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高中数学苏教版
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  • ID:3-6153975 高中数学(苏教版)选修2-2课程讲义习题集及答案(pdf)

    高中数学/苏教版/选修2/本册综合

    目 录 第 1 章 导数及其应用 .............................................................................................................................. - 1 - 1.1 导数的概念 ................................................................................................................................. - 1 - 1.1.1 平均变化率 ...................................................................................................................... - 1 - 1.1.2 瞬时变化率——导数 ...................................................................................................... - 2 - 专题 1 导数的概念 ........................................................................................................... - 2 - 专题 2 导数的几何意义 ................................................................................................... - 3 - 1.2 导数的运算 ................................................................................................................................. - 5 - 1.2.1 常见函数的导数 .............................................................................................................. - 5 - 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数 ...................................................................................... - 6 - 1.2.3 简单复合函数的导数 ...................................................................................................... - 7 - 导数几何意义及求导习题课(1.1~1.2 复习) ............................................................................... - 8 - 1.3 导数在研究函数中的应用 ....................................................................................................... - 10 - 1.3.1 单调性 ............................................................................................................................ - 10 - 抽象函数单调性与导数 .......................................................................................................... - 12 - 1.3.2 极大值与极小值 ............................................................................................................ - 13 - 1.3.3 最大值与最小值 ............................................................................................................ - 14 - 含参函数的单调区间、极值问题 .................................................................................................. - 15 - 变量分离法巧解导数含参问题 ...................................................................................................... - 16 - 利用导数研究不等式问题 .............................................................................................................. - 17 - 利用导数研究函数零点问题 .......................................................................................................... - 19 - 1.4 导数在实际生活中的应用 ....................................................................................................... - 20 - 1.5 定积分 ....................................................................................................................................... - 21 - 1.5.1 曲边梯形的面积 ............................................................................................................ - 21 - 1.5.2 定积分 ............................................................................................................................ - 22 - 专题 1 定积分的概念 ..................................................................................................... - 22 - 专题 2 定积分的简单应用 ............................................................................................. - 23 - 1.5.3 微积分基本定理 ............................................................................................................ - 24 - 导数及其应用知识串讲 .......................................................................................................... - 26 - 导数及其应用综合检测(上)(本章复习) ........................................................................ - 27 - 导数及其应用综合检测(下)(本章复习) ........................................................................ - 29 - 第 2 章 推理与证明 ................................................................................................................................ - 31 - 2.1 合情推理与演绎推理 ................................................................................................................ - 31 - 2.1.1 合情推理 ......................................................................................................................... - 31 - 专题 1 归纳推理 ..................................................................................................................... - 31 - 专题 2 类比推理 ..................................................................................................................... - 33 - 2.1.2 演绎推理 ........................................................................................................................ - 35 - 2.1.3 推理案例赏析 ................................................................................................................ - 37 - 2.2 直接证明与间接证明 ................................................................................................................ - 37 - 2.2.1 直接证明 ......................................................................................................................... - 37 - 专题 1 综合法 ......................................................................................................................... - 37 - 专题 2 分析法 ......................................................................................................................... - 39 - 2.2.2 间接证明 ......................................................................................................................... - 40 - 2.3 数学归纳法 ................................................................................................................................ - 42 - 推理与证明知识串讲及综合检测(本章复习) .......................................................................... - 45 - 冲刺满分——数学思想方法综合串讲 .......................................................................................... - 48 - 第 3 章 数系的扩充与复数的引入 ........................................................................................................ - 49 - 3.1 数系的扩充 ............................................................................................................................... - 49 - 3.2 复数的四则运算 ........................................................................................................................ - 50 - 专题 1 复数的加减运算 ......................................................................................................... - 50 - 高中数学(苏教版)选修2-2课程讲义习题集 专题 2 复数的乘除运算 ......................................................................................................... - 51 - 3.3 复数的几何意义 ....................................................................................................................... - 53 - 复数知识串讲及综合(本章复习) .............................................................................................. - 54 - 期中期末串讲——选修 2-2 模块知识串讲及综合练习(一) ........................................................... - 55 - 期中期末串讲——选修 2-2 综合练习(二) ....................................................................................... - 57 - 参考答案 .................................................................................................................................................. - 58 - 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 1 - 第 1 章 导数及其应用 1.1 导数的概念 1.1.1 平均变化率 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 已知函数 f (x)=-x2+x,则 f (x)从-1 到 -0.9 的平均变化率为( ) A.3 B.0.29 C.2.09 D.2.9 - 2 - 1.1.2 瞬时变化率——导数 专题 1 导数的概念 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 如果质点 A 按照规律 s=3t2 运动,则在 t0=3 时的瞬时速度为( ) A.6 B.18 C.54 D.81 2. 设在 10 米跳台上,运动员跳离跳台时竖直 向上的速度为 35 3 m/s. 运动员在时刻 t 距离 水面的高度 235 1( ) 10 3 2 h t t gt? ? ? . 其中,g 为重力加速 度, 210m / sg ? . 则运动员在入水时的(瞬时) 速度是 . 3. 如图,函数 ( )f x 的图象是折线段 ABC , 其中 A B C, , 的坐标分别为 (0 4) (2 0),, , , (6 4), ,则 ( (0))f f ? ; 0 (1 ) (1) lim x f x f x? ? ? ? ? ? ? . (用数字作答) 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 3 - 专题 2 导数的几何意义 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 如果曲线 y=f (x)在点(x0,f (x0))处的切线 方程为 x+2y-3=0,那么( ). A.f ′(x0)>0 B.f ′(x0)<0 C.f ′(x0)=0 D.f ′(x0)不存在 2. 已知曲线 y=f (x)在 x=5处的切线方程是 y =-x+8,则 f (5)及 f ′(5)分别为( ). A.3,3 B.3,-1 C.-1,3 D.-1,-1 3. 已知函数 y=x3-3x2+1 的导函数为 y=3x2-6x,则曲线 y=x3-3x2+1 在点 (1,-1)处的切线方程为__________. 4. 函数 f (x)的图象如图所示,下列数值排序 正确的是( ) A. 0< (2)f ? < (3)f ? < (3) (2)f f? B. 0< (3)f ? < (3) (2)f f? < (2)f ? C. 0< (3)f ? < (2)f ? < (3) (2)f f? D. 0< (3) (2)f f? < (2)f ? < (3)f ? 5. 若函数 ( )y f x? 的导函数...在区间 [ , ]a b 上是增函数,则函数 ( )y f x? 在区 间[ , ]a b 上的图象可能是( ) 6. 若函数 ( )y f x? 的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 2y x? ? , 则 (1) (1)f f ?? ? . 7. 已知曲线方程为 2y x? ,求过 (3,5)B 点且 与曲线相切的直线方程. 8. (1)求函数 3y x? 在点 (2,8)处的切线方 程; (2)过点 (2,8)且与函数 3y x? 图象相切 的直线方程. 9. 求曲线 12)( 3 ??? xxxf 在点(1,4)处的切 线方程. - 4 - 10. 函数 ( )f x 的图象如图所示,则( ) A.0 3 (3) 3 (6) (6) (3)f f f f? ?? ? ? ? B.0 3 (6) (6) (3) 3 (3)f f f f? ?? ? ? ? C.0 3 (6) 3 (3) (6) (3)f f f f? ?? ? ? ? D.0 (6) (3) 3 (3) 3 (6)f f f f? ?? ? ? ? 11. 研究下面函数在 0x ? 处的导数,并回答问 题: (1) 2 , 0 ( ) , 0 x x f x x x ? ? ? ? ?? (2) 1 3 3,y x y x? ? 问题 1:连续函数一定存在导数吗? 问题 2:在一点存在切线,则一定存在导数吗? 12. 研究下面问题,并回答问题: (1)和曲线只有一个公共点的直线是否就是切 线? (2)切线是否与曲线只有一个公共点? y A B 63 xO 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 5 - 1.2 导数的运算 1.2.1 常见函数的导数 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 若函数 f (x)= x,则 f ′(1)等于( ) A.0 B.- 1 2 C.2 D. 1 2 2. 已知 f(x)=x α,若 f ′(-1)=-2, 则 α的值等于( ) A.2 B.-2 C.3 D.-3 3. 抛物线 y=x2 在点(2,4)处的切线方程 是 . 4. 求函数 y=2x 和 y=log2x 的导数. 5. 设 ? ?0 sinf x x? , ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 2 1, ,f x f x f x f x? ?? ? ? ? ? ?1, n nf x f x? ?? ,n?N, 则 ? ?2013f x 等于( ). A. sin x B. sin x? C. cos x D. cos x? - 6 - 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 求下列函数的导数: (1)y= x3+ log2x; (2)y=2x3-3x2-4; (3)y=3cosx-4sinx; (4)y=xnex; (5)y= 3 1 sin x x ? . 2. 求导: 3 23( ) ( 1) 1 3 2 a f x x x a x? ? ? ? ? 2 2 2( ) 4( ) ( )f x x r r x? ? ? 3. 求导: 2 2 2 1 ( ) 1 ax a f x x ? ? ? ? ? ? 2 1 1 x f x x ? ? ? ? 5 7 9x x x y x ? ? ? 4. 求导: ? ? ? ?2 1 1 ln 2 f x x ax a x? ? ? ? ? ? ? ?ln 1f x x x ax? ? ? x x xf ln )( ? 5. 求导: 2 e ( ) x g x x k ? ? 2( ) e ( 1)xf x ax x? ? ? 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 7 - 1.2.3 简单复合函数的导数 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 求下列函数的导数: (1)y=(2x+3) 2; (2) 1y x? ? ; (3) y=sin(πx+? )(其中 π,?均为常数); (4) y=2xsin(2x+5); (5)y=2e -x ; (6)y=e -0.05x+1 . 2. 求导: 1 ( ) ln( 1) 1 x f x ax x ? ? ? ? ? 3. 求下列函数的导数 (1) tany x? (2) 4 4sin cos 4 4 x x y ? ? (3) 2sin (1 2cos ) 2 4 x x y ? ? ? 4. 求下面函数的导数: (1) 23 cosy x x x? ? ; (2) 2 sin x y x ? ; (3) 2( ) sinf x x? ; (4) 2 e ln 3 x y x ? ? . 5. 求下面函数的导数: (1) 2 1 siny x ? ; (2) 2sin (2 ) 3 y x ? ? ? ; (3) sine xy ? ; (4) 5xy a? . - 8 - 导数几何意义及求导习题课(1.1~1.2 复习) (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 求下列函数的导数: (1)y=x(x2+ 1 x + 1 x 3); (2)y=( x+1)( 1 x -1); (3)y=sin4 x 4 +cos4 x 4 ; (4)y= 1+ x 1- x + 1- x 1+ x . 2. 求下列函数的导数: (1)y=xsin2x; (2)y=ln(x+ 1+x2). 3. 已知曲线 y= 2 4 x -3lnx的一条切线的斜率 为 1 2 ,则切点的横坐标为( ) A.3 B.2 C.1 D. 1 2 4. 已知函数 2( ) e ( ) 4xf x ax b x x? ? ? ? , 曲线 y = f (x)在点(0,f (0))处切线方程为 y = 4x+4,求 a,b 的值. 5. 设 ? ? ? ? 2 5 6lnf x a x x? ? ? ,其中 Ra? , 曲线 ? ?y f x? 在点(1,f (1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6),求 a 的值. 6. 过点(1,1)作曲线 3y x? 的切线,则切线 方程为 . 7. 设函数 ( )f x 是 R 上以 5 为周期的可导偶 函数,则曲线 ( )y f x? 在 5x ? 处的切线的斜 率为( ) A. 1 5 ? B.0 C. 1 5 D.5 8. 已知函数 π ( ) ( )cos sin 4 f x f x x?? ? , 则 π ( ) 4 f ? __________. 9. 已知函数 ? ?f x 在R 上满足 ? ? 22 cos sin 2 2 f x f x x x ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ,则曲线 ? ?y f x? 在 4 x ? ? 处的导数 4 f ?? ? ?? ? ? ? = 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 9 - ________. 10. 求下面函数的导数: (1) 2 2 e ln e 1 x x y ? ? ; (2) 1 ( ) ln 1 x f x x ? ? ? ; (3) 5 1 x y x ? ? ; (4) 2 2(2 3) 1y x x? ? ? . 11. 求 = xy x 的导数. 12. 计算 (arcsin )x ' . - 10 - 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 单调性 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 判断下列函数的单调性,并求出单调区 间: (1)f (x)= x 3 +3x; (2)f (x)= x 2-2x-3; (3)f (x)= sinx-x,x∈(0,π); (4)f (x) =2x 3 +3x 2-24x+1. 2. 如下图,水以恒速(即单位时间内注入水的 体积相同)注入下面四种底面积相同的容器 中,请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象. 3. 求函数 2 2( ) 4( 1) (1 )f x x x? ? ? 的单调区 间. 4. 求函数 ( ) 2sin , (0,2 )f x x x x? ? ? ? 的单 调区间. 5. 求函数 2 2 1 ( ) 2 x f x x x ? ? ? 的单调区间. 6. 求函数 e ( ) 1 x g x x ? ? 的单调区间. 7. 求函数 ( ) ln (2 1)f x x x x? ? ? 的单调区间. 8. 求函数 1 ( ) ln 6f x x x x ? ? ? ? 的单调区间. 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 11 - 9. 研究函数 ( ) ,( , , 0) b f x ax a b ab x ? ? ? ?R 在 (0, )?? 上的单调性. 10. 已知函数 3 2( )f x px qx rx s? ? ? ? 的部分 图象如图所示,试问 2, , , , 3p q r s q pr? 的符号 能判定吗?有几个是正的? 11. 求函数 32 )1( xxy ?? 的单调区间. - 12 - 抽象函数单调性与导数 1. 已知函数 y= f ′(x)的图象如图所示,那么函 数 f (x)的图象最有可能的是( ) 2. 如果函数 ( )y f x? 的图象如左下图,那么 导函数 '( )y f x? 的图象可能是( ) 3. 若函数 ( )y f x? 在 R 上可导且满足不等 式 ( ) ( ) 0xf x f x? ? ? 恒成立,且常数 a, b 满足 a b? ,则下列不等式一定成立的是( ) A. ( ) ( )af a bf b? B. ( ) ( )af b bf a? C. ( ) ( )af a bf b? D. ( ) ( )af b bf a? 4. 若 ( ) ( ) ex f x F x ? 是定义在 R 上的函数,其 中 ( )f x 的导函数 ? ?f x? 满足 ? ? ( )f x f x? ? 对 任意的 x?R恒成立,则( ) A. ? ? ? ?3 ln 2 2 ln3f f? B. ? ? ? ?3 ln 2 2 ln3f f? C. ? ? ? ?3 ln 2 2 ln3f f? D. ? ? ? ?3 ln 2 ,2 ln3f f 大小不确定 5. 对于 R 上可导的任意函数 ( )f x ,若满足 ( 1) ( ) 0x f x?? ? ,则必有( ) A. ? ? ? ? ? ?0 2 2 1f f f? ? B. ? ? ? ? ? ?0 2 2 1f f f? ? C. ? ? ? ? ? ?0 2 2 1f f f? ? D. ? ? ? ? ? ?0 2 2 1f f f? ? 6. 函数 ( )f x 的定义域为 R, ? ?1 2f ? ? , 对任意 x?R, ( ) 2f x? ? ,则 ( ) 2 4f x x? ? 的解集为( ) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞) ——————————————————— 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 13 - 1.3.2 极大值与极小值 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 求函数 3 1 ( ) 4 4 3 f x x x? ? ? 的极值. 2. 已知 f (x)的定义域为 R, f (x)的导函数 ( )f ' x 的图象如图所示,则( ) A. f (x)在 x=1 处取得极小值 B. f (x)在 x=1 处取得极大值 C. f (x)是 R 上的增函数 D. f (x)是 ( ,1)?? 上的减函数, (1,+ )? 上的 增函数 3. 函数 f (x)的定义域为开区间(a,b),导函 数 ( )f ' x 在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f (x)在开区间(a,b)内有极小值点( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4. 定义在 R 上的可导函数 f (x) ,已知 ( )e f xy ?? 的图象如图所示,则 y=f (x)的单调 性如何?有极值点吗? 5. 求函数 2xy x? ? 的极值. 6. 函数 3 2 2( ) 3 3 1f x x a x ax? ? ? ? 在 1x ? 处取得极值,求实数 a的值. - 14 - 1.3.3 最大值与最小值 1. 函数 y=x3+x2-x+1 在区间[-2,1]上的 最小值为( ) A. 22 27 B.2 C.-1 D.-4 2. 设函数 f (x)=ln(2x+3)+x2.求 f (x)在区间 3 1 [ , ] 4 4 ? 上的最大值和最小值. 3. 若函数 f (x)= x x 2+a (a>0)在[1,+∞)上的最 大值为 3 3 ,则 a 的值为________. 4. 已知函数 3 2( ) 4f x x ax? ? ? ? 在 2x ? 处 取得极值,若 , [ 1,1]m n? ? ,则 f(m)+f '(n)的 最小值是( ) A.-13 B.-15 C.10 D.15 5. 若函数 3( ) 4f x ax bx? ? ? , 当 2x ? 时, 函数 ( )f x 有极值 4 3 ? . 求函数 ( )f x 的解析 式,并求出在区间[ 3,5]? 上的最值. 6. 已知函数 xxxf ln 2 1 )( 2 ?? . (1)求函数 ( )f x 在区间 [1, e]上的最大值、最小 值; (2)求证:在区间 (1, )?? 上,函数 ( )f x 的图象在 函数 3 3 2 )( xxg ? 的图象的下方. 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 15 - 含参函数的单调区间、极值问题 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 若函数 y=x3-ax2+4 在(0,2)内单调递 减,则实数 a 的取值范围是_________. 2. 已知 y= 1 3 x 3+bx2+(b+2)x+3 在 R 上是 单调增函数,则 b 的范围为_________. 3. 已知函数 1 ( ) ln 1 a f x x ax x ? ? ? ? ? (a∈R),讨论 ( )f x 的单调性. 4. 已知函数 21( ) (2 1) 2 ln ,( ) 2 f x x a x a x a? ? ? ? ?R , 求 ( )f x 的单调区间和极值. 5. 已知函数 21( ) 2 2 ln ,( ) 2 f x x ax a x a? ? ? ?R , 求 ( )f x 的单调区间(和极值). 6. 已知函数 21( ) (2 1) 2ln ,( ) 2 f x ax a x x a? ? ? ? ?R , 求 ( )f x 的单调区间. 7. 已知函数 21( ) 2 ln ,( ) 2 f x ax x a x a? ? ? ?R , 求 ( )f x 的单调区间. 8. 设函数 )1ln()1()( ???? xaaxxf ,其中 1??a . 求 )(xf 的单调区间. - 16 - 变量分离法巧解导数含参问题 1. 已知 Ra? ,函数 1 ( ) lnf x x ax x ? ? ? . (Ⅰ)当 0a ? 时,求 ( )f x 的最小值; (Ⅱ)若 ( )f x 在区间[2, )?? 上是单调函数,求 a 的取值范围. 2. 若函数 ( ) lnf x ax x? ? 在区间 (2,4)单调 递增,则 a 的取值范围是( ) A. 1 (0, ) 2 B. 1 [ , ) 2 ?? C. 1 ( , ] 2 ?? D.[1, )?? 3. 已知函数 ( ) lnf x ax x? ? ,若 ( ) 1f x ? 在 区间(1,+∞)内恒成立,则实数 a 的取值 范围是 . 4. 已知函数 3 2( ) 2 4f x x x x? ? ? ? , 2( ) 8g x ax x? ? ? . (1)求函数 ( )f x 的极值; (2)若对任意的 [0, )x? ?? 都有 )()( xgxf ? ,求实数 a 的取值范围. 5. 已知函数 3 2( ) 1f x x ax x? ? ? ? , Ra? . (1)设函数 ( )f x 在区间 ) 3 1 , 3 2 ( ?? 内是减函数, 求 a 的取值范围. (2)设函数 ( )f x 在区间 2 1 ( , ) 3 3 ? ? 内是增函数, 求 a 的取值范围. 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 17 - 利用导数研究不等式问题 1. 求证 x-1≥ ln x x . 2. 设函数 2 2( ) 2 1( 0)Rf x t x t x t x t? ? ? ? ? ?, . (Ⅰ)求 ( )f x 的最小值 ( )h t ; (Ⅱ)若 ( ) 2h t t m? ? ? 对 (0 2)t? , 恒成立, 求实数m 的取值范围. 3. 设函数 3 2 3 ( ) ( 1) 1 3 2 a f x x x a x? ? ? ? ? , a?R . (1)函数 ( )f x 在 1x ? 处能取得极小值吗? 为什么? (2)已知不等式 2( ) 1f x x x a? ? ? ? ? 对 ? a?(0,+? )都成立,求实数 x的取值范围. 4. 当 x > 0 时,求证: 21 2 e xx? ? . 5. 证明 (1)当 0x ? 时, 2 ln(1 ) 2 x x x ? ? ? ; (2) 19 2 9 1 ( ) 10 e ? . - 18 - 6. 若 ln 2 2 a ? , ln3 3 b ? , ln5 5 c ? ,则( ) A. cba ?? B. c b a? ? C. bac ?? D. b a c? ? 7. 已知函数 ( ) lnf x x x? . (Ⅰ)求 ( )f x 的最小值; (Ⅱ)若对所有 1x ? 都有 ( ) 1f x ax? ? , 求实数a 的取值范围. 8. 已知函数 ( ) lnf x x x? . (Ⅰ)求函数 ( )f x 在[1,3]上的最小值; (Ⅱ)若存在.. 1 [ ,e] e x? ( e 为自然对数的底 数)使不等式 22 ( ) 3f x x ax? ? ? ? 成立, 求实数a 的取值范围. 9. (1)若 1??x , 证明: 1 1 ln( 1) 1 x x x ? ? ? ? ? ; (2)求证: 1 100e 1.01? ( e 2.71828? ???是自然 对数的底数). 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 19 - 利用导数研究函数零点问题 1. 已知函数 f (x)= x3+2x2 +x+a 有三个零点, 求 a 的取值范围. 2. 已知函数 f (x)= -x2+8x,g(x)=6lnx+m,是 否存在实数 m,使得 y=f (x)的图象与 y=g(x) 的图象有且只有三个不同的交点?若存在, 求出 m 的取值范围,若不存在,说明理由. 3. 函数 ( ) lnf x ax x? ? 有几个零点? 4. 已知 2 2 ( ) ( ) 2 x a f x x x ? ? ? ? R 在区间[ 1, 1]? 上是增函数. (1)求实数a 的值所组成的集合 A; (2)设关于 x 的方程 x xf 1 )( ? 的两个根为 1 2x x、 ,试问:是否存在实数 m ,使得不等式 2 1 21 | |m tm x x? ? ? ? 对任意 Aa? 及 [ 1, 1]t? ? 恒成立?若存在,求出m 的取值范围;若不存 在,请说明理由. - 20 - 1.4 导数在实际生活中的应用 1. 某厂生产某种产品 x 件的总成本: C (x)=1200+ 2 75 x 3,又产品单价的平方与产 品件数 x 成反比,生产 100 件这样的产品的 单价为 50 元,总利润最大时,产量应定为 ( ) A.25 件 B.20 件 C.15 件 D.30 件 2. 一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立 方成正比.已知速度为每小时 10 千米时,燃 料费是每小时 6 元,而其它与速度无关的费 用是每小时 96 元,问轮船的速度是多少时, 航行 1 千米所需的费用总和为最小? 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 21 - 1.5 定积分 1.5.1 曲边梯形的面积 (知识梳理部分请听视频讲解) 无对应题目 ——————————————————— 请在简单课堂扫码或输入 ID 听名师视频课 - 22 - 1.5.2 定积分 专题 1 定积分的概念 (知识梳理部分请听视频讲解) 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 23 - 专题 2 定积分的简单应用 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 求定积分 1 2 1 1 dx x ? ?? . 2. 一物体以速度 v=(3t 2+2t)m/s 做直线运 动,则它在 t=0s 到 t=3s 时间段内的位移是 ( ). A.31m B.36m C.38m D.40m 3. 由曲线 y=x2,y=x3围成的封闭图形面积 为( ). A. 1 12 B. 1 4 C. 1 3 D. 7 12 4. 3 2 2 16 6 dx x x ? ? ? ?? ___________. - 24 - 1.5.3 微积分基本定理 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 计算下列定积分: (1) 2 1 1 dx x? ; (2) 3 21 1 (2 ) dx x x ?? . 2. 计算下列定积分: (1) π 4 π 6 cos2 dx x? ; (2) 2 3 2 1 ( ) dx x x ?? ; (3) π 2 0 (3 sin ) dx x x?? ; (4) e d b x a x? . 3. 2 3 0 | 4 | dx x?? =( ) A. 21 3 B. 22 3 C. 23 3 D. 25 3 4. 如图所示,阴影部分的面积是( ). A.2 3 B.2- 3 C. 32 3 D. 35 3 5. 计算下列定积分: (1) 2 0 ( 1)dx x x?? ; (2) 2 21 1 1 ( )dx x x ?? ; (3) 2 0 (e 2sin )d 2 x x x ? ?? . 6. 计算下列定积分: (1) 2 0 | sin | dx x ? ? ; (2) 2 2 0 | 1| dx x?? . 7. 曲线 cosy x? ( 3 0 2 x ? ? ? )与坐标轴所围 成的面积是( ) A. 2 B. 3 C. 5 2 D. 4 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 25 - 8. 如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中 任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概 率为( ) A. 1 4 B. 1 5 C. 1 6 D. 1 7 9. 求抛物线 2 2y x? 与直线 4y x? ? 围成的 平面图形的面积. 10. 定积分 1 0 (2 e )dxx x?? 的值为( ) A. e+2 B. e+1 C. e D. e-1 11. 若 1 2 0 ( ) 2 ( )df x x f x x? ? ? , 则 1 0 ( )df x x ?? ( ) A. 1? B. 1 3 ? C. 1 3 D. 1 12. (1)求曲线 exy ? 、 e xy ?? 及 1x ? 所围成 的图形面积; (2)求抛物线 2y x? 与直线 2 3 0x y? ? ? 所 围成的平面图形的面积 S . 13. 如图,点 A的坐标为 (1,0) ,点C 的坐标 为 (2,4),函数 ? ? 2f x x? ,若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率 等于 . 14. 如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥 沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型,则 原始的最大流量与当前最大流量的比值 为 . 15. 已知函数 ( )y f x? 的图象是折线段 ABC ,其中 (0,0)A 、 1 ( ,5) 2 B 、 (1,0)C ,函 数 ( )y xf x? ( 10 ?? x )的图象与 x轴围成 的图形的面积为 . - 26 - 导数及其应用知识串讲 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 设 ( ), ( )f x g x 是 R 上的可导函数, f '(x), g '(x)分别为 ( ), ( )f x g x 的导函数, 且 ( ) ( ) ( ) ( ) 0f ' x g x f x g ' x? ? ? ? , 则当 a x b? ? 时,有( ) A. ( ) ( ) ( ) ( )f x g b f b g x? B. ( ) ( ) ( ) ( )f x g a f a g x? C. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f b g b? D. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f a g a? 2. 曲线 1 2e x y ? 在点(4,e2)处的切线与坐标轴 所围三角形的面积为( ) A. 2 9 e 2 B. 24e C. 22e D. 2e 3. 下面四图都是同一坐标系中某三次函数及 其导函数的图象,其中一定不正确.....的序号是 ( ) A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④ 4. 函数 3 2 1 1 ( ) 2 3 2 f x x ax bx? ? ? ,极大值点 在(0,1)内,极小值点在(1,2)内,则 2 1 b a ? ? 的 取值范围是___________. 5. 若 2 2 2 2 1 2 3 1 1 1 1 d , d , e d ,xS x x S x S x x ? ? ?? ? ? 则 1 2 3, ,S S S 的大小关系为( ) A. 1 2 3S S S? ? B. 2 1 3S S S? ? C. 2 3 1S S S? ? D. 3 2 1S S S? ? 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 27 - 导数及其应用综合检测(上)(本章复习) 1. 已知函数 ( ) lnf x x x? , 2 ( ) e ex x g x ? ? . 求 证:对任意 , (0, )m n? ?? ,都有 ( ) ( )f m g n? . 2. 已知函数 2 ln , , ( ) 2 3, , x x x a f x x x x a ??? ? ? ? ? ? ??? 其 中 0a ? . (1)当 0a ? 时,求函数 ( )f x 的图象在点 (1,f(1))处的切线方程; (2)如果对于任意 1 2,x x ?R ,且 1 2x x? , 都有 1 2( ) ( )f x f x? ,求 a 的取值范围. 3. 已知函数 1 2 e ( ) 4 4 x f x ax x ? ? ? ? ,其中 a?R . (1)若 0a ? ,求函数 ( )f x 的极值; (2)当 1a ? 时,试确定函数 ( )f x 的单调区间. 4. 已知曲线 : eaxC y ? . (1)若曲线 C 在点 (0,1) 处的切线为 2y x m? ? , 求实数 a 和m 的值; (2)对任意实数 a ,曲线C 总在直线 l : y ax b? ? 的上方,求实数b 的取值范围. 5. 已知函数 ( ) ln (1 )f x x a x? ? ? . (1)讨论 ( )f x 的单调性; (2)当 ( )f x 有最大值,且最大值大于2 2a ? 时, 求 a 的取值范围. - 28 - 6. 设 1a ? ,不等式 ( )lnx a x x? ? ? 对 [e, )x? ? ?? 成立,求a 的取值范围. 7. 已知函数 ( ) e ln( )xf x x m? ? ? . (Ⅰ)设 0x ? 是 ( )f x 的极值点,求m ,并讨 论 ( )f x 的单调性; (Ⅱ)当 2m ? 时,证明 ( ) 0f x ? . 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 29 - 导数及其应用综合检测(下)(本章复习) 1. 已知函数 ( ) ln a f x x x ? ? ( 0)a ? . (Ⅰ)求 ( )f x 的单调区间; (Ⅱ)如果 0 0( , )P x y 是曲线 ( )y f x? 上的任 意一点,若以 0 0( , )P x y 为切点的切线的斜率 1 2 k ? 恒成立,求实数 a 的最小值; (Ⅲ)讨论关于 x的方程 的实根情况. 2. 设函数 2 e ( ) 1 ax f x x ? ? , Ra? . (Ⅰ)当 3 5 a ? 时,求函数 )(xf 的单调区间; (Ⅱ)设 ( )g x 为 ( )f x 的导函数,当 1 [ ,2e] e x? 时,函数 ( )f x 的图象总在 ( )g x 的图象的上方, 求 a 的取值范围. 3. 已知 ? ? 2 1 ( ) ln , 2 f x x g x x a? ? ? ( a 为常 数),直线 l 与 ? ? ? ?,f x g x 的图象都相切,且 l 与 ? ?f x 的切点横坐标为 1. (1)求 l 的方程及 a 的值; (2)当 0k ? 时,讨论 ? ? ? ?21f x g x k? ? ? 的 解的个数. 4. 已知函数 ( ) ( )exf x x a? ? ,其中 e 是自然 对数的底数,a?R . (1)求函数 ( )f x 的单调区间; (2)当 1a ? 时,试确定函数 g(x)=f(x-a)-x2 的零点个数,并说明理 由. 5. 在区间[0,1]上给定曲线 2y x? .试在此区 间内确定点 t 的值,使图中的阴影部分的面 积 1S 与 2S 之和最小, 并求最小值. - 30 - 6. 设函数 2 e 2 ( ) ( ln ) x f x k x x x ? ? ? ( k 为常 数, e 2.71828? ???是自然对数的底数). (Ⅰ)当 0k ? 时,求函数 ( )f x 的单调区间; (Ⅱ)若函数 ( )f x 在 (0,2) 内存在两个极值 点,求 k 的取值范围. 7. 设函数 2 ( ) ln 2 x f x k x? ? , 0k ? . 证明:若 ( )f x 存在零点,则 ( )f x 在区间 (1, e]上仅有一个零点. 8. (1)设 Nn ?? ,证明: 1 e e 1k nn k n? ? ? ?? ? ?? ? ? ( e 2.71828? ???是自然对数的底数); (2)设n ??N , 求证: 2 1 1 1 (1 )(1 ( ) ) (1 ( ) ) e 2 2 2 n? ? ??? ? ? ? ? ? . 9. 设函数 2( ) ln( 1) ( )f x x a x x? ? ? ? ,其中 Ra? . (Ⅰ)讨论函数 ( )f x 极值点的个数,并说 明理由; (Ⅱ)若 0x? ? , ( ) 0f x ? 成立,求 a 的取 值范围. 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 31 - 第 2 章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理 专题 1 归纳推理 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 已知数列{an}的第一项 a1=1,且 1 ( 1, 2, 3, ) 1 n n n a a n a ? ? ? ? … , 试归纳出这个数列的通项公式. 2. 观察下列由火柴杆拼成的一列图形中, 第 n 个图形由 n 个正方形组成: 通过观察可以发现:第 4 个图形中,火柴 杆有 根;第 n 个图形中,火柴杆有 ____根. 3. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n 2 an (n≥2),而 a1=1,通过计算 a2,a3,a4, 猜想 an 等于( ) A. 2 (n+1)2 B. 2 n(n+1) C. 2 2 n-1 D. 2 2n-1 4. 在△ABC 中,不等式 1 A + 1 B + 1 C ≥ 9 π 成立, 在四边形 ABCD 中,不等式 1 A + 1 B + 1 C + 1 D ≥ 16 2π 成立,在五边形 ABCDE 中,不等式 1 A + 1 B + 1 C + 1 D + 1 E ≥ 25 3π 成立,猜想在 n 边形 A1A2…An 中,有怎样的不等式成立? 5 . 观 察 下 列 等 式 : 3 3 21 2 3? ? , 3 3 3 21 2 3 6? ? ? , 3 3 3 3 21 2 3 4 10? ? ? ? , ,根据上述规律,第五个等式为_______. 6. 观察式子: 2 1 3 1 2 2 ? ? , 2 2 1 1 5 1 2 3 3 ? ? ? , 2 2 2 1 1 1 7 1 2 3 4 4 ? ? ? ? 则可以归纳出: ? ? 22 2 2 1 1 1 1 1 2 3 4 1n ? ? ? ? ? ? ? ________. 7. 观察 2( ) 2x x? ? , 4 3( ) 4x x? ? , (cos )x ? ? sin x? ,由归纳推理可得:若定义 在 R 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( ),f x f x? ? 记 ( )g x 为 ( )f x 的导函数,则 ( )g x? 等于( ) A. ( )f x B. ( )f x? C. ( )g x D. ( )g x? 8. 观察 (1) tan10 tan 20 tan 20 tan60 tan60 tan10 1 ? ? ? , (2) tan5 tan10 tan10 tan75 tan75 tan5 1.? ? ? 由以上两式成立,推广到一般结论. - 32 - 9. 已知: 2 2 2 3sin 30 sin 90 sin 150 2 ? ? ? , 2 2 2 3sin 5 sin 65 sin 125 2 ? ? ? . 观察上述两等式的规律,请你写出一般性的 命题. 10. 推测 ????? ????? 212 22221111 个个 nn ? . 11. 观察下列等式: 2 1 1 1 2 2 n i i n n ? ? ?? 2 3 2 1 1 1 1 3 2 6 n i i n n n ? ? ? ?? 3 4 3 2 1 1 1 1 4 2 4 n i i n n n ? ? ? ?? 4 5 4 3 1 1 1 1 1 5 2 3 30 n i i n n n n ? ? ? ? ?? 5 6 5 4 2 1 1 1 5 1 6 2 12 12 n i i n n n n ? ? ? ? ?? 6 7 6 5 3 1 1 1 1 1 1 7 2 2 6 42 n i i n n n n n ? ? ? ? ? ?? , ………………………………… 1 1 1 1 1 1 0 n k k k k k k k i i a n a n a n a n a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……………………………… 可以推测,当 k ≥3(k∈N*)时, 1ka ? ? ; ka ? , 1ka ? ? ; 2ka ? = . 12. 数列 0 1 2a a a ? ? ?, , , 满足: 0 1 1 3 [ ] { } n n n a a a a ?? ? ?, ( [ ]na 与{ }na 分别表示 na 的整数部分和小 数部分),则 2008a ? _____________. 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 33 - 专题 2 类比推理 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 圆的概念和性质 球的类似概念和性质 圆的周长 圆的面积 圆心与弦(非直径)中 点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的两 弦相等,与圆心距离不 等的两弦不等,距圆心 较近的弦较长 以点(x0,y0)为圆心, r 为半径的圆的方程为 (x-x0) 2 +(y-y0) 2=r2 2. 若数列{an}是等差数列,对于 bn= 1 n (a1 +a2+…+an),则数列{bn}也是等差数列.类 比上述性质,若数列{cn}是各项都为正数的 等比数列,对于 dn > 0,则 dn=________时, 数列{dn}也是等比数列. 3. 已知扇形的弧长为 l ,半径为 r ,类比三 角形的面积公式: 1 2 S ? 底×高,可推知扇形 的面积公式:______________. 4. 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间中四面体性质的猜想. 5. 已知等差数列? ?na 中, 10 0,a ? 则有 a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(1 19n? ? , +n?N ). 若等比数列? ?nb 中, 15 1b ? ,类比 等差数列? ?na ,成立的一个等式 . 6. 类比实数的加法和向量的加法,从相加 的结果是否为实数(向量),以及运算律、逆 运算、0 与0 (零向量)几个方面考虑,列出它 们相似的运算性质. - 34 - 7. 如图,在梯形 ABCD 中,AB / / DC,AB=a, DC=b(a>b).若 EF / / AB,EF 到 CD 与 AB 的 距 离 之 比 为 m:n , 则 可 推 算 出 : ma nb EF m n ? ? ? .试用类比的方法,推想出下 述问题的结果:在上面的梯形 ABCD 中,延 长梯形两腰 AD,BC 相交于 O 点,设△ OAB, △ OCD 的面积分别为 1 2,S S ,EF / / AB 且 EF 到 CD 与 AB 的距离之比为 m:n,则△ OEF 的面积 S 与 1 2,S S 的关系是 . 8. 过曲线 2 2 2x y r? ? 上的点 M 0 0( , )x y 的切线 l 的方程为 2 0 0x x y y r? ? .求过曲线 2 2 2 2 1 x y a b ? ? ( 0)a b? ? 上的点 M 0 0( , )x y 的切线的方 程. 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 35 - 2.1.2 演绎推理 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. “∵四边形 ABCD 是矩形,∴四边形 ABCD 的对角线相等”,补充以上推理的大前 提是( ) A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 2. 以下推理过程省略的大前提为: . ∵a2 +b2 ≥ 2ab,∴2(a2+b2) ≥ a2+b2+2ab. 3. 求函数 y= log2x-2的定义域时,第一 步推理中大前提是 a有意义时,a ≥ 0,小前 提是 log2x-2有意义,结论是________. 4. 将“函数 2xy ? 在 R 上单调递增”写成三段 论的形式. 5. 下列推理的两个步骤分别遵循哪种推理 规则? 因为直线 a⊥平面? ,直线 b⊥平面? , 所以 a∥b; 又因为 b∥c,所以 a∥c. 6. 证明函数 8 5 2( ) 1f x x x x x? ? ? ? ? 的值 恒为正数. 7. 已知函数 1 2 2 n n n x x x ? ? ? (n∈N+), 1 4x ? . (1)记 2 lg 2 n n n x a x ? ? ? . 证明:数列 }{ na 成等 比数列,并求数列{ }nx 的通项公式; (2)若 2n nb x? ? , nT 是数列 }{ nb 的前 n项 和,证明 3nT ? . 8. 在1,2,3, ,2012中取一组数,使得任意 两数之和不能被其差整除,最多能取多少个 数? 9. 对任意? ,求 632cos cos6 6cos4 15cos2? ? ? ?? ? ? 的值. - 36 - 10. P 为曲线C : 2 2 1 4 12 x y ? ? ( 0)x ? 上的 动点, )0,2(?A ,F 是C 的焦点,是否存在 实数?,使得 PAFPFA ??? ? 恒成立?若 有,求出?的值,若没有,说明理由. F P O A x y 11. 在 ABC? 中, 求 sin sin siny A B C? ? ? 的最大值. 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 37 - 2.1.3 推理案例赏析 (无对应知识及题目) 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 直接证明 专题 1 综合法 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 已知 a,b>0, 求证 a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 2. 给出下列不等式: ①a > b > 0,且 a2+ b 2 4 =1,则 ab > a2b2; ②a,b∈R,且 ab < 0,则 a 2+b2 ab ≤ -2; ③a > b > 0,m > 0,则 a+m b+m > a b ; ④? ? ? ?x+ 4 x ≥ 4 ( x ≠ 0). 其中正确不等式的序号为 . 3. 设 a > 0,b > 0,a+b=1. 求证: 1 a + 1 b + 1 ab ≥ 8. 4. 1?求证: 2 2 2 ( ) 2 a b a b? ? ? ; 2?求证: 2 2 2 2a b b c? ? ? 2 2 2(c a a b c? ? ? ? ? ); 3?若 a + b = 1,求证: 1 1 2 2 2 a b? ? ? ? . 5. 设 a > 0, b > 0,且 a + b = 1, 求证: 2 25 ) 1 () 1 ( 22 ???? b b a a . 6. 若 ? ?3sin sin 2? ? ?? ? , 求证: ? ?tan 2tan? ? ?? ? . - 38 - 7. 1 2 3, , ,a a a 是一个递增的正等差数列, , ,k l m和 n 是给定的正整数,已知 ka 与 la 的 几何平均大于 ma 与 na 的算术平均,求证: 2 k l mn ? ? . 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 39 - 专题 2 分析法 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 求证 3 7 2 5? ? . 2. 如果 a a+b b>a b+b a,则实数 a、 b 应满足的条件是 . 3. 当 a≥2 时,求证 a+1- a< a-1- a-2. 4. 求证: 1 2 3 4x x x x? ? ? ? ? ? ? ( 4)x ? . 5. 已知 , , ,a b c d ?R,求证: ac bd? ? 2 2 2 2( )( )a b c d? ? . 6. 若 , 0a b ? , 2c a b? ? ,求证: (1) 2c ab? ; (2) c ? 2c ab? a c? ? ? 2c ab? . 7. 设 , ,a b c 是△ ABC 的三边,S 是三角形的 面积,求证: 2 2 2 4 4 3c a b ab S? ? ? ? . 8. 非负实数 4321 ,,, xxxx 满足: )0(,4321 ????? aaxxxx , a 是定值. (1)若 121 ?? xx ,证明: 1111 2121 ??????? xxxx ; (2)求 321 111 xxx ????? 41 x?? 的最小值. - 40 - 2.2.2 间接证明 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 求证 2 是无理数. 2. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少 有一个不大于 60°”时,反设正确的是( ) A.假设三内角都不大于 60° B.假设三内角都大于 60° C.假设三内角至多有一个大于 60° D.假设三内角至多有两个大于 60° 3. 已知直线 a,b 和平面 α,如果 ??a , ??b ,且 / /a b,求证 / /?a . 4. 设0 , , 1a b c? ? ,求证:(1 )a b? ,(1 )b c? , (1 )c a? 不可能同时大于 1 4 . 5. 设 , , ,a b c d 是正有理数, ,c d 是无理 数,求证: a c b d? 是无理数. 6. 设 3 3 2a b? ? ,求证 2a b? ? . 7. 若下列三个方程: 2 4 4 3 0x ax a? ? ? ? , 2 2( 1) 0x a x a? ? ? ? , 2 2 2 0x ax a? ? ? 中至少有一个方程有实根, 试求 a 的取值范围. 8. 是否存在实数 x ,使得 tan 3x ? 和 cot 3x ? 都是有理数? 9. 实数 1 2 2013, , ,a a a 满足 1 2 2013 0,a a a? ? ? ? 1 2 2 3 2013 12 2 2a a a a a a? ? ? ? ? ? . 求证: 1 2 2013 0a a a? ? ? ? . 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 41 - 10. 设有mn 个实数排成一个m 行n 列的 阵列{ } ,ij m na ? 使得每一行上的 n 个数从左 到右都按递增的顺序排列,即对任意 1 i m? ? ,当 1 2j j? 时,有 1 2ij ija a? .下 面把每列上的 m 个数从上到下都按递增的 顺序重排得到阵列 '{ } ,ij m na ? 即对任意 1 j n? ? ,当 1 2i i? 时,有 1 2' ' .i j i ja a? 问 这个新的阵列 '{ }ij m na ? 每一行中的 n 个数的 大小顺序如何?给出结论并说明理由. - 42 - 2.3 数学归纳法 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 对于数列{an},已知 a1 =1,an+1 = 1 n n a a? (n=1, 2, 3,…),求数列的通项公式. 2. 用数学归纳法证明命题: 1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2. 3. 求证:12-22+32-42+…+(2n-1)2- (2n) 2=-n(2n+1)(n∈N*). 4. 求证: 1 2 + 1 3 + 1 4 +…+ 1 1 2n? > n-2 2 (n ≥ 2). 5. 数列{ }na 满足 1a a? , 1 1 2 n n a a ? ? ? . (1)求 2a , 3a , 4a ; (2)猜测通项公式 na ,并证明. 6. 用数学归纳法证明2 4 6? ? 2n? ? 2 1n n? ? ? ( n?N+)时,步骤如下: 假设 n k? 时等式成立, 即 12642 2 ??????? kkk? , 当 1n k? ? 时, 2 4 6 2 2( 1)k k? ? ? ? ? ? 2 1 2( 1)k k k? ? ? ? ? 2 3 3k k? ? ? 2( 2 1) ( 1) 1k k k? ? ? ? ? ? 2( 1) ( 1) 1k k? ? ? ? ? , 所以,原等式成立. 上述证明正确吗?为什么? 7. 用数学归纳法证明1 2 3 n? ? ? ? 1 ( 1) 2 n n? ? ( n?N+)时,步骤如下: (1)当 1n ? 时, 1 1 1 2 2 ? ? ? ,原等式成立; (2)假设当 ( 1)n k k? ? 时,原等式成立, 即 1 1 2 3 ( 1) 2 k k k? ? ? ? ? ? , 当 1n k? ? 时, 1 2 3 1k k? ? ? ? ? ? 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1)[( 1) 1] 2 2 k k k k ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 原命题也成立. 所以,由(1)(2)知原等式对任意n?N+都成立. 上述证明正确吗?为什么? 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 43 - 8. 用数学归纳法证明 3 ( ) ( ) 2 n n n ?? ?N 时, 步骤如下: (1)当 1n ? 时, 3 1 2 ? ,原命题成立; (2)假设当 n k? 时,原命题成立,即 3 ( ) 2 k k? , 当 1n k? ? 时,由归纳假设得 3 3 3 1 ( ) 1 2 2 2 2 k k k k k? ? ? ? ? ? ? , 故此时原命题成立. 所以,由(1)(2)知原命题对 n?N+成立. 上述证明正确吗?为什么? 9. 已知 2( ) 2 1f x x? ? ,数列 { }na 满足 1 1a ? , 1 ( )n na f a? ? (n∈N+). 写出数列{ }na 的前 4 项,并由此归纳出 na 与 n的表达式, 再用数学归纳法证明. 10. 猜想 1 2 ( 1) ( 1)n n n? ? ? ? ? ? ? 2 1 ?? ? ? ? 并 用数学归纳法证明. 11. 求证: 22 3 5 4n n n? ? ? ? 能被 25 整除, 其中 n∈N+. 12. 平面上有 n条直线,其中任何两条都不 平行,任何三条都不共点,求证这 n条直线: (1)被互相分割成 2n 段; (2)把平面分成 2 1 ( 2) 2 n n? ? 个部分. 13. 求证: 1 1 1 5 1 2 3 6n n n ? ? ? ? ? ? ( 2n ? ,n∈N+). 14. 已知数列 }{ nb 是等差数列, ???? 211 ,1 bbb + 10b =100. 设数列{ na }的通项 ) 1 1lg( n n b a ?? ,记 nS 是数列{ na }的前 n 项和. 试比较 nS 与 1lg 2 1 ?nb 的大小,并证明你的结 论. 15. 数列 }{ na 中,前n 项和为 nS , nn pnaSaa ?? ,21 . (1)求 p 的值;(2)确定数列 }{ na 是 否为等差数列或等比数列. - 44 - 16. 已知函数 ( ) sinf x x x? ? ,数列{ na }满 足如下条件: 1 10 1, ( ), 1,2,3, .n na a f a n?? ? ? ? 求证: 10 1n na a?? ? ? . 17. 已知函数 4 1 2 )( 23 ???? x xxxf ,且 存在 0x ∈(0, 1 2 ),使 00 )( xxf ? . 设 1x 0? , )(1 nn xfx ?? ; 2 1 1 ?y , )(1 nn yfy ?? ,其中 1,2,n ? . 求证: nnnn yyxxx ???? ?? 101 . 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 45 - 推理与证明知识串讲及综合检测(本章复习) (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 对于平面几何中的命题:“夹在两条平行 线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类 比上述命题,可以得到命题: “ ”,这个类比命题 是________命题(填“真”或“假”). 2. 用数学归纳法证明不等式 1 1 1 1+ + + + < ( ) 2 3 2 1?n f n (n ? 2, n∈N*)的过程中,从 n = k 到 n = k+1,左端 增加( ) A.1 项 B.k 项 C. 12 ?k 项 D. 2k 项 3. 已知 a1=1,an+1 > an,且(an+1-an) 2-2(an +1+an)+1=0 计算 a2、a3,猜想 an=( ) A.n B.n2 C.n3 D. n+3- n 4. 锐角三角形的面积等于底乘高的一半; 直角三角形的面积等于底乘高的一半;钝角 三角形的面积等于底乘高的一半;所以,凡 是三角形的面积都等于底乘高的一半.以上 推理运用的推理规则是( ) A.三段论推理 B.假言推理 C.关系推理 D.完全归纳推理 5. 半径为 r 的圆的面积 S(r) = πr2,周长 C(r) = 2πr,若将 r 看作(0,+∞)上的变量,则(πr2)′ = 2πr. ①式可用语言叙述为:圆的面积函数 的导数等于圆的周长函数. 对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你 写出类似于①式的式子: ,你所 写的式子可用语言叙述为 . 6. 已知 a、b、c∈R,且 a+b+c = 1. 求证:a2+b2+c2 ≥ 1 3 . 7. 已知数列{an}满足 a1 = 3,an·an-1 = 2·an-1-1. 写出数列{an}的一个通项公式并 证明. 8. 已知函数 f (x) = ax + x-2 x+1 (a > 1). 证明方程 f (x) = 0 没有负根. 9. 已知 2 ( ) ( 1) ( ) 2 f x f x f x ? ? ? , (1) 1f ? ? ?x ??N ,猜想 ? ?f x 的表达式为( ) A. 4 2 2x ? B. 2 1x ? C. 1 1x ? D. 2 2 1x ? 10. 我们把平面几何里相似形的概念推广到 空间:如果两个几何体大小不一定相等,但 形状完全相同,就把它们叫做相似体. 下列 几何体中,一定属于相似体的有( ) ①两个球体;②两个长方体;③两个正四 面体;④两个正三棱柱;⑤两个正四棱椎. A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 11. 在△ ABC 中,E,F 分别为 AB,AC 的中点,则有 EF∥BC,这个问题的大前 提是 . 12. 设 ? ? 2 1 1 1 1 1 2 S n n n n n ? ? ? ? ? ? ? ,则 ? ?S n 共有______项;当 2n ? 时, ? ?2S ? . - 46 - 13. 设 ( )F n 是一个关于自然数 n的命题,若 ( )( )F k k ??N 真,则 ( 1)F k ? 真 . 现已知 (7)F 不真,则有① (8)F 不真;② (8)F 真; ③ (6)F 不真;④ (6)F 真;⑤ (5)F 不真; ⑥ (5)F 真. 其中为真命题的是_______. 14. 对于直角坐标平面内的任意两点 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y ,定义它们之间的一种 “距离”: 2 1 2 1AB x x y y? ? ? ? . 给出下列三个命题: ①若点C 在线段 AB上,则 A B A C C B? ? ; ②在 ABC? 中,若 90C? ? ?,则 2 2 2 A B A C C B? ? ; ③在 ABC? 中, AB AC CB? ? . 其中真命题的个数为( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 15. 已知函数 ( )f x 是 ( , )?? ?? 上的增函数, ,a b?R. (1)证明命题:若 0a b? ? ,则 ( ) ( ) ( ) ( )f a f b f a f b? ? ? ? ? ; (2)判断(1)中命题的逆命题是否成立,并证明 你的结论. 16. 已知函数 ( )( )f n n ??N 满足条件: ① (2) 2f ? ;② ( ) ( ) ( )f xy f x f y? ? ; ③ ( )f n ??N ;④当 x y? 时,有 ( ) ( )f x f y? . (1)求 (1), (3)f f 的值; (2)由 (1), (2), (3)f f f 的值,猜想 ( )f n 的解析式; (3)证明你猜想的 ( )f n 的解析式的正确性. 17. 已知 A,B ,C 是椭圆 2 2: 1 4 x W y? ? 上 的三个点,O 是坐标原点. (1)当点 B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为 菱形时,求此菱形的面积; (2)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC是否可能为菱形,并说明理由. 18. 下面问题的解决,对吗?原因是什么? 已知 14,0,0 ???? baba ,求 ba 11 ? 的最 小值. 1 1 1 2 a b ab ? ?解:第一步: 第二步:上式当且仅当 a=b 时取得“=” 4 1a b? ?第三步:又 1 5 1 1 10 a b a b ? ? ? ? ? 第四步: 第五步: 的最小值是 19. 求证: tan3 是无理数. 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 47 - 20. 定义在闭区间[a, b]上的实值函数 f (x)称为 凸函数是指:对任意的 ],[, 21 baxx ? 以及 ]1,0[?? 恒有: 1 2 1 2[ (1 ) ] ( ) (1 ) ( )f x x f x f x? ? ? ?? ? ? ? ? . 证明:(1)对任意的 ],[, 21 baxx ? 及正实数 p、 q,均有: qp xqfxpf qp qxpx f ? ? ? ? ? )()( )( 2121 ; ( 2 ) 对 任 意 的 ],[,, 321 baxxx ? 且 321 xxx ?? 均有: )()( 123 xfxx ? + )()( 231 xfxx ? + )()( 312 xfxx ? 0? . 21. 设数列 ? ?na 的前 n 项和为 nS .已知 1 1a ? , 2 1 2 1 2 3 3 n n S a n n n ?? ? ? ? , *n?N . (Ⅰ) 求 2a 的值; (Ⅱ) 求数列? ?na 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有 1 2 1 1 1 7 4na a a ? ? ? ? . - 48 - 冲刺满分——数学思想方法综合串讲 1. 有n 个小球(n 是大于 2 的整数),将它 们任意分成两堆,求出这两堆小球球数的乘 积,再将每一堆小球任意分成两堆,分别求 出这两堆小球球数的乘积,如此下去,每次 都将这两堆小球再任意分成两堆,并分别求 出这两堆小球球数的乘积,直到不能再分为 止,则所有乘积的和为 . 2. 已知 ? ?2,2E 是抛物线 2: 2C y px? 上一点, 经过点 (2,0) 的直线 l 与抛物线C 交于 ,A B 两 点(不同于点 E ),直线 ,EA EB 分别交直线 2x ? ? 于点 ,M N . (Ⅰ)求抛物线方程及其焦点坐标;(Ⅱ) 已知O 为原点,求证: MON? 为定值. 3. 现有一个 n 行 n 列的数字表格 ( 2)n ? ,它的每个格中都是绝对值不超 过 1 的实数,且所有数的和为 0,记a 为: 该表格每行元素之和的绝对值以及每列 元素之和的绝对值的最小值.设 a 的最 大值为b . (1)对于表格给出的数字阵列,求a 的值; 1 1 -0.75 1 1 -0.75 -0.75 -0.75 1? (2)若 2n ? ,证明: 1b ? . 4. 已知函数 ( )f x = 2x ax b? ? , ( )g x = ( )xe cx d? ,若曲线 ( )y f x? 和曲线 ( )y g x? 都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同 的切线 4 2y x? ? . (Ⅰ)求a ,b ,c,d 的值; (Ⅱ)若 x ≥-2 时, ( )f x ≤ ( )kg x ,求 k 的取 值范围. 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 49 - 第 3 章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 已知复数 z = a 2-7a+6 a 2-1 +(a2-5a-6)i (a∈R).实数 a 取什么值时,z 是 (1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数? 2. 设 2 21 1 ( 2)iz m m m? ? ? ? ? , 2 2 4 2 ( 5 4)iz m m m? ? ? ? ? , 若 1 2z z? ,求实数m的取值范围. 3. 试问 ( )x x?R 取何值时,复数 2 2( 2) ( 3 2)ix x x x? ? ? ? ? 是实数?是虚数?是纯虚数? - 50 - 3.2 复数的四则运算 专题 1 复数的加减运算 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i). 2. 已知复数 z1 =3+2i,z2 =1-3i,则复数 z = z1-z2 在复平面内对应的点 Z 位于复平面内 的( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 51 - 专题 2 复数的乘除运算 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 计算:(1)(3+4i)(3-4i); (2)(1+i)2. 2. 计算(1+2i)÷(3-4i). 3. i 是虚数单位,若 1+7i 2-i = a+bi (a,b∈R),则乘积 ab 的值是( ) A.-15 B.-3 C.3 D.15 4. 已知 z 是纯虚数, z+2 1-i 是实数, 那么 z 等于( ) A.2i B.i C.-i D.-2i 5. 若复数 a+3i 1+2i (a∈R,i 为虚数单位)是纯虚 数,则实数 a 的值为( ) A.-2 B.4 C.-6 D.6 6. 已知复数 z = 1 1+i ,则 z - ·i 在复平面内对应 的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7. 已知函数 1 322 )( ? ?? ? x xx xf , 求 f (1+i)和 f (1-i)的值. 8. 若 z∈C,若 1 2iz z? ? ? ,则 4 3i z ? 的值 是( ) A.2i B.-2i C. 2 D.-2 9. 已知复数 z1=cos α+isin α和复数 z2=cos β+isin β,则复数 z1·z2 的实部是( ) A.sin(α-β) B.sin(α+β) C.cos(α-β) D.cos(α+β) 10. 把复数 z 的共轭复数记作 z ,i 为虚数单 位.若 z=1+i,则(1+z)·z 等于( ) A.3-i B.3+i C.1+3i D.3 11. 若 i 为虚数单位,图中复平面内点 Z 表示复数 z,则表示复数 1 i z ? 的点是( ) A.E B.F C.G D.H 12. (1)i+i2+i3+…+i100= ; (2)设 1 3 i 2 2 ? ? ? ? ,则 ① 21 ? ?? ? =_____;②? ?? =_______; ③ 2? = ; ④ 3? =___________. - 52 - 13. 已知复数 1z 满足(z1-2)(1+i)=1-i. (1)求复数 z1; (2)若 z2 为纯虚数, 1 2(2 )z z? ? 是实数,求 z2. 14. 已知复数 1 2,z z 满足 1 2| | | | 1z z? ? , 且 1 2 iz z? ? ,求 1 2,z z 的值. 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 53 - 3.3 复数的几何意义 (知识梳理部分请听视频讲解) 1. 当 2 3 < m < 1 时,复数 z = (3m-2)+(m-1)i 在复平面上对应的点位 于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 在复平面内,若 z=m2(1+i)-m(4+i)-6i 所对应的点在第二象限,则实数 m 的取值范 围是( ) A.(0,3) B.(-∞,-2) C.(-2,0) D.(3,4) 3. (1) 3i 5z ? ? 表示什么图形? (2) | 3i | | 3i | 10z z? ? ? ? 表示什么图形? (3)| 3i | | 3i | 5z z? ? ? ? 表示什么图形? (4)已知 | i | | i | 2z z? ? ? ? ,求 | 1 i |z ? ? 的 最小值. - 54 - 复数知识串讲及综合(本章复习) 1. 设复数 2lg( 2 2)z m m? ? ? ? 2( 3 2)im m? ? , 当m 为何值时: (1) z 是实数? (2) z 是纯虚数? 2. 计算:(1) 3+2i 2-3i - 3-2i 2+3i ; (2) -2 3+i 1+2 3i +( 2 1-i ) 2 010 . 3. 设向量OA表示的复数是 2 3i? (O 为坐标原 点),将向量OA向上平移 2 个单位,再向左平 移一个单位,得到向量 1 1O A ,求向量 1 1O A 、点 1O 和向量 1AO 分别表示的复数. 4. 在△ ABC 中,a,b,c 为角 A,B,C 所对 的边长,z1=a+bi,z2=cos A+icos B.若复数 z1·z2 在复平面内对应的点在虚轴上,试判断 △ ABC 的形状. 5. 已知 | | , 2 3 4iz r z? ? ?求 对应的点的轨迹方 程. 6. 设复数 z 满足 | | 2z ? ,求复数1 3i z? ? 的 模的最大值、最小值. 7. 若 3 2? ? i 是方程 22 0x px q? ? ? 的一个 根,则实数 p ?_______; q ? ________. 8. 设关于 x的方程 2 (tan i) (2 i)x x?? ? ? ? 0? , 若方程有实数根,求锐角? 和实数根. 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 55 - 期中期末串讲——选修 2-2 模块知识串讲及综合练习(一) 1. 已知曲线 lny x x? ? 在点 (1,1)处的切线与曲 线 2 ( 2) 1y ax a x? ? ? ? 相切,则 a ? . 2. 函数 1 ( ) ln f x x x ? 的单调减区间为_____, 极值点是_________. 3. 计算 2 2 0 ( 1 ( 1) ) dx x x? ? ?? . 4. 已知数列{ }na 的通项公式为 2 1 ( 1) na n ? ? ,记 1 2( ) (1 )(1 )f n a a? ? ? (1 )na? ,其中 n ??N . 那么 (1)f ? ____; (2)f ? _____; (3)f ? _____; (4)f ?_____;进而推测 ( )f n ?____________. 5. 给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集, R 为实数集,C 为复数集): ①“若 a,b∈R,则 a-b=0?a=b”类比推出 “若 a,b∈C,则 a-b=0?a=b”; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di ? a=c,b=d”类比推出“若 a,b,c,d∈Q, 则 a+b 2 =c+d 2 ?a=c,b=d”; ③“若 a,b∈R,则 a-b>0?a>b”类比推出 “若 a,b∈C,则 a-b>0 ? a>b”. 其中类比结论正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 6. 已知 ,a b?R, 2a ? ,且 2b ? ,证明: ab a b? ? . 7. 求证:对于任何实数 ,a b ,三个数 | |,| |,| 1|a b a b a? ? ? 中至少有一个不小于 1 2 . 8. 求证: (cos isin ) cos isinn n n? ? ? ?? ? ? ( )n ??N . 9. 在复平面内,点 P ,Q 所对应的复数分别 是 1z , 2z ,且 2 12 3 4iz z? ? ? , 1 1z ? ,求点 Q 的轨迹. - 56 - 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 57 - 期中期末串讲——选修 2-2 综合练习(二) 1. 设 L为曲线 ln : x C y x ? 在点 (1,0)处的切线. (1)求 L的方程; (2)证明:除切点 (1,0)之外,曲线C 在直线 L的 下方. 2. 已知函数 2( ) ( 2) lnf x ax a x x? ? ? ? . (1) 当 a = 1 时,求曲线 y = f (x)在点(1,f(1))处 的切线方程; (2) 当 a > 0 时,函数 f(x)在区间[1,e]上的最小 值为?2,求 a 的取值范围; (3) 若对任意 1 2, (0, )x x ? ?? , 1 2x x? ,且 1 1 2 2( )+2 ( )+2f x x f x x? 恒成立,求a的取值范围. 3. 数列{ }na 中 1 2a a? ,数列{ }nb 的各项由下 列关系确定: ? ?1 2 1,2,3, ,kk a a a b k n k ? ? ? ? ? . (1)若 ? ?1,2, ,k kb pa k n? ? ,求常数 p 的值; (2)在(1)的条件下,证明:{ }na 是等差数列. - 58 - 参考答案 第 1 章 导数及其应用 1.1 导数的概念 1.1.1 平均变化率 1.D. 1.1.2 瞬时变化率——导数 专题 1 导数的概念 1.B. 2. 55 3 m/s. 3.2,-2. 专题 2 导数的几何意义 1.B. 2.B. 3.3x+y-2=0. 4.B. 5.A. 6.4. 7. 2 1 0x y? ? ? 、10 25 0x y? ? ? 8.(1)12 16 0x y? ? ? . (2)12 16 0x y? ? ? 、 3 2 0x y? ? ? . 9. 15 ?? xy . 10.B. 11.连续函数不一定存在导数;在一点存在切线,不一 定存在导数. 12.(1)和曲线只有一个公共点的直线不一定就是切线; (2)切线不一定与曲线只有一个公共点,过点(1,4)的曲 线 3( ) 2 1f x x x? ? ? 的 切 线 方 程 为 15 ?? xy 或 33 4 1 12 y x? ? ?( ). 1.2 导数的运算 1.2.1 常见函数的导数 1.D. 2.A. 3.4x-y-4=0. 4.y=2x 的导数 y ′=2xln2.y=log2x 的导数 y ′= 1 xln2 ; 5.C. 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数 1. (1)y ′=3x2+ 1 xln2 ;(2)y ′=6x2-6x; (3)y ′=-3sinx-4cosx;(4)y ′=xn -1ex(n+x); (5) 2 3 2 3 sin ( 1)cos sin x x x x y x ? ? ? ? . 2. . 2( ) 3 ( 1)f x ax x a? ? ? ? ? 2( ) 8( ) ( 2 )f x x r r x? ? ? ? 3. 2 2 2( )( 1) ( ) ( 1) x a ax f x x ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? 2 3 1 f x x ? ? ? ? , 2 32 3 4 ( 0)y x x x x? ? ? ? ? 4. ( 1)( 1 ) ( ) ( 0) x x a f x x x ? ? ? ? ? ? , ? ?' ln 1f x x a? ? ? , ? ? 2 ln 1 ' ln x f x x ? ? 5. 2 2 2 e ( 2 ) ( ) ( ) x x x k g x x k ? ? ? ? ? , ? ?? ?'( ) e 2 1xf x x ax? ? ? 1.2.3 简单复合函数的导数 1. (1) 8 12y x? ? ? ; (2) 1 2 1 y x ? ? ? ; (3) πcos(π )y x ?? ? ? ; (4) 2sin(2 5) 4 cos(2 5)y x x x? ? ? ? ? ; (5) 2e xy ?? ? ? ; (6) 0.05 10.05e xy ? ?? ? ? . 2. 2 2 2 2 2 '( ) 1 (1 ) ( 1)(1 ) a ax a f x ax x ax x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 0)ax? ? 3. (1) 2 1 cos x (2) 1 sin 4 x? (3) 1 cos 2 x . 4. (1) 6 cos siny x x x x? ? ? ? ; (2) 2 2 2 sin cos sin x x x x y x ? ? ? ; (3) 2( ) 2 cosf x x x? ? ; (4) 2 4 3 e 2 e e 2ex x x xx x x y x x ? ? ? ? ? . 5. (1) 2 2 1 1 2sin cos 1 2 sinx xy xx x ? ? ? ? ? (2) 4sin(2 )cos(2 ) 2sin(4 ) 3 3 3 y x x x ? ? ?? ? ? ? ? ? ? (3) sine cosxy x? ? (4) 55 lnxy a a? ? 导数几何意义及求导习题课(1.1~1.2 复习) 1. (1) y′=3x2- 2 3x . (2) 1 1 (1 ) 2 y = xx ? ? ? . (3) y′=- 1 4 sinx. (4) y′= 2 4 (1 )x? . 2. (1)y′=sin2x+xsin2x;(2)y′= 2 1 1 x? . 3. A. 4. a = 4,. 4b ? 5. a = 1 2 . 6. 3 2 0x y? ? ? 或3 4 1 0x y? ? ? . 7. B. 8. 1. 9. 1 3 . 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 59 - 10. (1) 2 1 e 1x y? ? ? ;(2) 2 2 ( ) 1 f x x ? ? ? ; (3) 5 1 1 5 (1 ) x y x x x ? ? ? ? ? ; (4) 2 2 2 2 4 (2 3) 1 ( ) 2 3 1 x x y x x x x ? ? ? ? ? ? ? . 11. (ln 1)xy x x? ? ? . 12. 2 1 (arcsin ) 1 x ' = x? . 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 单调性 1. (1)函数在 R 上单调递增 (2)函数在(1,+∞)上单调递增;在(-∞,1)上单调递减 (3)函数在(0,π)上单调递减 (4)函数在(-∞, 1 17 2 ? ? )和( 1 17 2 ? ? ,+∞)上 单调递增;在( 1 17 2 ? ? , 1 17 2 ? ? )上单调递减 2. (1)的图象是(B),(2)的图象是(A), (3)的图象是(D),(4)的图象是(C). 3. 函数 ? ?f x 的增区间是 1 ( , ) 2 ?? ,减区间是 1 ( , ) 2 ?? . 4. 函数 ? ?f x 的增区间是 5 ( , ) 3 3 ? ? , 减区间是 5 (0, ), ( ,2 ) 3 3 ? ? ? . 5. 函数 ? ?f x 的增区间是 1 5 1 5 ( 0) (0 ) 2 2 ? ? ? ? ,, , , 减区间是 1 5 1 5 ( , ) ( ,2), (2, ) 2 2 ? ? ? ? ?? ??, . 6. 函数 ? ?g x 的增区间是 ? ?1,?? , 减区间是 ? ?,0 , (0,1)?? 7. 函数 ? ?f x 的增区间是 (e, )?? ,减区间是 (0,e) 8. 函数 ? ?f x 的增区间是 1 ( , ) 2 ?? ,减区间是 1 (0, ) 2 9. 当 a>0,b>0 时,函数 ( ) b f x ax x ? ? 在 (0, ) b a 上的单调递减,在 ( , ) b a ?? 上单调递增; 当 a<0,b<0 时,函数 ( ) b f x ax x ? ? 在 (0, ) b a 上 单调递增,在 ( , ) b a ?? 上单调递减; 当 a<0,b>0 时,函数 ( ) b f x ax x ? ? 在 (0, )?? 上 单调递减; 当 a>0,b<0 时,函数 ( ) b f x ax x ? ? 在 (0, )?? 上 单调递增. 10. 20, 0, 0, 0, 3 0p q r s q pr? ? ? ? ? ? , 有 3 个是正的. 11. 单调递减区间为 ( , 0)?? , 2 ( , ) 5 ?? ; 单调递增区间为 2 (0, ) 5 . 抽象函数单调性与导数 1.A. 2.A. 3.A. 4.C . 5.C 6.B. 1.3.2 极大值与极小值 1. 极大值为 28 ( 2) 3 f ? ? ,极小值为 4 (2) 3 f ? ? . 2. C. 3.A. 4.函数增区间 ( , 2)?? ,减区间 (2, )?? ;函数有极大值 点 2x ? . 5. 1 e ln 2 ? 6. 1 2 ? . 1.3.3 最大值与最小值 1. C. 2. f (x)在[ ]- 3 4 , 1 4 上的最小值为 1 ( ) 2 f ? =ln2+ 1 4 , 最大值为 1 ( ) 4 f =ln 7 2 + 1 16 . 3. 3-1. 4.A. 5. 函数解析式为 f (x)= 1 3 x3-4x+4, 在区间 [ 3,5]? 上的最大值是 77 3 ,最小值是 4 3 ? 6. (1)最大值、最小值分别为 2e (e) 1 2 f ? ? 、 2 1 )1( ?f ; (2)设 3 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ln 3 2 h x g x f x x x x? ? ? ? ? , 则 2 2 1 ( 1)(2 1)( ) 2 ( ) x x x h' x x x x x ? ? ? ? ? ? ? , 因为 1x ? ,所以 ( ) 0h' x ? ,故函数 ( )h x 在区间 - 60 - (1, )?? 上单调递增, 又因为 1 (1) 6 h ? ,所以当 1?x 时, ( ) (1) 0h x h? ? , 即 2 3 1 2 ln 2 3 x x x? ? ,故函数 )(xf 的图象在函数 32( ) 3 g x x? 图象的下方. 含参函数的单调区间、极值问题 1. [3,+∞). 2. [-1,2]. 3. 当 a≤0 时,函数 f (x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内 单调递增; 当 1 0 2 a? ? 时,函数 f (x)在(0,1)和 1 ( , ) a a ? ?? 内单调 递减,在 1 (1, ) a a ? 内单调递增; 当 1 2 a ? 时,函数 f (x)在(0,+∞)内单调递减; 当 1 1 2 a? ? 时,函数 f (x)在 1 (0, ) a a ? 和 (1, )?? 内单调 递减,在 1 ( ,1) a a ? 内单调递增; 当 a≥1 时,函数 f (x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单 调递减. 4. ①当 0a ? 时,函数 ( )f x 的增区间是 (1, )?? , 减区间是 (0,1), 1 ( ) (1) 2 2 f x f a? ?? ?极小值 ,函数无极大值; ②当 1 0 2 a? ? 时,函数 ( )f x 的增区间是 (0, 2 )a , (1, )?? ,减区间是 (2 ,1)a , 1 ( ) (1) 2 2 f x f a? ? ? ?极小值 , 2( ) (2 ) 2 2 2 ln 2f x f a a a a a? ? ? ? ?极大值 ; ③当 1 2 a ? 时,函数 ( )f x 的增区间是 (0, )?? , 无减区间,函数 ( )f x 无极值; ④当 1 2 a ? 时,函数 ( )f x 的增区间是 (0,1),(2 , )a ?? , 减区间是 (1,2 )a , 1 ( ) (1) 2 2 f x f a? ?? ?极大值 , 2( ) (2 ) 2 2 2 ln 2f x f a a a a a? ? ? ? ?极小值 . 5. 当 2a ? 时,函数 ( )f x 的增区间是 2(0, 2 )a a a? ? , 2( 2 , )a a a? ? ?? , 减区间是 2 2( 2 , 2 )a a a a a a? ? ? ? ; 当 0 2a? ? 时, ( )f x 的增区间是 (0, )?? ,无减区间; 当 0a ? 时,函数 ( )f x 的增区间是 2( 2 , )a a a? ? ?? ,减区间是 2(0, 2 )a a a? ? . 6.当 0a ? 时,函数 ( )f x 的增区间是 (0,2) ,减区间是 (2, )?? ; 当 1 0 2 a? ? 时,函 数 ( )f x 的增区间是 ( 0 , 2 ), 1 ( , ) a ?? ,减区间是 1 (2, ) a ; 当 1 2 a ? 时,函数 ( )f x 的增区间是 (0, )?? ,无减区间; 当 1 2 a ? 时,函数 ( )f x 的增区间是 1 (0, ) a , (2, )?? ; 减区间是 1 ( , 2) a . 7. 当 0a ? 时,函数 ( )f x 的减区间是 (0, )?? ,无增区 间; 当 0 1a? ? 时,函数 ( )f x 的增区间是 21 1 (0, ) a a ? ? , 21 1 ( , ) a a ? ? ?? , 减区间是 2 21 1 1 1 ( , ) a a a a ? ? ? ? ; 当 1a ? 时,函数 ( )f x 的增区间是 (0, )?? ,无减区间. 8. 当 01 ??? a 时,函数 )(xf 的递减区间是 ),1( ??? ; 当 0?a 时,函数 )(xf 的递减区间是 ) 1 ,1( a ? , 递增区间是 ), 1 ( ?? a . 变量分离法巧解导数含参问题 1. (Ⅰ)最小值 (1) 1f ? ; (Ⅱ) a 的取值范围是 1 4 a ? ? 或 0a ? . 2. B. 3. [1,+∞). 4. (1)极大值为-4,极小值为 112 27 ? ; (2) 5a ? . 5. (1) 2a ? ;(2) 3a ? . 利用导数研究不等式问题 1. 令 ( ) ( 1) ln ( 0)H x x x x x? ? ? ? ,则 21 2 1 (2 1)( 1) ( ) 2 1 ( 0) x x x x H' x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 x, ( )H' x , ( )H x 的变化情况如下: x (0,1) 1 (1,+∞) ( )H' x - 0 + ( )H x 减 极小 增 ∴ min( ) (1) 0H x H? ? ,∴ ( 1) ln 0x x x? ? ? , 即 ( 1) lnx x x? ? ,∵ ( 0)x ? ,∴x-1≥ ln x x . 高中数学选修 2-2 课程讲义 - 61 - 2. (Ⅰ) 3( ) 1h t t t? ? ? ? (Ⅱ) 1m ? . 3. (1)不能,理由如下: 2( ) 3 ( 1)f x ax x a? ? ? ? ? ,若 ( )f x 在 1x ? 处能取得极 小值,则 (1) 0 1f a? ? ? ? , 当 1a ? , ( ) ( 1)( 2)f x x x? ? ? ? ,可知函数 ? ?f x 在 1x ? 处取得极大值,矛盾. (2) 2 0x? ? ? . 4. 令 2( ) 1 2 e xF x x? ? ? , 则 2 2'( ) 2 2e 2(1 e )x xF x ? ? ? ? , ∵ x > 0,∴ 2e x > 1,∴ '( ) 0F x ? , ∴F(x)在 (0, )?? 上是减函数, 又∵F(x)在 x = 0 处连续,∴F(x)在 [0, )?? 上是减函数. ∴对于任意 x > 0,总有 F(x) < F(0)=0,即 21 2 e 0xx? ? ? ,∴ 21 2 e xx? ? . 5. (1)令 2 ( ) ln(1 ) 2 x f x x x ? ? ? ? ,则 2 2 2 1 2( 2) 2 ( ) 0( 0) 1 ( 2) (1 )( 2) x x x f ' x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴当 0x ? 时, ( )f x 单调递增, 又∵ (0) 0f ? , ∴ ( ) 0( 0)f x x? ? ,即 2 ln(1 ) ( 0) 2 x x x x ? ? ? ? ; (2)∵ 19 2 9 1 9 ( ) 19ln 2 10 10e ? ? ? ? 9 2 10 2 ln ln 10 19 9 19 ? ? ? ? ? 1 2 1 9ln(1 ) 19 2 9 ? ? ? ? ? , 由(1)可知 2 ln(1 ) ( 0) 2 x x x x ? ? ? ? , ∴可证得 19 2 9 1 ( ) 10 e ? . 6. C. 7. (Ⅰ) 1 e ? ;(Ⅱ) 1a ? . 8.(Ⅰ)0;(Ⅱ) 1 2 3e e a ? ? ? ? . 9. (1)证明:令 ( ) ln( 1)f x x x? ? ? , 1 ( ) 1 ( 1) 1 1 x f x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 由 ( ) 0f x? ? 解 得 0x ? , ( )f x 与 ( )f x? 在 区 间 ( 1 , )? ? ?上的情况如下: x ( 1, 0)? 0 (0, )?? ( )f x? + 0 ? ( )f x ↗ 0 ↘ 所以 ( )f x 在 ( 1, 0)? 上单调递增,在 (0, )?? 上单调递 减, max( ) (0) 0f x f? ? , 即 ( ) ln( 1) 0f x x x? ? ? ? , ln( 1)x x? ? ; 令 1 ( ) 1 ln( 1) 1 g x x x ? ? ? ? ? , 1 ( 0) 1 t t x ? ?

  • ID:3-6138868 必修1 第1章 集合单元小结课件19张PPT

    高中数学/苏教版/必修1/第1章 集合/本章综合与测试


    集合单元小结:19张PPT高中数学·必修1·苏教版
    集合章末复习
    课堂小结
    复习提纲:
    1.基本概念
    (1)集合的含义:

    一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合(set)。集合中的每一个对象称为该集合中的元素(element),简称元。

    (2)集合中元素的特征:
    确定性
    互异性
    无序性

    (3)集合的分类:

    空集,有限集,无限集
    (4)常用数集及其记法:



    (5)集合的表示方法


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  • ID:3-6138866 3.4.1函数的零点课件19张PPT

    高中数学/苏教版/必修1/第3章 指数函数、对数函数和幂函数/3.4 函数的应用/3.4.1 函数与方程


    函数的零点课件:19张PPT函数的零点
    我们前面学习了指数函数、对数函数、幂函数,在初中我们还学过一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数,它们是重要的数学知识.为什么要学习这些函数呢?因为利用它们可以帮助我们解决许多问题.
    比如,我们知道: (下表先后呈现)
    x
    y
    O
    x
    y
    O
    3
    -1
    x
    y
    O
    1
    A
    x0
    一般地,一元一次方程、一元二次方程我们可以用公式求解,但没有公式可用来求方程
    的根(事实上,绝大多数方程没有求解公式).那么这些方程的根怎么求呢?
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  • ID:3-6138864 苏教版 >必修1 >第2章 函数 2.1.2函数的表示法课件19张PPT

    高中数学/苏教版/必修1/第2章 函数/2.1 函数的概念/2.1.2 函数的表示方法


    函数的表示法:19张PPT现在你以母校而自豪,
    将来母校因你更光荣!
    函数的表示法
    阅读与思考
    1、阅读教材 P31---32例2上方 止。
    2、思考回答下列问题
    (1)
    (2)

    问题探究
    1. 下表列出的是正方形面积变化情况.
    这份表格表示的是函数关系吗
    边长x米
    面积y 米2
    1
    1.5
    2.5
    2
    3
    1
    2.25
    4
    6.25
    9
    当x在(0,+∞)变化时呢
    怎么表示
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  • ID:3-6138863 3.4.1 函数与方程 课件 19张PPT

    高中数学/苏教版/必修1/第3章 指数函数、对数函数和幂函数/3.4 函数的应用/3.4.1 函数与方程


    3.4.1 函数与方程:19张PPT二次函数与方程
    1.一般式: y=ax2+bx+c(a≠0);
    一、二次函数的解析式
    2.顶点式: y=a(x -m)2+n(其中(m, n)为抛物线的顶点坐标);
    3.两根式: y=a(x -x1)(x -x2)(其中x1, x2为抛物线与 x 轴两交点
    的横坐标);
      注: 求二次函数的解析式, 一般都采用待定系数法. 做题时,
    要根据题设条件, 合理地设出解析式.
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  • ID:3-6138862 3.4.1 函数与方程(一)课件19张PPT

    高中数学/苏教版/必修1/第3章 指数函数、对数函数和幂函数/3.4 函数的应用/3.4.1 函数与方程


    3.4.1 函数与方程(一):19张PPT3.4.1 函数与方程(第一课时)
    怎么解呢?
    问题导入
    方程解法史话:
    那么下面这个方程有没有实数根呢?若有,实数根是多少呢?
    转换角度!用函数的思想去解决方程的问题。即:通过研究相应函数去解方程。
    新课讲解
    求下列的一元二次方程的根,画出相应的二次函数图像并求出与x轴的交点
    方程
    x2-2x+1=0
    x2-2x+3=0
    y= x2-2x-3
    y= x2-2x+1
    函数
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  • ID:3-6138860 3.4.1 函数与方程 第一课时课件19张PPT

    高中数学/苏教版/必修1/第3章 指数函数、对数函数和幂函数/3.4 函数的应用/3.4.1 函数与方程


    3.4.1 函数与方程 第一课时课件:19张PPT函数与方程

    1 函数的零点与方程的根
    观察思考
    连续
    不断
    f(a)·f(b)<0
    f(c)=0
    ×
    ×
    ×
    D
    B
    8
    (1.25,1.5)
    B 
    (1,2)
    1
    课堂小结
    1 函数零点的定义
    2 函数零点的求法
    3 判断函数零点的个数
    4 函数零点的判断
    作业布置:

    三维设计A 1-4 7 .8
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  • ID:3-6138859 3.3 幂函数课件16张PPT

    高中数学/苏教版/必修1/第3章 指数函数、对数函数和幂函数/3.3 幂函数


    3.3 幂函数:16张PPT高中数学 必修1
    3.3 幂函数
    情境问题:
      指数函数与对数函数是我们刚接触的两类函数模型,我们要将它们与前面所学内容常做比较.我们看下面几个函数问题:
    1.某人购买了每千克1元的蔬菜x千克,应付y元,这里x与y的关系是什么?
    5.某人在xs内骑车匀速行进了1km,那么他的速度y(km/s)是多少
    2.正方形的边长为x,则它的面积y是多少?
    3.如果正方体的棱长为x,那么它的体积y是多少?
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    3.3 幂函数.pptx

  • ID:3-6138857 3.3 幂函数 课件 18张PPT

    高中数学/苏教版/必修1/第3章 指数函数、对数函数和幂函数/3.3 幂函数


    3.3 幂函数:18张PPT高中数学 必修1
    3.3 幂函数
      我们看下面几个函数问题:
    1.某人购买了每千克1元的蔬菜x千克,应付y元,这里x与y的关系是什么?
    5.某人在xs内骑车匀速行进了1km,那么他的速度y(km/s)是多少
    2.正方形的边长为x,则它的面积y是多少?
    3.如果正方体的棱长为x,那么它的体积y是多少?
    4.如果正方形场地的面积为x,那么它的边长y是多少?
    思考:
    这些函数有什么共同特征?
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  • ID:3-6138855 3.3 幂函数 课件 19张PPT

    高中数学/苏教版/必修1/第3章 指数函数、对数函数和幂函数/3.3 幂函数


    3.3 幂函数 课件:19张PPT高中数学 必修一
    3.3 幂函数
    情境问题:
      指数函数与对数函数是我们刚接触的两类函数模型,我们要将它们与前面所学内容常做比较.我们看下面几个函数问题:
    1.某人购买了每千克1元的蔬菜x千克,应付y元,这里x与y的关系是什么?
    5.某人在xs内骑车匀速行进了1km,那么他的速度y(km/s)是多少
    2.正方形的边长为x,则它的面积y是多少?
    3.如果正方体的棱长为x,那么它的体积y是多少?
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