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高中数学北师大版
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  • ID:3-4821002 高一数学集合的概念测试

    高中数学/北师大版/必修1/第一章集合/本章综合与测试

    高一数学集合的概念测试 (满分150,两节课内完成) 姓名 学号 评分 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内。 1.已知集合中的三个元素可构成某个三角形的三条边长, 那么此三角形一定不是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 2.方程组的解的集合是( ) A.{x =2,y=1} B.{2, 1} C.{(2, 1)} D. 3.有下列四个命题:①是空集; ②若,则; ③集合有两个元素;④集合是有限集。 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4.若则满足条件的集合M的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 5.已知,则的关系是( ) A. B. C.M∩P= D. M P 6.已知集合A、B、C满足A∪B=A∪C,则(1)A∩B=A∩C (2)A=B (3)A∩(RB)= A∩(RC) (4)(RA)∩B=(RA)∩C 中正确命题的序号是( ) A.(1) B.(2) C.(3) D.(4) 7.下列命题中, (1)如果集合A是集合B的真子集,则集合B中至少有一个元素。 (2)如果集合A是集合B的子集,则集合A的元素少于集合的B元素。 (3)如果集合A是集合B的子集,则集合A的元素不多于集合B的元素。 (4)如果集合A是集合B的子集,则集合A和B不可能相等。 错误的命题的个数是:( ) A. 0 B.1 C.2 D.3 8.已知集合,由集合的所有元素组成集合这样的实 数共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.设,集合, 那么与集合的关系是( ) A. B. C. D. 10.如右图所示,I为全集,M、P、S为I的子集。 则阴影部分所表示的集合为( ) A.(M∩P)∪S B.(M∩P)∩S C.(M∩P)∩(I S) D.(M∩P)∪(I S) 二、填空题:每题5分,共4题。请把答案填在题中横线上。 11.已知,∈R,×≠0则以可能的取值为元素组成的集合用列举法可表示为=            。 12.设集合,满足AB,则实数a的取值范围是     。 13.定义,若,则N-M=   。 14.如右图图(1)中以阴影部分(含边界)的点为元素所组成的集合 用描述法表示如下: 请写出以右图(2)中以阴影部分 (不含外边界但包含坐标轴)的点 为元素所组成的集合                 。 三、解答题:本大题共6题,共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分12分) 已知下列集合: (1)={n | n = 2k+1,kN,k5}; (2)={x | x = 2k, kN, k3}; (3)={x | x = 4k+1,或x = 4k-1,kk3}; 问:(Ⅰ)用列举法表示上述各集合; (Ⅱ)对集合,,,如果使kZ,那么,,所表示的集合分别是什么?并说明与的关系。 16.(本小题满分12分) 在2003年学校召开校运会。设A={x|x是参加100米跑的同学},B={x|x是参加200米跑的同学},C={x|x是参加4×100米接力跑的同学}。学校规定:每个同学最多只能参加两个项目比赛。据统计,高一(8)班共有13人参加了此三项比赛,其中共有8人参加了4×100米接力跑项目,共有6人参加100米跑项目,共有5人参加200米跑项目;同时参加4×100米接力跑和100米跑的同学有3人,同时参加参加4×100米接力跑和200米跑的同学有2人。 问:(Ⅰ)同时参加100米跑和200米跑项目的同学有多少个? (Ⅱ)只参加200米跑的同学有多少个? (III)只参加100米跑的同学有多少个? 17.(本小题满分14分) 已知集合,其中, 如果,求实数的取值范围。 18.(本小题满分14分) 已知,其中, 如果A∩B=B,求实数的取值范围。 19.(本小题满分14分) 设,点,但,求的值。 20.(本小题满分14分) 设为满足下列两个条件的实数所构成的集合: ①内不含1; ②若,则 解答下列问题: (Ⅰ)若,则中必有其他两个元素,求出这两个元素; (Ⅱ)求证:若,则; (III)在集合中元素的个数能否只有一个?请说明理由。 参考答案(1) 一、AACDD DCCBD 二、11.2; 12.; 13.7; 14.{6} 三、15.解:(Ⅰ)⑴ ={n | n = 2k+1,kN ,k5}={1,3,5,7,9}; ⑵={x | x = 2k, kN, k3}={1,3,5}; ⑶={x | x = 4k1,kk3}={-1,1,3,5,7,9,11,13}; ⑷={x | x = , kN , | k|2}={}; ⑸={(x, y) | x+y = 6 , x} ={(0, 6) ,(1, 5) ,(2, 4) ,(3, 3) ,(4, 2) ,(5, 1) ,(6, 0)}; ⑹={y | y=-1,且x{0, }}={}; ⑺={x | x =+, a.bR 且ab0}={}; (Ⅱ)对集合,,,如果使kZ,那么.所表示的集合都是奇数集; 所表示的集合都是偶数集。 点评: (1)通过对上述集合的识别,进一步巩固对描述法中代表元素及其性质的表述的理解; (2)掌握奇数集.偶数集的描述法表示和集合的图示法表示。 16.证明:⑴设,则,即,从而,因此; ⑵当M={1,3}时,有,解得,从而, 由得:=1,或者=3, 解得:,故。 17.解:化简得, ∵, ∴, 即。 18.解:化简得,∵集合的元素都是集合的元素,∴。 ⑴当时,,解得; ⑵当时,即时,,解得, 此时,满足; ⑶当时,,解得。 综上所述,实数的取值范围是或者。 19.解:∵点(2,1),∴① ∵(1,0)E,(3,2)E, ∴② ③ 由①②得; 类似地由①.③得, ∴。 又a,b,∴=-1代入①.②得=-1。 20.分析:反复利用题设:若aA,且a1, 则注意角色转换;单元素集是指集合中只有一个元素。 解:⑴∵, ∴,即, ∴,即; ⑵证明:∵, ∴, ∴; ⑶集合中不能只有一个元素,用反证法证明如下: 假设中只有一个元素,则有,即,该方程没有实数解, ∴集合中不能只有一个元素。 点评:(3)的证明使用了反证法,体现了“正难则反”的思维方法。 思考:若a你能说出集合A中有几个元素吗?请证明你的结论。 PAGE

  • ID:3-4820914 2.1.5__第2课时__点到直线的距离公式

    高中数学/北师大版/必修2/第二章解析几何初步/3空间直角坐标系/3.3空间两点间的距离公式

    第2课时 点到直线的距离公式 仓库 铁路 点到直线的距离 l 问题探究一 平行四边形的面积公式是什么? 如图 如何计算平行四边形ABCD的面积? 什么量可以先求出来? 底乘以高 由两点间的距离公式可求得 只要知道AB边上的高,即点D(或点C)到直线AB的距离,就能求出四边形的面积. 如何计算点D(2,4)到直线AB:5x+4y-7=0的距离呢? 过点D作DE⊥AB,垂足为E,则点D到直线AB的距离就是线段DE的长. 方法一:通过求点E的坐标,用两点间的距离公式求DE. 1.由DE⊥AB,可知DE所在直线的斜率为: 2.求出DE的方程即4x-5y+12=0. 3.由AB和DE所在直线的方程 4.用两点间的距离公式,求出点D到AB的距离 方法一的不足:运算量较大. 下面我们通过构造三角形,利用面积关系求出点D到AB的距离. 一般地,对于直线 公式的推导过程 PQ是RtΔPMN斜边上的高,由三角形面积可知 公式的推导过程 由此我们得到, 的距离 点到直线的距离公式 点 到直线 点到直线的距离公式 注: ?在使用该公式 前,须将直线方程化为一般式.   ? A=0或B=0,此公式也成立, 但当A=0或B=0时一般不用此 公式计算距离. 例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0; ②3x=2的距离。 解: ①根据点到直线的距离公式,得 ②如图,直线3x=2平行于y轴, 用公式验证,结果怎样? 求下列点到直线的距离: (1)(0,0),3x-2y+4=0 (2)(2,-3),x=y 练习 例2: 用解析法证明:等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高. 解:在△ABC中,AB=AC,P为BC延长线上一点,PD⊥AB于D,PE ⊥ AC于E,CF ⊥AB于F.以BC所在直线为x轴,以BC的中垂线为y轴,建立直角坐标系. 设A(0,b),B(-a,0),C(a,0)(a>0,b>0),则直线AB方 程为bx-ay+ab=0,直线AC方程为bx+ay-ab=0,取P(x0,0), 使x0>a, 则点P到直线AB,AC的距离分别为 例2: 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 两平行线间的距离处处相等 在l2上任取一点,例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离 ?直线到直线的距离转化为点到直线的距离 任意两条平行直线都可以写成如下形式: P Q 思考:任意两条平行线的距离是多少呢? 注:用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为 对应相同的形式。 (两平行线间 的距离公式) 求下列两条平行直线的距离: (1) 3x-2y-1=0,3x-2y+6=0 (2) x+2y=0,2x+4y-7=0 练习 反馈练习: ( ) ( ) D B ( ) ( ) D A 注意用该公式时应先将直线方程化为一般式; 注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。 不是拥有幸福的人才幸福,而是知道幸福的人才幸福。幸福不在于享受了多少,而在于感受了多少。

  • ID:3-4813682 高二上学期开学检测考试

    高中数学/月考专区/高三

    高二上学期开学检测考试 数学试题(文科) 1.圆心为且与直线相切的圆的方程为( ) A. B. C. D. 2.设0<a<b,则下列不等式中正确的是( ) A.a<b<< B.a<<<b C.a<<b< D.<a<<b 3.若无论实数a取何值时,直线ax+y+a+1=0与圆x2+y2﹣2x﹣2y+b=0都相交,则实数b的取值范围.(  ) A.(﹣∞,2) B.(2,+∞) C.(﹣∞,﹣6) D.(﹣6,+∞) 4.已知角α是第二象限角,直线2x+(tanα)y+1=0的斜率为,则cosα等于(  ) A. B.﹣ C. D.﹣ 4.D【解答】解:由题意得:k=﹣=,故tanα=﹣,故cosα=﹣, 故选:D. 5.数列中,a1,a2-a1,a3-a2,,an-an-1是首项为1、公比为的等比数列,则an等于( ) (A) (B) (C) (D) 5.D【解析】:由题意得:将这个式子相加得:选D. 考点:叠加法求通项 6.在平面直角坐标系中,若不等式组(为常数)所表示平面区域的面积等于2, 则的值为( ) A.-5 B.1 C.2 D.3 6.D解析:设直线与轴、轴分别交于点,则. 直线过点且与轴垂直,直线的过定点. 依题意,该不等式组表示的平面区域即直线右上方、 直线左方以及直线下方的区域,设直线与直线交于点C,则点C必在点A上方,又该平面区域的面积等于2,点B到AC的距离为1,所以AC=4,即C(1,4),代入直线方程中,得的值为3. 7.等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3与a2015是方程x2﹣10x+16=0的两根,则(  ) A.10 B.15 C.20 D.40 7.A【解答】解:∵a3与a2015是方程x2﹣10x+16=0的两根,∴a3+a2015=10=2a1009, 则+a1009=+a1009=2a1009=10, 故选:A. 8.已知等比数列各项都为正数,且为与的等差中项,则( ) A.27 B.21 C.14 D.以上都不对 9.函数f(x)=cos2﹣sinx﹣(x∈[0,π])的单调递增区间为(  ) A.[0,] B.[0,] C.[,π] D.[,π] 10.已知在△ABC所在平面内有两点P、Q,满足+=0,++=,若||=4,||=2,S△APQ=,则的值为(  ) A.4 B.±4 C.4 D.±4 【解答】解:; ∴P为AC中点; 由得,; ∴; ∴Q为靠近B的AB的三等分点,如图所示: ,;∴==; ∴;∴;∴==.故选D. 11.设正实数x,y,z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0.则当取得最大值时,的最大值为(  ) A.0 B.1 C. D.3 【解答】解:∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0, ∴z=x2﹣3xy+4y2,又x,y,z均为正实数, ∴==≤=1(当且仅当x=2y时取“=”), ∴=1,此时,x=2y. ∴z=x2﹣3xy+4y2=(2y)2﹣3×2y×y+4y2=2y2, ∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1,当且仅当y=1时取得“=”,满足题意. ∴的最大值为1. 故选B. 12.已知圆O:x2+y2=1,点P为直线x﹣2y﹣3=0上一动点,过点P向圆O引两条切线PA,PB,A、B为切点,则直线AB经过定点(  ) A.(2,0) B.(3,0) C.(,﹣1) D.(,﹣) D【解答】解:因为P是直线x﹣2y﹣3=0的任一点,所以设P(2m+3,m), 因为圆x2+y2=1的两条切线PA、PB,切点分别为A、B, 所以OA⊥PA,OB⊥PB,则点A、B在以OP为直径的圆上,即AB是圆O和圆C的公共弦, 则圆心C的坐标是(m+,),且半径的平方是r2=, 所以圆C的方程是(x﹣m﹣)2+(y﹣)2=,① 又x2+y2=1,②, ②﹣①得,(2m+3)x+my﹣1=0,即公共弦AB所在的直线方程是:(2m+3)x+my﹣1=0, 即m(2x+y)+(3x﹣1)=0, 由得x=,y=﹣,所以直线AB恒过定点(,﹣),故选D. 13.设等差数列的前项和为,若,则____________. 【答案】 14.在△ABC中,,BC=AC,则角B的大小为________. 14.试题分析:根据,所以原式整理为:,,根据正弦定理:,所以两式相结合得到:,即,,或,即,或,当时,,舍,所以. 14.不等式对任意的实数 (?http:?/??/?www.zxsx.com?)都成立,则实数的取值范围是________. 14.[- (?http:?/??/?www.zxsx.com?)1,0] 数形结合思想 【解析】 15.在圆x2+y2=5x内,过点有n条弦长度成等差数列,最短弦长为首项a1,最长弦为an.若公差d∈,则n的取值集合为 . 15.{4,5,6}. 【解析】∵圆方程为,∴圆心为,半径为,易得最短弦长a1=4,直径为最长弦,即.∵4+(n-1)d=5,∴,又∵,∴n=4,5,6. 16.(B)已知圆E:x2+y2﹣2x=0,若A为直线l:x+y+m=0上的点,过点A可作两条直线与圆E分别切于点B,C,且△ABC为正三角形,则实数m的取值范围是  . 16.(B)【解答】解:圆E:x2+y2﹣2x=0,圆心(1,0),半径为1,若A为直线l:x+y+m=0上的点,过点A可作两条直线与圆E分别切于点B,C,且△ABC为正三角形,可得圆心到直线的距离的最大值为:2,此时直线上的点与圆心的连线与切线的夹角为30°,否则不满足题意. 可得:,解得m∈[﹣2,2]. 16.(A)若数列{an}是正项数列,且,则=  . 16.(A)【解答】由, 令n=1,得,∴a1=16. 当n≥2时,. 与已知递推式作差,得. ∴,当n=1时,a1适合上式, ∴,则. ∴=4(1+2+…+n)+4n=4×=2n2+6n. 故答案为:2n2+6n. 17.在中,角所对的边分别为.且. (1)求的值; (2)若,求的面积. 17.【解析】(1)因为, 由正弦定理, 得, ∴; (2)∵, 由余弦定理得, 解得 所以. 18.(本小题满分12分) 在公差不为零的等差数列和等比数列中,已知,; (Ⅰ)的公差和的公比; (Ⅱ)设,求数列的前项和 18.【解析】(Ⅰ)依题意有成等比,∴,即 整理得 : 又∵,∴=5…………………………3分 ∴,从而得……………………………………6分 (Ⅱ)由(1)得:, ∴=n ∴, ……………9分 ∴…………………………………12分 19.(B)已知直线m:2x﹣y﹣3=0与直线n:x+y﹣3=0的交点为P. (1)若直线l过点P,且点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等,求直线l的方程; (2)若直线l1过点P且与x,y正半轴交于A、B两点,△ABO的面积为4,求直线l1的方程. 19.(B)【解答】(1)由的交点为(2,1), 由直线l与A,B的距离相等可知,l∥AB或l过AB的中点, ∴由l∥AB得l的方程为,即x+2y﹣4=0, 由l过AB的中点得l的方程为x=2, 故x+2y﹣4=0或x=2为所求. (2)方法一:由题可知,直线l1的斜率k存在,且k<0. 则直线l1的方程为y=k(x﹣2)+1=kx﹣2k+1. 令x=0,得y=1﹣2k>0, 令y=0,得, ∴,解得, 故l1的方程为. 方法二:由题可知,直线l1的横、纵截距a、b存在,且a>0、b>0,则,又l1过点(2,1),△ABO的面积为4, ∴,解得,故l1方程为,即. 19.(A)设m∈R,过定点A的动直线l1:x+my=0和过定点B的动直线l2:mx﹣y﹣m+3=0=0交于点P(x,y), (I) 试判断直线l1与l2的位置关系; (Ⅱ) 求|PA|?|PB|的最大值. 19.(A)【解答】( I)当m=0时,两条直线方程分别化为:x=0,﹣y+3=0,此时两条直线垂直; 当m≠0时,两条直线的斜率分别为:﹣,m,则=﹣1,因此两条直线垂直. 故直线l1与l2垂直; ( II)由直线l1:x+my=0可得定点A(0,0); 由直线l2:mx﹣y﹣m+3=0=0化为m(x﹣1)+(3﹣y)=0,联立,解得x=1,y=3. 可得定点B(1,3). 当m=0时,两条直线的交点为(0,3),则|PA|?|PB|=×=3. 当m≠0时,点P在以AB为直径的圆上, ∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10, ∴10≥2|PA|?|PB|, ∴|PA|?|PB|≤5. 综上可得:|PA|?|PB|的最大值为5. 20.设函数.设的三个内角,,所对的边分别为a,b,c (1)当时,求的最大值; (2),且为锐角,,求a﹣b的取值范围. 20.【解答】(1), ∵, ∴, ∴当时,. (2), ∴, 又∵C为锐角, ∴. ∵, ∴, ∴a=2sinA,b=2sinB, 又, ∴, ∴, 又∵, ∴, ∴,即. 21.已知数列的前n项和为,且. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)令,数列的前n项和为,若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围. 21. 【解答】(Ⅰ)当时,,解得; 当时,, ∴,故数列是以为首项,2为公比的等比数列, 故. (Ⅱ)由(Ⅰ)得,, ∴ 令,则, 两式相减得, ∴,故, 又由(Ⅰ)得,, 不等式即为, 即为对任意恒成立.设,则, ∵,∴,故实数t的取值范围是. 22.(本小题满分12分) 已知点及圆:. (1)若直线过点且与圆心的距离为1,求直线的方程; (2)设过点P的直线与圆交于、两点,当时,求以线段为直径的圆的方程; (3)设直线与圆交于,两点,是否存在实数,使得过点的直线垂直平分弦?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由 22.【解答】(1)设直线的斜率为(存在)则方程为. 又圆C的圆心为,半径, 由 , 解得. 所以直线方程为, 即 . 当的斜率不存在时,的方程为,经验证也满足条件. (2)由于,而弦心距, 所以,所以为的中点. 故以为直径的圆的方程为. (3)把直线即.代入圆的方程, 消去,整理得. 由于直线交圆于两点, 故,即,解得. 则实数的取值范围是. 设符合条件的实数存在, 由于垂直平分弦,故圆心必在上. 所以的斜率,而,所以.

    • 月考试卷/名校月考
    • 2018-09-19
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  • ID:3-4813584 1.1.2 数列的函数特性

    高中数学/北师大版/必修5/第一章数列/1数列/1.2数列的函数特征

    1.2 数列的函数特性 1.数列的概念是什么. 2.数列的通项公式的含义是什么. 3、递推公式? 对于数列中的每个序号n,都有唯一的一个数(项)an与之对应。 1 3 5 7 …… 2n-1 1 2 3 4 n (自变量) (函数值) 数列的实质: 结论:数列是一种特殊的函数. 6、数列的实质: 7. 数列的图象表示法 例如: 数列 -1, 1, -1, 1, -1… 1 0 -1 1 2 3 4 5 6 n an 又如:数例 2,4,6,8,10 n an 0 1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 数列的几何意义:有穷数列表示有限个孤立的点。 无穷数列表示无限个孤立的点。 由上面的学习我们知道数列可以看作定义域为正整数集N+(或它的有限子集)的函数,当自变量从小到大依次取值时,该函数对应的一列函数值就是这个数列. 而数列的通项公式就类似于函数的解析式,因此研究数列的性质我们就可以借助数列的通项公式,而且数列的表示形式也和函数一样,有多种表示方法,下面来看几个例子. 新中国成立后,我国1952~1994年间部分年份进出口贸易总额(亿美元)数据排成一数列: 数列的函数特性 请看下面例子 19.4,31.0,42.5,45.9,147.5,381.4,696.0,1 154.4,2 367.3. 由上图可以看出我国1952~1994年部分年份,各时期进出口贸易总额的增长变化情况. 贸易总额/亿美元 年份/年 我们可以把一个数列用图像来表示: 图1是数列①:3,4,5,6,7,8,9的图像. O 2 4 6 n 图3是数列⑥:2100,2100,2100,…,2100的图像. 思考:通过这几个例子你是否发现用图像来表示数列的好处. 从图中可以看出,数列①的函数图像上升,称这样的数列为递增数列;数列⑤的函数图像下降,称这样的数列为递减数列;数列⑥称为常数列. 思考:你是否能归纳一下递增数列、递减数列、常数列的概念呢? 一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项,即an+1> an,那么这个数列叫作递增数列. 如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项,即an+1

  • ID:3-4813576 1.1 数列的概念

    高中数学/北师大版/必修5/第一章数列/1数列/1.1数列的概念

    1.1 数列的概念 第一章 数 列 陛下您的国库里麦子够搬吗? 多少麦子? (1)国际象棋起源于古印度,关于国际象棋有这样一个传说,国王想赏赐国际象棋的发明者,于是有下面一段对话···· 1 2 22 23 24 25 26 … 263 OK 1+2+22+…+263=? 一、创设情境 ? 4 5 6 7 8 1 4 5 6 7 8 1 2 3 3 2 64个格子 你认为国王有能力满足上述要求吗 每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的 2倍 且共有 64 格子 ? ? 1844,6744,0737,0955,1615 , , , , , , … 一尺之棰 日取其半 万世不竭. 4月10日至4月17日湖州的日最高气温 23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19 日期 4月 10日 4月 11日 4月 12日 4月 13日 4月14日 4月15日 4月16日 4月17日 最高气温 ( ) 23 21 18 20 20 22 21 19 15 5 16 16 28 32 15, 5, 16, 16, 28, 32, 51, 1984年 洛杉矶 1988年 汉城 1992年 巴塞罗那 1996年 亚特兰大 2000年 悉尼 2004年 雅典 2008年 北京 金牌数 共同特点: 1. 都是一列数; 2. 都有一定的次序 “一尺之棰,日取其半后的长度的一列数.” 4月10日至4月17日湖州的日最高气温排成的一列数 23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19 1.定义: 请问,是不是同一数列? 请问,是不是同一数列? (数列具有有序性) 按照一定次序排列的一列数叫做 (7)我们班所有同学的身高. (8)李宇春,周笔畅,张靓颖,何洁,纪敏佳. 1°无次序 2°不是一些数 × × 注: 各项依次叫做这个数列的第1项(首项),第2项,··· ,第n项,··· 2、数列中的每个数叫 做这个数列的项. 3、数列的分类 按项数分: 项数有限的数列叫有穷数列 项数无限的数列叫无穷数列 无穷数列 有穷数列 有穷数列 无穷数列 数列的一般形式可以写成: 第1项 第2项 第3项 第n项 列的第1项, 4.数列的表示 如数列(4): 项 10 20 30 40 50 60 ······ an 项数 1 2 3 4 5 6 ······ n 思考:下面5个数列中的项与序号的关系有没有 规律?如何总结这些规律? ? an=10n 将正整数从小到大排成一列数为 1,2,3,4,5,…. (1 ) 将2的正整数指数幂从小到大排成排成一列数为 项(an) 项数 (n) 1,2,3,4,5,…. 5、通项公式(解析表示法) 例如数列: -1,1,-1,1, …, (-1) ,… ① 1 2 3 4 … n … ∴通项公式: an = (-1)n 用一个公式表示,则这个公式叫做数列的通项公式。 ② 1, 4, 9, 16, 25, … , n , … 1 2 3 4 5 … n … ∴通项公式 an = n 2 2 2 ③ 3 5 7 9 11 13 1 2 3 4 5 6 ∴通项公式 an = 2n+1 ( n≤6 ) 解: 首项为 第2项为 第3项为 例1、已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,写 出这个数列的首项、第2项和第3项. 变式:写出数列{1-3n}的前5项及第十项,并判断-101是否 是该数列中的项,若是,说明是第几项。 解:a1=1-3×1=-2 a2=1-3×2=-5 a3=1-3×3=-8 a4=1-3×4=-11 a5=1-3×5=-14 a10=1-3×10=-29 1-3n=-101 n=34∈N* -101是数列中的项,是第34项 例2、写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数: (1)1,3,5,7; 解:此数列的前四项1,3,5,7都是序号的2倍减去1,所以通项公式是: 解:此数列的前四项的分母都是序号加1,分子都是分母的平方减去1,所以通项公式是: 解:此数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加上1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以通项公式是: 用一个公式表示,则这个公式叫做数列的通项公式。 说明: (1)数列的通项公式不唯一. (2)不是所有数列都有通项公式。 2、根据数列{ }的通项公式,写出它的前5项: 1、数列 (1) 3, 5, 7,9,… (2) 2,8,13,27,40 (3) 1,1,1,1, … (4) 24,19,17,8,5 其中有穷数列是?无穷数列是? 1,2,3,4,5,6, …. 4,5,6,7,8,9, 1,0.1,0.01,0.001,…. -1,1,-1,1,-1,…. 2,2,2,2,2, …. (3)写出下面数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数: (4)概念辨析: 下列说法正确的有______________. ①数列2,3,4与数列4,3,2是同一数列. ②数列1,2,3与数列1,2,3,…是同一数列. ③1,4,2,0.3,不是数列, ④数列若用图象表示,从图象上看是一群孤立的点. ⑤数列的项数是无限的. ⑥数列的通项公式是唯一的. ④ 思考题: 1、 写出下列数列的一个通项公式: (1)、1,-1,1,-1; (2)、2,0,2,0; (3)、9,99,999,9999; (4)、0.9,0.99,0.999,0.9999。 (1) (4) 六、课堂小结 数列 数列有关概念 数列与函数的关系 通项公式 求通项公式 数列中的项 对于数列中的每个序号n,都有唯一的一个数(项)an与之对应。 1 3 5 7 …… 2n-1 1 2 3 4 n (自变量) (函数值) 数列的实质: 结论:数列是一种特殊的函数. 6、数列的实质: 7. 数列的图象表示法 例如: 数列 -1, 1, -1, 1, -1… 1 0 -1 1 2 3 4 5 6 n an 又如:数例 2,4,6,8,10 n an 0 1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 数列的几何意义:有穷数列表示有限个孤立的点。 无穷数列表示无限个孤立的点。 斐波那契數列 斐波那契(Leonardo Pisano Fibonacci , 1170 ? 1250 ),意大利商人兼數學家。 斐波那契數列(Finonnaci sequence) 自第三項開始,每一項都是前兩項的和. 數列中的每一項則稱為斐波那契數(Fibonnaci Number) 以符號 Fn 表示,即:F1 = F2 = 1 ,而 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n>2) 向日葵的種子 綠色表示按順時針排列的種子 紅色表示按逆時針排列的種子 植物學家發現: 某種向日葵的種子是按兩組螺線排列,其數目往往是連續的斐波那契數 。 向日葵的種子 普通大小的向日葵:34條順時針螺線   55條逆時針螺線 較大的向日葵: 89條順時針螺線        144條逆時針螺線 植物的分枝 Back 菠蘿的表皮 菠蘿的中心軸Z 軸垂直於Z軸的平面XOY。 量度表皮上每一個六角形的中心與平面XOY的距離,便會發現…… 菠蘿的表皮 其中三個方向是按等差數列 排列的: 0,5,10,15,20,… 0,8,16,24,32,… 0,13,26,39,52,… 公差 5 8 13 三個連續的斐波那契數! 花瓣的數目 斐波那契數! 花瓣的數目是 : 3 5 8 13 21 3 5 5 21 鋼琴例子 在一個音階中: 白色的鍵數為 8 黑色的鍵數為 5 兩個連續的斐波那契數! 帕斯卡三角形 斐波那契數列! 穿高跟鞋的效應 假設某女士的原本軀幹與身高比為 0.6 (i.e. x : l = 0.60 ) 若所穿的高跟鞋的高度為d ,新的軀幹與高度比為: (x + d) : (l + d) = ( 0.6 l + d) : (l + d) 例:某位女士的身高為160 cm (約5呎3寸) 穿高跟鞋的效應 7.62 (3吋) 160 0.60 0.612 5.08 (2吋) 160 0.60 0.606 2.54 (1 吋) 160 0.60 穿了高跟鞋後的新比值 (0.6 l +d):(l +d) 高跟鞋高度 (d cm) 身高 (l cm) 原本軀幹與身高比值( x : l) 穿高跟鞋使腳長與身高的比值趨向黃金比。 由此可見,女士們相信穿高跟鞋使她們更美是有 數學根據的! 0.618

  • ID:3-4805530 《互斥事件》

    高中数学/北师大版/必修3/第三章概率/2古典概型/2.3互斥事件

    【教学目标】理解互斥事件的概念,能从集 合角度理解事件关系,了解互斥事件的 概率加法公式,掌握利用概率的性质求 概率. 【教学重点】概率的加法公式及其应用. 【教学难点】事件的关系与运算. 1、古典概型: (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(有限性) (2)每个基本事件出现的可能性相等.(等可能性) 这样两个特点的概率模型称为古典概率概型,简称古典概型. 2、古典概型计算任何事件的概率计算公式为: 3、求某个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数时常用的方法是列举法(画树状图和列表),注意做到不重不漏. 4、概率模型: (1)抛掷骰子; (2)袋中无放回摸球; (3)袋中有放回摸球 1. 鱼与熊掌不可兼得; 3. 考试中的单项选择题。 4. 掷骰子,向上的点数分别是 1、2、3、4、5、6. 不能同时发生! 2. 抽奖时,“中奖”和“不中奖” 。 A、B互斥 A、B不互斥 从集合意义理解 在一个随机试验中,把一次试验下不能同时发生的两个事件称作互斥事件。 (1) “A发生B不发生”; (2) “A不发生B发生”; (3)“A,B都不发生”。 【如】 你还能举出一些生活 中的其他例子吗? 抛硬币,“正面朝上”和“反面朝上” 解 互斥事件: (1)(2)(3) 例1、在一个健身房里,用拉力器进行锻炼时,需要选取2个质量盘装在拉力器上.有2个装质量盘的箱子每个箱子中都装有4个不同的质量盘2.5 kg、5 kg、10 kg和20 kg,随机 地从2个箱子中各取1个质量盘,下面的事件A和事件B是否是互斥事件? (1)事件A=“总质量为20 kg”,事件B=“总质量为30 kg”; (2)事件A=“总质量为7.5 kg”,事件B=“总质量超过10 kg”; (3)事件A=“总质量不超过10 kg”, 事件B=“总质量超过10 kg”; (4)事件A=“总质量为20 kg”,事件B=“总质量超过10 kg” . 对于(4)中的事件A和事件B,随机地从2个箱子中各取1个质量盘,当总质量为20kg时,事件A与事件B同时发生,因此,事件A与事件B不是互斥事件. 给定事件A,B,规定A+B为一个事件,叫做A、B的和事件。事件A+B发生是指 (1) “A发生B不发生”; (2) “A不发生B发生”; (3) “A、B同时发生”. 在例1的(1)中,A表示事件“总质量为20kg”,B表示事件“总质量为30kg”我们把事件“总质量为20kg或30kg”记作A+B 事件A和事件B至少有一个发生. 【问题】例题中(2)(3)和(4)中的事件A和B,A+B各表示什么事件? (2) A+B表示“总质量为7.5 kg或总质量超过10kg”; (3)A+B表示“总质量不超过10 kg或总质量超过10 kg”, 即事件全体; (4)A+B表示“总质量为20 kg或总质量超过10 kg” 即事件B . (1)根据你的结果,你发现P(A+B)与P(A)+P(B)有什 么样的大小关系? P(A+B)=P(A)+P(B) 1/16 1/8 3/16 3/16 1/8 3/4 7/8 7/8 1/4 3/4 1 1 互斥事件的概率求解 (1) (2) (3) P(A) P(B) P(A)+P(B) P(A+B) 在一个随机实验中,如果随机事件A和B是互斥事件,那么有 P(A+B)=P(A)+P(B). (2)加法公式的前提条件是:事件A与B互斥.如果没有这一条件,加法公式将不能应用. 【说明】 (1)互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和, 这就是概率的加法公式,也称互斥事件的概率的加法公式. P(A1+A2+ ? ? ? +An)=P(A1)+P(A2)+ ? ? ? +P(An) 2、一般地,如果随机事件A1、A2、 ? ? ? 、An 中任意两个是互斥事件,那么有 1、事件A1、A2、…、An中至少有一个发生 表示事件A1+A2+ …+An发生. 彼此互斥事件 【解】(1)事件D即事件A+C, 因为事件A=“抽到的是一等品”和事件C=“抽到的 是三等品”是互斥事件, 由互斥事件的概率加法公式得: P(D)=P(A+C)=P(A)+P(C)=0.7+0.05=0.75. (2)事件E即事件B+C,因为事件B=“抽到的是二等品”和事件C=“抽到的是三等品”是互斥事件,由互斥事件的概率加法公式, P(E)=P(B+C)=P(B)+P(C)=0.1+0.05=0.15. 【点评】容易看出,事件D+E表示“抽到的产品是一等品或二等品或三等品” .事件D和事件E不是互斥事件,因此不满足互斥事件的概率加法公式. 事实上,P(D+E)=P(A)+P(B)+P(C)=0.85,而 P(D)+P(E)=[P(A)+P(C)]+[P(B)+P(C)]=0.9, “抽到的是三等品”的概率P(C)在P(D)和P(E)中各算了一次,因此,事件D+E的概率P(D+E)不等于P(D)+P(E). 例3、某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整,为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查,他们被要求在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项.调查结果如表所示: 随机选取一个被调查者,他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少? 男 女 总计 赞成 18 9 27 反对 12 25 37 不发表看法 20 16 36 总计 50 50 100 【解】用A表示事件“对这次调整表示反对”,B表示 事件“对这次调整不发表看法”,则A和B是互斥 事件,并且A+B就表示事件“对这次调整表示反 对或不发表看法”,由互斥事件的概率加法公式, 因此,随机选取的一个被调查者对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73. 例4、在例1中,随机地从2个箱子中各取1个质量盘,如果一个人不能拉动超过22kg的质量,那么他将不能拉开拉力器,则他不能拉开拉力器的概率是多少? 【解】总质量超过22kg,即质量为22.5kg,25kg, 30kg,40kg. 用A2表示事件“总质量为25kg”, 用A3表示事件“总质量为30kg”, 用A4表示事件“总质量为40kg”, 用A1表示事件“总质量为22.5kg”, 则A1+A2+A3+A4就表示事件“总质量超过22kg”. P(A1+A2+A3+A4 ) = P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4) = + + + 2 16 2 16 2 16 1 16 ?0.44. 因此,随机地从2个箱子中各取1个质量盘,此人不能拉开拉力器的概率约为0.44. 而A1,A2,A3,A4中任意两个是互斥事件,由互斥事件的概率加法公式,随机地从2个箱子中各取1个质量盘,总质量超过22kg的概率为: 1.互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。 若事件A与B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B). 若事件A1,A2,…,An彼此互斥,则 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 求随机事件A的概率的常用方法 先将事件A转化成n个彼此互斥的事件A1,A2,…,An之和,再由P(A1+A2+…+An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An). 互斥事件的判断 例1 从6件正品与3件次品中任取3件,观察正品件数与次品件数,判断下列每对事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件. (1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品; (2)“至少有1件次品”和“全是次品”; (3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品. 问题分析:从6件正品与3件次品中任取3件,共有4种情况: ①3件全是正品;  (3全正) ②2件正品1件次品; (2正1次) ③1件正品2件次品; (1正2次) ④全是次品.    (3全次) 例1 从6件正品与3件次品中任取3件,观察正品件数与次品件数,判断下列每对事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件. 4种情况: ①3全正;②2正1次;③1正2次;④3全次。 (1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品;           互斥 (2)“至少有1件次品”和“全是次品”;           不互斥 (3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品.           互斥            【提炼升华】 判断是否为互斥事件的关键是看两个事件能否同时发生;两个事件为对立事件的前提是两事件互斥,且必有一个事件发生.具体应用时,可把试验结果写出来,看所求事件包含哪几个试验结果,从而判断所给两事件之间的关系.

  • ID:3-4755768 (渝皖琼)2018_2019学年高中数学北师大版必修2第1章立体几何初步滚动训练

    高中数学/北师大版/必修2/第一章立体几何初步/本章综合与测试

    第1章 立体几何初步 滚动训练一(5.1~5.2) 一、选择题 1.一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是(  ) A.异面 B.平行 C.相交 D.不能确定 考点 空间中直线与平面之间的位置关系 题点 空间中直线与平面之间的位置关系的判定 答案 B 解析 设α∩β=l,a∥α,a∥β, 则过直线a作与平面α,β都相交的平面γ, 记α∩γ=b,β∩γ=c, 则a∥b且a∥c, ∴b∥c.又bβ,c(β,∴b∥β. 又b(α,α∩β=l,∴b∥l,∴a∥l. 2.下列说法正确的是(  ) ①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行; ②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行; ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行; ④若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行. A.①③ B.②④ C.②③④ D.③④ 考点 空间中直线与平面之间的位置关系 题点 空间中直线与平面之间的位置关系的判定 答案 D 解析 如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,在平面ABCD内,在AB上任取一点E,过点E作EF∥AD,交CD于点F,则由线面平行的判定定理,知EF,BC都平行于平面ADD1A1,用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD1A1平行,但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行,因此①②都错;③正确,事实上,因为一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面,所以这两个平面必无公共点(要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别);④是平面与平面平行的判定定理,正确. ================================================ 压缩包内容: (渝皖琼)2018_2019学年高中数学第1章立体几何初步滚动训练1北师大版必修2.doc (渝皖琼)2018_2019学年高中数学第1章立体几何初步滚动训练2北师大版必修2.doc (渝皖琼)2018_2019学年高中数学第1章立体几何初步滚动训练3北师大版必修2.doc

  • ID:3-4755682 (渝皖琼)2018_2019学年高中数学北师大版必修2第一章立体几何初步学案(12份)

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    §1 简单几何体 学习目标 1.理解旋转体与多面体的概念.2.掌握球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征.3.掌握棱柱、棱锥、棱台的基本性质.  知识点一 旋转体与多面体 旋转体 一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面;封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体  多面体 把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体   知识点二 常见的旋转体及概念 思考1 以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥吗? 答案 不是.以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥的一半,不是整个圆锥. 思考2 能否由圆锥得到圆台? 答案 用平行于圆锥底面的平面截去一个圆锥可以得到. 梳理  名称 图形及表示 定义 相关概念  球  记作:球O 球面:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转所形成的曲面叫作球面.球体:球面所围成的几何体叫作球体,简称球 球心:半圆的圆心.球的半径:连接球心和球面上任意一点的线段.球的直径:连接球面上两点并且过球心的线段  圆柱  记作:圆柱OO′ 以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱 高:在旋转轴上这条边的长度.底面:垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面. ================================================ 压缩包内容: (渝皖琼)2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步1简单几何体学案北师大版必修2.doc (渝皖琼)2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步2直观图学案北师大版必修2.doc (渝皖琼)2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理一学案北师大版必修2.doc (渝皖琼)2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步4.2空间图形的公理二学案北师大版必修2.doc (渝皖琼)2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步5.1平行关系的判定学案北师大版必修2.doc (渝皖琼)2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步5.2平行关系的性质学案北师大版必修2.doc (渝皖琼)2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步6.1垂直关系的判定学案北师大版必修2.doc (渝皖琼)2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步6.2垂直关系的性质学案北师大版必修2.doc (渝皖琼)2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步7.1简单几何体的侧面积学案北师大版必修2.doc (渝皖琼)2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学案北师大版必修2.doc (渝皖琼)2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步7.3球的表面积和体积学案北师大版必修2.doc (渝皖琼)2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步章末复习学案北师大版必修2.doc

  • ID:3-4755604 (渝皖琼)2018_2019学年高中数学第1章立体几何初步章末检测试卷北师大版必修2

    高中数学/北师大版/必修2/第一章立体几何初步/本章综合与测试

    第1章 立体几何初步 章末检测试卷(一) (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.六棱柱的表面中,互相平行的平面最多有(  )  A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 答案 C 解析 有3对侧面相互平行,上下两底面也相互平行. 2.如图,B′C′∥x′轴,A′C′∥y′轴,则下面直观图所表示的平面图形是(  )  A.正三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 考点 平面图形的直观图 题点 由直观图还原平面图形 答案 D 解析 因为B′C′∥x′轴,A′C′∥y轴,所以直观图中BC∥x轴,AC∥y轴,所以三角形是直角三角形.故选D. 3.如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线(  ) A.12对 B.24对 C.36对 D.48对 考点  题点  答案 B 解析 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AB异面的直线有CC1,DD1,B1C1,A1D1,共4对,正方体ABCD-A1B1C1D1有12条棱,排除重复计算的异面直线,∴异面直线共有12×2=24(对).  4.一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍,则该圆锥的母线与轴所成的角为(  ) A.30° B.45° C.60° D.75° 考点  题点  答案 A ================================================ 压缩包内容: (渝皖琼)2018_2019学年高中数学第1章立体几何初步章末检测试卷北师大版必修2.doc

  • ID:3-4755574 (赣豫陕)2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步学案(打包13套)北师大版必修2

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    §1 简单几何体 学习目标 1.理解旋转体与多面体的概念.2.掌握球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征.3.掌握棱柱、棱锥、棱台的基本性质.  知识点一 旋转体与多面体 旋转体 一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面;封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体  多面体 把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体   知识点二 常见的旋转体及概念 思考1 以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥吗? 答案 不是.以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥的一半,不是整个圆锥. 思考2 能否由圆锥得到圆台? 答案 用平行于圆锥底面的平面截去一个圆锥可以得到. 梳理  名称 图形及表示 定义 相关概念  球  记作:球O 球面:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转所形成的曲面叫作球面.球体:球面所围成的几何体叫作球体,简称球 球心:半圆的圆心.球的半径:连接球心和球面上任意一点的线段.球的直径:连接球面上两点并且过球心的线段  圆柱  记作:圆柱OO′ 以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱 高:在旋转轴上这条边的长度.底面:垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面. ================================================ 压缩包内容: 赣豫陕2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步1简单几何体学案北师大版必修22018081332.doc 赣豫陕2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步2直观图学案北师大版必修22018081334.doc 赣豫陕2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步3三视图学案北师大版必修22018081336.doc 赣豫陕2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理(一)学案北师大版必修22018081338.doc 赣豫陕2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步4.2空间图形的公理(二)学案北师大版必修220180813310.doc 赣豫陕2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步5.1平行关系的判定学案北师大版必修220180813312.doc 赣豫陕2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步5.2平行关系的性质学案北师大版必修220180813314.doc 赣豫陕2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步6.1垂直关系的判定学案北师大版必修220180813316.doc 赣豫陕2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步6.2垂直关系的性质学案北师大版必修220180813318.doc 赣豫陕2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步7.1简单几何体的侧面积学案北师大版必修220180813319.doc 赣豫陕2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步7.2棱柱棱锥棱台和圆柱圆锥圆台的体积学案北师大版必修220180813321.doc 赣豫陕2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步7.3球的表面积和体积学案北师大版必修220180813323.doc 赣豫陕2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步章末复习学案北师大版必修220180813325.doc