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高中数学竞赛专区
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  • ID:3-6439607 全国高中数学联赛试题重组卷 组合与构造 (原卷版+Word解析版)

    高中数学/竞赛专区/高二竞赛


    1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编
    组合与构造部分
    2019A四、(本题满分 50 分)
    设V 是空间中 2019 个点构成的集合,其中任意四点不共面.某些点之间连有线段,记 E 为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n,满足条件:若 E 至少有n个元素,则 E 一定含有 908 个二元子集,其中每个二元子集中的两条线段有公共端点,且任意两个二元子集的交为空集.
    ★解析:为了叙述方便,称一个图中的两条相邻的边构成一个“角”.
    先证明一个引理:设是一个简单图,且是连通的,则含有个两两无公共边的角(这里表示实数的整数部分).
    引理的证明:对的元素个数归纳证明.当时,结论显然成立.下面假设,并且结论在较小时均成立.只需证明,在中可以选取两条边构成一个角,在中删去这两条边后,剩下的图含有一个连通分支包含条边.对这个连通分支应用归纳假设即得结论成立.
    考虑中的最长路,其中是互不相同的顶点.因为连通,故.
    情形1:,由于是最长路,的邻点均在中,设,其中.则是一个角,在中删去这两条边.若处还有第三条边,则剩下的图是连通的;若处仅有被删去的两条边,则成为孤立点,其余顶点仍互相连通.总之在剩下的图中有一个连通分支含有条边.
    情形 2:, .则 是一个角,在中删去这两条边后,都成为孤立点,其余的点互相连通,因此有一个连通分支含有条边.
    情形 3:,,且与中某个点相邻.则是一个角,在中删去这两条边后,成为孤立点,其余点互相连通,因此有一个连通分支含有 条边.
    情形 4:,,且与某个相邻.由于是最长路,故的邻点均在之中.因是一个角,在中删去这两条边,则是孤立点.若处仅有边,则删去所述边后也是孤立点,而其余点互相连通.若处还有其他边,,则删去所述边后,除外其余点互相连通.总之,剩下的图中有一个连通分支含有.
    引理获证.………………20 分
    回到原题,题中的和可看作一个图.
    首先证明.
    设.在中,首先两两连边,再删去其中条边(例如),共连了条边,则这个点构成的图是连通图.再将剩余的个点配成对,每对两点之间连一条边,则图中一共连了条线段.由上述构造可见,G 中的任何一个角必须使用相连的边,因此至多有个两两无公共边的角.故满足要求的不小于.……30 分
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    全国高中数学联赛试题重组卷 组合与构造 Word版含答案.doc
    全国高中数学联赛试题重组卷 组合与构造 (原卷版).doc

    • 竞赛/初赛/复赛题
    • 2019-11-14
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    • lijuan1978
  • ID:3-6437248 2019年广东省珠海市高中数学青年教师解题大赛试题

    高中数学/竞赛专区/高一竞赛


    2019年珠海市高中数学青年教师解题大赛试题
    一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 已知集合,则下列说法不正确的是
    A. B.所有质数都在集合中
    C.所有奇数都在集合中 D.所有4的倍数都在集合中
    2.在下列结论中,正确的是
    ①为真是为真的充分不必要条件;
    ②为假是为真的充分不必要条件;
    ③为真是为假的必要不充分条件;
    ④为真是为假的必要不充分条件;
    A.①② B.①③ C.②④ D.③④
    3.已知,展开式的二项式系数的最大值为,展开式的二项式
    系数的最大值为,若,则复数 (其中为虚数单位)
    在复平面内对应的点在
    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
    4.已知函数,设函数的最大值是,最小值是, 则
    A. B. C. D.
    5.“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质平台,现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门,该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中,“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有
    A. 192 种 B. 240 种 C. 432 种 D. 528 种
    6.已知的内角满足,且都是整数,
    则以下选项错误的是
    A. B. C. D.
    7.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为,得2分的概率为,不得分的概率
    为,已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其它得分情况),
    则的最小值为
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    2019年珠海市高中数学青年教师解题大赛试题.docx

    • 竞赛/初赛/复赛题
    • 2019-11-11
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    • 深山心境
  • ID:3-6317358 77套历年全国高中数学竞赛试卷及答案

    高中数学/竞赛专区/高二竞赛

    77套全国数学竞赛试题,
    1.已知函数处有极值,则实数a的值是( )
    A.-2 B. -1 C. 1 D. 2

    2.已知的两个根,则( )
    A. B. C. D.

    3.在的展开式。所有形如的项的系数之和是( )
    A. 112 B. 448 C. 1792 D. 14336

    • 竞赛/初赛/复赛题
    • 2019-10-13
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    • 刘报1223
  • ID:3-6240393 吉林省榆树市第一高级中学2018-2019学年高一下学期竞赛数学试题(word版,含答案)

    高中数学/竞赛专区/高一竞赛


    榆树一中高一数学竞赛试题
    一、选择题:(每小题5分,只有一项是符合题目要求的.)
    1、已知集合,且,则等于( )
    A. -1 B.  C.  D. 或-1
    2、已知8位学生得某次数学测试成绩得茎叶图如图,则下列说法正确的是( )
    
    A.中位数为64.5 B.极差为19C.众数为7 D.平均数为64
    3.(cos -sin )(cos +sin )等于(   )
    A.- B.- C. D.
    4.某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表:
    
    10
    20
    30
    40
    50
    
    
    62
    ▲
    75
    81
    89
    
    
    求得回归方程为,现发现表中有一个数据模糊不清,请推断该数据的值为(  )
    68.3 B. 68 C. 62 D. 60
    已知△ABC外接圆的圆心为O,若AB=3,AC=5,则·的值是(  )
    A.16 B.8 C.4 D.2
    6如图所示的是欧阳修的卖油翁中讲述的一个有趣的故事,现模仿铜钱制作一个半径为2cm的圆形铜片,中间有边长为1cm的正方形孔若随机向铜片上滴一滴水水滴的大小忽略不计,则水滴正好落人孔中的概率是(  )
    A. B. C. D.
    
    7.下图是把二进制的数 11 111(2)化成十进制的数的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是(  )
    A.i>5 B.i≤5 C.i>4 D.i≤4
    8.函数f(x)=tan x+|tan x|的最小正周期是(  )
    A.π B.2π C. D.
    9.用秦九韶算法求多项式f(x)=7x6+6x5+3x2+2当x=4时的值时,先算的是(  )
    A.4×4=16 B.7×4=28 C.4×4×4=64 D.7×4+6=34
    10.在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,以为概率的事件是(   )
    A.恰有2件一等品 B.至少有一件一等品
    C.至多有一件一等品 D.都不是一等品
    11、为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:KPa)的分组,按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,......,第五组.已知第一组与第二组共有20人,第三组(第三组指的是14- -15)中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )
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    吉林省榆树市第一高级中学2018-2019学年高一下学期竞赛数学试题(word版,含答案).doc

    • 竞赛/初赛/复赛题
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  • ID:3-6240234 吉林省榆树市第一高级中学2018-2019学年高二下学期竞赛数学(理)试题(word版,含答案)

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    榆树一中2019年高二数学(理)竞赛试题
    第I卷(选择题,共60分)
    一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求)
    1、若为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数,则复数的共轭复数是 ( )
    
    A.    B.  C.   D.
    2、 下列说法错误的个数为: (?? ).
    ①正态曲线关于直线对称,这个曲线在轴上方;
    ②越大,正态曲线越“高瘦”;越小,正态曲线越“矮胖”.
    ③设有一个回归方程,变量增加一个单位时,平均增加个单位;
    ④回归直线必过点;
    ⑤将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;
    A.5 B.4 C.3 D.2
    3、在极坐标系中,与圆相切的一条直线的方程为( ???)
    A. B.
    C.  D.
    4、设,则二项式的常数项是( )
    A.-240 B.240 C.-160 D.160
    5、已知函数的图象向右平移个单位得到函数的
    图象,则 ( )
    A.  B.  C.  D. 
    6、函数的图象为 ( )
    A. B.  C.  D. 
    7、若X是离散型随机变量,,且,
    又已知,则 ( )
    
    8、某次国际象棋比赛规定,胜一局得分,平一局得分,负一局得分,某参赛队员比赛一局胜的概率为,平局的概率为,负的概率为已知他比赛一局得分的数学期望为,则的最大值为 (?? )
    A. B. C. D.
    9、设实数 ( )
    A. B. C.12 D.14
    10、某渔村准备将5艘不同的渔船分配到A,B,C三个水域进行捕鱼,每个水域至少安排一艘渔船,其中甲船不能分配到A水域,则不同的分配方案种数为(用数字作答) ( ?? )
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  • ID:3-6240231 吉林省榆树市第一高级中学2018-2019学年高二下学期竞赛数学(文)试题(word版,含答案)

    高中数学/竞赛专区/高二竞赛


    榆树一中2019年高二数学(文)竞赛试题
    第I卷(选择题,共60分)
    一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求)
    1、若为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数,则复数的共轭复数是 ( )
    
    A.  B.  C.   D.
    2、实数集R,设函数的定义域为集合,
    又集合 则 ( )
    A.[2,3] B.(1,3) C.(2,3] D.
    3、给出以下四个结论:
    ①的充要条件是;
    ②命题:“”的否定是“”;
    ③;
    ④一组数据的方差越大,则这组数据的波动越小.
    ⑤将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;
    其中正确的个数是 ( )
    A.0 B.1 C.2 D.3
    4、在极坐标系中,与圆相切的一条直线的方程为( ?? ?)
    A. B.
    C. D.
    5、函数(其中为自然对数的底数)的图象如图所示,
    则 ( ?? ?)
    
    A.,
    B.,
    C.,
    D.,
    6、某工程的工序流程如图所示(工时单位:天),现已知工程总时数为10天,则工序c所需工时为 (   )
    
    A.3天   B.4天 C.5天   D.2天
    7、已知定义在R上的函数满足,如图表示 该函数在区间上的图象,则等于 (  )
    
    A.3 B.2 C.1 D.0
    8、函数,图象恒过定点A,
    若点A在一次函数的图象上,其中,
    则的最小值是    
    A.6 B.7 C.8 D.9
    9、已知,应用秦九韶算法
    计算  时的值时, 的值为 ( )
    A.27 B.11 C.109 D.36
    10、如图,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,
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  • ID:3-6107333 【全国百强校】江西省白鹭洲中学高中数学奥林匹克模拟(四)

    高中数学/竞赛专区/高一竞赛

    高中数学奥林匹克模拟(四)及答案 一、填空题:共64分,每小题8分. 1.定义在正整数集合上的函数令,以数列的项为元素构成集合有 个非空子集. 2.数列是单调递增数列,且时,则首项 . 3.如果,那么的最大值是 . 4.一个圆周上有9个点,以这9个点为顶点作3个三角形.当这3个三角形无公共顶点且边互不相交时,我们把它称为一种构图.满足这样条件的构图共有 种. 5.在边长为1的正方体C内,作一个内切大球,再在内的一个角项内,作一个小球,使它与大球外切,同时与正方体的三个面都相切.那么,球的表面积为 . 6.已知是一个三次多项式,满足 .设是的3个根,则的值为 . 7.如果对于任意的恒成立,则= . 8.把从1001至2000的所有正整数任作一个排列,都可以从其中找出连续的10项,使这10项之和大于或等于A,则最大的正数A为 . 二、解答题:共56分,第9题16分,第10、11题各20分. 9.如图所示,双曲线的一条准线与实轴相交于点A,过点A引一条直线和双曲线交于M、N两点,又过右焦点引一条垂直于MN的直线和双曲线交于P、Q两点.求证:. 10.设均取正实数,且.求三元函数 +的最小值,并给出证明. 11.已知函数是定义在上的严格增函数,其值域也在之中,且满足.求. 二试试题 一、(本题满分40分)如图1,已知是平行四边形,但非矩形和菱形,于于,连结并延长交于点求证:. 二、(本题满分40分)设,定义:,()[来源:学科网ZXXK] 证明:当时,为整数,且为奇数当且仅当或 三、(本题满分50分)求所有素数,使得存在一个奇数和一个整系数多项式使得方程至少有一个整数根. 四、(本题满分50分)将数以任意方式填写于一张行列的方格表中,至少有个数被染成了红蓝双色. 一试参考答案 一、填空题: 1.127. 计算可得以下均为2,1的循环.所以,集合,它有7个元素,有个非空子集. 2.. 由已知有,故, 从而 . 若,则对充分大的偶数; 若,则对充分大的奇数. 因此,时,数列不是单调递增数列. 当时,对一切,有,数列是单调递增数列. 3.. 由,得 =. 从而 , 故. 等号可以成立,如.故的最大值为. 4.12. 记这9个点依次为. 分两种情形: (1)把9个点分成3组,每相邻3个点为一组构成一个三角形(如图1),则这样的3个三角形无公共点且边互不相交.由于这样的分组方法只有3种,所以共有3种构图. (2)从9个点任取相邻2点,再左右各间隔3点取其边所对顶点,此3点构成一个三角形,该三角形同侧的3个点构成一个三角形(如图2),则这样的3个三角形无公共顶点且边互不相交.由于从9个点中任取相邻2点的取法有9种,所以共有9种构图. 综合(1)、(2)知,共有12种构图. 5.. 如图3所示,设球的半径为,且设球作在内,则、在对角线上. 设,则. 作,在中,,. 于是,, 所以. 球的表面积为. 6.1996. 由可得,所以 因为是的3个根,由根与系数的关系可得 , . 因此 = 7.. 设,则问题等价于:对任意,有. 令. 于是,. 故直线夹在曲线与之间(如图4). 易知.于是,到的距离为1(的坐标为(0,),A、B表示弧的两个端点). 显然,直接(方程为)与曲线相切,是可以夹在曲线与曲线之间的惟一直线,故即为AB,故,所以. 8.15005. 设是1001,1002,2000的任一个排 (),则== =1500500. 于是中至少有一个=15005,从而. 下面说明A不大于15005,作排列2000,1001,1999,1002,…,1501,1500,此排列中,任何连续两项的和不超过3001,因此,任何连续10项的和. . 综上可知,最大的正整数为A为15005. 二、解答题: 9.易知.设直线的倾斜角为,则直线的倾斜角为. 直线MN的参数方程为 (为参数)① 直线PQ的参数方程为 (为参数)②[来源:学§科§网] 将①代入双曲线的方程,得 , 所以 .[来源:学科网] 将②代入双曲线方程,得 ,所以 =. 故. 10.考察函数可知为奇函数. 由于当时,在(0,1)内递增,易知在(0,1)内递增. 从而,对于、,有. 所以,对任意,有 , 故. 同理,; . 以上三式相加,有 . 当时,,故所求最小值为0. 11.(1)首先,.否则,若,一方面,另一方面,根据已知条件有.矛盾. 其次,.否则,若,因为是关于的严格增函数,所以,这与已知相矛盾. 综上所述,可知(因为). (2)由,得 . 故 =. (3)由(2)知,,所以,. . 而,且(因为)是上的严格增函数),,所以, . (4) 故 二试 参考答案 一、证法1:设与交于点是的中点.因在以为直径的圆上,所以, 过作,交于,交于,则,从而为的中点.[来源:学科网] 所以,所以,故四点共圆. 所以,所以四点共圆,所以 因为,所以,所以,所以. 证法2:设,则, 由梅涅劳斯定理知,所以, =, , . 注意到,则 . 所以. 证法3:延长于点,设交于点 由,知,从而. 结合,则. 而,则四点共圆. 易知四点共圆,从而. 于是[来源:Zxxk.Com] . 故. 二、证:注意到 ① ② ①: ③ ·②: ④ ③+④,得 ⑤ 反复运用⑤式,再叠加,得, 其中,,. 由=, 得. 因此,是整数. (1)或. 由有奇数个奇数项知为奇数.所以,为奇数. (2),则. 故.所以,为偶数. (3), 则 故,所以,为偶数. 三、当时,方程即, 取,则为原方程的整数根. 下面证明不可能为奇素数.方程即 . 由费马小定理:时,有. 若为奇素数,对于任意正整数,有,故,从而. 令,则,则S为偶数,故,设. 对于所有,易知它们结构相同,而的奇偶数均相同,那么的奇偶数均相同,由为偶数,得, 那么.令,则 , 矛盾,从而不可能为奇素数. 综上可知,题中的所有可能值只有2. 四、对进行归纳,当,即,则数被染成了红蓝双色,此地结论成立. 设时结论成立,对. (I)如果某一行中有个数被染成了红蓝双色,则去掉这一行,剩下行列的表中,将每列中最大的个数染成蓝色,这时,则归纳假设,表中至少有个数被染成了红蓝双色.故恢复去掉的行后,表中共有个数是红蓝双色. (II)如果某一列中有个数为红蓝双色,同理知结论成立. 下面证明情形(I)(II)必有一个成立. 为此,把表中的数按减序排列:,显然必为色双,自左到右第一个不带双色的数记为. (1)若不是红色,则表中与同一行的至少有个数比大,这个数均排在之前,故已为双色,归结为情形(I); (2)若不是蓝色,则表中与同一行的至少有个数比大,这个数均排在之前,故已为双色且同列,归结为情形(II). 因此,情形(I)、(II)必有一个成立.即时,结论成立. 由归纳法原理知,结论成立.

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    • 2019-08-09
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    • 21jy_452559070
  • ID:3-5983330 2018-2019学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学(理)试题(解析版)

    高中数学/竞赛专区/高一竞赛


    2018-2019学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学(理)试题
    一、单选题
    1.设集合,集合,则( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】分别解出集合A,B的元素,再由集合的交集运算得到结果.
    【详解】
    ,,.
    故选:D.
    【点睛】
    这个题目考查了集合的交集运算,属于基础题.
    2.实数,满足,则下列不等式成立的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】对于ACD选项,当x<0,y<0时,显然不成立;对于B可根据指数函数的单调性得到结果.
    【详解】
    由题意,当x<0,y<0可得到,而没有意义,此时 故A不正确CD也不对;指数函数是定义域上的单调递增函数,又由,则,所以.故B正确;
    故选B.
    【点睛】
    本题考查了比较大小的应用;比较大小常见的方法有:作差和0比,作商和1比,或者构造函数,利用函数的单调性得到大小关系.
    3.已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半,则一定是( )
    A.直角三角形 B.等腰三角形
    C.钝角三角形 D.等边三角形
    【答案】B
    【解析】根据题意利用韦达定理列出关系式,利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B,即可确定出三角形形状.
    【详解】
    设已知方程的两根分别为x1,x2,
    根据韦达定理得:
    ∵x1+x2x1x2,
    ∴2cosAcosB=1﹣cosC,
    ∵A+B+C=π,
    ∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB,
    ∴cosAcosB+sinAsinB=1,即cos(A﹣B)=1,
    ∴A﹣B=0,即A=B,
    ∴△ABC为等腰三角形.
    故选:B.
    【点睛】
    此题考查了三角形的形状判断,涉及的知识有:韦达定理,两角和与差的余弦函数公式,以及二倍角的余弦函数公式,熟练掌握公式是解本题的关键.
    4.已知,,且,则向量与向量的夹角为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算,利用向量夹角的余弦公式求出其余弦值,问题得解.
    【详解】
    
    ,即:
    又,
    向量与向量的夹角的余弦为,
    向量与向量的夹角为:
    故选:B
    【点睛】
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  • ID:3-5983329 2018-2019学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学(文)试题(解析版)

    高中数学/竞赛专区/高一竞赛


    2018-2019学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学(文)试题
    一、单选题
    1.设集合,集合,则( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】先化简集合A,B,再求A∩B得解.
    【详解】
    由题得,
    ,
    所以,
    故选:D.
    【点睛】
    本题主要考查集合的化简和交集运算,考查一元二次不等式的解法和对数函数的定义域,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
    2.实数满足,则下列不等式成立的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】由题意,指数函数是定义域R上的单调递增函数,又由,得,即可求解.
    【详解】
    由题意,指数函数是定义域R上的单调递增函数,
    又由,则,所以,故选B.
    【点睛】
    本题主要考查了指数函数的单调性的应用,其中解答中合理根据指数函数的单调性比较大小是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
    3.已知,,且,则向量与向量的夹角为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算,利用向量夹角的余弦公式求出其余弦值,问题得解.
    【详解】
    
    ,即:
    又,
    向量与向量的夹角的余弦为,
    向量与向量的夹角为:
    故选:B
    【点睛】
    本题考查向量夹角公式及向量运算,还考查了向量垂直的应用,考查计算能力.
    4.函数的零点个数是( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】先求函数的定义域,然后解方程f(x)=0,即可解得函数零点的个数.
    【详解】
    要使函数有意义,则x2﹣4≥0,
    即x2≥4,x≥2或x≤﹣2.
    由f(x)=0得x2﹣4=0或x2﹣1=0(不成立舍去).
    即x=2或x=﹣2,
    ∴函数的零点个数为2个.
    故选:B.
    【点睛】
    本题主要考查函数零点的求法和判断,先求函数的定义域是解决本题的关键,属于易错题.
    5.的部分图象大致为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】判断函数的奇偶性以及对称性,结合函数值的符号是否一致进行排除即可.
    【详解】
    f(﹣x)=f(x),则函数f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,排除A,D,
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  • ID:3-5947918 中国科学技术大学2019年自主招生考试数学试题(扫描版,无答案)

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