 称 轴: y轴 y轴 定 点: (0,0) (0,0) 焦 点: (0,) 离 心 率: 准 线: 3、参数方程(t为参数方程) 4、通径:过焦点且垂直于对称轴的弦 椭圆:双曲线通径长 抛物线通径长2P 5、直线与抛物线的位置关系 1)相交(有两个交点或一个交点) 2)相切(有一个交点); 3)相离(没有交点) 6、抛物线切线的求法 1)切点P已知:的切线; 2)切线斜率K已知: 此类公式填空选择或解答题中(部分)可作公式直接应用 附加:弦长公式:与曲线交与两点A、B则 解题指导: 轨迹问题: (一)求轨迹的步骤 1、建模:设点建立适当的坐标系,设曲线上任一点p(x,y) 2、立式:写出适条件的p点的集合 3、代换:用坐标表示集合列出方程式f(x,y)=0 4、化简:化成简单形式,并找出限制条件 5、证明:以方程的解为坐标的点在曲线上 (二)求轨迹的方法 1、直接法:求谁设谁,按五步去直接求出轨迹 2、定义法:利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义 3、转移代入法:适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题 4、交轨法:适用于求两条动直线交点的轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直线,然后联立,消去变量即可。 5、参数法:用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标,联立消参。 6、同一法:利用两种思维分别求出同一条直线,再参考参数法,找到轨迹方程。 弦长问题:|AB|=。 弦的中点问题:中点坐标公式-----注意应用判别式。 Ⅰ.求曲线的方程 1.曲线的形状已知 这类问题一般可用待定系数法解决。 例1 (1994年全国) 已知直线L过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上。若点A(-1,0)和点B(0,8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。 分析:曲线的形状已知,可以用待定系数法。 设出它们的方程,L:y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0). 设A、B关于L的对称点分别为A/、B/,则利用对称性可求得它们的坐标分别为: A/(),B/()。因为A/、B/均在抛物线上,代入,消去p,得:k2-k-1=0.解得:k=,p=. 所以直线L的方程为:y=x,抛物线C的方程为y2=x. 2.曲线的形状未知-----求轨迹方程 例3 (1994年全国) 已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(>0),求动点M的轨迹方程,并说明它是什么曲线。 分析:如图,设MN切圆C于点N,则动点M组成的集合是: P={M||MN|=|MQ|},由平面几何知识可知:|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1,将M点坐标代入,可得:(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0. 当=1时它表示一条直线;当≠1时,它表示圆。 这种方法叫做直接法。 Ⅱ.研究圆锥曲线有关的问题 1.有关最值问题 例6 (1990年全国) 设椭圆中心为坐标原点,长轴在x上,离心率,已知点P(0,)到这个椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆方程,并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。 分析:最值问题,函数思想。关键是将点P到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数,然后利用函数的知识求其最大值。 设椭圆方程为,则由e=得:a2=4b2,所以x2=4b2-4y2. 设Q(x,y)是椭圆上任意一点,则: |PQ|==(-byb). 若b<,则-<-b,当y=-b时|PQ|max=. 解得:b=->与b<矛盾;若b,则当y=-时|PQ|max=,解得:b=1,a=2. 2.有关范围问题 例7 (2001春季高考题) 已知抛物线y2=2px(p>0),过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,|AB|≤2p。 (1)求a的取值范围; (2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值。 分析:这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题,对于(1),可以设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围;对于(2)首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数思想”。 解:(1)直线L的方程为:y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得:设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则,又y1=x1-a,y2=x2-a, 解得: (2)设AB的垂直平分线交AB与点Q,令其坐标为(x3,y3),则由中点坐标公式得: , 所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形,所以|QM|=|QN|=,所以S△NAB=,即△NAB面积的最大值为2。 直线与圆知识点总结 1.直线的倾斜角与斜率:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为,那么就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为0°. 倾斜角的取值范围是0°≤<180°.倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k表示.倾斜角是90°的直线没有斜率. 2.斜率公式:经过两点的直线的斜率公式: 3. 直线的点斜式方程:.直线的斜率时,直线方程为;当直线的斜率不存在时,不能用点斜式求它的方程,这时的直线方程为. 4.直线的斜截式方程:为斜截式.只有当时,斜截式方程才是一次函数的表达式. 5. 直线的两点式方程:.(,) 若要包含倾斜角为或的直线,两点式应变为的形式. 6.直线的截距式方程:. ,表示截距,它们可以是正,也可以是负.当截距为零时,不能用截距式. 7.斜率存在时两直线的平行:=且. :,:,∥的充要条件是 8.斜率存在时两直线的垂直: . :,:, . 9.特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时:(1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,互相平行;(2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直. 10.两条直线是否相交的判断: :,: 要看这两条直线方程所组成的方程组:是否有惟一解 11.点到直线距离公式:点到直线的距离为: 12.两平行线间的距离公式:已知两条平行线直线和的一般式方程为:, :,则与的距离为 13.直线系方程:若两条直线:,:有交点,则过与交点的直线系方程为+ (λ为常数) 14 圆的标准方程 1、圆的标准方程: 圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程 2、点与圆的关系的判断方法: (1)>,点在圆外 (2)=,点在圆上 (3)<,点在圆内 15 圆的一般方程 1、圆的一般方程: 2、圆的一般方程的特点: (1)①x2和y2的系数相同,不等于0. ②没有xy这样的二次项. (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了. (3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 16 直线与圆的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 设直线:,圆:,圆的半径为,圆心到直线的距离为,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当时,直线与圆相离;(2)当时,直线与圆相切; (3)当时,直线与圆相交; 17 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系. 设两圆的连心线长为,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当时,圆与圆相离;(2)当时,圆与圆外切; (3)当时,圆与圆相交; (4)当时,圆与圆内切;(5)当时,圆与圆内含; 圆与直线 知识点 圆的方程:(1)标准方程:(圆心为A(a,b),半径为r) (2)圆的一般方程:() 圆心(-,-)半径 点与圆的位置关系的判断方法:根据点与圆心的距离与在大小关系判断 直线与圆的位置关系判断方法 (1)几何法:由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。 d=r 为相切,d>r为相交,d0为相交,△<0为相离。利用这种方法,可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。 4.圆与圆的位置关系判断方法 (1)几何法:两圆的连心线长为,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: 1)当时,圆与圆相离;2)当时,圆与圆外切; 3)当时,圆与圆相交;4)当时,圆与圆内切; 5)当时,圆与圆内含; (2)代数法:由两圆的方程联立得到关于x或y的一元二次方程, 然后由判别式△来判断。△=0为外切或内切,△>0为相交,△<0为相离或内含。若两圆相交,两圆方程相减得公共弦所在直线方程。 5. 直线与圆的方程的应用:利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系 选择题 1.圆的切线方程中有一个是 ( ) A.x-y=0    B.x+y=0    C.x=0    D.y=0 2.若直线与直线互相垂直,那么的值等于 ( ) A.1 B. C. D. 3.设直线过点其斜率为1,且与圆相切,则的值为 ( ) A.     B.    C.     D. 4.平面的斜线交于点,过定点的动直线与垂直,且交于点,则动点的轨迹是 ( ) A.一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支 5.参数方程(为参数)所表示的曲线是 ( ) A.圆 B.直线 C.两条射线 D.线段 6.如果直线的斜率分别为二次方程的两个根,那么与的夹角为( ) A. B. C. D. 7.已知,,若,则 ( ) A. B. C. D. 8.一束光线从点出发,经x轴反射到圆上的最短路径是 ( ) A.4 B.5 C. D. 9.若直线始终平分圆的周长,则 的最小值为 ( ) A.1 B.5 C. D. 10.已知平面区域由以、、为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域 上有无穷多个点可使目标函数取得最小值,则 ( ) A. B. C. D.4 11、设,,则M与N、与的大小关系为 ( ) A. B. C. D. 12、已知两圆相交于点,两圆圆心都在直线上,则的值等于 A.-1 B.2 C.3 D.0 13、三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为 ( ) A.15 B.30 C.36 D.以上都不对 14、设,则直线与圆的位置关系为 ( ) A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切 15、已知向量若与的夹角为,则直线与圆的位置关系是( ) A.相交但不过圆心 B.相交过圆心 C.相切 D.相离 16、已知圆和点,若点在圆上且的面积为,则满足条件的点的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 17、若圆始终平分圆的周长,则实数应满足的关系是 ( ) A. B. C. D. 18、在平面内,与点距离为1, 与点距离为2的直线共有 ( ) A.1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 填空题 1、直线2x-y-4=0上有一点P,它与两定点A(4,-1),B(3,4)的距离之差最大,则P点坐标是______ 2、设不等式对一切满足的值均成立,则的范围为 。 3、已知直线与圆,则上各点到的距离的最大值与最小值之差为 。 4、直线被圆截得的弦长为______________。 5、已知圆,直线,以下命题成立的有___________。 ①对任意实数与,直线和圆相切; ②对任意实数与,直线和圆有公共点; ③对任意实数,必存在实数,使得直线和圆相切 ④对任意实数,必存在实数,使得直线和圆相切 6、点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射,反射光线与圆相切,则光线l所在直线方程为____ __。 7、直线与圆交于、两点,且、关于直线对称,则弦的长为 。 8、过圆内一点作一弦交圆于两点,过点分别作圆的切线,两切线交于点,则点的轨迹方程为 。 解答题 1、设数列的前项和,,a、b是常数且。 (1)证明:是等差数列; (2)证明:以为坐标的点,落在同一直线上,并求直线方程。 (3)设,是以为圆心,为半径的圆,求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时,r的取值范围。 2、求与圆外切于点,且半径为的圆的方程 3、如图,已知圆心坐标为的圆与轴及直线 均相切,切点分别为、,另一圆与圆、 轴及直线均相切,切点分别为、。 (1)求圆和圆的方程; (2)过点作的平行线,求直线被圆 截得的弦的长度; 4、如果实数、满足,求的最大值、的最小值。 5、已知圆,直线,。 (1)证明:不论取什么实数,直线与圆恒交于两点; (2)求直线被圆截得的弦长最小时的方程. 6、已知为原点,定点,点是圆上一动点。 (1)求线段中点的轨迹方程; (2)设的平分线交于,求点的轨迹方程。 7、如图所示,过圆与轴正半轴的交点A作圆的切线,M为上任意一点,再过M作圆的另一切线,切点为Q,当点M在直线上移动时,求三角形MAQ的垂心的轨迹方程。 8、已知圆,是轴上的动点,QA,QB分别切圆M于A,B两点, 求动弦AB的中点P的轨迹方程。 1.C.圆心为(1,),半径为1,故此圆必与y轴(x=0)相切,选C. 2.D.由可解得. 3.C.直线和圆相切的条件应用, ,选C; 4.A.过点A且垂直于直线AB的平面与平面的交线就是点C的轨迹,故是一条直线. 5.C.原方程 6.A.由夹角公式和韦达定理求得. 7.C.数形结合法,注意等价于. 8.A.先作出已知圆C关于x轴对称的圆,问题转化为求点A到圆上的点的最短路径,即. 9.D.已知直线过已知圆的圆心(2,1),即. 所以. 10.C.由、、的坐标位置知,所在的区域在第一象限,故.由得,它表示斜率为. (1)若,则要使取得最小值,必须使最小,此时需,即1; (2)若,则要使取得最小值,必须使最小,此时需,即2,与矛盾.综上可知,1. 11解:设点、点、点,则M、N分别表示直线AB、AC 的斜率,BC的方程为,点A在直线的下方,∴,即M>N; 同理,得。 答案选B。 仔细体会题中4个代数式的特点和“数形结合”的好处 12解:由题设得:点关于直线对称,; 线段的中点在直线上,,答案选C。 13解:设三角形的另外两边长为x,y,则 ;注意“=”号,等于11的边可以多于一条。 点应在如右图所示区域内: 当x=1时,y=11;当x=2时,y=10,11;当x=3时,y=9,10,11;当 x=4时,y=8,9,10,11;当x=5时,y=7,8,9,10,11。以上共有15个,x,y对调又有15个。 再加(6,6),(7,7),(8,8),(9,9),(10,10)、(11, 11),共36个,答案选C。 14解:圆心到直线的距离为,圆半径。 ∵, ∴直线与圆的位置关系是相切或相离,答案选C。 15解:, 圆心到直线的距离, 直线与圆相离,答案选D。 复习向量点乘积和夹角余弦的计算及三角函数公式 16解:由题设得:,,点到直线的距离, 直线的方程为,与直线平行且距离为1的直线为 得:圆心到直线的的距离,到直线的距离为, 圆与直线相切;与直线相交, 满足条件的点的个数是3,答案选C 17解:公共弦所在的直线方程为:, 即:, 圆始终平分圆的周长,圆的圆心在直线上, ,即,答案选B。 18解:直线与点距离为1,所以直线是以A为圆心1为半径的圆的切线, 同理直线也是以B为圆心2为半径的圆的切线,即两圆的公切线, ,两圆相交,公切线有2条,答案选B。 想一下,如果两圆相切或相离,各有几条公切线? 填空题1解:A关于l的对称点A′,A′B与直线l的 交点即为所求的P点。得P(5,6)。 想一想,为什么,A′B与直线l的交点即为所求的P点? 如果A、B两点在直线的同一边,情况又如何? 2解:原不等式变换为, 设:,,按题意得:。 即:。 3解: 圆心到直线的距离=,直线与圆相离, 上各点到的距离的最大值与最小值之差== 。 4解:直线方程消去参数得:,圆心到直线的距离,弦长的一半为,得弦长为。 5解:圆心坐标为 ,所以命题②④成立。 仔细体会命题③④的区别。 6解:光线l所在的直线与圆关于x轴对称的圆相切。圆心坐标为,半径, 直线过点A(-3,3),设的方程为:,即: 圆心到直线的距离, 解得:或,得直线的方程:或。 7解:由直线与直线垂直,由圆心在直线上, 圆方程为,圆心为,圆心到直线的距离, 弦的长= 8解:设,根据题设条件,线段为点对应圆上的切点弦, 直线的方程为,点在上,, 即的轨迹方程为:。 注意掌握切点弦的证明方法。 1、设数列的前项和,,a、b是常数且。 (1)证明:是等差数列; (2)证明:以为坐标的点,落在同一直线上,并求直线方程。 (3)设,是以为圆心,为半径的圆,求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时,r的取值范围。 1解:(1)证明:由题设得;当n≥2时, , 。 所以是以为首项,为公差的等差数列。证毕; (2)证明:∵,对于n≥2, ∴以为坐标的点,落在过点,斜率为的同一直线上, 此直线方程为:,即。 (3)解:当时,得,都落在圆C外的条件是 由不等式①,得r≠1 由不等式②,得r<-或r>+ 由不等式③,得r<4-或r>4+ 再注意到r>0,1<-<4-=+<4+ 使P1、P2、P3都落在圆C外时,r的取值范围是(0,1)∪(1,-)∪(4+,+∞)。 2、求与圆外切于点,且半径为的圆的方程 2解一:设所求圆的圆心为,则 , 所求圆的方程为。 注:因为两圆心及切点共线得(1)式 解二:设所求圆的圆心为,由条件知 ,所求圆的方程为。 仔细体会解法2,利用向量表示两个圆心的位置关系,同时体现了共线关系和长度关系,显得更简洁明快,值得借鉴。 3、如图,已知圆心坐标为的圆与轴及直线 均相切,切点分别为、,另一圆与圆、 轴及直线均相切,切点分别为、。 (1)求圆和圆的方程; (2)过点作的平行线,求直线被圆 截得的弦的长度; 3解:(1)由于圆与的两边相切,故到及的距离均为圆的半径,则在 的角平分线上,同理,也在的角平分线上, 即三点共线,且为的角平分线, 的坐标为,到轴的距离为1,即:圆的半径为1, 圆的方程为; 设圆的半径为,由,得:, 即,,圆的方程为:; (2)由对称性可知,所求弦长等于过点的的平行线被圆截得的弦长, 此弦所在直线方程为,即, 圆心到该直线的距离,则弦长= 注:也可求得点坐标,得过点的平行线的方程,再根据圆心到直线的距离等于,求得答案;还可以直接求点或点到直线的距离,进而求得弦长 4、如果实数、满足,求的最大值、的最小值。 4解:(1)问题可转化为求圆上点到原点的连线的斜率的最大值。 设过原点的直线方程为,由图形性质知当直线斜率取最值时,直线与圆相切。 得:,, (2)满足, 。 注意学习掌握解(2)中利用圆的参数方程将关于x,y的二元函数转化为关于角的一元函数,从而方便求解的技巧。 5、已知圆,直线,。 (1)证明:不论取什么实数,直线与圆恒交于两点; (2)求直线被圆截得的弦长最小时的方程. 5解:(1)解法1:的方程, 即恒过定点 圆心坐标为,半径,, ∴点在圆内,从而直线恒与圆相交于两点。 解法2:圆心到直线的距离, ,所以直线恒与圆相交于两点。 (2)弦长最小时,,,, 代入,得的方程为。 注意掌握以下几点:(1)动直线斜率不定,可能经过某定点;(2)直线与圆恒有公共点直线经过的定点在圆内,此结论可推广到圆锥曲线;(3)过圆内一点,最长的弦为直径,最短的弦为垂直于直径的弦。 6、已知为原点,定点,点是圆上一动点。 (1)求线段中点的轨迹方程; (2)设的平分线交于,求点的轨迹方程。 6解:(1)设中点,则,代入圆的方程得。 (2)设,其中,,由, ,代入圆方程并化简得: 。当y=0时,即在轴上时,的平分线无意义。 (1)本题的解法称作相关点转移法求轨迹,其核心是找到未知与已知动点之间的坐标关系;(2)处理“角平分线”问题,一般有以下途径:①转化为对称问题②利用角平分线性质,转化为比例关系③利用夹角相等。 7、如图所示,过圆与轴正半轴的交点A作圆的切线,M为上任意一点,再过M作圆的另一切线,切点为Q,当点M在直线上移动时,求三角形MAQ的垂心的轨迹方程。 7解:设边上的高为边上的高为,连接 当时, 在上,, 当时,垂心为点B,也满足方程,而点M与点N重合时,不能使A,M,Q构成三角形。 的垂心的轨迹方程为:。 8、已知圆,是轴上的动点,QA,QB分别切圆M于A,B两点, 求动弦AB的中点P的轨迹方程。 8解:连接MB,MQ,设, 点M,P,Q在一直线上,得① 由射影定理得,即: ② ①式代入②式,消去a,得③, 从几何图形可分析出,又由③式得, 动弦AB的中点P的轨迹方程是:。 必修2模块质量评估(A卷) (第一至第四章) (120分钟 150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1.(·石家庄高一检测)如图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,腰长为4的等腰梯形,则该几何体的侧面积是  (  ) A.6π     B.12π     C.18π     D.24π 2.(·广州高一检测)一个球的内接正方体的表面积为54,则球的表面积为  (  ) A.27π B.18π C.19π D.54π 3.(·浙江高考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面 (  ) A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α 4.(·大连高一检测)若直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,则a的值为 (  ) A.2 B.-2 C.2,-2 D.2,0,-2 5.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体A-BCD,则在四面体A-BCD中,下列说法正确的是 (  ) A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABD 6.与直线y=-2x+3平行,且与直线y=3x+4交于x轴上的同一点的直线方程是  (  ) A.y=-2x+4 B.y=x+ C.y=-2x- D.y=x- 7.若直线+=1与圆x2+y2=1有公共点,则 (  ) A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 C.+≤1 D.+≥1 8.(·厦门高一检测)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是 (  ) A.(x-3)2+=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.+(y-1)2=1 9.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为 (  ) A. B.4π C.2π D. 10.(·武汉高一检测)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱BB1,B1C1的中点,若∠CMN=90°,则异面直线AD1和DM所成角为 (  ) A.30° B.45° C.60° D.90° 11.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上的点到直线4x-3y-2=0的最近距离等于1,则半径r的值为 (  ) A.4 B.5 C.6 D.9 12.(·烟台高一检测)若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx-y-9=0的两个交点恰好关于y轴对称,则k等于 (  ) A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.(·长春高一检测)若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为l的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积之比是      . 14.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=    . 15.过点P(2,3),并且在两坐标轴上截距相等的直线方程是        . 16.(·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为     . 三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)如图所示(单位:cm),四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积. 18.(12分)直线l经过两直线l1:2x-y+4=0与l2:x-y+5=0的交点,且与直线x-2y-6=0垂直. (1)求直线l的方程. (2)若点P(a,1)到直线l的距离为,求实数a的值. 19.(12分)(·长沙高一检测)已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l经过点D(-2,0),且斜率为k. (1)求以线段CD为直径的圆E的方程. (2)若直线l与圆C相离,求k的取值范围. 20.(12分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M,N分别为棱DD1,AB,BC的中点. (1)求二面角B1-MN-B的正切值. (2)求证:PB⊥平面MNB1. 21.(12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点. 求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)直线A1F∥平面ADE. 22.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在x轴上,半径为2的圆C位于y轴右侧,且与直线x-y+2=0相切. (1)求圆C的方程. (2)在圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A,B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由. 答案解析 1.B 因为正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是一个圆环, 所以该几何体是一个圆台,且圆台的上、下底半径分别为1和2,母线为4, 所以S侧=π(r+r')l=π·(1+2)×4=12π. 2.A 设正方体的棱长为a,球的半径为r, 则6a2=54,所以a=3. 又因为2r=a,所以r=a=, 所以S表=4πr2=4π×=27π. 3.C 对A若m⊥n,n∥α,则m?α或m∥α或m⊥α,故A选项错误; 对B若m∥β,β⊥α,则m?α或m∥α或m⊥α,故B选项错误; 对C若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α,故C选项正确; 对D若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m?α或m∥α或m⊥α,故D选项错误. 【补偿训练】已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是 (  ) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β C.若m∥α,m∥β,则α∥β D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n D A中还可能m,n相交或异面,所以A不正确;B,C中还可能α,β相交,所以B,C不正确,很明显D正确. 4.【解题指南】利用l1⊥l2?A1A2+B1B2=0求a的值. C 因为两直线垂直,所以(2a+5)(2-a)+(a-2)(a+3)=0,即a=±2. 5.D 因为AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以∠ABD=∠ADB=45°,所以∠BDC=90°,即BD⊥CD,又因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,CD?平面BCD,所以CD⊥平面ABD,又CD?平面ADC,所以平面ADC⊥平面ABD. 6.C 直线y=3x+4与x轴的交点坐标为,故所求直线方程为y-0=-2=-2x-. 【延伸探究】本题中的条件“与直线y=-2x+3平行”若换为“与直线y=-2x+3垂直”其他条件不变,其结论又如何呢? 【解析】直线y=3x+4与x轴的交点坐标为,故所求直线方程为y-0=, 即y=x+. 7.D 直线+=1与圆x2+y2=1有公共点, 因此圆心(0,0)到直线bx+ay-ab=0的距离应小于等于1. 所以≤1,所以+≥1. 8.B 由已知设所求圆的圆心坐标为:C(a,b)(a>0且b>0),由已知有:?所以所求圆的方程为:(x-2)2+(y-1)2=1. 9.D 正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点, 所以球的半径r==1, 球的体积V=r3=.故选D. 10.D 因为MN⊥DC,MN⊥MC,DC∩MC=C,所以MN⊥平面DCM.所以MN⊥DM. 因为MN∥AD1,所以AD1⊥DM,即所求角为90°. 11.A 由圆的方程可知圆心为(3,-5),圆心(3,-5)到直线4x-3y-2=0的距离为d===5,由题意得d-r=1,即r=d-1=5-1=4. 12.A 将两方程联立消去y后得(k2+1)x2+2kx-9=0,由题意知此方程两根之和为0,故k=0. 13.【解析】设圆锥的底面半径为r,则有l=2πr,故l=3r,所以==. 答案:4∶3 14.【解析】因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1, 平面ABCD∩平面PQNM=PQ, 平面A1B1C1D1∩平面PQNM=NM, 所以MN∥PQ, 又因为MN∥AC,所以PQ∥AC. 又因为AP=,所以===, 所以PQ=AC=. 答案: 15.【解析】若截距为0,过P点和原点的直线方程为y=x,即3x-2y=0; 若截距不为0,设所求直线方程为+=1, 由P(2,3)在直线上,可得a=5, 则所求直线方程为x+y-5=0, 因此满足条件的直线方程为3x-2y=0或x+y-5=0. 答案:3x-2y=0或x+y-5=0 【补偿训练】已知直线l经过点(1,3),且与圆x2+y2=1相切,直线l的方程为    . 【解析】当斜率存在时,设切线的斜率为k,则切线方程为y-3=k(x-1),由圆心到切线的距离等于半径得=1,解得k=,切线方程为4x-3y+5=0;当斜率不存在时,直线x=1也符合题意. 答案:x=1或4x-3y+5=0 【误区警示】本题易忽视斜率不存在的情况,只写出一条切线方程. 16.【解题指南】点(1,0)到直线mx-y-2m-1=0(m∈R)的最大距离即为所求圆的半径,利用点到直线的距离公式表示出此距离并求出最大值,代入圆的标准方程即可. 【解析】点(1,0)到直线mx-y-2m-1=0的距离d==,当m>0时,d===.因为m>0,所以m+≥2=2,当且仅当m=1时上式成立,所以d≤.当m≤0时,d≤仍然成立.所以最大圆的半径是,标准方程为(x-1)2+y2=2. 答案:(x-1)2+y2=2 17.【解析】由题意,知所成几何体的表面积等于 圆台下底面积、圆台的侧面积与半球面面积的和, 又S半球面=×4π×22=8π(cm2), S圆台侧=π(2+5)=35π(cm2), S圆台下底=π×52=25π(cm2), 所以所成几何体的表面积为 8π+35π+25π=68π(cm2). 又V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3), V半球=××23=(cm3). 所以所成几何体的体积为 V圆台-V半球=52π-=(cm3). 18.【解析】(1)由得交点为(1,6), 又直线l垂直于直线x-2y-6=0, 所以直线l的斜率为k=-2. 故直线l的方程为y-6=-2(x-1), 即2x+y-8=0. (2)由于P(a,1)到直线l的距离等于, 则=,解得a=1或a=6. 19.【解析】(1)将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方得标准方程为x2+(y-4)2=4, 则此圆的圆心为C(0,4),半径为2. 所以CD的中点E(-1,2),|CD|==2, 所以r=, 故所求圆E的方程为(x+1)2+(y-2)2=5. (2)直线l的方程为y-0=k(x+2),即kx-y+2k=0. 若直线l与圆C相离,则有圆心C到直线l的距离>2, 解得k<. 20.【解析】(1)连接BD交MN于F,连接B1F,连接AC. 因为平面DD1B1B⊥平面ABCD, 交线为BD,AC⊥BD, 所以AC⊥平面DD1B1B. 又因为AC∥MN, 所以MN⊥平面DD1B1B. 因为B1F,BF?平面DD1B1B, 所以B1F⊥MN,BF⊥MN. 因为B1F?平面B1MN, BF?平面BMN, 则∠B1FB为二面角B1-MN-B的平面角. 在Rt△B1FB中, 设B1B=1,则FB=, 所以tan∠B1FB=2. (2)过点P作PE⊥AA1, 则PE∥DA,连接BE. 又DA⊥平面ABB1A1, 所以PE⊥平面ABB1A1,即PE⊥B1M. 又BE⊥B1M,所以B1M⊥平面PEB. 所以PB⊥MB1. 由(1)中MN⊥平面DD1B1B,得PB⊥MN, 所以PB⊥平面MNB1. 21.【证明】(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱, 所以CC1⊥平面ABC. 又因为AD?平面ABC, 所以CC1⊥AD. 因为AD⊥DE,CC1,DE?平面BCC1B1, 且CC1∩DE=E, 所以AD⊥平面BCC1B1. 又因为AD?平面ADE, 所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)方法一:因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点, 所以A1F⊥B1C1. 又因为CC1⊥平面A1B1C1, 且A1F?平面A1B1C1, 所以CC1⊥A1F. 又因为CC1,B1C1?平面BCC1B1, 且CC1∩B1C1=C1, 所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知,AD⊥平面BCC1B1, 所以A1F∥AD. 又因为AD?平面ADE,A1F?平面ADE, 所以直线A1F∥平面ADE. 方法二:由(1)知,AD⊥平面BCC1B1, 因为BC?平面BCC1B1, 所以AD⊥BC. 因为A1B1=A1C1,所以AB=AC. 所以D为BC的中点. 连接DF(图略),因为F是B1C1的中点, 所以DFBB1AA1. 所以四边形ADFA1是平行四边形. 所以A1F∥AD. 因为AD?平面ADE,A1F?平面ADE, 所以A1F∥平面ADE. 22.【解析】(1)设圆心是(x0,0)(x0>0),它到直线x-y+2=0的距离是d==2, 解得x0=2或x0=-6(舍去), 所以所求圆C的方程是(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)存在.理由如下:因为点M(m,n)在圆C上, 所以(m-2)2+n2=4, n2=4-(m-2)2=4m-m2且0≤m≤4. 又因为原点到直线l: mx+ny=1的距离h==<1, 解得

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    www.ks5u.com 高中同步创优单元测评 A 卷 数 学 班级:________ 姓名:________ 得分:________ 第一章 集合与函数概念(一) (集  合) 名师原创·基础卷] (时间:120分钟 满分:150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.如果A={x|x>-1},那么(  ) A.0?A B.{0}∈A C.?∈A D.{0}?A 2.满足条件{0,1}∪A={0,1}的所有集合A的个数是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.设A={x|15或x<-1},T={x|a-1 10.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为(  ) A.0 B.2 C.3 D.6 11.已知集合M=,N=,x0∈M,则x0与N的关系是(  ) A.x0∈N B.x0?N C.x0∈N或x0?N D.不能确定 12.已知集合A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3<x<5},则能使A?B成立的实数a的取值范围是(  ) A.{a|3<a≤4} B.{a|3≤a≤4} C.{a|3<a<4} D.? 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上) 13.用列举法表示集合:A==________. 14.集合M={x|x2-3x-a2+2=0,a∈R}的子集的个数为________. 15.已知集合A={x|x≥2},B={x|x≥m},且A∪B=A,则实数m的取值范围是________. 16.已知全集U={x|1≤x≤5},A={x|1≤x1}. 求:(1)A∩B; (2)?UA∩?UB; (3)?U(A∪B). 18.(本小题满分12分) 已知集合M={2,3,a2+1},N={a2+a-4,2a+1,-1},且M∩N={2},求a的值. 19.(本小题满分12分) 已知集合A={x|2≤x≤8},B={x|1<x<6},C={x|x>a},U=R. (1)求A∪B,?UA∩B; (2)若A∩C≠?,求a的取值范围. 20.(本小题满分12分) 设A={x|2x2+ax+2=0},B={x|x2+3x+2a=0},且A∩B={2}. (1)求a的值及集合A,B; (2)设全集U=A∪B,求?UA∪?UB; (3)写出?UA∪?UB的所有子集. 21.(本小题满分12分) 已知集合A={x|00, ∴M恒有2个元素,所以子集有4个. 解题技巧:确定集合M子集的个数,首先确定集合M中元素的个数. 15.m≥2 解析:∵A∪B=A,即B?A,∴m≥2. 16.2 解析:∵A∪?UA=U,∴A={x|1≤x<2}.∴a=2. 17.解:(1)在数轴上画出集合A和B,可知A∩B={x|12},?UB={x|-3≤x≤1}. 在数轴上画出集合?UA和?UB,可知?UA∩?UB={x|-3≤x≤0}. (3)由(1)中数轴可知,A∪B={x|x<-3或x>0}. ∴?U(A∪B)={x|-3≤x≤0}. 18.解:∵M∩N={2},∴2∈N, ∴a2+a-4=2或2a+1=2, ∴a=2或a=-3或a=, 经检验a=2不合题意,舍去, 故a=-3或a=. 19.解:(1)A∪B={x|2≤x≤8}∪{x|18}. ∴?UA∩B={x|12或x<-2},N={x|x≥3或x<1}都是U的子集,则图中阴影部分所表示的集合是(  ) A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x≤2} C.{x|11},B={x|-1≤x<0},求A∪(?UB). 19.(本小题满分12分) 已知集合A={x|-2<x<-1或x>1},B={x|a≤x<b},A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1<x<3},求实数a,b的值. 20.(本小题满分12分) 已知集合A={x|x≤a+3},B={x|x<-1或x>5}. (1)若a=-2,求A∩?RB; (2)若A?B,求a的取值范围. 21.(本小题满分12分) 设集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}. (1)若a=,判断集合A与B的关系; (2)若A∩B=B,求实数a组成的集合C. 22.(本小题满分12分) 已知集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0},B={x|x2-3x+2=0}. (1)若A≠?,求实数a的取值范围; (2)若A∩B=A,求实数a的取值范围. 详解答案 第一章 集合与函数概念(一) (集  合) 名校好题·能力卷] 1.D 解析:选项D中Δ=(-1)2-4×1×1=-3<0,所以方程x2-x+1=0无实数根. 2.D 解析:∵集合A={x∈N|x<6}={0,1,2,3,4,5},∴6?A.故选D. 3.D 解析:∵U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},∴?UA={3,9}.故选D. 4.D 解析:∵A∩B={1,2},C={2,3,4},∴(A∩B)∪C={1,2,3,4}. 5.C 解析:∵{1,2}∪A={1,2}∴集合A可取集合{1,2}的非空子集.∴集合A有3个.故选C. 6.C 解析:∵A∪B={1,4,x},∴x2=4或x2=x.解得x=±2或x=1或x=0.检验当x=1时,A={1,4,1}不符合集合的性质,∴x=2或x=-2或x=0.故选C. 7.C 解析:∵集合M的代表元素是实数,集合N的代表元素是点,∴M∩N=?.故选C. 8.C 解析:∵A∩B={1,3},∴A∩B的子集分别是?,{1},{3},{1,3}.故选C. 解题技巧:本题主要考查了列举法表示两个集合的交集,考查了子集的求法,解决本题的关键是确定出A∩B所含元素的个数n,因此所有子集的个数为2n个. 9.A 解析:∵图中阴影部分表示:x∈N且x?M,∴x∈N∩?UM.∴?UM={x|-2≤x≤2},∴N∩?UM={x|-2≤x<1}.故选A. 10.B 解析:∵集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素,∴①当a=0时,集合A={x|2x+1=0}只有一个元素,符合题意;②当a≠0时,一元二次方程ax2+2x+1=0只有一解,∴Δ=0,即4-4a=0,∴a=1.故选B. 11.B 解析:∵x∈N*,∈Z,∴x=1时,=12∈Z;x=2时,=6∈Z;x=3时,=4∈Z;x=4时,=3∈Z;x=6时,=2∈Z;x=12时,=1∈Z. 12.D 解析:①当a>0,b>0时,y=3;②当a>0,b<0时,y=-1;③当a<0,b>0时,y=-1;④当a<0,b<0时,y=-1. 13.a≥-1 解析:如图: ∵A∩B≠?,且A={x|-1≤x<2},B={x|x≤a},∴a≥-1. 14.A?B=C 解析:A= =,B= ==, C==. ∴A?B=C. 15.m= 解析:集合A={2,-3},又∵B?A,∴B=?,{-3},{2}.∴m=0或m=-或m=. 16.1 006 解析:因为若集合P中元素a,b,c既是调和的,又是等差的,则+=且a+c=2b,则a=-2b,c=4b,因此满足条件的“好集”为形如{-2b,b,4b}(b≠0)的形式,则-2 014≤4b≤2 014,解得-503≤b≤503,且b≠0,符合条件的b的值可取1 006个,故“好集”P的个数为1 006个. 解题技巧:本题主要考查了以集合为背景的新概念题,解决本题的关键是弄清楚新概念、新运算、新方法的含义,转化为集合问题求解. 17.解:∵全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|21},B={x|-1≤x<0}, ∴?UB={x|x<-1或x≥0}. ∴A∪(?UB)={x|x<-1或x≥0}. 19.解:∵A∩B={x|1<x<3},∴b=3, 又A∪B={x|x>-2}, ∴-2<a≤-1, 又A∩B={x|1<x<3}, ∴-1≤a<1, ∴a=-1. 20.解:(1)当a=-2时,集合A={x|x≤1},?RB={x|-1≤x≤5}, ∴A∩?RB={x|-1≤x≤1}. (2)∵A={x|x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},A?B, ∴a+3<-1,∴ a<-4. 解题技巧:本题主要考查了描述法表示的集合的运算,集合间的关系,解决本题的关键是借助于数轴求出符合题意的值.在解决(2)时,特别注意参数a是否取到不等式的端点值. 21.解:A={x|x2-8x+15=0}={3,5}. (1)若a=,则B={5},所以B?A. (2)若A∩B=B,则B?A. 当a=0时,B=?,满足B?A; 当a≠0时,B=,因为B?A,所以=3或=5, 即a=或a=; 综上所述,实数a组成的集合C为. 22.解:(1)①当a=1时,A=≠?; ②当a≠1时,Δ≥0,即a≥-且a≠1, 综上,a≥-; (2)∵B={1,2},A∩B=A,∴A=?或{1}或{2}或{1,2}. ①A=?,Δ<0,即a<-; ②当A={1}或{2}时,Δ=0,即a=0且a=-,不存在这样的实数; ③当A={1,2},Δ>0,即a>-且a≠1,解得a=0. 综上,a<-或a=0. www.ks5u.com 高中同步创优单元测评 A 卷 数 学 班级:________ 姓名:________ 得分:________ 第一章 集合与函数概念(二) (函数的概念与基本性质) 名师原创·基础卷] (时间:120分钟 满分:150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数f(x)=的定义域是(  ) A. B. C. D. 2.函数y=f(x)的图象与直线x=2的公共点有(  ) A.0个 B.1个 C.0个或1个 D.不能确定 3.函数y=x2-4x+1,x∈2,5]的值域是(  ) A.1,6] B.-3,1] C.-3,6] D.-3,+∞) 4.已知函数f(x)=则f(f(-2))的值是(  ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 5.已知函数f(x)=(a-x)|3a-x|,a是常数且a>0,下列结论正确的是(  ) A.当x=2a时,有最小值0 B.当x=3a时,有最大值0 C.无最大值也无最小值 D.有最小值,但无最大值 6.定义域为R的函数y=f(x)的值域为a,b],则函数y=f(x+a)的值域为(  ) A.2a,a+b] B.a,b] C.0,b-a] D.-a,a+b] 7.已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)的解析式是(  ) A.3x+2 B.3x+1 C.3x-1 D.3x+4 8.设f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0)上为减函数,若x1<0,且x1+x2>0,则(  ) A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)f(a-1)+2,求a的取值范围. 22.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=,x∈1,+∞). (1)当a=时,求函数f(x)的最小值; (2)若对任意x∈1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围. 详解答案 第一章 集合与函数概念(二) (函数的概念与基本性质) 名师原创·基础卷] 1.D 解析:由2x-3>0得x>. 2.C 解析:如果x=2与函数y=f(x)有公共点,则只有一个公共点,因为自变量取一个值只对应一个函数值;若无交点,则没有公共点,此时的x=2不在y=f(x)的定义域内. 3.C 解析:函数y=(x-2)2-3在2,+∞)上是增函数,所以最小值为f(2)=-3,又x∈2,5],故最大值为f(5)=6. 4.C 解析:∵x=-2<0,∴f(-2)=(-2)2=4. 又4>0,∴f(f(-2))=f(4)=4. 5.C 解析:由f(x)=可画出简图. 分析知C正确. 6.B 解析:y=f(x+a)可由y=f(x)的图象向左或向右平移|a|个单位得到,因此,函数y=f(x+a)的值域与y=f(x)的值域相同. 7.C 解析:设x+1=t,则x=t-1,∴f(t)=3(t-1)+2=3t-1, ∴f(x)=3x-1,故选C. 解题技巧:采用换元法求函数解析式是常用方法.换元时,一定注意自变量的取值范围的变化情况. 8.C 解析:x1<0,且x1+x2>0,∴x1>-x2. 又f(x)在(-∞,0)上为减函数,∴f(x1)0, ∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x. 又f(x)是定义在R上的偶函数, ∴f(-x)=f(x). ∴当x<0时,f(x)=x2+2x. (2)由(1)知,f(x)= 作出f(x)的图象如图所示. 由图得函数f(x)的递减区间是(-∞,-1],0,1]. f(x)的递增区间是-1,0],1,+∞). 21.(1)证明:∵f(x)=f=f+f(y)(y≠0), ∴f=f(x)-f(y). (2)解:∵f(3)=1,∴f(9)=f(3·3)=f(3)+f(3)=2. ∴f(a)>f(a-1)+2=f(a-1)+f(9)=f 9(a-1)]. 又f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数, ∴∴1x1>1,则f(x2)-f(x1)=x2++2- =(x2-x1)+=(x2-x1). ∵x2>x1>1, ∴x2-x1>0,<,1->0, ∴f(x2)-f(x1)>0, ∴f(x)在1,+∞]上单调递增. ∴f(x)在区间1,+∞)上的最小值为f(1)=. (2)在区间1,+∞)上,f(x)=>0恒成立, 等价于x2+2x+a>0恒成立. 设y=x2+2x+a,x∈1,+∞). ∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在1,+∞)上单调递增, ∴当x=1时,ymin=3+a. 于是,当且仅当ymin=3+a>0时,f(x)>0恒成立. ∴a>-3. 解题技巧:不等式的恒成立问题常转化为函数的最值问题,分离参数法是求解此类问题的常用方法. www.ks5u.com 高中同步创优单元测评 B 卷 数 学 班级:________ 姓名:________ 得分:________ 第一章 集合与函数概念(二) (函数的概念与基本性质) 名校好题·能力卷] (时间:120分钟 满分:150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列四组函数中,表示同一函数的是(  ) A.y=x-1与y=     B.y=与y= C.y=4lg x与y=2lg x2 D.y=lg x-2与y=lg 2.已知f:x→x2是集合A到集合B={0,1,4}的一个映射,则集合A中的元素个数最多有(  ) A.3个      B.4个       C.5个      D.6个 3.函数f(x)=的定义域是(  ) A.-1,1) B.-1,1)∪(1,+∞) C.-1,+∞) D.(1,+∞) 4.函数y=2-的值域是(  ) A.-2,2] B.1,2] C.0,2] D.-, ] 5.已知f(x)的图象如图,则f(x)的解析式为(  ) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 6.定义两种运算:a⊕b=,a?b=,则函数f(x)=的解析式为(  ) A.f(x)=,x∈-2,0)∪(0,2] B.f(x)=,x∈(-∞,-2]∪2,+∞) C.f(x)=-,x∈(-∞,-2]∪2,+∞) D.f(x)=-,x∈-2,0)∪(0,2] 7.函数f(x)=-x的图象关于(  ) A.坐标原点对称 B.x轴对称 C.y轴对称 D.直线y=x对称 8.设f(x)是定义在-6,6]上的偶函数,且f(4)>f(1),则下列各式一定成立的是(  ) A.f(0)f(3) C.f(2)>f(0) D.f(-1)0,且x1+x2<-2,则f(-x1)与f(-x2)的大小关系是(  ) A.f(-x1)>f(-x2) B.f(-x1)1)的定义域不同,∴它们不是同一函数;又y=4lg x(x>0)与y=2lg x2(x≠0)的定义域不同,因此它们也不是同一函数,而y=lg x-2(x>0)与y=lg=lg x-2(x>0)有相同的定义域、值域与对应关系,因此它们是同一函数. 2.C 解析:令x2=0,1,4,解得x=0,±1,±2.故选C. 3.B 解析:由解得x≥-1,且x≠1. 4.C 解析:令t=-x2+4x,x∈0,4],∴t∈0,4].又∵y1=,x∈0,+∞)是增函数∴ ∈0,2],-∈-2,0],∴y∈0,2].故选C. 5.C 解析:当0≤x≤1时,f(x)=-1;当1f(1),f(4)>f(-1). 9.D 解析:因为奇函数f(x)在1,3]上为增函数,且有最小值0,所以f(x)在-3,-1]上是增函数,且有最大值0. 10.A 解析:由于函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有<0成立,所以该函数为R上的减函数,所以解得00,且x1+x2<-2,所以2<2+x2<-x1.因为函数在1,+∞)上为增函数,所以f(2+x2)<f(-x1),即f(-x1)>f(-x2),故选A. 13.-14 解析:设g(x)=ax7+bx,则g(x)是奇函数,g(-2 014)=-g(2 014).∵f(2 014)=10且f(2 014)=g(2 014)-2,∴g(2 014)=12,∴g(-2 014)=-12,∴f(-2 014)=g(-2 014)-2,∴f(-2 014)=-14. 14.a< 解析:f(x)==a+.∵y=在x∈(-2,+∞)上是减函数,∴1-2a>0,∴a<. 15.18 解析:因为函数f(x)=,所以f=. 又因为f(x)+f==4, f(1)+f(2)+f(4)+f(8)+f(16)+f+f+f+f =f(1)+f(2)+f+f(4)+f+f(8)+f+f(16)+f=f(1)+4×4=18, 所以m+n=18. 解题技巧:本题主要考查了学生的观察、归纳、推理的能力,解决本题的关键是挖掘出题目中隐含的规律f(x)+f=4. 16.-1≤a<0 解析:当x=0时,f(x)=0,则0≥a2-1,解得-1≤a≤1,所以-1≤a<0. 当x>0时,-x<0,f(-x)=-x+-2,则f(x)=-f(-x)=x++2. 由对数函数的图象可知,当x==|a|=-a时,有f(x)min=-2a+2, 所以-2a+2≥a2-1,即a2+2a-3≤0,解得-3≤a≤1.又a<0, 所以-3≤a<0. 综上所述,-1≤a<0. 17.解:(1)令t=x-2,则x=t+2,t∈R,由已知有f(t)=3(t+2)-5=3t+1,故f(x)=3x+1. (2)设f(x)=ax+b(a≠0),f(f(x))=a2x+ab+b, f(f(f(x)))=a(a2x+ab+b)+b=a3x+a2b+ab+b, ∴ 解得a=3,b=2.则f(x)=3x+2. 18.(1)证明:设2≤x10,x2-1>0,x2-x1>0,所以f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2). 所以f(x)是定义域上的减函数. (2)由(1)的结论可得,f(x)min=f(6)=,f(x)max=f(2)=1. 19.解:(1)当0≤x≤400时, f(x)=400x-x2-100x-20 000=-x2+300x-20 000. 当x>400时,f(x)=80 000-100x-20 000=60 000-100x, 所以f(x)= (2)当0≤x≤400时, f(x)=-x2+300x-20 000=-(x-300)2+25 000; 当x=300时,f(x)max=25 000; 当x>400时, f(x)=60 000-100x2x+m对x∈-1,3]恒成立, ∴m1,则函数y=ax与y=(1-a)x2的图象可能是下列四个选项中的(  ) 4.下列结论中正确的个数是(  ) ①当a<0时,(a2=a3;②=|a|(n≥2,n∈N); ③函数y=(x-2) -(3x-7)0的定义域是2,+∞); ④=. A.1 B.2 C.3 D.4 5.指数函数y=f(x)的图象经过点,那么f(4)·f(2)等于(  ) A.8 B.16 C.32 D.64 6.函数y=2的值域是(  ) A.(0,+∞) B.(0,1) C.(0,1)∪(1,+∞) D.(1,+∞) 7.函数y=|2x-2|的图象是(  ) 8.a,b满足00,a≠1)的图象在第一、三、四象限内,则(  ) A.a>1 B.a>1,且m<0 C.00 D.00,a≠1). 18.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=3x,且f(a)=2,g(x)=3ax-4x. (1)求g(x)的解析式; (2)当x∈-2,1]时,求g(x)的值域. 19.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=ax,a为常数,且函数的图象过点(-1,2). (1)求a的值; (2)若g(x)=4-x-2,且g(x)=f(x),求满足条件的x的值. 20.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b为实数. (1)当a>0,b>0时,判断并证明函数f(x)的单调性; (2)当ab<0时,求f(x+1)>f(x)时x的取值范围. 21.(本小题满分12分) 设a∈R,f(x)=a-(x∈R). (1)证明:对任意实数a,f(x)为增函数; (2)试确定a的值,使f(x)≤0恒成立. 22.(本小题满分12分) 已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求b的值; (2)判断函数f(x)的单调性; (3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围. 详解答案 第二章 基本初等函数(Ⅰ)(一) (指数与指数函数) 名师原创·基础卷] 1.C 解析:(-)2] =2==. 2.D 解析:原式=1-(1-22)÷2=1-(-3)×=.故选D. 3.C 解析:a>1,∴y=ax在R上单调递增且过(0,1)点,排除B,D, 又∵1-a<0,∴y=(1-a)x2的开口向下. 4.A 解析:在①中,a<0时,(a2) >0,而a3<0,∴①不成立. 在②中,令a=-2,n=3,则=-2≠|-2|,∴②不成立. 在③中,定义域应为∪,∴③不成立. ④式是正确的,∵==,∴④正确. 5.D 解析:设f(x)=ax(a>0且a≠1), 由已知得=a-2,a2=4,所以a=2, 于是f(x)=2x,所以f(4)·f(2)=24·22=64. 解题技巧:已知函数类型,求函数解析式,常用待定系数法,即先把函数设出来,再利用方程或方程组解出系数. 6.C 解析:∵≠0,∴2≠1, ∴函数y=2的值域为(0,1)∪(1,+∞). 7.B 解析:找两个特殊点,当x=0时,y=1,排除A,C.当x=1时,y=0,排除D.故选B. 8.C 解析:∵0ab,故A不成立,同理B不成立,若aa0,a≠1)的图象在第一、三象限知,a>1.知函数在第四象限,∴a0+m-1<0,则有m<0. 11.A 解析:f(x)=2x+2-4x=-(2x)2+4·2x=-(2x-2)2+4,又∵x2-x-6≤0,∴-2≤x≤3,∴≤2x≤8. 当2x=2时,f(x)max=4,当2x=8时,f(x)min=-32. 12.B 解析:因为f(-x)=3-x+3-(-x)=3-x+3x=f(x), g(-x)=3-x-3-(-x)=3-x-3x=-g(x), 所以f(x)为偶函数,g(x)为奇函数. 13.c>a>b 解析:由指数函数y=ax当00.80.9,又1.20.8>1,0.80.7<1, ∴1.20.8>0.80.7>0.80.9,即c>a>b. 14.(-3,0) 解析:令x=t,∵方程有正根,∴t∈(0,1). 方程转化为t2+2t+a=0, ∴a=1-(t+1)2. ∵t∈(0,1),∴a∈(-3,0). 15.(-∞,1] 解析:解法一:由指数函数的性质可知,f(x)=x在定义域上为减函数,故要求f(x)的单调递增区间,只需求y=|x-1|的单调递减区间.又y=|x-1|的单调递减区间为(-∞,1],所以f(x)的单调递增区间为(-∞,1]. 解法二:f(x)=|x-1|= 可画出f(x)的图象,并求其单调递增区间. 解题技巧:既可以利用复合函数的“同增异减”法则求解,也可以去绝对值符号,转化为分段函数求解. 16.1 解析:作出函数y=2|x|的图象(如图所示). 当x=0时,y=20=1, 当x=-1时,y=2|-1|=2, 当x=1时,y=21=2, 所以当值域为1,2]时,区间a,b]的长度的最大值为2,最小值为1,它们的差为1. 17.解:当a>1时,a2x+79; 当03x-2. ∴x<9. 综上,当a>1时,不等式的解集为{x|x>9}; 当00,故t=2,即x=2,解得x=-1. 20.解:(1)函数f(x)在R上是增函数.证明如下: a>0,b>0,任取x1,x2∈R,且x1f(x), ∴f(x+1)-f(x)=(a·2x+1+b·3x+1)-(a·2x+b·3x) =a·2x+2b·3x>0, 当a<0,b>0时,x>-,则x>log1.5, 当a>0,b<0时,x<-,则x0时,x的取值范围是; 当a>0,b<0时,x的取值范围是. 21.(1)证明:任取x1,x2∈R,且x10恒成立,∴2x+1>1. ∴0<<1,0<<2,∴a≤0. 故当a∈(-∞,0]时,f(x)≤0恒成立. 22.解:(1)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0, 即=0,解得b=1. (3)因为f(x)是奇函数, f(t2-2t)+f(2t2-k)<0, 则f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2), 因f(x)为减函数,由上式推得,t2-2t>k-2t2. 即对一切t∈R有3t2-2t-k>0, 从而判别式Δ=4+12k<0,解得k<-. 故k的取值范围是. www.ks5u.com 高中同步创优单元测评 B 卷 数 学 班级:________ 姓名:________ 得分:________ 第二章 基本初等函数(Ⅰ)(一) (指数与指数函数) 名校好题·能力卷] (时间:120分钟 满分:150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若a<,则化简的结果是(  ) A.    B.    C.-    D.- 2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增加110.4%,那么经过x年可增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致是(  ) 3.设f(x)=|x|,x∈R,那么f(x)是(  ) A.奇函数且在(0,+∞)上是增函数 B.偶函数且在(0,+∞)上是增函数 C.奇函数且在(0,+∞)上是减函数 D.偶函数且在(0,+∞)上是减函数 4.若3a>1,则实数a的取值范围为(  ) A.(-∞,0) B.(0,1) C.(0,+∞) D.(2,+∞) 5.函数y=是(  ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 6.函数y= 的单调递减区间为(  ) A.(-∞,0] B.0,+∞) C.(-∞,] D.,+∞) 7.函数y=的值域是(  ) A.R B. C.(2,+∞) D.(0,+∞) 8.设f(x)是定义在实数集R上的函数,满足条件:y=f(x+1)是偶函数,且当x≥1时,f(x)=5x,则f,f,f的大小关系是(  ) A.f0,且a≠1)的图象经过的定点坐标是________. 15.若函数f(x)=则不等式|f(x)|≥的解集为________. 16.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,则当x<0时,f(x)=________. 三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分) 函数f(x)=k·a-x(k,a为常数,a>0且a≠1)的图象过点A(0,1),B(3,8). (1)求函数f(x)的解析式; (2)若函数g(x)=,试判断函数g(x)的奇偶性并给出证明. 18.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=2x-4x. (1)求y=f(x)在-1,1]上的值域; (2)解不等式f(x)>16-9×2x; (3)若关于x的方程f(x)+m-1=0在-1,1]上有解,求m的取值范围. 19.(本小题满分12分) 某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线. (1)写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t); (2)进一步测定:每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时,药物对治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病的有效时间. 20.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=+是奇函数. (1)求a的值; (2)判断f(x)的单调性,并用定义加以证明; (3)求f(x)的值域. 21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=x,x∈-1,1],函数φ(x)=f(x)]2-2af(x)+3的最小值为h(a). (1)求h(a); (2)是否存在实数m>n>3,当h(a)的定义域为n,m]时,值域为n2,m2]?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由. 22.(本小题满分12分) 定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=1+a·x+x. (1)当a=-时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由; (2)若函数f(x)在0,+∞)上是以4为上界的有界函数,求实数a的取值范围. 详解答案 第二章 基本初等函数(Ⅰ)(一) (指数与指数函数) 名校好题·能力卷] 1.A 解析:∵a<,∴4a-1<0,∴=. 2.D 解析:经过x年后y=(1+110.4%)x=2.104x. 3.D 解析:函数f(x)的定义域R关于原点对称,且f(-x)=|-x|=|x|=f(x),所以f(x)是偶函数.又f(x)=|x|=所以f(x)在(0,+∞)上是减函数. 4.C 解析:因为3a>1,所以3a>30,3>1,∴y=3a是增函数.∴a>0. 5.A 解析:函数y=的定义域(-∞,+∞)关于原点对称,且f(-x)====-f(x),所以该函数是奇函数. 6.B 解析:函数y=u为R上的减函数,欲求函数 y= 的单调递减区间,只需求函数u=x2-2的单调递增区间,而函数u=x2-2的单调递增区间为0,+∞). 7.B 解析:令t=-x2+2x,则t=-x2+2x的值域为(-∞,1],所以y==t的值域为. 解题技巧:本题主要考查了指数型函数的值域,解决本题的关键是先求出指数t=-x2+2x的值域,再根据复合函数的单调性求出指数型函数的值域. 8.D 解析:∵y=f(x+1)是偶函数,∴y=f(x+1)的对称轴为x=0,∴y=f(x)的对称轴为x=1.又x≥1时,f(x)=5x,∴f(x)=5x在1,+∞)上是增函数,∴f(x)在(-∞,1]上是减函数.∵f=f,且>>,∴f0,且a≠1)的图象恒过定点(-1,-1). 15.-3,1] 解析:当x<0时,|f(x)|≥,即≤-,∴x≥-3; 当x≥0时,|f(x)|≥,即x≥,∴x≤1. 综上不等式的解集是x∈-3,1]. 解题技巧:本题主要考查了关于分段函数的不等式,解决本题的关键是分段求出不等式的解集,最后取并集. 16.-2-x+3 解析:当x<0时,-x>0.∵当x>0时,f(x)=2x-3,∴f(-x)=2-x-3. 又f(x)是定义在R上的奇函数,∴当x<0时,f(-x)=2-x-3=-f(x),∴f(x)=-2-x+3. 17.解:(1)由函数图案过点A(0,1)和B(3,8)知,解得 ∴f(x)=2x. (2)函数g(x)=为奇函数.证明如下: 函数g(x)定义域为R,关于原点对称; 且对于任意x∈R,都有g(-x)===-=-g(x)成立. ∴函数g(x)为奇函数. 18.解:(1)设t=2x,因为x∈-1,1], ∴t∈,y=t-t2=-2+, ∴t=时,f(x)max=,t=2时,f(x)min=-2. ∴f(x)的值域为. (2)设t=2x,由f(x)>16-9×2x得t-t2>16-9t, 即t2-10t+16<0, ∴20,∴2x+1>1,∴0<<2,-1<-1+<1, ∴-13时,ymin=h(a)=φ(3)=12-6a. ∴h(a)= (2)假设满足题意的m,n存在,∵m>n>3,∴h(a)=12-6a在(3,+∞)上是减函数. ∵h(a)的定义域为n,m],值域为n2,m2], ∴两式相减,得6(m-n)=(m-n)(m+n). 由m>n>3,∴m+n=6,但这与m>n>3矛盾,∴满足题意的m,n不存在. 解题技巧:本题主要考查了指数型函数的值域、存在性问题;解决存在性问题的关键是先假设存在,把假设作为已知条件进行推理,若推理合理则存在,若推理不合理则不存在. 22.解:(1)当a=-时,f(x)=1-×x+x.令t=x,∵x<0,∴t>1,f(t)=1-t+t2.∵f(t)=1-t+t2在(1,+∞)上单调递增,∴f(t)>,即f(x)在(-∞,1)的值域为. 故不存在常数M>0,使|f(x)|≤M成立,∴函数f(x)在(-∞,0)上不是有界函数. (2)由题意知,|f(x)|≤4,即-4≤f(x)≤4对x∈0,+∞)恒成立.令t=x,∵x≥0,∴t∈(0,1],∴-≤a≤-t对t∈(0,1]恒成立, ∴max≤a≤min. 设h(t)=-,p(t)=-t,t∈(0,1]. 由于h(t)在t∈(0,1]上递增,p(t)在t∈(0,1]上递减, h(t)在t∈(0,1]上的最大值为h(1)=-6,p(t)在1,+∞)上的最小值为p(1)=2, 则实数a的取值范围为-6,2]. www.ks5u.com 高中同步创优单元测评 A 卷 数 学 班级:________ 姓名:________ 得分:________ 第二章 基本初等函数(Ⅰ)(二) (对数与对数函数、幂函数) 名师原创·基础卷] (时间:120分钟 满分:150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数f(x)=lg(x-1)的定义域是(  ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.1,+∞) D.2,+∞) 2.下列函数中,既是奇函数,又在定义域内为减函数的是(  ) A.y=x B.y= C.y=-x3 D.y=log3(-x) 3.设y1=40.9,y2=log4.3,y3=1.5,则(  ) A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2 4.函数y=x的反函数的图象为(  ) 5.已知f(xn)=ln x,则f(2)的值为(  ) A.ln 2 B.ln 2 C.ln 2 D.2ln 2 6.幂函数y=(m2-m-1)x,当x∈(0,+∞)时为减函数,则实数m的值为(  ) A.m=2 B.m=-1 C.m=-1或2 D.m≠ 7.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是(  ) A.-1,2] B.0,2] C.1,+∞) D.0,+∞) 8.若00 B.增函数且f(x)<0 C.减函数且f(x)>0 D.减函数且f(x)<0 9.已知函数f(x)=ax+logax(a>0,且a≠1)在1,2]上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为(  ) A. B. C.2 D.4 10.若偶函数f(x)在(-∞,0)内单调递减,则不等式f(-1)0,且a≠1),g(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(3)g(3)<0,则f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系内的图象可能是(  ) 12.设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且它在0,+∞)上单调递增,若,c=f(-2),则a,b,c的大小关系是(  ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上) 13.若函数y=f(x)的定义域是,则函数y=f(log2x)的定义域为________. 14.给出函数f(x)=则f(log23)=________. 15.已知函数y=loga(x+b)的图象如图所示,则a=________,b=________. 16.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是________. 三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分) 计算下列各题: 18.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=-2x. (1)求f(x)的定义域; (2)证明:f(x)在定义域内是减函数. 19.(本小题满分12分) 已知-3≤log0.5x≤-,求函数f(x)=log2·log2的最大值和最小值. 20.(本小题满分12分) 设f(x)= (1)求f的值; (2)求f(x)的最小值. 21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),其中00,得x>1. 解题技巧:真数大于零. 2.C 解析:y=x与y=log3(-x)都为非奇非偶,排除A,D.y=在(-∞,0)与(0,+∞)上都为减函数,但在定义域内不是减函数,排除B. 3.D 解析:因为y1=40.9>40=1,y2=log4.3y3>y2. 4.D 解析:函数y=x的反函数为y=logx,故选D. 5.B 解析:令t=xn,则x=t,f(t)=ln t=ln t,则f(2)=ln 2,故选B. 6.A 解析:由y=(m2-m-1)x为幂函数,得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,m2-2m-3=-3,y=x-3在(0,+∞)上为减函数;当m=-1时,m2-2m-3=0,y=x0=1(x≠0)在(0,+∞)上为常数函数(舍去),所以m=2,故选A. 7.D 解析:当x≤1时,由21-x≤2知,x≥0,即0≤x≤1; 当x>1时,由1-log2x≤2知x≥,即x>1. 综上得x的取值范围是0,+∞). 8.C 解析:当00. 9.C 解析:当a>1时,函数y=ax和y=logax在1,2]上都是增函数, 所以f(x)=ax+logax在1,2]上是增函数, 当01,即lg x>1或lg x<-1,解得x>10或00,由f(3)·g(3)<0得g(3)<0, ∴04,∴f(log224)=log224=. 15. 3 解析:由图象过点(-2,0),(0,2),知 ∴解得由a>0,知a=.∴a=,b=3. 16.(-1,0)∪(1,+∞) 解析:根据题意画出f(x)的草图,由图象可知,f(x)>0的x的取值范围是-11. 解题技巧:数形结合确定取值范围. 19.解:∵f(x)=log2·log2 =(log2x-1)(log2x-2) =(log2x)2-3log2x+2 =2-, 又∵ -3≤log0.5x≤-, ∴ -3≤logx≤-. ∴ ≤log2x≤3. ∴当log2x=,即x=2时,f(x)有最小值-; 当log2x=3,即x=8时,f(x)有最大值2. 20.解:(1)因为log20,得-10,y>0)则的值为(  ) A.4 B.1或 C.1或4 D. 3.下列函数中与函数y=x相等的函数是(  ) A.y=()2 B.y= C.y=2log2x D.y=log22x 4.函数y=lg的图象关于(  ) A.原点对称 B.y轴对称 C.x轴对称 D.直线y=x对称 5.下列关系中正确的是(  ) A.log760且a≠1)的反函数,其图象经过点(,a),则f(x)=(  ) A.log2x B.logx C. D.x2 10.函数f(x)=log(x2-3x+2)的递减区间为(  ) A. B.(1,2) C. D.(2,+∞) 11.函数f(x)=lg(kx2+4kx+3)的定义域为R,则k的取值范围是(  ) A. B. C. D.(-∞,0]∪ 12.设a>0且a≠1,函数f(x)=loga|ax2-x|在3,4]上是增函数,则a的取值范围是(  ) A.∪(1,+∞) B.∪(1,+∞) C.∪(1,+∞) D.∪(1,+∞) 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上) 13.计算27+lg 0.01-ln +3log32=________. 14.函数f(x)=lg(x-1)+的定义域为________. 15.已知函数f(x)=log3(x2+ax+a+5),f(x)在区间(-∞,1)上是递减函数,则实数a的取值范围为________. 16.已知下列四个命题:①函数f(x)=2x满足:对任意x1,x2∈R且x1≠x2都有f0且a≠1)的两根,则x1x2=1.其中正确命题的序号是________. 三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分) (1)计算lg25+lg 2×lg 500-lg -log29×log32; (2)已知lg 2=a,lg 3=b,试用a,b表示log125. 18.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=lg(3x-3). (1)求函数f(x)的定义域和值域; (2)设函数h(x)=f(x)-lg(3x+3),若不等式h(x)>t无解,求实数t的取值范围. 19.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=x (m∈Z)为偶函数,且f(3)0且a≠1),求g(x)在(2,3]上的值域. 20.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=lg(k∈R). (1)若y=f(x)是奇函数,求k的值,并求该函数的定义域; (2)若函数y=f(x)在10,+∞)上是增函数,求k的取值范围. 21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=log3(m≠1)是奇函数. (1)求函数y=f(x)的解析式; (2)设g(x)=,用函数单调性的定义证明:函数y=g(x)在区间(-1,1)上单调递减; (3)解不等式f(t+3)<0. 22.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求实数k的值; (2)设g(x)=log4(a·2x+a),若f(x)=g(x)有且只有一个实数解,求实数a的取值范围. 详解答案 第二章 基本初等函数(Ⅰ)(二) (对数与对数函数、幂函数) 名校好题·能力卷] 1.D 解析:由对数函数恒过定点(1,0)知,函数y=loga(x+2)+1的图象过定点(-1,1). 2.B 解析:由对数的性质及运算知,2lg(x-2y)=lg x+lg y化简为lg(x-2y)2=lg xy,即(x-2y)2=xy,解得x=y或x=4y.所以的值为1或.故选B. 3.D 解析:函数y=x的定义域为R.A中,y=()2定义域为0,+∞);B中,y==|x|;C中,y=2log2x=x,定义域为(0,+∞);D中,y=log22x=x,定义域为R.所以与函数y=x相等的函数为y=log22x. 4.A 解析:函数y=lg的定义域为(-1,1). 又设f(x)=y=lg=lg, 所以f(-x)=lg=-lg=-f(x), 所以函数为奇函数,故关于原点对称. 5.C 解析:由对数函数图象和性质,得01.所以ln <log76<log3π.故选C. 6.A 解析:∵>0∴f=log3=-3,∵-3<0,f(-3)=2-3=.故选A. 7.D 解析:A中,由y=ax2+bx的图象知,a>0,<0,由y=logx知,>0,所以A错; B中,由y=ax2+bx的图象知,a<0,<0,由y=logx知,>0,所以B错; C中,由y=ax2+bx的图象知,a<0,-<-1,∴>1,由y=logx知0<<1,所以C错.故选D. 8.A 解析:因为函数y=(m2+2m-2)xm为幂函数且在第一象限为增函数,所以解得m=1.故选A. 9.B 解析:因为函数y=f(x)图象经过点(,a),所以函数y=ax(a>0且a≠1)过点(a,),所以=aa即a=,故f(x)=logx. 10.D 解析:令t=x2-3x+2,则当t=x2-3x+2>0时,解得x∈(-∞,1)∪(2,+∞).且t=x2-3x+2在区间(-∞,1)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增; 又y=logt在其定义域上为单调递减的,所以由复合函数的单调性知,f(x)=log (x2-3x+2)单调递减区间是(2,+∞). 11.B 解析:因为函数f(x)=lg(kx2+4kx+3)的定义域为R,所以kx2+4kx+3>0,x∈R恒成立.①当k=0时,3>0恒成立,所以k=0适合题意.②即00,x∈R恒成立. 12.A 解析:令u(x)=|ax2-x|,则y=logau,所以u(x)的图象如图所示. 当a>1时,由复合函数的单调性可知,区间3,4]落在或上,所以4≤或<3,故有a>1; 当04,解得≤a<.综上所述,a的取值范围是∪(1,+∞). 13.- 解析:原式=-2-+2=-. 14.(1,5] 解析:要使函数f(x)=lg(x-1)+有意义,只需满足即可.解得10的条件下,求出g(x)的单调增区间. 16.①③④ 解析:①∵指数函数的图象为凹函数,∴①正确; ②函数f(x)=log2(x+)定义域为R,且f(x)+f(-x)=log2(x+)+log2(-x+)=log21=0,∴f(x)=-f(-x),∴f(x)为奇函数. g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且g(x)=1+=,g(-x)===-g(x),∴g(x)是奇函数.②错误; ③∵f(x-1)=-f(x+1),∴f(7)=f(6+1)=-f(6-1)=-f(5),f(5)=f(4+1)=-f(4-1)=-f(3),f(3)=-f(1), ∴f(7)=-f(1),③正确; ④|logax|=k(a>0且a≠1)的两根,则logax1=-logax2,∴logax1+logax2=0,∴x1·x2=1.∴④正确. 17.解:(1)原式=lg25+lg 5·lg 2+2lg 2+lg 5-log39 =lg 5(lg 5+lg 2)+2lg 2+lg 5-2 =2(lg 5+lg 2)-2 =0. (2)log125====, lg 2=a,lg 3=b,log125==. 18.解:(1)由3x-3>0解得x>1,所以函数f(x)的定义域为(1,+∞). 因为(3x-3)∈(0,+∞),所以函数f(x)的值域为R. (2)因为h(x)=lg(3x-3)-lg(3x+3)=lg =lg的定义域为(1,+∞),且在(1,+∞)上是增函数,所以函数的值域为(-∞,0). 所以若不等式h(x)>t无解,则t的取值范围为0,+∞). 19.解:(1)因为f(3)0,解得-11时,y=logat在区间(0,3]上是增函数,所以y∈(-∞,loga3]; 当01时,函数g(x)的值域为(-∞,loga3];当00,得函数y=f(x)的定义域为(-1,1). (2)∵f(x)在10,+∞)上是增函数,∴>0,∴k>. 又f(x)=lg=lg, 故对任意的x1,x2,当10≤x1,∴k-1<0,∴k<1. 综上可知k∈. 解题技巧:本题主要考查了对数型函数的性质,解决本题的关键是充分利用好奇偶性和单调性. 21.(1)解:由题意得f(-x)+f(x)=0对定义域中的x都成立, 所以log3+log3=0,即·=1, 所以1-x2=1-m2x2对定义域中的x都成立, 所以m2=1,又m≠1,所以m=-1, 所以f(x)=log3. (2)证明:由(1)知,g(x)=, 设x1,x2∈(-1,1),且x10,x2+1>0,x2-x1>0. 因为g(x1)-g(x2)=>0,所以g(x1)>g(x2), 所以函数y=g(x)在区间(-1,1)上单调递减. (3)解:函数y=f(x)的定义域为(-1,1), 设x1,x2∈(-1,1),且x1g(x2), 所以log3g(x1)>log3g(x2),即f(x1)>f(x2), 所以y=f(x)在区间(-1,1)上单调递减. 因为f(t+3)<0=f(0),所以 解得-30成立,则a>0. 令t=2x>0,则(a-1)t2+at-1=0有且只有一个正根. 设g(t)=(a-1)t2+at-1,注意到g(0)=-1<0,所以 ①当a=1时,有t=1,符合题意; ②当01时,又g(0)=-1,方程恒有一个正根与一个负根,符合题意. 综上可知,a的取值范围是{-2+2}∪1,+∞). www.ks5u.com 高中同步创优单元测评 A 卷 数 学 班级:________ 姓名:________ 得分:________ 第三章 函数的应用 名师原创·基础卷] (时间:120分钟 满分:150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数y=x2-2x-3的零点是(  ) A.1,-3 B.3,-1 C.1,2 D.不存在 2.用二分法求方程f(x)=0在区间(1,2)内的唯一实数解x0时,经计算得f(1)=,f(2)=-5,f=9,则下列结论正确的是(  ) A.x0∈ B.x0= C.x0∈ D.x0∈或x0∈ 3.若函数f(x)=ax+b的零点是-1(a≠0),则函数g(x)=ax2+bx的零点是(  ) A.-1 B.0 C.-1和0 D.1和0 4.某种型号的手机自投放市场以来,经过两次降价,单价由原来的2 000元降到1 280元,则这种手机的价格平均每次降低的百分率是(  ) A.10% B.15% C.18% D.20% 5.设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则函数y=f(x)-x的零点的个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的大致区间是(  ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4) 7.实数a,b,c是图象连续不断的函数y=f(x)定义域中的三个数,且满足a0时,x=3.所以函数y=f(x)-x的零点的个数为3,故选C. 6.B 解析:f(1)=ln(1+1)-=ln 2-2=ln 2-ln e2<0,f(2)=ln(2+1)-=ln 3-1>0,因此函数的零点必在区间(1,2)内,故选B. 7.D 解析:由f(a)·f(b)<0知,y=f(x)在(a,b)上至少有一零点,由f(c)·f(b)<0知,y=f(x)在(b,c)上至少有一零点,故y=f(x)在(a,c)上至少有2个零点. 8.A 解析:方程mx-x-m=0有两个不同实数根,等价于函数y=mx与y=x+m的图象有两个不同的交点.显然当m>1时,如图①有两个不同交点;当0<m<1时,如图②有且仅有一个交点,故选A. 9.C 解析:设AB=a,则y=a2-x2=-x2+a2,其图象为抛物线的一段,开口向下,顶点在y轴正半轴.故选C. 10.C 解析:由题意知,2a+b=0,所以a=-. 因此g(x)=bx2+x=b=b2-. 易知函数g(x)图象的对称轴为x=-,排除A,D. 又令g(x)=0,得x=0或x=-0.5,故选C. 11.C 解析:设该顾客两次购物的商品价格分别为x,y元,由题意可知x=168,y×0.9=423,∴y=470,故x+y=168+470=638(元), 故如果他一次性购买上述两样商品应付款: (638-500)×0.7+500×0.9=96.6+450=546.6(元). 12.A 解析:设y1=a|x|,y2=|logax|,分别作出它们的图象如下图所示. 由图可知,有两个交点,故方程a|x|=|logax|有两个根.故选A. 13.2 解析:由y=ln x与y=的图象可知有两个交点. 14.3 解析:由表中数据可知,f(1)=ln 1-1+2=1>0, f(2)=ln 2-2+2=ln 2=0.69>0, f(3)=ln 3-3+2=1.10-1=0.1>0, f(4)=ln 4-4+2=1.39-2=-0.61<0, f(5)=ln 5-5+2=1.61-3=-1.39<0, ∴f(3)·f(4)<0,∴k的值为3. 15.9 解析:设乘客每次乘坐出租车需付费用为f(x)元,由题意,得 f(x)= 令f(x)=22.6,显然9+5×2.15+(x-8)×2.85=22.6(x>8),解得x=9. 16.(0,1) 解析:画出f(x)=的图象,如图所示. 由函数g(x)=f(x)-m有3个零点,即f(x)-m=0有3个不相等的实根,结合图象,得0. 18.解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由题意知,c=3,-=2. 设x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根, 则x1+x2=-,x1·x2=. ∵x+x=10,∴(x1+x2)2-2x1x2=10,即 2-=10,∴42-=10, ∴a=1,b=-4. ∴f(x)=x2-4x+3. 19.解:(1)由题意,得 y= (2)x∈(0,10],0.15x≤1.5. 又∵y=5.5,∴x>10, ∴1.5+2log5(x-9)=5.5,∴x=34. ∴老江的销售利润是34万元. 20.解:(1)∵f(x)的两个零点是-3和2, ∴函数图象过点(-3,0),(2,0), ∴ ①-②,得b=a+8.③ ③代入②,得4a+2a-a-a(a+8)=0, 即a2+3a=0. ∵a≠0,∴a=-3, ∴b=a+8=5. ∴f(x)=-3x2-3x+18. (2)由(1)得f(x)=-3x2-3x+18 =-32++18, 图象的对称轴是x=-,又0≤x≤1, ∴f(x)min=f(1)=12,f(x)max=f(0)=18, ∴函数f(x)的值域是12,18]. 21.解:(1)由题意知f(x)= 图象如图所示. (2)当a<-1时,f(x)-a=0无解; 当a=-1时,f(x)-a=0有两个实数根; 当-10时,f(x)-a=0有两个实数根. 22.解:(1)设f(x)=k1x,g(x)=k2, 所以f(1)==k1, g(1)==k2,即f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0). (2)设投资债券类产品x万元,则股票类投资为(20-x)万元. 依题意,得 y=f(x)+g(20-x) =+(0≤x≤20). 令t=(0≤t≤2). 则y=+t=-(t-2)2+3, 所以当t=2,即x=16(万元)时,收益最大,最大收益为3万元. www.ks5u.com 高中同步创优单元测评 B 卷 数 学 班级:________ 姓名:________ 得分:________ 第三章 函数的应用 名校好题·能力卷] (时间:120分钟 满分:150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数f(x)=2x+m的零点落在(-1,0)内,则m的取值范围为(  ) A.(-2,0)    B.(0,2)    C.-2,0]    D.0,2] 2.设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间(  ) A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不确定 3.下列函数中,不能用二分法求零点的是(  ) A.y=3x+1 B.y=x2-1 C.y=log2(x-1) D.y=(x-1)2 4.方程x3-x-3=0的实数解所在的区间是(  ) A.-1,0] B.0,1] C.1,2] D.2,3] 5.为了求函数f(x)=2x+3x-7的零点,某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值(精确度0.1)如下表所示: x 1.25 1.312 5 1.375 1.437 5 1.5 1.562 5 f(x) -0.871 6 -0.578 8 -0.281 3 0.210 1 0.328 43 0.641 15 则方程2x+3x=7的近似解(精确到0.1)可取为(  ) A.1.5 B.1.4 C.1.3 D.1.2 6.若函数y=|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是(  ) A.m≤-1 B.-1≤m<0 C.m≥1 D.00 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 11.已知函数f(x)=|log3(x-1)|-x-1有2个不同的零点x1,x2,则(  ) A.x1·x2<1 B.x1·x2=x1+x2 C.x1·x2>x1+x2 D.x1·x25的解集; (2)若方程f(x)-=0有三个不同实数根,求实数m的取值范围. 18.

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  • ID:3-5399215 必修一1.1.3集合的基本运算课件 (共39张PPT)

    高中数学/人教版/第一册上/第一章集合与简易逻辑/集合

    1.1.3 集合的基本运算 第1课时 并集、交集 【知识提炼】 1.并集 集合A或属于集合B {x|x∈A,或x∈B} 文字 语言 由所有属于_________________的元素组成的集合 符号 语言 A∪B=________________(读作“A并B”) 图形 语言 2.交集 集合A且属于集合B {x|x∈A,且x∈B} 文字 语言 由属于_________________的所有元素组成的集合 符号 语言 A∩B=________________(读作“A交B”) 图形 语言 【即时小测】 1.思考下列问题: (1)集合M={直线}与集合N={圆}有没有交集? 提示:有.根据交集的概念可知,M∩N=?. (2)两个集合并集中的元素个数一定比两个集合元素个数之和大吗?   提示:当两个集合有公共元素时,在并集中只能算作一个,故这种说法不正确. (3)若A∩B=C∩B,则必有A=C吗? 提示:若A∩B=C∩B,则可能有A=C,也可能不相等. 2.设集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N等于 (  ) A.{0,1} B.{-1,0,1} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2} 【解析】选D.M∪N={-1,0,1,2}. 3.下列关系Q∩R=R∩Q;Z∪N=N;Q∪R=R∪Q;Q∩N=N中,正确的个数 是 (  ) A.1    B.2    C.3    D.4 【解析】选C.只有Z∪N=N不正确,其余都正确,故选C. 4.已知集合A={-2,-1,3,4},B={-1,2,3},则A∩B=    . 【解析】利用交集的概念求解,A∩B={-1,3}. 答案:{-1,3} 5.设集合A={7,a},B={-1},A∩B=B,则a=    . 【解析】因为A∩B=B,所以B?A. 又-1∈B,则-1∈A.又A={7,a},则有a=-1. 答案:-1 【知识探究】 知识点1 并集 观察图形,回答下列问题: 问题1:A∪B与B∪A相等吗? 问题2:如果A?B,那么A∪B等于B吗? 【总结提升】 1.对并集含义的三点说明 (1)A∪B仍是一个集合,由所有属于A或属于B的元素组成. (2)“或”字的意义,用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的,“x∈A或x∈B”这一条件,包括下列三种情况:①x∈A,但x?B; ②x∈B,但x?A;③x∈A,且x∈B. 用Venn图表示为: (3)对于A∪B,不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合.因为A与B可能有公共元素,公共元素只能算一个元素. 2.并集的性质 (1)A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A. (A∪B)∪C=A∪(B∪C).A?A∪B,B?A∪B. (2)A?B?A∪B=B.A∪B=??A=B=?. 知识点2 交集 观察图形,回答下列问题: 问题1:A∩B与B∩A相等吗? 问题2:若A∩B=?,则说明什么? 【总结提升】 1.对交集概念的三点说明 (1)A∩B是一个集合,由A与B的所有公共元素组成,而非部分元素组成.如A={a,b,c,d},B={b,c,d,e},则A∩B={b,c,d},而不是A∩B={b,c}, {b,d},{c,d}等. (2)“A∩B”包含了两层含义: ①A∩B中的元素都是两集合A,B的公共元素; ②集合A与B中的所有公共元素都在A∩B中. (3)两集合A与B没有公共元素时,求这两个集合交集时,不能说集合A与B没有交集,而是A∩B=?. 2.交集的性质 (1)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A. (A∩B)∩C=A∩(B∩C), A∩B?A,A∩B?B. (2)A?B?A∩B=A.A∩B=A∪B?A=B. (3)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C). 【题型探究】 类型一 并集的概念及简单运算 【典例】1.已知集合A={x|-1≤x<3}, B={x|24},B={x|2a≤x≤a+3},若A∩B=B,求实数a的取值范围. 【解题探究】本例中A∩B=B这一关系说明两个集合之间有什么关系? 提示:这一关系说明集合B?A. 【解析】①当B=?时,只需2a>a+3,即a>3; ②当B≠?时,根据题意作出如图所示的数轴, 可得 解得a<-4或22. 【延伸探究】 1.(变换条件)本例若将条件“A∩B=B”改为“A∪B=A”,其他条件不变,则实数a的取值范围又是什么? 【解析】①当B=?时,只需2a>a+3,即a>3,此时满足A∪B=A. ②当B≠?时,需满足2a≤a+3且a+3<-1,或2a≤a+3且2a>4.解得a<-4,或22. 2.(变换条件)本例若将条件“A∩B=B”改为“A∪B=R,A∩B=?”,其他条件不变,则实数a的取值范围又是什么? 【解析】由条件可知B≠?,所以2a2; 当B={1}时, 解得a=2,此时B={1},符合题意; 当B={2}时, 此时a不存在. 当B={1,2}时,此时a不存在. 综上所述,a≥2. 答案:{a|a≥2} 【防范措施】注意分类讨论的全面性   在利用交集、并集的性质求参数值时,要注意讨论的全面性,不要遗漏特殊的情况,如本例中易漏掉B=?的情况.另外涉及一元二次方程的根时,要关注Δ的范围,避免产生多解的错误.

  • ID:3-5334271 惠东高级中学2018~2019学年度上学期高三年级二调考数学(文科)试卷及答案

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    惠东高级中学2018~2019学年度上学期高三年级二调 数学试卷(文科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 注意事项: 1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.答卷Ⅰ前,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 1、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上) 1.设集合,,若,则 A. B. C. D. 2.下列函数中,在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 A. B. C. D. 3.命题则为 A. B. C. D. 4.下列函数中,其图象与函数的图象关于直线对称的是 A. B. C. D. 5.函数的图象可能是 6.已知实数若函数的零点所在区间为,则的取值范围是 A. B. C. D. 7.已知,则的大小关系为 A. B. C. D. 8.已知函数为偶函数,且在上单调递减,则的解集为 A. B. C. D. 9.已知是定义域为的奇函数,满足.若,则 A. B. C. D. 10.如图,可导函数在点处的切线为,设,则下列说法正确的是 A.是的极大值点 B.是的极小值点 C.不是的极值点 D.是的极值点 11.已知函数则在上不单调的一个充分不必要条件是 A. B. C. D. 12.已知是函数的导函数,且对任意的实数都有,,则 A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上) 13.已知为定义在上的奇函数,当时,则_______. 14.设函数若,则实数的值为_______. 15.已知定义在实数集上的函数满足,且的导函数,则不等式的解集为_______. 16.已知定义在上的函数满足:①;②在上为增函数.若时,成立,则实数的取值范围为_______. 三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在答题纸的相应位置上) 17. (本小题满分10分) (1)关于的方程有两个不相等的正实数根,求实数取值 的集合; (2)不等式对任意实数都成立,求实数的取值范围. 18. (本小题满分12分) 函数是实数集上的奇函数,当时, (1)求的值和函数的表达式; (2)求方程在上的零点个数. 19.(本小题满分12分) 已知函数在处取得极值. (1)求,并求函数在点处的切线方程; (2)求函数的单调区间. 20.(本小题满分12分) 已知函数在点处的切线方程为 (1)求实数的值; (2)若存在,满足求实数的取值范围. 21.(本小题满分12分) 已知函数 (1)求函数的极值; (2)设函数若对求的最大值. 22.(本小题满分12分) 已知函数,其中 (1) (2) 惠东高级中学2018~2019学年度上学期高三年级二调考数学(文科)试卷 参考答案及解析 一、选择题 1-5 CDBBD 6-10 ADBCB 11-12 CD 二、填空题 13.-7 14. 15. 16. 三、解答题 17.解:(1)因为方程有两个不相等的正实数根, 所以解得 故实数的取值集合为.(5分) (2)①当时,不等式恒成立;(7分) ②当时,则有解得. 综上所述,实数的取值范围为.(10分) 18.解:(1)由题知,函数是实数集上的奇函数, 所以,即.(2分) 又函数是实数集上的奇函数,所以.(3分) 当时,所以, 所以,即. 所以(6分) (2)易知在区间上为增函数, 因为由零点存在定理,可知方程上有唯一解. 又函数是实数集上的奇函数,所以方程在区间上有解, 且,所以方程在上有3个零点.(12分) 19.解:(1)由题得, 又函数在处取得极值,所以解得 即.(3分) 因为,所以, 所以曲线在点.(6分) (2)由(1)得,, 令, 所以的单调递增区间为.(9分) 令, 所以的单调递减区间为. 综上所述,的单调递减区间为,单调递增区间为.(12分) 20.解:(1)由题得,函数的定义域为. 因为,所以 所以.(3分) 又,故所求切线方程为. 又函数在点处的切线方程为, 所以(6分) (2)由题得, 所以问题转化为 令 则.(8分) 令, 则当时,有. 所以函数在区间上单调递减, 所以, 所以 所以函数在区间上单调递减.(10分) 所以 所以实数的取值范围为.(12分) 21.解:(1)由题得,. 令令. 故函数在区间上单调递减,在区间上单调递增, 故函数的极小值为,无极大值.(4分) (2)依题意对恒成立. 令 ①若,则在上单调递增,没有最小值,不合题意,舍去;(6分) ②若,令得. 当 即时,单调递减; 当 即时,单调递增. 故 故.(9分) 令,则. 当时,,单调递增; 当时,,单调递减, 故,即,即.(12分) 22.解:(1)因为, 所以上有解, 所以上有解. 设 所以函数在上是减函数,在上是增函数, 所以 经验证,当时,函数上单调, 所以.(5分) (2)当 所以. 当时, 所以. 当时,由,得. (其中) 所以函数在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减, 由极大值.(8分) 又 设函数,则, 所以函数在上单调递增. 而所以 故当时,.(12分)

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  • ID:3-4973666 山西省实验中学2018-2019学年高二上期中考试数学试题(无答案)

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    山西省实验中学2018-2019学年度第一学期期中考高二数学试卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题只有一项符合题目要求) 1.下列说法正确的是 A.三点确定个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形 D.平面有不共线的三个公共点 2.下列各图中,直线与平行的只可能是 3.直线的倾斜角,直线,则直线的斜率为 A. B. C. D. 4.若三点共线,则的值为 A. B. C.-2 D.2 5.如果那么直线不经过的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.已知圆C与直线及都相切,圆心在直线上,则圆C的方程为 A. B. C. D. 7.设满足则 A.有最小值2,最大值3 B.有最大值3,无最小值 C.有最小值2,无最大值 D.既无最小值,又无最大值 8.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是 A. B. C. D. 9.无论取何值,直线都恒过一个定点,则定点的坐标为 A.(-8,9) B.(9,-8) C.(15,-14) D.(-14,15) 10.已知点A(2,1),B(-2,-1),若直线与线段AB相交,则的取值范围是 A. B. C.D. 1l。过点(1,-2)作圆的两条切线,切点分别为A、B,则AB所在直线的方程为 A. B. C. D. 12.是两个不同的平面,是平面及之外的两条不同直线,给出四个论断: ①②③④ 以其中三个论断作为条件,余下一个作为结论,其中正确命题的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题(每小题4分,共16分) 13.经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为___________. 14.如图所示,在正方体中,点P在线段上运动,则异面直线CP与所成的角的取值范围是_________. 15.已知点A(3,1),在直线和上分别有点M和N,则△AMN的周长最小值为___. 16.如图所示:四棱锥的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中正确结论的序号是___________. ①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角;④AB与SC所成的角的等于CD与SA所成的角。 三、解答题(本大题共4小题,每小题12分,共48分) 17.已知两条直线 (1)若求实数的值; (2)若求实数的值。 18.(文)如图:已知直三棱柱中,D为BC的中点。 (1)求证: (2)求三棱锥的体积. (理)如图,四棱柱的底面是正方形,且侧棱和底面垂直. (1)求证:BD⊥平面 (2)当为正方体时,求二面角的余弦值. 19.已知曲线表示圆. (1)求的取值范围; (2)若圆C与直线交于M、N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求的值。 20.如图,圆内有一点P(-3,1),AB为过点P且倾斜角为的弦。 (1)当时,求 (2)求过点P的弦的中点的轨迹方程。

    • 期中试卷
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  • ID:3-4873204 湖南省长沙市雅礼中学18-19高一上第1次月考数学试卷含答案(PDF)

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    雅礼中学 2018 学年高一第一学期第一次阶段测试 数学试卷 一、选择题 1.已知P={x|-18

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  • ID:3-4833832 1.4.3《含有一个量词的命题的否定》课件(人教A版选修2-1)(37张ppt)

    高中数学/人教版/第一册上/第一章集合与简易逻辑/逻辑联结词

    课程目标设置 主题探究导学 典型例题精析 知能巩固提升 一、选择题(每题5分,共15分) 1. 命题“存在x0∈R, ”的否定是 ( ) (A)不存在x0∈R, (B)存在x0∈R, (C)对任意的x∈R,2x≤0 (D)对任意的x∈R,2x>0 【解题提示】特称命题的否定是全称命题,也要注意“≤”的否定为“>”. 【解析】选D.特称命题的否定是全称命题,同时否定结论. 2.特称命题“?x0? M,p(x0)”的否定是( ) (A)?x∈M, ﹁p(x) (B)?x?M,p(x) (C)?x?M, ﹁p(x) (D)?x∈M,p(x) 【解析】选C.由特称命题的否定的定义可得. 3.对下列命题的否定说法错误的是( ) (A)p:能被2整除的整数都是偶数, ﹁p:存在一个能被2整除的整数不是偶数 (B)p:每一个四边形的四个顶点共圆, ﹁p:存在一个四边形的四个顶点不共圆 (C)p:有的三角形为正三角形, ﹁p:所有的三角形都不是正三角形 (D)p:?x0∈R,x02+2x0+2≤0, ﹁p:当x2+2x+2>0时,x∈R 【解析】选D.由全称命题和特称命题的否定可知A、B、C正确, D中形式不正确,应为“?x∈R,x2+2x+2>0”. 二、填空题(每题5分,共10分) 4.命题“?x0∈R, x02≤0”的否定是______. 【解析】由题知,本题为特称命题,故其否定为全称命题. 答案: ?x∈R,x2>0 5.已知命题p:“?x∈R,ex≤1”,则命题﹁p是______. 【解析】由定义直接可得. 答案:?x0∈R, 三、解答题(6题12分,7题13分,共25分) 6.(12分)用“?”“?”写出下列命题的否定,并判断真假. (1)二次函数的图像是抛物线. (2)直角坐标系中,直线是一次函数的图像. (3)有些四边形存在外接圆. (4)?a,b∈R,方程ax+b=0恰有一解. (5)?T=2kπ(k∈Z),sin(x+T)=sinx; (6)a,b是异面直线,?A∈a,B∈b,使AB⊥a,AB⊥b. 【解题提示】先写出命题的否定,然后再判断真假. 【解析】(1) ﹁p:?x0∈{二次函数},x0的图像不是抛物线.假命 题. (2)﹁p:在直角坐标系中,?x0∈{直线},x0不是一次函数的图 像.真命题. (3)﹁p:?x∈{四边形},不存在外接圆.假命题. (4)﹁p:?a0,b0∈R,方程a0x+b0=0无解或至少有两解.真命题. (5)﹁p:?T0=2kπ(k∈Z),sin(x+T0)≠sinx,是假命题. ﹁p:a,b是异面直线,则?A∈a,B∈b,有AB与a不垂直或AB 与b不垂直,是假命题. 7.(13分)(2010·马鞍山高二检测)给定两个命题: p:对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立; q:关于x的方程x2-x+a=0有实数根; 如果p与q中有且仅有一个为真命题,求实数a的取值范围. 【解析】对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立? a=0或 关于x的方程x2-x+a=0有实数根?1-4a≥0? a≤ ; 若p真,且q假,有0≤a<4,且a> ,∴ ”,命题p的 否定为命题q,则q是“_____”;q的真假为_____(填真,假). 【解析】由特称命题的否定是全称命题可得其否定为“?x∈ (0,+∞),x≤ ”,又x>1时,x> ,故是假命题. 答案:?x∈(0,+∞),x≤ 假 4.(15分)已知命题p:“?x∈R,?m0∈R,使4x+2x·m0+1 =0”,若命题﹁p是假命题,求实数m0的取值范围. 【解题提示】(1)命题﹁p是假命题,可判断p为真; (2)提示:可令t=2x,将方程化为关于t的二次方程; (3)根据根的分布,列式求m0的范围. 【解析】该题可利用﹁p假,则p为真,求原命题为真时m0的取值范围.令t=2x>0,则方程4x+2x·m0+1=0变为t2+m0·t+1=0有正解,假设方程有两个正根t1,t2.∵t1·t2=1>0,t1、t2同号, ∴t1+t2>0,故有 ∴m0≤-2,即实数m0的取值范围是(-∞,-2].

  • ID:3-4782762 备战2019高考数学之专题——平面向量

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    中小学教育资源及组卷应用平台 平面向量 基础篇 1.在边长为4的等边中,的值等于( ) A.16 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】解:因为边长为4的等边中,选C 2.在中,点在上,且,点是的中点,若,,则(   ) A.    B.    C.    D. 【答案】B 【解析】因为,所以因为点是的中点,所以 则所以 故选B 3.已知向量, ,若,则实数的取值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵=(1,﹣3),=(2,1),∴k+=k(1,﹣3)+(2,1)=(2+k,1﹣3k),﹣2=(﹣3,﹣5),∵(k+)∥(﹣2),∴﹣5(2+k)=﹣3(1﹣3k),解得:k=﹣.故选:A. 4.已知,且,则( ) A、-3 B、 C、0 D、 【答案】B 【解析】则。 5.已知空间四边形ABCD,M、G分别是BC、CD的中点,连结AM、AG、MG,则+()等于 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】 分析:直接根据G是CD的中点,可得 = ,从而可以计算化简计算得出结果. 解:因为G是CD的中点,∴= , 则+(+)=+=, 故选A. 6.已知两点为坐标原点,点在第二象限,且,设,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析:由题设可得,三角函数的定义可得,即,解之得,故应选C. 7.已知向量,且,则实数( ) A. 3 B. 1 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】,根据得,解得,故选A. 8.以下5个命题: ①对实数和向量与,恒有;②对实数和向量,恒有;③若,则;;④若,则;⑤对任意的向量,恒有。写出所有真命题的序号 . 【答案】①②⑤ 【解析】解:因为 ①对实数和向量与,恒有;成立 ②对实数和向量,恒有;成立 ③若,则;;不成立 ④若,则;不成立 ⑤对任意的向量,恒有成立 9.复数, ,则 A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可得: . 本题选择A选项. 10.下列式子中,不能化简为的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析:,,,.故选D. 11.如果, 是平面内所有向量的一组基底,那么( ) A. 若实数, ,使,则 B. 空间任一向量可以表示为,这里, 是实数 C. , 不一定在平面内 D. 对平面内任一向量,使的实数, 有无数对 【答案】A 【解析】∵由基底的定义可知, , 是平面上不共线的两个向量, ∴实数λ1,λ2使,则λ1=λ2=0, 不是空间任一向量都可以表示为而是平面a中的任一向量,可以表示为的形式,此时实数λ1,λ2有且只有一对,而对实数λ1,λ2, 一定在平面a内,故选A. 12.若向量,,满足条件 ,则= . 【答案】 【解析】 试题分析:因为条件中,向量,,满足条件 ,即(6,3),18+3x=30,x=4,故可知x的值为4,故答案为4. 13.已知向量.若向量满足, ,则=________. 【答案】 【解析】设 ,则, ,由已知可得, 解得 , . 14.以下5个命题: ①对实数和向量与,恒有;②对实数和向量,恒有;③若,则;;④若,则;⑤对任意的向量,恒有。写出所有真命题的序号 . 【答案】①②⑤ 【解析】解:因为 ①对实数和向量与,恒有;成立 ②对实数和向量,恒有;成立 ③若,则;;不成立 ④若,则;不成立 ⑤对任意的向量,恒有成立 15.已知向量,若 . 【答案】-3 【解析】试题分析:∵,∴(2,m+1),若,∴-(m+1)-2=0,解得m=-3. 16.已知与的夹角为,则 ; 【答案】 【解析】 试题分析:根据题意,由于与的夹角为,则,故可知答案为。 考点:向量的数量积 17.已知向量,则在方向上的投影是 . 【答案】 【解析】 试题分析:由已知可得 18.若向量与任意向量都平行,则=_________;若||=1,则向量是_________. 【答案】 单位向量 【解析】由于只有零向量与任意向量平行,故; 由于,即向量的长度为1,所以向量是单位向量. 答案: ,单位向量 拔高篇 1.已知为内一点,满足,则与面积之比为(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图所示,延长到,使得,以为邻边作平行四边形,故,所以且相似比为,所以的底边相同为,高的比等于,面积比等于相似比,故面积比为. 2.在中,点在线段上,且,点在线段上(与点不重合).若,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意得,选C. 3.已知等差数列的前项和为,向量,, ,且,则用表示 ( ). (A)?? (B)??? (C)?? (D) 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意,所以,,在同一条直线上,那么由得,且,解得.选C. 4.已知向量,是单位向量,若,且,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析:由题不妨设, 易知的轨迹为线段,, 所以问题转化为求点(1,-1)与线段上点的距离的范围问题,如图易知其范围为. 5.在边长为2的等边中,是的中点,为线段上一动点,则的取值范 围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析:设,.由.所以.故选A. 6.在中,为中线上的一个动点,若,则的最小值为__________. 【答案】-2 【解析】由题意画出草图: 由于点D为△ABC中边BC的中点,∴, ∴. ∵E为中线AD上的一个动点,即A. E、D三点共线, ∴ (当且仅当“”时取等号),得, 又, 则的最小值为-2. 7.已知在△ABC中,有,则下列说法中:①△ABC为钝角三角形;②;③. 正确说法的序号是 .(填上所有正确说法的序号) 【答案】①②③ 【解析】 试题分析:根据向量的数量积运算可知:,因为向量的模长为正,所以,又因为在三角形中,所以为钝角,故①正确;根据余弦定理,有,故②正确;因为,故③正确. 8.已知向量, ,且, ,则()的最小值为 . 【答案】 【解析】试题分析:由及,则 所以 ,所以()的最小值为1 考点:向量运算 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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  • ID:3-4766210 【全国百强校】吉林省延边第二中学2017-2018学年高一上学期午间小练(打包5份)

    高中数学/人教版/第一册上/本册综合

    吉林省延边二中高一上学期午间小练(1) 一、选择题 1.设集合, ,则 ( ) A.  B.  C.  D.  2.定义集合运算: ,设集合, ,则集合的所有元素之和为( ) A. 0 B. 6 C. 12 D. 18 3.已知全集,集合则等于( ) A.  B.  C.  D.  4.已知,,则的元素个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程S与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是(  ) A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多 C.甲、乙两人的速度相同 D.甲比乙先到达终点 6.已知函数g(x)=1-2x,f[g(x)]= (x≠0),则f()等于(  ) A.1 B.3 C.15 D.30 7.已知函数的定义域为,则函数的定义域为( ) A.  B.  C.  D.  8.设函数f(x)=,则不等式f(x)>f(1)的解集是(  ) A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) 9.若函数的定义域为,值域为,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 10.函数是R上的偶函数,且在上单调递增,则下列各式成立的是( ) ================================================ 压缩包内容: 【全国百强校】吉林省延边第二中学2017-2018学年高一上学期午间小练1.doc 【全国百强校】吉林省延边第二中学2017-2018学年高一上学期午间小练2.doc 【全国百强校】吉林省延边第二中学2017-2018学年高一上学期午间小练3.doc 【全国百强校】吉林省延边第二中学2017-2018学年高一上学期午间小练4.doc 【全国百强校】吉林省延边第二中学2017-2018学年高一上学期午间小练5.doc